山西省吕梁市交口县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，其中卷面分5分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上．
3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】由题意得，，
解得，，
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法和乘除法法则计算即可．
【详解】A．，故不正确；
B．与2不是同类二次根式，不能合并，故不正确；
C．，正确；
D．，故不正确；
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3. 若是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A. 3B. 7C. 9D. 63
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式性质即整数的意义判断解答．
【详解】解：∵63=7×9，
∴，
∵是整数，
∴正整数n的最小值是7，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的性质，整数的定义，正确理解整数的定义是解题的关键．
4. 2021年4月23日是第26个世界读书日．为迎接第26个世界读书日的到来，某校举办读书分享大赛活动，最终有13名同学进入决赛（他们决赛的成绩各不相同），比赛将评出一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名．某参赛同学知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他需要知道这13名学生成绩的（ ）
A. 中位数B. 平均数C. 众数D. 方差
【答案】A
【解析】
【分析】根据进入决赛的13名同学所得分数互不相同，所以这13名所得分数的中位数低于获奖的学生中的最低分，所以某参赛选手知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是中位数，据此解答即可．
【详解】解：∵进入决赛的13名学生所得分数互不相同，共有1＋2＋3＝6个奖项，
∴这13名同学所得分数的中位数低于获奖的学生中的最低分，
∴某参赛选手知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是中位数．如果这名参赛选手的分数大于中位数，则他能获奖；如果这名参赛选手的分数小于或等于中位数，则他不能获奖．
故选A．
【点睛】本题主要考查了统计量的选择，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，属于基础题，难度不大．
5. 将正比例函数y=2x的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是（ ）
A. y=2x-1B. y=2x+2
C. y=2x-2D. y=2x+1
【答案】C
【解析】
【分析】根据“上加下减”的原则求解即可．
【详解】将正比例函数y=2x的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是y=2x-2．
故选C．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象变换的法则是解答此题的关键．
6. 如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．体会数形结合的思想的应用．连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和．
【详解】解：连接，如图，
，
，
米，米，
米，
米，米，
，
为直角三角形，
这块草坪的面积，
故选：A．
7. 如图，菱形中，，，交于点O，若E是边的中点，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，证明出是的中位线是本题的关键．根据菱形的性质得出， ，，根据三角形中位线定理得出，得到，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∵是边的中点，，
∴是的中位线，
，
∴，
，
故选：B．
8. 如图,在△ABC中，三边a、b、c的大小关系是( )
A. a【答案】D
【解析】
【分析】先分析出a、b、c三边所在的直角三角形，再根据勾股定理求出三边的长，进行比较即可．
【详解】解：根据勾股定理，
得， ，，
，
，
故选D．
【点睛】题目主要考查网格中的勾股定理解三角形，实数的大小比较，熟练掌握运用勾股定理解三角形是解题关键．
9. 如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为3，4，H为线段DF的中点，则BH的长为（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】延长DC交FE于点M，连结BD，BF，根据正方形的性质，得DM的长，FM的长，∠DBF的度数，由勾股定理求出DF的长，由直角三角形的性质，得BH的长．
【详解】如图示，延长DC交FE于点M，连接BD，BF．
∵正方形ABCD，BEFG的边长分别为3，4，
∴DC=EM=3，EF=CM=4，
∴FM=1，DM=7
在Rt△FDM中，DF==52 ，
∵正方形ABCD，BEFG，
∴∠DBC=∠FBC=45°，
∴∠DBF=90°，
∵H为线段DF的中点，
∴BH= DF= ．
故选B
【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，直角三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线
10. 如图，点P是边长为2cm的正方形ABCD的边上一动点，O是对角线的交点，当点P由A→D→C运动时，设P点运动的路程为xcm，则POD的面积y（cm2）随x（cm）变化的关系图象为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知，的面积可分两种情况讨论：由点移动到时，面积逐渐减小；由点移动到时，面积逐渐增大，据此判定即可．
【详解】解：正方形的边长为，是对角线的交点，
点到或的距离为，
当由点移动到时，；
当由点移动到时，；
故符合条件的图象只有选项．
故选：．
【点睛】本题考查了动点函数图象问题，三角形的面积、一次函数等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
第Ⅱ卷 非选择题（共85分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 若，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了非负数的性质，根据算术平方根，绝对值的非负性可得到，求出的值代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
12. 甲、乙两名同学分别进行6次射击训练，训练成绩及平均成绩方差如下表：（单位：环）
甲和乙的训练成绩比较稳定的是______．
【答案】乙
【解析】
【分析】本题考查了方差的意义，解题的关键是正确理解方差的意义．平均数相同，根据方差的定义及理解，方差越小成绩越稳定，反之，即可判断．
【详解】解：由表得：，
乙的成绩比较稳定，
故答案是：乙．
13. 如图所示，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，与正比例函数的图象交于点C，且点C的横坐标为2，则不等式的解集是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是根据函数图象找到所求的解集．将、两点代入一次函数，解得，，解得一次函数解析式；将点代入正比例函数，解得，易得正比例函数的解析式，根据图象找到不等式的解集即可．
【详解】解：将，代入
得：
解得：
一次函数的解析式为：
把代入
解得：
点的坐标为
把代入得：
正比例函数的解析式为：
不等式的解集即为的解集
由图可得：的解集为：，
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，-2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横坐标是________．
【答案】5
【解析】
【分析】由两点距离公式可求AC的长，由矩形的性质可求OB＝AC＝5，即可求解．
【详解】解：连接AC，
∵点A（4，﹣2），点C（1，2），
∴AC＝，
∵四边形ABCO是矩形，
∴OB＝AC＝5，
∴点B的横坐标为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，已知点A的坐标为0,3，点B的坐标为，平分，过点M作于点C，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，坐标与图形，先根据勾股定理得出，再证明，得出，，设，则，根据勾股定理得出，求出a的值即可．
【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
即．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共70分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，先逐项化简，再合并同类二次根式即可．
（1）利用完全平方公式去掉括号，再合并即可；
（2）先利用二次根式的性质化简，再合并即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
17. 某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1），如图（2），已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高）
【答案】消防车从原处向着火的楼房靠近的距离为
【解析】
【分析】在Rt中，根据勾股定理得到和，于是得到结论．
【详解】解：在Rt中, ，，（m），
（m），
在Rt中，，，（m），
（m），
（m），
答：消防车从原处向着火的楼房靠近的距离为．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
18. 为了解初二学生的体育水平，体育老师共抽取了45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，成绩达到9分及以上（包含9分）为优秀，成绩达到6分及以上（包含6分）为合格．根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表．
抽测体育模拟测试成绩分析表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在这次测试中，女生得10分的人数为4人，则这次抽测中有女生______人；
（2）补全抽测男生体育模拟测试成绩统计图，并把相应的数据标注在统计图上；
（3）补全抽测体育模拟测试成绩分析表；
（4）这个年级共有男生240人，你估计大约有多少男生的成绩能够达到优秀．
【答案】（1）25 （2）见解析
（3）见解析 （4）估计大约有96名男生的成绩能够达到优秀
【解析】
【分析】（1）利用抽测女生得分的人数除以抽测女生得分的人数所占百分比即可得；
（2）先求出抽测男生的人数，再求出男生得分的人数，据此补全条形统计图即可得；
（3）根据方差的公式、中位数、众数的定义即可得；
（4）成绩达到9分及以上（包含9分）的比例乘以240即可得．
【小问1详解】
解：抽测女生总人数为（人）；
【小问2详解】
解：抽测男生的人数为（人），
男生得分的人数为（人）．
则补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解： 抽测男生的方差为，
抽测男生的中位数位于成绩排在第10位和第11位成绩的平均数，即，
由女生成绩的扇形统计图可知，在女生的成绩中，8分的人数最多，
则女生成绩的众数是8，
补全成绩分析表如下：
【小问4详解】
解：（人）
答：估计大约有96名男生的成绩能够达到优秀．
19. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接交于点M，连接，若，，求，的长．
【答案】（1）详见解析
（2），
【解析】
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由三角形中位线的性质得出，即可得出四边形是菱形；
（2）由菱形的性质得出，，由勾股定理可求出答案．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
DE是的中位线，
∴，，
在中，，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
20. 活动课上，同学们以正方形为背景，探究图形运动中的数学结论，已知，正方形中，，点E是射线上的一个动点，连接，以为边作正方形（点F在边所在直线的上方），连接，探索发现：

（1）如图1，勤学小组画出了点E与点C重合时的图形，此时点F到边所在直线的距离为______．
（2）如图2，创思小组画出点E恰好是线段中点时的图形，请你解答如下问题：
①判断线段与的数量关系，并说明理由；
②直接写出此时点F到边所在直线的距离．
【答案】（1）6 （2）①，理由见解析；②6
【解析】
【分析】（1）利用正方形的性质证明，得到，即可得出结果；
（2）①过点F作于点H，证明，得到，根据点E是的中点，得到，由，推出垂直平分，即可得出结论；②由①中结合，即可得出结果．
【小问1详解】
解：四边形，都是正方形，
，
，
，
，
，
点E与C重合时，点F到边所在直线的距离为6；
【小问2详解】
解：①，理由如下：
如图，过点F作于点H，

，
，
四边形和四边形均为正方形，
，
，
，
又，
，
，
点E是的中点，
，
，
，
，
垂直平分，
；
②由（1）得，，
，
点F到边所在直线的距离为6．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，点到直线的距离，线段垂直平分线的性质，添加合适的辅助线，构造相似三角形，全等三角形是解题的关键．
21 综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然．
（1）请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
（2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______．
（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证；
（2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高；
（3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可；
【小问1详解】
证明：∵，，，
∴
∴
∴
【小问2详解】
，
，
，
即AB边上的高是
【小问3详解】
解：在中，由勾股定理得
∵，
∴
在中，由勾股定理得
∴，
∴
【点睛】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形DEF是解本题的难点．
22. 为发展我市旅游经济，丹东天桥沟景区对门票采用动态的售票方法吸引游客，规定：门票定价为100元/人，非节假日打折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即10人以下（含10人）的团队按原价售票；超过10人的团队，其中10人仍按原价售票，超过10人部分的游客打折售票。设某旅游团人数为人，非节假日购票款为（元），节假日购票款为（元），、与之间的函数图象如图所示.
（1）观察图象可知：_______，__________；
（2）直接写出和的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）导游小王10月1日带团，10月20日（非节假日）带团都到天桥沟景区旅游，共付门票款4600元，、两个团队合计60人，求、两个团队各有多少人？
【答案】（1），；（2），；（3），两个团队各有40人和20人。
【解析】
【分析】（1）根据函数图像，用购票款数除以定价款数，计算即可求出a的值；用第11人到20人的购票款数除以定价的款数，计算即可求出b的值；
（2）利用待定系数法求正比例函数解析式求出y1；分x≤10与x>10，利用待定系数法求一次函数解析式求出y2与x的函数关系式即可；
（3）设A团有n人，则B团的人数为（60-n），然后分0≤n≤10与n>10两种情况，根据（2）的函数关系式列出方程求解解即可.
【详解】解：（1）
（2）

（3）设团有人，团有人，
当时，
解得：（不合题意，故舍去）
当时，
解得：
（人）
答：，两个团队各有40人和20人.
【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式和从图表获取必要的信息是解答本题的的关键.
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线与x轴，y轴分别交于点P，C，连接，直线，交于点D．
（1）求点D的坐标．
（2）求的面积．
（3）若点E为坐标平面内的任意一点，试探究：是否存在以点A，B，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，，，
【解析】
【分析】（1）根据题意得，解方程组可得出答案；
（2）求得的解析式，由，当时，；当时，，可得点，，进而得出，根据三角形的面积公式即可求解；
（3）分三种情况，根据平行四边形的性质分别求解即可．
本题考查了一次函数的性质，两一次函数的交点坐标，平行四边形的性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线与x轴，y轴分别交于点P，C，
∴，
解得，
点的坐标为；
小问2详解】
解：由题意可知，，．
．
，点的坐标为，
；
【小问3详解】
解：存在， ．
，，，
以点，，，为顶点的四边形是平行四边形可分三种情况，
①若以为对角线，
则
∴
则点的坐标为：
②若以为对角线，
则
则点；
③若以为对角线，
，；
综上所述，点的坐标为，，第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
平均成绩
方差
甲
9
8
6
7
8
10
8
1.66
乙
8
7
8
9
9
7
8
0.66
平均分
方差
中位数
众数
男生
7.9
7
女生
7.92
1.99
8
平均分
方差
中位数
众数
男生
7.9
1.69
8
7
女生
7.92
199
8
8