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2024年山西省长治市壶关县多校中考三模数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份2024年山西省长治市壶关县多校中考三模数学试题（原卷版+解析版），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. -7的相反数是（ ）
A 7B. -7C. D.
2. 如图所示是由个大小相同的小立方块搭成的几何体，去掉带阴影的小立方块后，剩下几何体的左视图为（ ）
A B. C. D.
3. 2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京人民大会堂开幕，国务院总理李强作《政府工作报告》（简称《报告》）．《报告》指出，2023年国内生产总值超过126万亿元，增长．数据“126万亿元”用科学记数法表示为（ ）
A. 元B. 元
C. 元D. 元
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 如图，直线，直线l分别与直线相交于点E，F，平分交于点G．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 代数式化简结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，将先绕点C按顺时针方向旋转，再向右平移1个单位长度后得到，则点A的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 请阅读以下关于“圆的切线垂直于过切点的半径”的证明过程．
已知：直线与相切于点．
求证：与直线垂直．
证明：如图，假设与直线不垂直，过点作直线于点．
∴，即圆心到直线的距离小于的半径．
∴直线与相交．
这与已知“直线与相切”相矛盾．
∴假设不成立．
∴与直线垂直．
这种证明方法为（ ）
A. 综合法B. 归纳法C. 枚举法D. 反证法
9. 文房四宝是我国独有书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量完全相同．若想从一套四个盲盒（笔、墨、纸、砚盲盒各一个）中随机选两个，则恰好抽中笔和纸盲盒的概率为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，点是的六等分点，连接．若的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案直接写在答题卡相应的位置）
11. 因式分解：=___________．
12. 根据国家统计局公布的数据显示，年全国粮食总产量为万吨，年全国粮食总产量为万吨．若这两年全国粮食总产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为 ____________________．
13. 如图是由相同的小木棒拼成的一组有规律的图案，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒…依此规律，第个图案中有 ___________根小木棒．（用含的代数式表示）
14. 如图，矩形的面积为35，边与双曲线交于点D．若，则k的值为 _______．
15. 如图，在四边形中，，，，过点C作的平行线，交的延长线于点E．若，，则的长为 _________________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：,
（2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
17. 如图，四边形为菱形，与交于点O，以点O为圆心，长为半径画圆，过点C作的切线，交的延长线于点E，．试判断四边形的形状，并说明理由．
18. 植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内容的节日．某校在植树节时组织一批学生到校园周边共同种植一批树苗，如果每人种4棵，那么还剩下70棵树苗；如果每人种6棵，那么还少30棵树苗．
（1）求参加这次植树活动的学生人数和这批树苗的数量．
（2）在本次植树活动中，苗木基地提供的这批树苗只有甲、乙两种，其中甲种树苗每棵3元，乙种树苗每棵4元．若购买这批树苗的费用不超过1000元，则至少需要购买多少棵甲种树苗？
19. 2024年3月3日是第25个全国爱耳日，今年爱耳日的主题为“科技助听，共享美好生活”．某校举行了爱耳知识竞赛活动，并从七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析，结果如下：七、八年级学生竞赛成绩折线统计图
七、八年级学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， （填“>”“＝”或“<”）．
（2）该校七年级有200名学生，八年级有300名学生，若规定竞赛成绩为80分及以上为优秀，请估计七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
（3）根据表格中的统计量，哪个年级的学生在本次爱耳知识竞赛活动中表现得更好一些？请说明理由．
20. 请阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：
（1）若某商品的条形码为，求校验码Y的值 ．
（2）如图2，某商品条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为a，则根据材料中的步骤4得出m的值为 ．（用含a的代数式表示）
（3）如图3，某商品条形码中的两位数字被墨水污染了，若这两位数字相同，则这位数字是 ．
21. 某校九年级兴趣小组开展了“测量发射塔高度”的实践活动，计划利用教学楼测算远处小山坡上发射塔的高度．如图，他们分成两个小组，分别在教学楼A，B两个位置进行观测．其中一个小组的同学在教学楼A处的窗口位置测得发射塔顶端M的仰角为，发射塔底端N的俯角为，另一个小组的同学在教学楼B处的窗口位置测得发射塔顶端M的仰角为．已知教学楼A，B两个位置的高度差为，求发射塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，，，，，，，）
22. 综合与实践
问题情境：
四边形是正方形，E为对角线所在直线上一动点（不与点A，C重合），连接．将线段绕点B按逆时针方向旋转得到线段，连结．
问题解决：
（1）如图1，当点E在线段上时，求证：．
探索发现：
（2）如图2，当点E在的延长线上时，线段与的数量关系为
（3）如图3，当点E在的延长线上时，连接并延长，交边于点G，交的延长线于点F，试判断与的数量关系，并说明理由．
23 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若D是直线上方抛物线上一动点，且，求点D的坐标．
（3）在y轴上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年山西省长治市壶关县多校中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1. -7的相反数是（ ）
A. 7B. -7C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】根据概念，（-7的相反数）+（-7）=0，则-7的相反数是7．
故选A．
2. 如图所示是由个大小相同的小立方块搭成的几何体，去掉带阴影的小立方块后，剩下几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据主视图，左视图，俯视图是分别从物体的正面，左面，上面看所得的图形解答即可．本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的定义是解题的关键．
【详解】解：∵几何体是由个大小相同的小立方块搭成，
∴去掉阴影部分的剩下部分的左视图为
故选．
3. 2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京人民大会堂开幕，国务院总理李强作《政府工作报告》（简称《报告》）．《报告》指出，2023年国内生产总值超过126万亿元，增长．数据“126万亿元”用科学记数法表示为（ ）
A. 元B. 元
C. 元D. 元
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，据此解答即可．
【详解】解：126万亿元元元，
故选：C．
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查积的乘方、单项式除以单项式、平方差公式及负指数幂，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据负指数幂、单项式除以单项式及平方差公式可进行求解．
【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意；
B、，原计算正确，故符合题意；
C、，原计算错误，故不符合题意；
D、，原计算错误，故不符合题意；
故选B．
5. 如图，直线，直线l分别与直线相交于点E，F，平分交于点G．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的外角性质，证明是解答的关键．先根据平行线的性质和角平分线的定义证得，再根据三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：∵直线，
∴，
∵平分交于点G，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
6. 代数式化简结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先通分化简，再根据分式乘除约分即可得到答案.
【详解】解：原式，
故选A；
本题考查分式化简，解题的关键是熟练掌握分式的四则运算法则．
7. 如图，将先绕点C按顺时针方向旋转，再向右平移1个单位长度后得到，则点A的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转变换和平移变换，先根据旋转性质和平移性质画出图形，再根据图形中点的位置即可求解．
【详解】解：将先绕点C按顺时针方向旋转，再向右平移1个单位长度后得到如图所示，则点A的对应点的坐标为，
故选：C．
8. 请阅读以下关于“圆的切线垂直于过切点的半径”的证明过程．
已知：直线与相切于点．
求证：与直线垂直．
证明：如图，假设与直线不垂直，过点作直线于点．
∴，即圆心到直线的距离小于的半径．
∴直线与相交．
这与已知“直线与相切”相矛盾．
∴假设不成立．
∴与直线垂直．
这种证明方法为（ ）
A. 综合法B. 归纳法C. 枚举法D. 反证法
【答案】D
【解析】
【分析】根据反证法的定义：先提出与命题结论相反的假设，然后通过推理得出矛盾从而证明原命题成立判断即可．本题考查了反证法的定义，掌握反证法的定义是解题的关键．
【详解】解：∵证明过程先做了假设“与直线不垂直”，最后得到一个与题目已知条件相矛盾的结论，即“假设不成立”，
∴本题运用的证明方法是反证法；
故选．
9. 文房四宝是我国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量完全相同．若想从一套四个盲盒（笔、墨、纸、砚盲盒各一个）中随机选两个，则恰好抽中笔和纸盲盒的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽中笔和纸盲盒的结果数，再利用概率公式可得出答案．本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【详解】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中笔和纸盲盒的结果有：（笔，纸），（纸，笔），共2种，
恰好抽中笔和纸盲盒的概率为．
故选：B．
10. 如图，点是的六等分点，连接．若的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，交于点，设与交于点，连接并延长，交于点．利用正多边形和圆的性质求得OQ=FQ，然后结合特殊角三角函数求得，然后利用扇形面积和三角形面积公式求解．
【详解】解：如图，连接，交于点，设与交于点，连接并延长，交于点．
根据题意，得，．
所以．
所以．
因为的半径为2，
所以．
所以．
在中，．
所以．
所以，
故选C．
本题考查正多边形和圆，掌握正多边形和圆的性质，扇形面积的计算，通过求基本图形面积解决求不规则的阴影部分面积是解题关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案直接写在答题卡相应的位置）
11. 因式分解：=___________．
【答案】xy（x+2）（x-2）
【解析】
【分析】先提公因式xy，然后利用平方差公式分解因式．
【详解】解：原式＝xy（x2−4）＝xy（x＋2）（x−2）；
故答案为：xy（x+2）（x-2）．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12. 根据国家统计局公布的数据显示，年全国粮食总产量为万吨，年全国粮食总产量为万吨．若这两年全国粮食总产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为 ____________________．
【答案】
【解析】
【分析】利用年全国粮食总产量年全国粮食总产量列方程即可．本题考查了一元二次方程与实际问题，审清题意找出等量关系是解题的关键．
【详解】解：∵这两年全国粮食总产量的年平均增长率为，年全国粮食总产量为万吨，
∴年全国粮食总产量为万吨，
∵年全国粮食总产量为万吨，
∴可得方程：，
故答案为：．
13. 如图是由相同的小木棒拼成的一组有规律的图案，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒…依此规律，第个图案中有 ___________根小木棒．（用含的代数式表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查列代数式，根据图案规律，写出第个图案中图形的个数是解题的关键；
根据图案找出规律即可．
【详解】解：第一个：，
第二个：，
第三个：，
∴第个图案中有个；
故答案为：．
14. 如图，矩形的面积为35，边与双曲线交于点D．若，则k的值为 _______．
【答案】21
【解析】
【分析】本题考查求反比例函数解析式、坐标与图形、矩形的性质、比例性质，设点B坐标为，根据矩形性质得到，轴，则点D的坐标为，根据坐标与图形性质，，然后由已知列方程求k值即可．
【详解】解：设点B坐标为，
∵矩形的面积为35，
∴，轴，
则点D的坐标为，
∴，，
∵，
∴，解得，且满足所列方程，
故答案为：21．
15. 如图，在四边形中，，，，过点C作的平行线，交的延长线于点E．若，，则的长为 _________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质与判定，连接交于点，过点作的垂线，交的延长线于点，先求得，再说明，进而求得，最后运用勾股定理求得即可．
【详解】解：如图所示，连接交于点，过点作的垂线，交的延长线于点．
∵，，
∴，即，
又∵，
∴．
∴，
∵，，
∴垂直平分．
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
∴，
∴，
∵，，，垂直平分，
∴，，
∴，
∴．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：,
（2）解不等式组：，并将解集数轴上表示出来．
【答案】（1）；（2），数轴见解析
【解析】
【分析】（）根据零指数幂的运算法则，绝对值的性质，实数的乘法法则，实数的加减混合运算法则化简即可解答；
（）先解出每个不等式的解集，再利用数轴可得一元一次不等式组的解集即可．
详解】解：（）
；
解：（），
由得：,
由得：，
∴原不等式组的解集为．
本题考查了零指数幂的运算法则，绝对值的性质，实数的乘法法则，实数的加减混合运算法则，解一元一次不等式组，学会解一元一次不等式组是解题的关键．
17. 如图，四边形为菱形，与交于点O，以点O为圆心，长为半径画圆，过点C作的切线，交的延长线于点E，．试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】菱形，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质可得出，推出是等边三角形，证明四边形是平行四边形，根据可证明四边形是菱形
【详解】四边形是菱形，
理由：∵四边形为菱形，
∴，
在中，
∴，
∴
∴是等边三角形，
∴
∵为的切线，
∴，
∴，
∴
∴ 四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形
18. 植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内容的节日．某校在植树节时组织一批学生到校园周边共同种植一批树苗，如果每人种4棵，那么还剩下70棵树苗；如果每人种6棵，那么还少30棵树苗．
（1）求参加这次植树活动的学生人数和这批树苗的数量．
（2）在本次植树活动中，苗木基地提供的这批树苗只有甲、乙两种，其中甲种树苗每棵3元，乙种树苗每棵4元．若购买这批树苗的费用不超过1000元，则至少需要购买多少棵甲种树苗？
【答案】（1）学生人数为50人，这批树苗的数量为270棵
（2）至少需要购买80棵甲种树苗
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
（1）参加这次植树活动的学生人数为x人，这批树苗的数量为y棵，根据如果每人种4棵，那么还剩下70棵树苗；如果每人种6棵，那么还少30棵树苗．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设需要购买m棵甲种树苗，则需要购买棵乙种树苗，根据购买这批树苗的费用不超过1000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：参加这次植树活动的学生人数为x人，这批树苗的数量为y棵，由题意得：
，
解得：，
答：参加这次植树活动的学生人数为50人，这批树苗的数量为270棵；
【小问2详解】
解：设需要购买m棵甲种树苗，则需要购买棵乙种树苗，
由题意得：，
解得：，
又∵m是正整数，
∴m的最小值为80，
答：至少需要购买80棵甲种树苗．
19. 2024年3月3日是第25个全国爱耳日，今年爱耳日的主题为“科技助听，共享美好生活”．某校举行了爱耳知识竞赛活动，并从七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析，结果如下：七、八年级学生竞赛成绩折线统计图
七、八年级学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， （填“>”“＝”或“<”）．
（2）该校七年级有200名学生，八年级有300名学生，若规定竞赛成绩为80分及以上为优秀，请估计七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
（3）根据表格中的统计量，哪个年级的学生在本次爱耳知识竞赛活动中表现得更好一些？请说明理由．
【答案】（1）50，70，>
（2）200 （3）八年级，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查折线统计图、用样本估计总体、平均数、众数、中位数、方差，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体、平均数、众数、中位数、方差的定义及意义是解答本题的关键．
（1）根据众数、中位数、方差的定义可得答案．
（2）根据用样本估计总体，用200乘以样本中七年级的竞赛成绩为80分及以上的人数所占的百分比，用300乘以样本中八年级的竞赛成绩为80分及以上的人数所占的百分比，相加即可．
（3）根据平均数、中位数、方差的意义可得答案．
【小问1详解】
解：由题意得，．
将八年级抽取的10名学生的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第5名和第6名的成绩分别记为70，70，
∴．
由折线统计图可知，七年级抽取的10名学生的竞赛成绩比八年级抽取的10名学生的竞赛成绩波动性大，
∴．
故答案为：50；70；．
【小问2详解】
解：（人）．
∴估计七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数约200人．
【小问3详解】
解：八年级的学生表现更好一些．
理由：抽取的七、八年级学生竞赛成绩的平均数相同，说明两个年级学生平均水平相当，但是七年级学生竞赛成绩的方差大于八年级学生竞赛成绩的方差，说明八年级学生的竞赛成绩更集中，波动性小于七年级，
故八年级的学生在本次爱耳知识竞赛活动中表现更好一些．
20. 请阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：
（1）若某商品的条形码为，求校验码Y的值 ．
（2）如图2，某商品条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为a，则根据材料中的步骤4得出m的值为 ．（用含a的代数式表示）
（3）如图3，某商品条形码中的两位数字被墨水污染了，若这两位数字相同，则这位数字是 ．
【答案】（1）0 （2）
（3）5
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握新定义是解题的关键．
（1）根据新定义求解；
（2）根据新定义列代数式求解；
（3）根据新定义列方程求解．
【小问1详解】
解：步骤1：自左向右编号为：
步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s，
．
步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t，
．
步骤4：求与t的和m，
．
步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n，
．
步骤6：求n与m的差就是校验码Y．
，即校验码Y的值为0，
故答案为：0；
【小问2详解】
∵
∴
故答案为：；
【小问3详解】
解：设这个数字为x，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：5．
21. 某校九年级兴趣小组开展了“测量发射塔高度”实践活动，计划利用教学楼测算远处小山坡上发射塔的高度．如图，他们分成两个小组，分别在教学楼A，B两个位置进行观测．其中一个小组的同学在教学楼A处的窗口位置测得发射塔顶端M的仰角为，发射塔底端N的俯角为，另一个小组的同学在教学楼B处的窗口位置测得发射塔顶端M的仰角为．已知教学楼A，B两个位置的高度差为，求发射塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，，，，，，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作于点，过点作，交的延长线于点，根据题意可得：，，然后设，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出和的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，则四边形为矩形，
由题意得：，，
设
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
答：发射塔的高度约为．
22. 综合与实践
问题情境：
四边形是正方形，E为对角线所在直线上一动点（不与点A，C重合），连接．将线段绕点B按逆时针方向旋转得到线段，连结．
问题解决：
（1）如图1，当点E在线段上时，求证：．
探索发现：
（2）如图2，当点E在的延长线上时，线段与的数量关系为
（3）如图3，当点E在的延长线上时，连接并延长，交边于点G，交的延长线于点F，试判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（1）；（3），理由见解析
【解析】
分析】（1）由“”可证，可得；
（2）由“”可证，可得，，即可求解；
（3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，
∴，，
，
∴，
∴；
（2）解：四边形是正方形，
，，，
将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，
∴，，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：，理由如下：
如图3，过点作，交的延长线于，
四边形是正方形，
，，，
，，
是等腰直角三角形，
，
将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，
∴，，
，，
∴，
∴，，
，，，
，
，
∴，
，
，
．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23. 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若D是直线上方抛物线上一动点，且，求点D的坐标．
（3）在y轴上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，点M的坐标为或(0，12)
【解析】
【分析】（1）首先求出，然后将将，代入利用待定系数法求解即可；
（2）过点B作轴，交抛物线与点E，过点D作于点F，则，求出，设，则，，然后根据代入求解即可；
（3）根据题意分两种情况点M在x轴下方和点M在x轴上方，分别根据全等三角形和相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
当时，
∴
将，代入得，
解得
∴；
【小问2详解】
如图所示，过点B作轴，交抛物线与点E，过点D作于点F，则
当时，
解得
∴
∴
∵
∴设，则，
∵
∴
∴
∴
∴
解得或（舍去）
∴；
【小问3详解】
①如图所示，当点M在x轴下方时，过点M作轴，作交直线于点G，过点G作于点H，过点A作于点P，则
∴
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴，
设，则，
∴
∵点G在直线上
∴
解得
∴；
②当点M在x轴上方时，如图所示，过点B作交于点Q，过点Q作轴于点R，则
同理①可得，
∴，
∴
∵，
∴
∴
∴
解得
∴
∴
综上所述，点M的坐标为或(0，12)．
此题考查了二次函数综合题，相似三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是正确作出辅助线求解．
统计量年级
平均数/分
中位数/分
众数/分
方差
七年级
70
65
m
八年级
70
n
80
商品条形码的“秘密”
商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．商品条形码是由13位数字组成，每位数字都是不小于0且不大于9的整数，前12位数字分别表示“国家码、生产商编码和产品码”的相关信息，第13位数字表示“校验码”，如图1所示693代表国家码，49170代表生产商编码，0940代表产品码，2代表校验码．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确．
性，它的编制是按照特定算法得来的，具体算法如下（以图1为例）：
例：条形码（X校验码）．
步骤1：自左向右编号．
位置序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
代码
6
9
3
4
9
1
7
0
0
9
4
0
X
步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s，
．
步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t，
．
步骤4：求与t的和m，
．
步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n，
．
步骤6：求n与m的差就是校验码X．
，即校验码X的值为2．
笔
墨
纸
砚
笔
（笔，墨）
（笔，纸）
（笔，砚）
墨
（墨，笔）
（墨，纸）
（墨，砚）
纸
（纸，笔）
（纸，墨）
（纸，砚）
砚
（砚，笔）
（砚，墨）
（砚，纸）
统计量年级
平均数/分
中位数/分
众数/分
方差
七年级
70
65
m
八年级
70
n
80
商品条形码的“秘密”
商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．商品条形码是由13位数字组成，每位数字都是不小于0且不大于9的整数，前12位数字分别表示“国家码、生产商编码和产品码”的相关信息，第13位数字表示“校验码”，如图1所示693代表国家码，49170代表生产商编码，0940代表产品码，2代表校验码．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确．
性，它的编制是按照特定算法得来的，具体算法如下（以图1为例）：
例：条形码（X为校验码）．
步骤1：自左向右编号．
位置序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
代码
6
9
3
4
9
1
7
0
0
9
4
0
X
步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s，
．
步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t，
．
步骤4：求与t的和m，
．
步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n，
．
步骤6：求n与m的差就是校验码X．
，即校验码X的值为2．
位置序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
代码
6
9
2
0
1
5
2
4
6
1
0
2
Y
1. -7的相反数是（ ）
A 7B. -7C. D.
2. 如图所示是由个大小相同的小立方块搭成的几何体，去掉带阴影的小立方块后，剩下几何体的左视图为（ ）
A B. C. D.
3. 2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京人民大会堂开幕，国务院总理李强作《政府工作报告》（简称《报告》）．《报告》指出，2023年国内生产总值超过126万亿元，增长．数据“126万亿元”用科学记数法表示为（ ）
A. 元B. 元
C. 元D. 元
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 如图，直线，直线l分别与直线相交于点E，F，平分交于点G．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 代数式化简结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，将先绕点C按顺时针方向旋转，再向右平移1个单位长度后得到，则点A的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 请阅读以下关于“圆的切线垂直于过切点的半径”的证明过程．
已知：直线与相切于点．
求证：与直线垂直．
证明：如图，假设与直线不垂直，过点作直线于点．
∴，即圆心到直线的距离小于的半径．
∴直线与相交．
这与已知“直线与相切”相矛盾．
∴假设不成立．
∴与直线垂直．
这种证明方法为（ ）
A. 综合法B. 归纳法C. 枚举法D. 反证法
9. 文房四宝是我国独有书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量完全相同．若想从一套四个盲盒（笔、墨、纸、砚盲盒各一个）中随机选两个，则恰好抽中笔和纸盲盒的概率为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，点是的六等分点，连接．若的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案直接写在答题卡相应的位置）
11. 因式分解：=___________．
12. 根据国家统计局公布的数据显示，年全国粮食总产量为万吨，年全国粮食总产量为万吨．若这两年全国粮食总产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为 ____________________．
13. 如图是由相同的小木棒拼成的一组有规律的图案，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒…依此规律，第个图案中有 ___________根小木棒．（用含的代数式表示）
14. 如图，矩形的面积为35，边与双曲线交于点D．若，则k的值为 _______．
15. 如图，在四边形中，，，，过点C作的平行线，交的延长线于点E．若，，则的长为 _________________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：,
（2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
17. 如图，四边形为菱形，与交于点O，以点O为圆心，长为半径画圆，过点C作的切线，交的延长线于点E，．试判断四边形的形状，并说明理由．
18. 植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内容的节日．某校在植树节时组织一批学生到校园周边共同种植一批树苗，如果每人种4棵，那么还剩下70棵树苗；如果每人种6棵，那么还少30棵树苗．
（1）求参加这次植树活动的学生人数和这批树苗的数量．
（2）在本次植树活动中，苗木基地提供的这批树苗只有甲、乙两种，其中甲种树苗每棵3元，乙种树苗每棵4元．若购买这批树苗的费用不超过1000元，则至少需要购买多少棵甲种树苗？
19. 2024年3月3日是第25个全国爱耳日，今年爱耳日的主题为“科技助听，共享美好生活”．某校举行了爱耳知识竞赛活动，并从七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析，结果如下：七、八年级学生竞赛成绩折线统计图
七、八年级学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， （填“>”“＝”或“<”）．
（2）该校七年级有200名学生，八年级有300名学生，若规定竞赛成绩为80分及以上为优秀，请估计七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
（3）根据表格中的统计量，哪个年级的学生在本次爱耳知识竞赛活动中表现得更好一些？请说明理由．
20. 请阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：
（1）若某商品的条形码为，求校验码Y的值 ．
（2）如图2，某商品条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为a，则根据材料中的步骤4得出m的值为 ．（用含a的代数式表示）
（3）如图3，某商品条形码中的两位数字被墨水污染了，若这两位数字相同，则这位数字是 ．
21. 某校九年级兴趣小组开展了“测量发射塔高度”的实践活动，计划利用教学楼测算远处小山坡上发射塔的高度．如图，他们分成两个小组，分别在教学楼A，B两个位置进行观测．其中一个小组的同学在教学楼A处的窗口位置测得发射塔顶端M的仰角为，发射塔底端N的俯角为，另一个小组的同学在教学楼B处的窗口位置测得发射塔顶端M的仰角为．已知教学楼A，B两个位置的高度差为，求发射塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，，，，，，，）
22. 综合与实践
问题情境：
四边形是正方形，E为对角线所在直线上一动点（不与点A，C重合），连接．将线段绕点B按逆时针方向旋转得到线段，连结．
问题解决：
（1）如图1，当点E在线段上时，求证：．
探索发现：
（2）如图2，当点E在的延长线上时，线段与的数量关系为
（3）如图3，当点E在的延长线上时，连接并延长，交边于点G，交的延长线于点F，试判断与的数量关系，并说明理由．
23 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若D是直线上方抛物线上一动点，且，求点D的坐标．
（3）在y轴上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年山西省长治市壶关县多校中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1. -7的相反数是（ ）
A. 7B. -7C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】根据概念，（-7的相反数）+（-7）=0，则-7的相反数是7．
故选A．
2. 如图所示是由个大小相同的小立方块搭成的几何体，去掉带阴影的小立方块后，剩下几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据主视图，左视图，俯视图是分别从物体的正面，左面，上面看所得的图形解答即可．本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的定义是解题的关键．
【详解】解：∵几何体是由个大小相同的小立方块搭成，
∴去掉阴影部分的剩下部分的左视图为
故选．
3. 2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京人民大会堂开幕，国务院总理李强作《政府工作报告》（简称《报告》）．《报告》指出，2023年国内生产总值超过126万亿元，增长．数据“126万亿元”用科学记数法表示为（ ）
A. 元B. 元
C. 元D. 元
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，据此解答即可．
【详解】解：126万亿元元元，
故选：C．
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查积的乘方、单项式除以单项式、平方差公式及负指数幂，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据负指数幂、单项式除以单项式及平方差公式可进行求解．
【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意；
B、，原计算正确，故符合题意；
C、，原计算错误，故不符合题意；
D、，原计算错误，故不符合题意；
故选B．
5. 如图，直线，直线l分别与直线相交于点E，F，平分交于点G．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的外角性质，证明是解答的关键．先根据平行线的性质和角平分线的定义证得，再根据三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：∵直线，
∴，
∵平分交于点G，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
6. 代数式化简结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先通分化简，再根据分式乘除约分即可得到答案.
【详解】解：原式，
故选A；
本题考查分式化简，解题的关键是熟练掌握分式的四则运算法则．
7. 如图，将先绕点C按顺时针方向旋转，再向右平移1个单位长度后得到，则点A的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转变换和平移变换，先根据旋转性质和平移性质画出图形，再根据图形中点的位置即可求解．
【详解】解：将先绕点C按顺时针方向旋转，再向右平移1个单位长度后得到如图所示，则点A的对应点的坐标为，
故选：C．
8. 请阅读以下关于“圆的切线垂直于过切点的半径”的证明过程．
已知：直线与相切于点．
求证：与直线垂直．
证明：如图，假设与直线不垂直，过点作直线于点．
∴，即圆心到直线的距离小于的半径．
∴直线与相交．
这与已知“直线与相切”相矛盾．
∴假设不成立．
∴与直线垂直．
这种证明方法为（ ）
A. 综合法B. 归纳法C. 枚举法D. 反证法
【答案】D
【解析】
【分析】根据反证法的定义：先提出与命题结论相反的假设，然后通过推理得出矛盾从而证明原命题成立判断即可．本题考查了反证法的定义，掌握反证法的定义是解题的关键．
【详解】解：∵证明过程先做了假设“与直线不垂直”，最后得到一个与题目已知条件相矛盾的结论，即“假设不成立”，
∴本题运用的证明方法是反证法；
故选．
9. 文房四宝是我国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量完全相同．若想从一套四个盲盒（笔、墨、纸、砚盲盒各一个）中随机选两个，则恰好抽中笔和纸盲盒的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽中笔和纸盲盒的结果数，再利用概率公式可得出答案．本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【详解】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中笔和纸盲盒的结果有：（笔，纸），（纸，笔），共2种，
恰好抽中笔和纸盲盒的概率为．
故选：B．
10. 如图，点是的六等分点，连接．若的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，交于点，设与交于点，连接并延长，交于点．利用正多边形和圆的性质求得OQ=FQ，然后结合特殊角三角函数求得，然后利用扇形面积和三角形面积公式求解．
【详解】解：如图，连接，交于点，设与交于点，连接并延长，交于点．
根据题意，得，．
所以．
所以．
因为的半径为2，
所以．
所以．
在中，．
所以．
所以，
故选C．
本题考查正多边形和圆，掌握正多边形和圆的性质，扇形面积的计算，通过求基本图形面积解决求不规则的阴影部分面积是解题关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案直接写在答题卡相应的位置）
11. 因式分解：=___________．
【答案】xy（x+2）（x-2）
【解析】
【分析】先提公因式xy，然后利用平方差公式分解因式．
【详解】解：原式＝xy（x2−4）＝xy（x＋2）（x−2）；
故答案为：xy（x+2）（x-2）．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12. 根据国家统计局公布的数据显示，年全国粮食总产量为万吨，年全国粮食总产量为万吨．若这两年全国粮食总产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为 ____________________．
【答案】
【解析】
【分析】利用年全国粮食总产量年全国粮食总产量列方程即可．本题考查了一元二次方程与实际问题，审清题意找出等量关系是解题的关键．
【详解】解：∵这两年全国粮食总产量的年平均增长率为，年全国粮食总产量为万吨，
∴年全国粮食总产量为万吨，
∵年全国粮食总产量为万吨，
∴可得方程：，
故答案为：．
13. 如图是由相同的小木棒拼成的一组有规律的图案，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒…依此规律，第个图案中有 ___________根小木棒．（用含的代数式表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查列代数式，根据图案规律，写出第个图案中图形的个数是解题的关键；
根据图案找出规律即可．
【详解】解：第一个：，
第二个：，
第三个：，
∴第个图案中有个；
故答案为：．
14. 如图，矩形的面积为35，边与双曲线交于点D．若，则k的值为 _______．
【答案】21
【解析】
【分析】本题考查求反比例函数解析式、坐标与图形、矩形的性质、比例性质，设点B坐标为，根据矩形性质得到，轴，则点D的坐标为，根据坐标与图形性质，，然后由已知列方程求k值即可．
【详解】解：设点B坐标为，
∵矩形的面积为35，
∴，轴，
则点D的坐标为，
∴，，
∵，
∴，解得，且满足所列方程，
故答案为：21．
15. 如图，在四边形中，，，，过点C作的平行线，交的延长线于点E．若，，则的长为 _________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质与判定，连接交于点，过点作的垂线，交的延长线于点，先求得，再说明，进而求得，最后运用勾股定理求得即可．
【详解】解：如图所示，连接交于点，过点作的垂线，交的延长线于点．
∵，，
∴，即，
又∵，
∴．
∴，
∵，，
∴垂直平分．
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
∴，
∴，
∵，，，垂直平分，
∴，，
∴，
∴．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：,
（2）解不等式组：，并将解集数轴上表示出来．
【答案】（1）；（2），数轴见解析
【解析】
【分析】（）根据零指数幂的运算法则，绝对值的性质，实数的乘法法则，实数的加减混合运算法则化简即可解答；
（）先解出每个不等式的解集，再利用数轴可得一元一次不等式组的解集即可．
详解】解：（）
；
解：（），
由得：,
由得：，
∴原不等式组的解集为．
本题考查了零指数幂的运算法则，绝对值的性质，实数的乘法法则，实数的加减混合运算法则，解一元一次不等式组，学会解一元一次不等式组是解题的关键．
17. 如图，四边形为菱形，与交于点O，以点O为圆心，长为半径画圆，过点C作的切线，交的延长线于点E，．试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】菱形，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质可得出，推出是等边三角形，证明四边形是平行四边形，根据可证明四边形是菱形
【详解】四边形是菱形，
理由：∵四边形为菱形，
∴，
在中，
∴，
∴
∴是等边三角形，
∴
∵为的切线，
∴，
∴，
∴
∴ 四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形
18. 植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内容的节日．某校在植树节时组织一批学生到校园周边共同种植一批树苗，如果每人种4棵，那么还剩下70棵树苗；如果每人种6棵，那么还少30棵树苗．
（1）求参加这次植树活动的学生人数和这批树苗的数量．
（2）在本次植树活动中，苗木基地提供的这批树苗只有甲、乙两种，其中甲种树苗每棵3元，乙种树苗每棵4元．若购买这批树苗的费用不超过1000元，则至少需要购买多少棵甲种树苗？
【答案】（1）学生人数为50人，这批树苗的数量为270棵
（2）至少需要购买80棵甲种树苗
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
（1）参加这次植树活动的学生人数为x人，这批树苗的数量为y棵，根据如果每人种4棵，那么还剩下70棵树苗；如果每人种6棵，那么还少30棵树苗．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设需要购买m棵甲种树苗，则需要购买棵乙种树苗，根据购买这批树苗的费用不超过1000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：参加这次植树活动的学生人数为x人，这批树苗的数量为y棵，由题意得：
，
解得：，
答：参加这次植树活动的学生人数为50人，这批树苗的数量为270棵；
【小问2详解】
解：设需要购买m棵甲种树苗，则需要购买棵乙种树苗，
由题意得：，
解得：，
又∵m是正整数，
∴m的最小值为80，
答：至少需要购买80棵甲种树苗．
19. 2024年3月3日是第25个全国爱耳日，今年爱耳日的主题为“科技助听，共享美好生活”．某校举行了爱耳知识竞赛活动，并从七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析，结果如下：七、八年级学生竞赛成绩折线统计图
七、八年级学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， （填“>”“＝”或“<”）．
（2）该校七年级有200名学生，八年级有300名学生，若规定竞赛成绩为80分及以上为优秀，请估计七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
（3）根据表格中的统计量，哪个年级的学生在本次爱耳知识竞赛活动中表现得更好一些？请说明理由．
【答案】（1）50，70，>
（2）200 （3）八年级，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查折线统计图、用样本估计总体、平均数、众数、中位数、方差，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体、平均数、众数、中位数、方差的定义及意义是解答本题的关键．
（1）根据众数、中位数、方差的定义可得答案．
（2）根据用样本估计总体，用200乘以样本中七年级的竞赛成绩为80分及以上的人数所占的百分比，用300乘以样本中八年级的竞赛成绩为80分及以上的人数所占的百分比，相加即可．
（3）根据平均数、中位数、方差的意义可得答案．
【小问1详解】
解：由题意得，．
将八年级抽取的10名学生的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第5名和第6名的成绩分别记为70，70，
∴．
由折线统计图可知，七年级抽取的10名学生的竞赛成绩比八年级抽取的10名学生的竞赛成绩波动性大，
∴．
故答案为：50；70；．
【小问2详解】
解：（人）．
∴估计七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数约200人．
【小问3详解】
解：八年级的学生表现更好一些．
理由：抽取的七、八年级学生竞赛成绩的平均数相同，说明两个年级学生平均水平相当，但是七年级学生竞赛成绩的方差大于八年级学生竞赛成绩的方差，说明八年级学生的竞赛成绩更集中，波动性小于七年级，
故八年级的学生在本次爱耳知识竞赛活动中表现更好一些．
20. 请阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：
（1）若某商品的条形码为，求校验码Y的值 ．
（2）如图2，某商品条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为a，则根据材料中的步骤4得出m的值为 ．（用含a的代数式表示）
（3）如图3，某商品条形码中的两位数字被墨水污染了，若这两位数字相同，则这位数字是 ．
【答案】（1）0 （2）
（3）5
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握新定义是解题的关键．
（1）根据新定义求解；
（2）根据新定义列代数式求解；
（3）根据新定义列方程求解．
【小问1详解】
解：步骤1：自左向右编号为：
步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s，
．
步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t，
．
步骤4：求与t的和m，
．
步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n，
．
步骤6：求n与m的差就是校验码Y．
，即校验码Y的值为0，
故答案为：0；
【小问2详解】
∵
∴
故答案为：；
【小问3详解】
解：设这个数字为x，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：5．
21. 某校九年级兴趣小组开展了“测量发射塔高度”实践活动，计划利用教学楼测算远处小山坡上发射塔的高度．如图，他们分成两个小组，分别在教学楼A，B两个位置进行观测．其中一个小组的同学在教学楼A处的窗口位置测得发射塔顶端M的仰角为，发射塔底端N的俯角为，另一个小组的同学在教学楼B处的窗口位置测得发射塔顶端M的仰角为．已知教学楼A，B两个位置的高度差为，求发射塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，，，，，，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作于点，过点作，交的延长线于点，根据题意可得：，，然后设，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出和的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，则四边形为矩形，
由题意得：，，
设
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
答：发射塔的高度约为．
22. 综合与实践
问题情境：
四边形是正方形，E为对角线所在直线上一动点（不与点A，C重合），连接．将线段绕点B按逆时针方向旋转得到线段，连结．
问题解决：
（1）如图1，当点E在线段上时，求证：．
探索发现：
（2）如图2，当点E在的延长线上时，线段与的数量关系为
（3）如图3，当点E在的延长线上时，连接并延长，交边于点G，交的延长线于点F，试判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（1）；（3），理由见解析
【解析】
分析】（1）由“”可证，可得；
（2）由“”可证，可得，，即可求解；
（3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，
∴，，
，
∴，
∴；
（2）解：四边形是正方形，
，，，
将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，
∴，，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：，理由如下：
如图3，过点作，交的延长线于，
四边形是正方形，
，，，
，，
是等腰直角三角形，
，
将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，
∴，，
，，
∴，
∴，，
，，，
，
，
∴，
，
，
．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23. 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若D是直线上方抛物线上一动点，且，求点D的坐标．
（3）在y轴上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，点M的坐标为或(0，12)
【解析】
【分析】（1）首先求出，然后将将，代入利用待定系数法求解即可；
（2）过点B作轴，交抛物线与点E，过点D作于点F，则，求出，设，则，，然后根据代入求解即可；
（3）根据题意分两种情况点M在x轴下方和点M在x轴上方，分别根据全等三角形和相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
当时，
∴
将，代入得，
解得
∴；
【小问2详解】
如图所示，过点B作轴，交抛物线与点E，过点D作于点F，则
当时，
解得
∴
∴
∵
∴设，则，
∵
∴
∴
∴
∴
解得或（舍去）
∴；
【小问3详解】
①如图所示，当点M在x轴下方时，过点M作轴，作交直线于点G，过点G作于点H，过点A作于点P，则
∴
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴，
设，则，
∴
∵点G在直线上
∴
解得
∴；
②当点M在x轴上方时，如图所示，过点B作交于点Q，过点Q作轴于点R，则
同理①可得，
∴，
∴
∵，
∴
∴
∴
解得
∴
∴
综上所述，点M的坐标为或(0，12)．
此题考查了二次函数综合题，相似三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是正确作出辅助线求解．
统计量年级
平均数/分
中位数/分
众数/分
方差
七年级
70
65
m
八年级
70
n
80
商品条形码的“秘密”
商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．商品条形码是由13位数字组成，每位数字都是不小于0且不大于9的整数，前12位数字分别表示“国家码、生产商编码和产品码”的相关信息，第13位数字表示“校验码”，如图1所示693代表国家码，49170代表生产商编码，0940代表产品码，2代表校验码．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确．
性，它的编制是按照特定算法得来的，具体算法如下（以图1为例）：
例：条形码（X校验码）．
步骤1：自左向右编号．
位置序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
代码
6
9
3
4
9
1
7
0
0
9
4
0
X
步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s，
．
步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t，
．
步骤4：求与t的和m，
．
步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n，
．
步骤6：求n与m的差就是校验码X．
，即校验码X的值为2．
笔
墨
纸
砚
笔
（笔，墨）
（笔，纸）
（笔，砚）
墨
（墨，笔）
（墨，纸）
（墨，砚）
纸
（纸，笔）
（纸，墨）
（纸，砚）
砚
（砚，笔）
（砚，墨）
（砚，纸）
统计量年级
平均数/分
中位数/分
众数/分
方差
七年级
70
65
m
八年级
70
n
80
商品条形码的“秘密”
商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．商品条形码是由13位数字组成，每位数字都是不小于0且不大于9的整数，前12位数字分别表示“国家码、生产商编码和产品码”的相关信息，第13位数字表示“校验码”，如图1所示693代表国家码，49170代表生产商编码，0940代表产品码，2代表校验码．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确．
性，它的编制是按照特定算法得来的，具体算法如下（以图1为例）：
例：条形码（X为校验码）．
步骤1：自左向右编号．
位置序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
代码
6
9
3
4
9
1
7
0
0
9
4
0
X
步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s，
．
步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t，
．
步骤4：求与t的和m，
．
步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n，
．
步骤6：求n与m的差就是校验码X．
，即校验码X的值为2．
位置序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
代码
6
9
2
0
1
5
2
4
6
1
0
2
Y
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