2025年高考数学一轮复习-三角中的最值、范围问题-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-三角中的最值、范围问题-专项训练【含答案】，共12页。试卷主要包含了基本技能练，创新拓展练等内容，欢迎下载使用。

一、基本技能练
1.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝0，则ω的最小值为( )
A.2 B.4
C.6D.8
2.将函数y＝cs(2x＋φ)的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为( )
A.eq \f(π,12)B.eq \f(π,6)
C.eq \f(π,3)D.eq \f(5π,6)
3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin A＋2csin C＝2bsin Ccs A，则角A的最大值为( )
A.eq \f(π,6)B.eq \f(π,4)
C.eq \f(π,3)D.eq \f(2π,3)
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(2a－c,b)＝eq \f(cs C,cs B)，b＝4，则△ABC的面积的最大值为( )
A.4eq \r(3) B.2eq \r(3)
C.2D.eq \r(3)
5.若函数f(x)＝cs 2x＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))在(0，α)上恰有2个零点，则α的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，\f(4π,3)))B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，\f(4π,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)，\f(8π,3)))D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)，\f(8π,3)))
6.已知函数f(x)＝cs(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为π，且对x∈R，f(x)≥feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))恒成立，若函数y＝f(x)在[0，a]上单调递减，则a的最大值是( )
A.eq \f(π,6)B.eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3)D.eq \f(5π,6)
7.已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.
8.已知函数f(x)＝cs ωx＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω>0)在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点，则ω的取值范围是________.
9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的角平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________.
10.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A≠eq \f(π,2)，c＋bcs A－acs B＝eq \r(2)acs A，则eq \f(b,a)＝________；内角B的取值范围是________.
11.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A，且B为钝角.
(1)证明：B－A＝eq \f(π,2)；
(2)求sin A＋sin C的取值范围.
12.已知向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))))，b＝(－sin x，eq \r(3)sin x)，f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；
(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A,2)))＝1，a＝2eq \r(3)，求△ABC面积的最大值并说明此时△ABC的形状.
二、创新拓展练
13.设锐角△ABC的三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为( )
A.(eq \r(2)，eq \r(3)) B.(1，eq \r(3))
C.(eq \r(2)，2)D.(0，2)
14.(多选)设函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]上有且仅有3个极小值点，则( )
A.f(x)在(0，2π)上有且仅有5个零点
B.f(x)在(0，2π)上有且仅有2个极大值点
C.f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))上单调递减
D.ω的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，\f(10,3)))
15.(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝6，记S为△ABC的面积，则下列说法正确的是( )
A.若C＝eq \f(π,3)，则S有最大值9eq \r(3)
B.若A＝eq \f(π,6)，a＝2eq \r(3)，则S有最小值3eq \r(3)
C.若a＝2b，则cs C有最小值0
D.若a＋b＝10，则sin C有最大值eq \f(24,25)
16.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2c＝a(b2＋c2－a2).
(1)若A＝eq \f(π,3)，求B的大小；
(2)若a≠c，求eq \f(c－3b,a)的最小值.
参考答案与解析
一、基本技能练
1.答案 A
解析 函数f(x)的周期T≤4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,12)))＝π，则eq \f(2π,ω)≤π，解得ω≥2，
故ω的最小值为2.
2.答案 B
解析 将函数y＝cs(2x＋φ)的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度，得到图象的函数解析式为y＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋φ))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(2π,3)＋φ))，此函数为奇函数，所以－eq \f(2π,3)＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，解得φ＝eq \f(7π,6)＋kπ(k∈Z)，
则当k＝－1时，|φ|取得最小值eq \f(π,6).
3.答案 A
解析 因为asin A＋2csin C＝2bsin Ccs A，
由正弦定理可得，a2＋2c2＝2bccs A，①
由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccs A，②
①＋②得2a2＝b2－c2，
所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)
＝eq \f(b2＋c2－\f(1,2)（b2－c2）,2bc)＝eq \f(b2＋3c2,4bc)≥eq \f(2\r(3)bc,4bc)＝eq \f(\r(3),2)(当且仅当b＝eq \r(3)c时取等号)，
所以角A的最大值为eq \f(π,6).
4.答案 A
解析 ∵在△ABC中，eq \f(2a－c,b)＝eq \f(cs C,cs B)，
∴(2a－c)cs B＝bcs C，
由正弦定理，得
(2sin A－sin C)cs B＝sin Bcs C，
整理得sin(B＋C)＝2sin Acs B，
∵A∈(0，π)，∴sin A≠0.
∴cs B＝eq \f(1,2)，即B＝eq \f(π,3)，
由余弦定理可得16＝a2＋c2－2accs B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，
∴ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，
∴△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(\r(3),4)ac≤4eq \r(3).
即△ABC的面积的最大值为4eq \r(3).
5.答案 B
解析 由题意，函数f(x)＝cs 2x＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，
因为0