2025年高考数学一轮复习-定点问题-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-定点问题-专项训练【含答案】，共6页。试卷主要包含了基本技能练，创新拓展练等内容，欢迎下载使用。

一、基本技能练
1.已知双曲线C与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1有相同的焦点，P(3，eq \r(6))是C上一点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)记C的右顶点为M，与x轴平行的直线l与C交于A，B两点，求证：以AB为直径的圆过点M.
2.已知M(x0，0)，N(0，y0)两点分别在x轴和y轴上运动，且|MN|＝1，若动点G满足eq \(OG,\s\up6(→))＝2eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))，动点G的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)已知不垂直于x轴的直线l与轨迹E交于不同的A，B两点，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(3),3)，0))总满足∠AQO＝∠BQO，证明：直线l过定点.
3.已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点Teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,4)))在E上.
(1)求|TF|；
(2)抛物线E在点T处的切线为l，经过点F的直线与抛物线E交于A，B两点(与T不重合)，抛物线在A，B两点处的切线分别为l1，l2，若l1与l2交于P点，l与l1，l2分别交于点M，N，证明：△PMN的外接圆经过点F.
二、创新拓展练
4.阿基米德不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”计算椭圆面积.椭圆的面积等于圆周率π与椭圆长半轴长及短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的面积等于2π，且椭圆C的焦距为2eq \r(3).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点P(4，0)是x轴上的定点，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，已知点A关于y轴的对称点为点M，点B关于原点的对称点为点N(异于点M)，且P，M，N三点共线，试探究直线l是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
参考答案与解析
一、基本技能练
1.(1)解 由题意可设双曲线C的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
由已知得a2＋b2＝6，且eq \f(9,a2)－eq \f(6,b2)＝1，
解得a2＝b2＝3.
所以双曲线C的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1.
(2)证明 设直线l的方程为y＝m，m≠0，将其与eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1联立，
解得x＝eq \r(m2＋3)或x＝－eq \r(m2＋3).
不妨设A(－eq \r(m2＋3)，m)，B(eq \r(m2＋3)，m)，
由(1)知M(eq \r(3)，0)，
则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝(eq \r(3)＋eq \r(m2＋3)，－m)·(eq \r(3)－eq \r(m2＋3)，－m)＝(eq \r(3)＋eq \r(m2＋3))(eq \r(3)－eq \r(m2＋3))＋m2＝3－(m2＋3)＋m2＝0，
所以eq \(AM,\s\up6(→))⊥eq \(BM,\s\up6(→))，故以AB为直径的圆过点M.
2.(1)解 因为eq \(OG,\s\up6(→))＝2eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))，
设G(x，y)，则(x，y)＝2(x0，0)＋(0，y0)＝(2x0，y0).所以x＝2x0，y＝y0，
则x0＝eq \f(x,2)，y0＝y，
又|MN|＝1，得xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝1，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))eq \s\up12(2)＋y2＝1，
所以动点G的轨迹E的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)证明 由题意，设直线l的方程为：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝kx＋m，))
得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由Δ＝64k2m2－16(4k2＋1)(m2－1)>0，
得m20，
得t2－m2＋4