新高考数学一轮复习学案 第8章 §8.1　直线的方程（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习学案 第8章 §8.1　直线的方程（含解析），共13页。学案主要包含了直线的倾斜角与斜率，求直线的方程，直线方程的综合应用等内容，欢迎下载使用。

考试要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
2．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
3．直线方程的五种形式
微思考
1．直线的倾斜角越大，斜率越大对吗？
提示 不对．设直线的倾斜角为α，斜率为k.
2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？
提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √ )
(2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × )
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( × )
(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．( × )
题组二 教材改编
2．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
答案 A
解析 由题意得eq \f(m－4,－2－m)＝1，解得m＝1.
3．已知直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为________．
答案 eq \f(π,4)或eq \f(3π,4)
解析 由|k|＝|tan α|＝1知tan α＝±1，
∴α＝eq \f(π,4)或eq \f(3π,4).
4．已知三点A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，则实数m的值为________．
答案 2
解析 因为A，B，C三点在同一直线上，所以kAB＝kBC，即eq \f(2－－1,0－－3)＝eq \f(4－2,m－0)，故m＝2.
题组三 易错自纠
5．(多选)下列说法正确的是( )
A．有的直线斜率不存在
B．若直线l的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k＝tan α
C．若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为eq \f(3π,4)
D．截距可以为负值
答案 ABD
6．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．
答案 3x－2y＝0或x＋y－5＝0
解析 当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，
则eq \f(2,a)＋eq \f(3,a)＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.
题型一 直线的倾斜角与斜率
例1 (1)已知两点A(－1,2)，B(m,3)，且m∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)－1，\r(3)－1))，则直线AB的倾斜角α的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(2π,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(2π,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))
答案 D
解析 ①当m＝－1时，α＝eq \f(π,2)；
②当m≠－1时，∵k＝eq \f(1,m＋1)∈(－∞，－eq \r(3) ]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，＋∞))，
∴α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(2π,3))).
综合①②知直线AB的倾斜角α的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3))).
(2)(2020·安阳模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是( )
A．k≥eq \f(1,2) B．k≤－2
C．k≥eq \f(1,2)或k≤－2 D．－2≤k≤eq \f(1,2)
答案 D
解析 直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2,1)，
∵kPA＝eq \f(3－1,1－2)＝－2，kPB＝eq \f(－1－1,－2－2)＝eq \f(1,2)，
又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，
∴－2≤k≤eq \f(1,2).
本例(2)直线l改为y＝kx，若l与线段AB相交，则k的取值范围是______．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))∪[3，＋∞)
解析 直线l过定点P(0,0)，
∵kPA＝3，kPB＝eq \f(1,2)，∴k≥3或k≤eq \f(1,2).
思维升华 (1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法．
(2)倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tan α的单调性．
跟踪训练1 (1)(2021·宿州模拟)若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1C．k3答案 D
解析 因为直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是______________．
答案 (－∞，－eq \r(3) ]∪[1，＋∞)
解析 如图所示，当直线l过点B时，k1＝eq \f(\r(3)－0,0－1)＝－eq \r(3).
当直线l过点A时，k2＝eq \f(1－0,2－1)＝1，
∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－eq \r(3) ]∪[1，＋∞)．
题型二 求直线的方程
1．(2021·荆门期末)经过点P(2，－3)，且倾斜角为45°的直线方程为( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋5＝0 D．x－y－5＝0
答案 D
解析 倾斜角为45°的直线的斜率为tan 45°＝1，又该直线经过点P(2，－3)，所以用点斜式求得直线的方程为y＋3＝x－2，即x－y－5＝0.
2．已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
答案 D
解析 设直线l的倾斜角为α，则tan α＝k＝2，
直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k′＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(2＋1,1－2×1)＝－3，又点M(2,0)，
所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.
3．经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3,2)的直线方程为__________．
答案 2x＋3y－5＝0
解析 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,2x－y＝1，))解得x＝1，y＝1，
∴直线过点(1,1)，
∵直线的方向向量v＝(－3,2)，
∴直线的斜率k＝－eq \f(2,3).
则直线的方程为y－1＝－eq \f(2,3)(x－1)，
即2x＋3y－5＝0.
4．过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为_________________．
答案 x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
解析 由题意可设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝6，,\f(2,a)＋\f(1,b)＝1，))解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.
故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
思维升华 (1)求直线方程一般有以下两种方法：
①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程．
②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程．
(2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用．
题型三 直线方程的综合应用
命题点1 直线过定点问题
例2 已知k∈R，写出以下动直线所过的定点坐标：
(1)若直线方程为y＝kx＋3，则直线过定点________；
(2)若直线方程为y＝kx＋3k，则直线过定点________；
(3)若直线方程为x＝ky＋3，则直线过定点________．
答案 (1)(0,3) (2)(－3,0) (3)(3,0)
解析 (1)当x＝0时，y＝3，所以直线过定点(0,3)．
(2)直线方程可化为y＝k(x＋3)，故直线过定点(－3,0)．
(3)当y＝0时，x＝3，所以直线过定点(3,0)．
命题点2 与直线有关的多边形面积的最值
例3 已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
解 方法一 设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，
则可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k－1,k)，0))，B(0,1－2k)．
∵与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2k－1,k)>0，,1－2k>0))⇒k<0.于是
S△AOB＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)·eq \f(2k－1,k)·(1－2k)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(1,k)－4k))≥eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4＋2\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)))·－4k)))＝4.
当且仅当－eq \f(1,k)＝－4k，即k＝－eq \f(1,2)时，△AOB面积有最小值为4，
此时，直线l的方程为y－1＝－eq \f(1,2)(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
方法二 设所求直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)，
则eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1.
又∵eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(2,ab))⇒eq \f(1,2)ab≥4，当且仅当eq \f(2,a)＝eq \f(1,b)＝eq \f(1,2)，即a＝4，b＝2时，△AOB面积S＝eq \f(1,2)ab有最小值为4.
此时，直线l的方程是eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1.
本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
解 方法一 由本例知Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k－1,k)，0))，B(0,1－2k)(k<0)．
∴|MA|·|MB|＝eq \r(\f(1,k2)＋1)·eq \r(4＋4k2)＝2eq \f(1＋k2,|k|)＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－k＋\f(1,－k)))≥4.
当且仅当－k＝－eq \f(1,k)，即k＝－1时取等号．
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
方法二 由本例知A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0，eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1.
∴|MA|·|MB|＝|eq \(MA,\s\up6(→))|·|eq \(MB,\s\up6(→))|
＝－eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝(2a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))－5＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
思维升华 (1)直线过定点问题可以利用直线点斜式方程的结构特征，对照得到定点坐标．
(2)求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
跟踪训练2 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
(1)证明 直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1.))
∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2,1)．
(2)解 由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－eq \f(1＋2k,k)，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)≤－2，,1＋2k≥1，))
解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)解 由题意可知k≠0，再由l的方程，
得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0,1＋2k)．
依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)<0，,1＋2k>0，))解得k>0.
∵S＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|＝eq \f(1,2)·eq \f(1＋2k2,k)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq \f(1,2)×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝eq \f(1,k)，即k＝eq \f(1,2)，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
课时精练
1．(2021·清远期末)倾斜角为120°且在y轴上的截距为－2的直线方程为( )
A．y＝－eq \r(3)x＋2 B．y＝－eq \r(3)x－2
C．y＝eq \r(3)x＋2 D．y＝eq \r(3)x－2
答案 B
解析 斜率为tan 120°＝－eq \r(3)，利用斜截式直接写出方程，即y＝－eq \r(3)x－2.
2．(2021·菏泽模拟)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于( )
A．1±eq \r(2)或0 B.eq \f(2－\r(5),2)或0
C.eq \f(2±\r(5),2) D.eq \f(2＋\r(5),2)或0
答案 A
解析 由题意知kAB＝kAC，即eq \f(a2＋a,2－1)＝eq \f(a3＋a,3－1)，
即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±eq \r(2).
3．(2021·广东七校联考)若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,1) B．(－1,2)
C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 由题意知eq \f(2a－1－a,3－1＋a)<0，即eq \f(a－1,2＋a)<0，解得－24．(2020·北京丰台区模拟)若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有( )
A．a>0，c>0 B．a>0，c<0
C．a<0，c>0 D．a<0，c<0
答案 A
解析 ∵直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，
∴直线的斜率a>0，在y轴上的截距c>0.
5．直线2xcs α－y－3＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的倾斜角的取值范围是 ( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(2π,3)))
答案 B
解析 直线2xcs α－y－3＝0的斜率k＝2cs α，
因为α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))，所以eq \f(1,2)≤cs α≤eq \f(\r(3),2)，
因此k＝2cs α∈[1，eq \r(3) ]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，eq \r(3) ]．
又θ∈[0，π)，所以θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))，
即倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3))).
6．(多选)在下列四个命题中，错误的有( )
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线倾斜角的取值范围是[0，π)
C．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
答案 ACD
解析 对于A，当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，∴A错误；
对于B，直线倾斜角的取值范围是[0，π)，∴B正确；
对于C，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，∴C错误；
对于D，一条直线的倾斜角为α时，它的斜率为tan α或不存在，D错误．
故选ACD.
7．(多选)若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
答案 ABC
解析 当直线经过原点时，斜率为k＝eq \f(2－0,1－0)＝2，
所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A(1,2)代入可得1－2＝k，或1＋2＝k，
求得k＝－1，或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0，或x＋y－3＝0.
综上知，所求的直线方程为 2x－y＝0，x－y＋1＝0，
或x＋y－3＝0.
8．(多选)垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是( )
A．4 B．－4
C．3 D．－3
答案 CD
解析 设直线方程是4x＋3y＋d＝0，分别令x＝0和y＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－eq \f(d,3)，－eq \f(d,4)，所以6＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(d,3)))×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(d,4)))＝eq \f(d2,24).所以d＝±12，则直线在x轴上的截距为3或－3.
9．直线l过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 011，b)在l上，则b的值为________．
答案 2 023
解析 直线l的方程为eq \f(y－－1,5－－1)＝eq \f(x－－1,2－－1)，
即eq \f(y＋1,6)＝eq \f(x＋1,3)，即y＝2x＋1.
令x＝1 011，得y＝2 023，∴b＝2 023.
10．设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直线l的斜率为－1，则k＝______；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则k＝________.
答案 5 1
解析 因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－eq \f(2,k－3)x＋2，由题意得－eq \f(2,k－3)＝－1，解得k＝5.直线l的方程可化为eq \f(x,k－3)＋eq \f(y,2)＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
11．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为____________．
答案 x＋13y＋5＝0
解析 BC的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，∴BC边上中线所在直线方程为eq \f(y－0,－\f(1,2)－0)＝eq \f(x＋5,\f(3,2)＋5)，即x＋13y＋5＝0.
12．(八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________．
答案 eq \f(1,3)，－3
解析 方法一 设正方形一边所在直线的倾斜角为α，其斜率k＝tan α.
则其中一条对角线所在直线的倾斜角为α＋eq \f(π,4)，其斜率为taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))).
依题意知：taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝2，即eq \f(tan α＋tan \f(π,4),1－tan α·tan \f(π,4))＝eq \f(tan α＋1,1－tan α)＝2，∴tan α＝eq \f(1,3)，
∴正方形一边的斜率k＝eq \f(1,3)，可知相邻一边所在直线的斜率为－3.
方法二 正方形两条相邻边与对角线的夹角为eq \f( π,4)，
设正方形的边所在直线的斜率为k，
则由夹角公式得taneq \f(π,4)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(k－2,1＋2k)))⇒k＝eq \f(1,3)或k＝－3.
13．已知P(－3,2)，Q(3,4)及直线ax＋y＋3＝0.若沿eq \(PQ,\s\up6(→))的方向延长线段PQ与直线有交点(不含Q点)，则a的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,3)，－\f(1,3)))
解析 直线l：ax＋y＋3＝0是过点A(0，－3)的直线系，斜率为参变数－a，易知PQ，QA，l的斜率分别为：kPQ＝eq \f(1,3)，kAQ＝eq \f(7,3)，kl＝－a.若l与PQ延长线相交，由图可知kPQ14．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1,nn＋1)(n∈N*)，其前n项和Sn＝eq \f(9,10)，则直线eq \f(x,n＋1)＋eq \f(y,n)＝1与坐标轴所围成的三角形的面积为________．
答案 45
解析 由an＝eq \f(1,nn＋1)可知an＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，
所以Sn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq \f(1,n＋1)，
又知Sn＝eq \f(9,10)，所以1－eq \f(1,n＋1)＝eq \f(9,10)，所以n＝9.
所以直线方程为eq \f(x,10)＋eq \f(y,9)＝1，且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)，所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为eq \f(1,2)×10×9＝45.
15．(多选)已知直线xsin α＋ycs α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是( )
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．直线的斜率一定存在
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
答案 BD
解析 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，所以A不正确；当x＝y＝0时，xsin α＋ycs α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝eq \f(π,2)时，直线斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,－sin α)))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,－cs α)))＝eq \f(1,|sin 2α|)≥1，所以D正确．
16．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝eq \f(1,2)x上时，则直线AB的方程是______．
答案 (3＋eq \r(3))x－2y－3－eq \r(3)＝0
解析 由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－eq \f(\r(3),3)，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－eq \f(\r(3),3)x.
设A(m，m)，B(－eq \r(3)n，n)，
所以AB的中点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m－\r(3)n,2)，\f(m＋n,2)))，
由点C在直线y＝eq \f(1,2)x上，且A，P，B三点共线得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)＝\f(1,2)·\f(m－\r(3)n,2)，,m－0·－\r(3)n－1＝n－0·m－1，))
解得m＝eq \r(3)，所以A(eq \r(3)，eq \r(3))．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝eq \f(\r(3),\r(3)－1)＝eq \f(3＋\r(3),2)，
所以lAB：y＝eq \f(3＋\r(3),2)(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋eq \r(3))x－2y－3－eq \r(3)＝0.名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x＝x1 和直线y＝y1
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
α的大小
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k的范围
k＝0
k>0
不存在
k<0
k的增减性
随α的增大而增大
随α的增大而增大