新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：8.1　直线的倾斜角、斜率与直线的方程

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第八章　平面解析几何
8.1　直线的倾斜角、斜率与直线的方程
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.直线的倾斜角
(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴　　　　与直线l　　　　的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为　　　. 
(2)直线的倾斜角α的取值范围为　　　　　. 
2.直线的斜率
(1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan α,倾斜角是90°的直线没有斜率.
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=y2-y1x2-x1.
3.直线方程的五种形式

名称
几何条件
方　　程
适用条件
点斜式
过点(x0,y0),斜率为k
　　　　　 
与x轴不垂直的直线
斜截式
在y轴上的截距为b,斜率为k
　　　　　 
两点式
过两点(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)
　　　　　 
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
在x轴、y轴上的截距分别为a,b(a,b≠0)
　　　　　 
不过原点,且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
—
Ax+By+C=0
(A2+B2≠0)
平面内所有直线



1.特殊直线的方程:
(1)过点P(x1,y1),垂直于x轴的直线方程为x=x1;
(2)过点P(x1,y1),垂直于y轴的直线方程为y=y1;
(3)y轴的方程为x=0;
(4)x轴的方程为y=0.
2.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系:

α
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k
0
k>0
不存在
k<0



考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)直线的倾斜角越大,其斜率越大.(　　)
(2)过点M(a,b),N(b,a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(　　)
(3)若直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α.(　　)
(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(　　)
(5)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离.(　　)
2.直线2x·sin 210°-y-2=0的倾斜角是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.45° B.135° C.30 D.150°
3.如果A·C<0,且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不通过第　　　　　象限. 
4.(2020山东德州高三诊测)过直线l:y=x上的点P(2,2)作直线m,若直线l,m与x轴围成的三角形的面积为2,则直线m的方程为　　　　　. 
5.(2020云南丽江高三月考)经过点(4,1),且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为　　　　　. 
关键能力学案突破　

考点
直线的倾斜角与斜率

【例1】(1)已知曲线y=13x3-x2上一个动点P,作曲线在点P处的切线,则切线倾斜角的取值范围为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0,3π4 B.0,π2∪3π4,π
C.3π4,π D.π2,3π4
(2)已知点A(2,3),B(-3,-2),若直线l过点P(1,1),且与线段AB始终没有交点,则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A.34,2 B.-∞,34∪(2,+∞)
C.34,+∞ D.(-∞,2)
(3)若直线l的斜率为k,倾斜角为α,且α∈π6,π4∪2π3,π,则k的取值范围是　　　　　. 
解题心得直线的斜率与倾斜角的区别与联系


直线l的斜率k
直线l的倾斜角α
区别
当直线l垂直于x轴时,l的斜率k不存在
当直线l垂直于x轴时,l的倾斜角α为π2
联系
①k=tanα,α∈0,π2∪π2,π.
②当α∈0,π2时,α越大,l的斜率越大;当α∈π2,π时,α越大,l的斜率越大.
③所有直线都有倾斜角,但不是所有直线都存在斜率


对点训练1(1)(多选)若直线l1:ax-y-b=0,l2:bx-y+a=0,ab≠0,a≠b,则下列图形可能正确的是(　　)

(2)直线xcos α+3y+2=0的倾斜角θ的取值范围是(　　)
A.0,5π6 B.π6,5π6
C.π6,π2∪π2,5π6 D.0,π6∪5π6,π
(3)已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l的方程为-kx+y+k-1=0,且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围为(　　)
A.(-∞,-4]∪34,+∞
B.-∞,-14∪34,+∞
C.-4,34
D.34,4

考点
求直线的方程

【例2】(1)过点P(3,-1),且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有　　　　　条,方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 
(2)已知一条直线经过点A(2,-3),并且它的倾斜角等于直线x-3y=0倾斜角的2倍,则这条直线的方程是　　　　　　　. 
(3)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC的中点M在y轴上,BC的中点N在x轴上,则直线MN的方程为　　　　　　　　　　. 
解题心得1求解直线方程的两种方法

直接法
根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程
待定系
数法
①设所求直线方程的某种形式;
②根据条件建立所求参数的方程(组);
③解这个方程(组)求出参数;
④把参数的值代入所设直线方程

2.谨防三种失误
(1)应用点斜式方程和斜截式方程时,要注意讨论斜率是否存在.
(2)应用截距式方程时,要注意讨论直线是否过原点,即截距是否为0.
(3)应用一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)确定直线的斜率时,注意讨论B是否为0.
对点训练2(1)在等腰三角形MON中,|MO|=|MN|,点O(0,0),M(-1,3),点N在x轴的负半轴上,则直线MN的方程为(　　)
A.3x-y-6=0 B.3x+y+6=0
C.3x-y+6=0 D.3x+y-6=0
(2)过点A(1,3),且斜率是直线y=-4x的斜率的13的直线方程为　　　　　. 
(3)过点P(6,-2),且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为　　　　　. 

考点
直线方程的应用(多考向探究)

考向1　与基本不等式及函数性质相结合的最值问题

【例3】已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所示,求△AOB的面积的最小值及此时直线l的方程.








解题心得求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程,建立目标函数,再利用函数的单调性或基本不等式求解.
变式发散(1)若本例条件不变,求|OA|+|OB|的最小值及此时l的方程.
(2)若本例条件不变,求PA·PB的最大值及此时直线l的方程.















考向2　与函数的导数的几何意义相结合的问题
【例4】设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为0,π4,则点P的横坐标的取值范围为(　　)
A.-1,-12 B.[-1,0]
C.[0,1] D.12,1
解题心得解决与函数的导数的几何意义相结合的问题,一般是利用导数在切点处的值等于切线的斜率来求解相关问题.
对点训练3曲线xy-x+2y-5=0在点A(1,2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A.9 B.496 C.92 D.113








第八章　平面解析几何
8.1　直线的倾斜角、斜率与
直线的方程
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)正向　向上　0°　(2)0°≤α<180°
3.y-y0=k(x-x0)　y=kx+b　y-y1y2-y1=x-x1x2-x1　xa+yb=1
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
2.B　由题意得斜率k=2sin210°=-2sin30°=-1,故倾斜角为135°.故选B.
3.三　由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距-CA>0,在y轴上的截距-CB>0,故直线经过第一、第二、第四象限,不经过第三象限.
4.x-2y+2=0或x=2　①若直线m的斜率不存在,则直线m的方程为x=2,此时直线m,直线l和x轴围成的三角形的面积为2,符合题意;②若直线m的斜率存在,则由题意可知其斜率k≠0,设直线m的方程为y-2=k(x-2)(k≠0),令y=0,得x=2-2k,依题意有12×2-2k×2=2,即1-1k=1,解得k=12,故直线m的方程为y-2=12(x-2),即x-2y+2=0.综上可知,直线m的方程为x-2y+2=0或x=2.
5.x-4y=0或x+y-5=0　设直线l在两坐标轴上的截距均为a.
若a=0,则直线l过点(0,0)和(4,1),所以直线l的方程为y=14x,即x-4y=0.
若a≠0,则直线l的方程为xa+ya=1,
因为直线l过点(4,1),所以4a+1a=1,
解得a=5,所以直线l的方程为x5+y5=1,即x+y-5=0.
综上可知,直线l的方程为x-4y=0或x+y-5=0.
关键能力·学案突破
例1(1)B　(2)A　(3)[-3,0)∪33,1
(1)∵y'=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
∴切线的斜率k≥-1,∴切线的倾斜角α∈0,π2∪3π4,π.故选B.
(2)由已知得kAP=3-12-1=2,kBP=-2-1-3-1=34.如图,因为直线l与线段AB始终没有交点,所以斜率k的取值范围是34,2.故选A.

(3)当π6≤α<π4时,33≤tanα<1,故33≤k<1.当2π3≤α<π时,-3≤tanα<0,故-3≤k<0.
综上可知,k∈[-3,0)∪33,1.
对点训练1(1)AB　(2)D　(3)A　(1)直线l1:ax-y-b=0可化为y=ax-b,直线l2:bx-y+a=0可化为y=bx+a.
对于A,由l1得a>0,b<0,由l2得b<0,a>0,故A正确;
对于B,由l1得a>0,b>0,由l2得b>0,a>0,故B正确;
对于C,由l1得a<0,b<0,由l2得b>0,a>0,故C不正确;
对于D,由l1得a<0,b<0,由l2得b<0,a>0,故D不正确.故选AB.
(2)由已知得tanθ=-33cosα.
∵cosα∈[-1,1],∴-33≤-33cosα≤33,即-33≤tanθ≤33,解得θ∈0,π6∪5π6,π.故选D.
(3)由-kx+y+k-1=0,即y-1=k(x-1),可知直线l恒过定点P(1,1),则kAP=-4,kBP=34.
作出直线AP,BP(图略),可知当直线l与线段AB相交时,直线l的斜率k的取值范围为(-∞,-4]∪34,+∞.故选A.
例2(1)3　x+3y=0,x+y-2=0,x-y-4=0　(2)3x-y-33=0　(3)5x-2y-5=0　(1)①当截距不为0,且截距相等时,设直线方程为xa+ya=1(a≠0),将点P的坐标代入直线方程,解得a=2,所以直线方程为x+y-2=0;
②当截距不为0,且截距互为相反数时,设直线方程为xb+y-b=1(b≠0),将点P的坐标代入直线方程,解得b=4,所以直线方程为x-y-4=0;
③当截距为0时,设直线方程为y=kx,将点P的坐标代入直线方程,解得k=-13,所以直线方程为x+3y=0.
综上可知,直线有3条,方程为x+3y=0,x+y-2=0,x-y-4=0.
(2)由已知得直线x-3y=0的斜率为33,则其倾斜角为30°,故所求直线的倾斜角为60°,斜率为3,故所求直线的方程为y-(-3)=3(x-2),即3x-y-33=0.
(3)设C(x0,y0),则
Mx0+52,y0-22,Nx0+72,y0+32.
因为点M在y轴上,所以x0+52=0,解得x0=-5.因为点N在x轴上,所以y0+32=0,解得y0=-3.所以M0,-52,N(1,0),所以直线MN的方程为x1+y-52=1,即5x-2y-5=0.
对点训练2(1)C　(2)4x+3y-13=0　(3)2x+3y-6=0或x+2y-2=0　(1)因为|MO|=|MN|,点N在x轴的负半轴上,所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数,所以kMN=-kMO=3,所以直线MN的方程为y-3=3(x+1),即3x-y+6=0.故选C.
(2)依题意,所求直线的斜率为-4×13=-43.又所求直线经过点A(1,3),因此所求直线方程为y-3=-43(x-1),即4x+3y-13=0.
(3)依题意,所求直线的截距一定存在,设直线方程是xa+1+ya=1(a≠0),则6a+1+-2a=1,解得a=2或a=1,则直线的方程是x2+1+y2=1或x1+1+y1=1,即2x+3y-6=0或x+2y-2=0.
例3解(方法1)依题意,设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0),将点P(3,2)的坐标代入方程得3a+2b=1≥26ab,即ab≥24,当且仅当3a=2b时,等号成立,从而S△AOB=12ab≥12,故△AOB的面积的最小值为12,此时直线l的斜率k=-ba=-23,从而所求直线l的方程为2x+3y-12=0.所以△AOB的面积的最小值为12,此时直线l的方程为2x+3y-12=0.
(方法2)依题意,直线l的斜率k存在,且k<0,可设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<0),
则A3-2k,0,B(0,2-3k),
所以S△AOB=12(2-3k)3-2k
=1212+(-9k)+4(-k)
≥1212+2(-9k)·4(-k)
=12×(12+12)=12,
当且仅当-9k=4-k,即k=-23时,等号成立.此时直线l的方程为2x+3y-12=0.
所以△AOB的面积的最小值为12,此时直线l的方程为2x+3y-12=0.
变式发散解(1)(方法1)由原例题方法1知3a+2b=1,a>0,b>0.
因为|OA|+|OB|=a+b,
所以a+b=(a+b)3a+2b=5+3ba+2ab≥5+26,
当且仅当3ba=2ab,且3a+2b=1,
即a=3+6,b=2+6时,等号成立.
所以|OA|+|OB|的最小值为5+26.
此时直线l的方程为x3+6+y2+6=1,
即6x+3y-6-36=0.
(方法2)由原例题方法2知k<0,A3-2k,0,B(0,2-3k),
故|OA|+|OB|=3-2k+2-3k
=5+-2k+(-3k)
≥5+2-2k·(-3k)=5+26.
当且仅当-2k=-3k,即k=-63时,等号成立.故|OA|+|OB|的最小值为5+26.此时直线l的方程为y-2=-63(x-3),即6x+3y-6-36=0.
(2)由原例题方法2知A3-2k,0,B(0,2-3k),k<0.
故PA·PB=-2k,-2·(-3,-3k)=6k+6k=--6k+(-6k)≤-2-6k·(-6k)=-12,
当且仅当-6k=-6k,即k=-1时,等号成立.此时直线l的方程为x+y-5=0.
所以PA·PB的最大值为-12,此时直线l的方程为x+y-5=0.
例4A　由题意知y'=2x+2.
设P(x0,y0),则在点P处的切线斜率k=2x0+2.
因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为0,π4,所以0≤k≤1,即0≤2x0+2≤1,解得-1≤x0≤-12.
对点训练3B　由xy-x+2y-5=0,
得y=x+5x+2,∴y'=-3(x+2)2,
∴曲线在点A(1,2)处的切线斜率k=-3(1+2)2=-13,
∴曲线在点A(1,2)处的切线方程为y-2=-13(x-1).令x=0,得y=73;令y=0,得x=7.∴所求三角形的面积S=12×73×7=496.故选B.