高考数学统考一轮复习第8章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率直线的方程学案

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直线的倾斜角与斜率、直线的方程
[考试要求] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α，倾斜角是eq \f (π,2)的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq \f (y2－y1,x2－x1).
3．直线方程的五种形式
提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．
eq \([常用结论])
1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系
如图，当α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝eq \f (π,2)时，斜率不存在；当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))时，斜率k∈(－∞，0)．
2．特殊直线的方程
(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1；
(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1；
(3)y轴的方程为x＝0；
(4)x轴的方程为y＝0.
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )
(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )
(3)直线的截距就是直线与坐标轴的交点到原点的距离．( )
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
二、教材习题衍生
1．已知两点A(－3，eq \r(3))，B(eq \r(3)，－1)，则直线AB的斜率是( )
A．eq \r(3) B．－eq \r(3) C．eq \f (\r(3),3) D．－eq \f (\r(3),3)
D [kAB＝eq \f (\r(3)＋1,－3－\r(3))＝－eq \f (\r(3),3)，故选D．]
2．过点(－1,2)且倾斜角为30°的直线方程为( )
A．eq \r(3)x－3y＋6＋eq \r(3)＝0 B．eq \r(3)x－3y－6＋eq \r(3)＝0
C．eq \r(3)x＋3y＋6＋eq \r(3)＝0 D．eq \r(3)x＋3y－6＋eq \r(3)＝0
A [直线的斜率k＝tan 30°＝eq \f (\r(3),3).
由点斜式方程得y－2＝eq \f (\r(3),3)(x＋1)，即eq \r(3)x－3y＋6＋eq \r(3)＝0，故选A．]
3．在x轴、y轴上的截距分别是4，－3的直线方程为 ．
3x－4y－12＝0 [由题意知，直线方程为eq \f (x,4)＋eq \f (y,－3)＝1，即3x－4y－12＝0.]
4．已知直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为 ．
eq \f (π,4)或eq \f (3π,4) [设直线的倾斜角为α，则|tan α|＝1，∴tan α＝±1.
又α∈[0，π)，∴α＝eq \f (π,4)或eq \f (3π,4).]
考点一 直线的倾斜角与斜率
斜率取值范围的两种求法
1．若经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为eq \f (3π,4)，则y等于( )
A．－1 B．－3 C．0 D．2
B [由题意可知eq \f (2y＋1－－3,4－2)＝tan eq \f (3π,4)＝－1，
解得y＝－3.故选B．]
2．若直线l的斜率k∈[－1,1]，则直线l的倾斜角θ的范围是 ．
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (3π,4)，π)) [当－1≤k＜0时，eq \f (3π,4)≤θ＜π，
当0≤k≤1时，0≤θ≤eq \f (π,4).
因此θ的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (3π,4)，π)).]
3．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 ．
(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞) [如图，
∵kAP＝eq \f (1－0,2－1)＝1，kBP＝eq \f (\r(3)－0,0－1)＝－eq \r(3)，∴k∈(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞)．]
点评：(1)解决直线的倾斜角与斜率问题，常采用数形结合思想．注意区分含有90°和不含90°两种情况的讨论．
(2)根据斜率求倾斜角的范围时，要分eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))两种情况讨论．
考点二 直线方程的求法
求直线方程的两种方法
[典例1] 求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)直线经过点A(－eq \r(3)，3)，且倾斜角为直线eq \r(3)x＋y＋1＝0的倾斜角的一半；
(3)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，求直线MN的方程．
[解] (1)法一：设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
∴l的方程为y＝eq \f (2,3)x，即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为eq \f (x,a)＋eq \f (y,a)＝1，
∵l过点(3,2)，∴eq \f (3,a)＋eq \f (2,a)＝1，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
法二：由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，
设直线方程为y－2＝k(x－3)，
令y＝0，得x＝3－eq \f (2,k)，
令x＝0，得y＝2－3k，
由已知3－eq \f (2,k)＝2－3k，
解得k＝－1或k＝eq \f (2,3)，
∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝eq \f (2,3)(x－3)，
即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.
(2)由eq \r(3)x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－eq \r(3)，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为eq \r(3).
又直线过点A(－eq \r(3)，3)，所以所求直线方程为y－3＝eq \r(3)(x＋eq \r(3))，即eq \r(3)x－y＋6＝0.
(3)设C(x0，y0)，则
Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (5＋x0,2)，\f (y0－2,2)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (7＋x0,2)，\f (y0＋3,2))).
因为点M在y轴上，所以eq \f (5＋x0,2)＝0，
所以x0＝－5.
因为点N在x轴上，所以eq \f (y0＋3,2)＝0，
所以y0＝－3，即C(－5，－3)，
所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f (5,2)))，N(1,0)，
所以直线MN的方程为eq \f (x,1)＋eq \f (y,－\f (5,2))＝1，
即5x－2y－5＝0.
点评：当直线在x轴、y轴上的截距相等或具有倍数关系时，一般要分截距为零和不为零两种情况求解，当出现截距之和或横截距大于纵截距时，横、纵截距均不为零，可直接用待定系数法求解．
eq \([跟进训练])
已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程；
(3)BC边的垂直平分线DE的方程．
[解] (1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，得BC的方程为eq \f (y－1,3－1)＝eq \f (x－2,－2－2)，即x＋2y－4＝0.
(2)设BC边的中点D(x，y)，则x＝eq \f (2－2,2)＝0，y＝eq \f (1＋3,2)＝2.
BC边的中线AD过A(－3,0)，D(0,2)两点，所在直线方程为eq \f (x,－3)＋eq \f (y,2)＝1，即2x－3y＋6＝0.
(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－eq \f (1,2)，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.由(2)知，点D的坐标为(0,2)．
所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.
考点三 直线方程的综合应用
处理直线方程综合应用的两大策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．
[典例2] 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
[解] (1)证明：法一：直线l的方程可化为
k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1.))
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．
法二：方程kx－y＋1＋2k＝0可化为y－1＝k(x＋2)，显然直线恒过定点(－2,1)．
(2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－eq \f (1＋2k,k)，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f (1＋2k,k)≤－2，,1＋2k≥1，))解得k＞0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)由题意可知k≠0，再由l的方程，得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (1＋2k,k)，0))，B(0,1＋2k)．
依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f (1＋2k,k)＜0，,1＋2k＞0，))解得k＞0.
∵S＝eq \f (1,2)·|OA|·|OB|
＝eq \f (1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f (1＋2k,k)))·|1＋2k|
＝eq \f (1,2)·eq \f (1＋2k2,k)＝eq \f (1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k＋\f (1,k)＋4))
≥eq \f (1,2)×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k＞0且4k＝eq \f (1,k)，
即k＝eq \f (1,2)，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
点评：本例(3)在求解中常忽略条件“eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f (1＋2k,k)＜0,1＋2k＞0))”的书写，进而导致S最值的求解失误．
eq \([跟进训练])
1．已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，则当|eq \(MA,\s\up7(→))|·|eq \(MB,\s\up7(→))|取得最小值时，直线l的方程为 ．
x＋y－3＝0 [设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0，
直线l的方程为eq \f (x,a)＋eq \f (y,b)＝1，所以eq \f (2,a)＋eq \f (1,b)＝1.
|eq \(MA,\s\up7(→))|·|eq \(MB,\s\up7(→))|＝－eq \(MA,\s\up7(→))·eq \(MB,\s\up7(→))
＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝(2a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (2,a)＋\f (1,b)))－5
＝eq \f (2b,a)＋eq \f (2a,b)≥4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.]
2．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝ .
eq \f (1,2) [由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，
所以四边形的面积S＝eq \f (1,2)×2×(2－a)＋eq \f (1,2)×2×(a2＋2)
＝a2－a＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f (1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f (15,4)，
当a＝eq \f (1,2)时，四边形的面积最小，
故实数a的值为eq \f (1,2).]
全国卷五年考情图解
高考命题规律把握
1.考查形式
高考在本章一般命制1～2道小题，1道解答题，分值约占20～24分.
2.考查内容
(1)对直线方程、圆及圆锥曲线的概念和性质的考查一般以选择题或填空题为主，重在考查学生的双基.
(2)对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常以定点问题、最值问题及探索性问题为载体，重在考查等价转化思想、方程思想及数学运算能力.
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距，斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点，斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
eq \f (y－y1,y2－y1)＝eq \f (x－x1,x2－x1)
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
eq \f (x,a)＋eq \f (y,b)＝1
不过原点，且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
平面内所有直线都适用
数形结合法
作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定
函数图象法
根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可