苏科版（2024）八年级上册第一章 全等三角形1.3 探索三角形全等的条件教课ppt课件

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第2课时 利用两角一边判定三角形全等
1. 用纸板挡住了两个三角形的一部分，你能画出这两个三角形吗?如果能，你画的三角形与其他同学画的三角形能完全重合吗?
第一个不能，因为第一个图中的三角形只确定了一个角，其他边与角大小不确定； 第二个能，因为第二个三角形确定了两角及其夹边的大小，所以这个三角形的形状与大小就确定了，即只需往下延长左右两边的线段就得到第三个顶点. 画的二角形能完全重合.
2. 在图1－10 中，△ABC与△PQR、△DEF 能完全重合吗?
△ABC与△PQR不能完全重合，△ABC与△DEF 能完全重合.
按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使 AB＝a，∠A＝ ∠α，∠B＝∠β.
你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗?
实践告诉我们判定两个三角形全等的又一个基本事实：
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 (可以简写成“角边角”或“ASA”).
例4 已知：如图1－11，在△ABC中，D是BC 的中点，点 EF分别在AB、AC上，且 DE∥AC，DF∥AB. 求证：BE＝DF，DE＝CF.
分析：要证 BE＝DF，DE ＝CF，只要证△EBD≌△FDC.由于在△EBD和△FDC中，已知 BD＝DC，所以只要证∠B＝∠FDC，∠EDB＝∠C.
证明：∵DE//AC，DF// AB(已知)， ∴∠EDB＝∠C，∠B＝∠FDC (两直线平行，同位角相等). ∵D 是 BC 的中点(已知)， ∴BD＝DC(线段中点的定义). 在△EBD 和△FDC 中，
已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE.
分析：证明△ACD≌△ABE中，就可以得出 AD＝AE.
1. 找出图中的全等三角形，并说明理由.
2. 已知：如图，AB、CD相交于点 O，O是AB的中点， AC//BD. 求证：O是CD的中点.
证明：∵O是AB的中点(已知)， ∴OA＝OB(线段中点的定义). ∵AC∥BD (已知)， ∴∠A＝∠B (两直线平行，内错角相等).
如图1－12，在△ABC 和△MNP 中，∠A＝∠M，∠B ＝∠N，BC＝NP. △ABC与△MNP 全等吗?为什么?
由三角形内角和定理可知∠C＝∠P.
根据“ASA”可以证明△ABC ≌△MNP.
由此可以得到基本事实 (ASA) 的推论：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
例5 已知：如图1－13，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的高. 求证：AD＝A′D′.
分析：要证 AD＝A′D′，只要证 △ABD⊥△A′B′D′. 由于在△ABD和△A′B′D′中，∠ADB －∠A′D′B′＝90°，所以只要证 AB＝A′B′，∠B＝∠B′.
证明：∵△ABC≌△A′B′C′(已知)， ∴ AB＝A′B′，∠B＝∠B′ (全等三角形的对应边相等、 对应角相等). ∵ AD、A′D′分别是△ABC和 △A′B′C′的高(已知)， ∴ ∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.
在△ABD 和△A′B′D′中， ∠B＝∠B′(已证)， ∠ADB ＝ ∠A′D′B′(已证)， AB＝A′B′(已证)，∴△ABD ≌ △A′B′D′(AAS).∴AD＝AD (全等三角形的对应边相等).
如图，AD是△ABC的中线，过C，B分别作AD及AD的延长线的垂线CF，BE. 求证：BE＝CF.
导引：要证明BE＝CF，可根据中线及垂线的定义和对顶角的性质来证明△BDE和△CDF全等．
证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD. ∵CF⊥AD，BE⊥AE， ∴∠CFD＝∠BED＝90°. 在△BDE和△CDF中，
在图1－13中，如果 AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线(或中线)，那么AD与A′D′相等吗?试证明你的结论.
1. 已知： 如图，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC. 求证：AB＝DC.
2. 已知：如图，CB⊥AD，AE⊥DC，垂足分别为 B、E， AE、BC 相交于点F，且AB＝BC. 求证：△ABF≌△CBD.
证明：∵CB⊥AD，AE⊥DC(已知)， ∴∠ABF＝∠CBD ＝∠AED＝90° (垂直的定义).
1. 如图1－14，∠A＝∠B，∠1＝∠2，EA＝EB. 你能证 明 AC＝BD 吗?
2. 如图1－15，点C、F在AD上，且AF＝DC，∠B＝∠E， ∠A＝∠D. 你能证明AB＝DE 吗?
例6 已知：如图1－16，点A、B、C、D 在一条直线上，EA ∥FB，EC∥FD，EA＝FB. 求证：AB＝CD.
分析：要证 AB＝CD，只要证 AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD，所以只要证 △EAC≌△FBD.
∴△EAC≌△FBD(AAS).∴ AC＝BD (全等三角形的对应边相等)， 即 AB＋BC ＝CD＋BC.∴ AB＝CD (等式的性质).
上面的推理过程可以用符号“=>”简明地表述如下：
1. 已知：如图，AB＝AC，点 D、E分别在AB、AC 上， ∠1 ＝∠2 . 求证：DB＝EC.
2. 已知： 如图，∠ABC ＝∠DCB，∠1＝∠2. 求证：AB＝DC.