重庆市渝中学区2023年数学八上期末考试试题【含解析】

这是一份重庆市渝中学区2023年数学八上期末考试试题【含解析】，共20页。试卷主要包含了分式有意义,则的取值范围是等内容，欢迎下载使用。

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．2017年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布. 以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
2．如图，已知A ,D,B,E在同一条直线上，且AD = BE, AC = DF,补充下列其中一个条件后，不一定能得到△ABC≌△DEF 的是（ ）
A．BC = EFB．AC//DFC．∠C = ∠FD．∠BAC = ∠EDF
3．一个等腰三角形的两边长分别为4厘米、9厘米，则这个三角形的周长为（ ）
A．17或22B．22C．13D．17或13
4．为积极响应南充市创建“全国卫生城市”的号召，某校1500名学生参加了卫生知识竞赛，成绩记为A、B、C、D四等．从中随机抽取了部分学生成绩进行统计，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，以下说法不正确的是( )
A．样本容量是200
B．D等所在扇形的圆心角为15°
C．样本中C等所占百分比是10％
D．估计全校学生成绩为A等的大约有900人
5．分式有意义,则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=1．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
7．如图，已知，点、、……在射线上，点、、…在射线上；、、……均为等边三角形，若，则的边长为 ．
A．4028B．4030C．D．
8．若三角形两边长分别是4、5，则周长c的范围是（ ）
A．1＜c＜9B．9＜c＜14C．10＜c＜18D．无法确定
9．已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）
A．72°B．60°C．58°D．50°
10．在实数，0，，506，，中，无理数的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如下图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为．当，时，的周长是__________．
12．如图，在平面直角坐标系中，点都在轴上，点都在第一象限的角平分线上，都是等腰直角三角形，且，则点的坐标为_________________．
13．如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PC∥OB交OA于C，PD⊥OB于D．如果PC＝8，那么PD等于____________ ．
14．已知点A（a，1）与点B（5，b）关于y轴对称，则＝_____．
15．已知是完全平方式，则的值为_________．
16．如图，在中，，点、分别在、上，连接并延长交的延长线于点，若，，，，则的长为_________．
17．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为30cm，则此等腰三角形的面积为_____．
18．_____3（填＞，＜或=）
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-5,0）、B（-2,3）、C（-1,0）.
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A′B′C′；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，画出对应的△A″B″C″，并写出点B″的坐标.
20．（6分）在△ABC中，∠CAB＝45°，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F，AE与DF交于点G，连接BG．
（1）求证：AG＝BG；
（2）已知AG＝5，BE＝4，求AE的长．
21．（6分）某大型超市投入15000元资金购进、两种品牌的矿泉水共600箱，矿泉水的成本价和销售价如下表所示：
（1）该大型超市购进、品牌矿泉水各多少箱？
（2）全部销售完600箱矿泉水，该超市共获得多少利润？
22．（8分）如图1，直线AB∥CD，直线l与直线AB，CD相交于点E，F，点P是射线EA上的一个动点（不包括端点）
（1）若∠CFE＝119°，PG交∠FEB的平分线EG于点G，∠APG＝150°，则∠G的大小为 ．
（2）如图2，连接PF．将△EPF折叠，顶点E落在点Q处．
①若∠PEF＝48°，点Q刚好落在其中的一条平行线上，请直接写出∠EFP的大小为 ．
②若∠PEF＝75°，∠CFQ＝∠PFC，求∠EFP的度数．
23．（8分）计算：（x﹣2）2﹣（x﹣3）（x+3）
24．（8分）计算：
（1）
（2）化简：
（3）化简：
（4）因式分解：
25．（10分）如图，在中，，，线段与关于直线对称，是线段与直线的交点．
（1）若，求证：是等腰直角三角形；
（2）连，求证：．
26．（10分）解方程组或计算：
（1）解二元一次方程组：；
（2）计算：（）2﹣（﹣1）（+1）．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．
【详解】A．不是轴对称图形，本选项错误；
B．是轴对称图形，本选项正确；
C．不是轴对称图形，本选项错误；
D．不是轴对称图形，本选项错误．
故选B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2、C
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可．
【详解】∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝EC＋CF，
即BC＝EF，且AC = DF，
∴当BC = EF时，满足SSS，可以判定△ABC≌△DEF；
当AC//DF时，∠A=∠EDF，满足SAS，可以判定△ABC≌△DEF；
当∠C = ∠F时，为SSA，不能判定△ABC≌△DEF；
当∠BAC = ∠EDF时，满足SAS，可以判定△ABC≌△DEF，
故选C.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
3、B
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长；题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行分类讨论，还要用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：分类讨论：
情况一：若4厘米为腰长，9厘米为底边长，
由于4+4＜9，则三角形不存在；
情况二：若9厘米为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为9+9+4=22（厘米）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，最后养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
4、B
【详解】抽取的样本容量为50÷25％＝1．
所以C等所占的百分比是20÷1×100％＝10％．
D等所占的百分比是1－60％－25％－10％＝5％．
因此D等所在扇形的圆心角为360°×5％＝18°．
全校学生成绩为A等的大约有1500×60％＝900(人)．
故选B．
5、A
【解析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为0，分式有意义.
【详解】分式有意义,则x+1≠0,即.
故选:A
【点睛】
考核知识点:分式有意义的条件.理解定义是关键.
6、B
【解析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=AC，由此即可解决问题．
【详解】在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，
∴AC===10，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DF∥BM，DE=BC=3，
∴∠EFC=∠FCM，
∵∠FCE=∠FCM，
∴∠EFC=∠ECF，
∴EC=EF=AC=5，
∴DF=DE+EF=3+5=2．
故选B．
7、C
【分析】根据等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及三角形外角的性质得出A1B1=1A2B2=2,A3B3=4,A4B4=8……, 可得AnBn=2n-1，即可求出的边长为．.
【详解】解：如图，∵是等边三角形，
∴∠B1A1O=60°，
∵∠MON=30°，
∴∠OB1A1 =60°−30°=30°,
∴OA1=B1A1
∵，
∴OA1=A1B1=1
同理可得，A2B2=2,A3B3=4,A4B4=8, ……
∴AnBn=2n-1,
∴当n=2015时，A2015B2015=22014,
故选C．
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出规律是解题关键．
8、C
【解析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
∴5-4<第三边<5+4，∴109、D
【分析】根据全等三角形的性质中对应角相等，可得此组对应角为线段a和c的夹角，由此可知=50°即可．
【详解】∵两个三角形全等，
∴∠α=50°．
故选D．
【点睛】
此题考查全等三角形的性质，学生不仅需要掌握全等三角形的性质，而且要准确识别图形，确定出对应角是解题的关键．
10、A
【分析】由于无理数就是无限不循环小数，利用无理数的概念进行判定即可．
【详解】解：、是无理数，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有三类：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但是不循环的无限小数，如0.1010010001…，等．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】根据线段垂直平分线的性质知CD=BD，则△ACD的周长等于AC+AB．
【详解】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，∠ACB=90°，
∴CD=BD，AD=BD．
又∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC=AB，
∴△ACD的周长=AC+AB=AB=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了含30度角直角三角形的性质和垂直平分线的性质，直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，培养学生运用定理进行推理论证的能力．
12、
【分析】因点都在第一象限的角平分线上，是等腰直角三角形，，，以此类推得出，，从而推出一般形式，即可求解.
【详解】解：∵都在第一象限的角平分线上
∴是等腰直角三角形
∴
同理可得：，，
∴
当时，代入得
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查的是找规律问题，先写出前面几个值，在根据这几个值找出其中的规律扩展到一般情况是解题的关键.
13、1
【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到两角的距离相等，因而过P作PE⊥OA于点E，则PD=PE，因为PC∥OB，根据三角形的外角的性质得到：∠ECP=∠COP+∠OPC=30°，在直角△ECP中求得PD的长．
【详解】解：过P作PE⊥OA于点E，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OB于D
∴PD=PE，
∵PC∥OB∴∠OPC=∠POD，
又∵OP平分∠AOB，∠AOB=30°，
∴∠OPC=∠COP=15°，
∠ECP=∠COP+∠OPC=30°，
在直角△ECP中，
则PD=PE=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质和含有30°角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解决本题的关键．
14、
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】解：∵点A（a，1）与点A′（5，b）关于y轴对称，
∴a＝﹣5，b＝1，
∴＝﹣+（﹣5）＝﹣，
故答案为：﹣．
【点睛】
考核知识点：轴对称与坐标.理解性质是关键.
15、
【分析】根据完全平方公式：，即可求出m的值
【详解】解：∵是完全平方式，
∴
∴
故答案为：
【点睛】
此题考查的是根据完全平方式，求一次项中的参数，掌握两个完全平方公式的特征是解决此题的关键．
16、1
【分析】过点C作CG∥FD，证得∠F=∠BED=∠CEF，则CF= CE=3，利用AF=AB+BE=5+BE，在中，根据勾股定理求得BE=10，AC=11，AF=15，利用DE∥CG，求得，利用CG∥FD，求得，即可求得的长．
【详解】如图，过点C作CG∥FD交AB于点G，
∴∠BED=∠BCG，∠ACG=∠F，
∵∠BCA=1∠BED，
∴∠BED=∠BCG=∠ACG，
∴∠F=∠BED=∠CEF，
∴CF= CE=3，
∵AF=AB+BE=5+BE，
∴AC=AF-CF=5+BE-3=1+BE，
在中，∠BAC=90，AB=5，AC= 1+BE，BC=CE+BE=3+BE，
∴，即，
解得：BE=10，
∴AC=11，AF=15，
∵DE∥CG，
∴，
∴，
∵CG∥FD，
∴，
∴，
∴，
解得：BD=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理的应用，利用勾股定理求得BE的长是解题的关键．
17、115cm1.
【解析】根据题意作出图形，求出腰上的高，再代入面积公式即可求解．
【详解】解：如图所示，作等腰三角形腰上的高CD，
∵∠B＝∠ACB＝15°，
∴∠CAD＝30°，
∴CD＝AC＝×30＝15cm，
∴此等腰三角形的面积＝×30×15＝115cm1，
故答案为：115cm1．
【点睛】
本题考查的是含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，熟练运用相关性质定理是解题的关键．
18、＜．
【解析】将3转化为，再比较大小即可得出结论.
【详解】∵3=，
∴＜，
∴＜3.
故答案为＜.
【点睛】
本题考查了实数的大小比较，解题的关键是熟练的掌握实数的大小比较方法.
三、解答题(共66分)
19、见解析
【解析】（1）先找到三角形各顶点关于原点的对称点，再依次连接得到△A′B′C′；
（1）先连接AO,BO,CO,依次旋转得到A’’,B’’,C’’,再依次连接即可，再根据直角坐标系写出B’’的坐标.
【详解】（1）△A′B′C′为所求；
（2）△A″B″C″为所求， B″的坐标为（3,2）
【点睛】
此题主要考查旋转的作图，解题的关键是熟知旋转的性质先找到各顶点旋转后的顶点，再连接即可.
20、（1）见解析；（2）1
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质证明结论；
（2）根据勾股定理求出GE，利用AE＝GA+GE即可求解．
【详解】（1）证明：∵BD⊥AC，∠CAB＝45°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴DA＝DB，
∵DF⊥AB，
∴AF＝FB，
∴GF垂直平分AB，
∴AG＝BG；
（2）解：∵GA＝GB，GA＝5，
∴GB＝5，
∵AE⊥BC
∴
∴GE＝＝ ＝3，
∴AE＝GA+GE＝1．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和勾股定理，掌握等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和勾股定理是解题的关键．
21、（1）该超市进品牌矿泉水400箱，品牌矿泉水200箱；（2）该超市共获利润7800元．
【分析】（1）设该超市进A品牌矿泉水x箱，B品牌矿泉水y箱，“购进、两种品牌的矿泉水共600箱”和“投入15000元资金”，可列二元一次方程组，求解即可；
（2）根据 “总利润=A品牌矿泉水每箱利润×数量+ B品牌矿泉水每箱利润×数量”，即可求出该超市销售完600箱矿泉水获得的利润．
【详解】解：（1）设该超市进品牌矿泉水箱，品牌矿泉水箱，
依题意，得：，
解得：．
答：该超市进品牌矿泉水400箱，品牌矿泉水200箱．
（2）（元）
答：该超市共获利润7800元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
22、（1）29.5°；（2）①42°或66°；②35°或63°．
【分析】（1）根据平行线的性质和三角形的内角和即可得到结论；
（2）①Ⅰ、当点Q落在AB上时，利用三角形内角和定理计算即可．Ⅱ、当点Q落在CD上时，∠PQF＝∠PEF＝48°，利用平行线的性质，三角形的内角和定理计算即可．
②分两种情形：Ⅰ、当点Q在平行线AB，CD之间时．Ⅱ、当点Q在CD下方时，分别构建方程即可解决问题．
【详解】（1）∵直线AB∥CD，
∴∠BEF＝∠CFE＝119°，∠PEF＝180°﹣∠CFE＝61°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠FEG＝∠BEF＝59.5°，
∵∠APG＝150°，
∴∠EPF＝30°，
∴∠G＝180°﹣30°﹣61°﹣59.5°＝29.5°；
故答案为：29.5°；
（2）①Ⅰ、当点Q落在AB上时，
易证PF⊥AB，可得∠EPF＝90°，
∴∠EFP＝90°﹣∠PEF＝90°﹣48°＝42°．
Ⅱ、当点Q落在CD上时，∠PQF＝∠PEF＝48°，
∵AB∥CD，
∴∠EPQ+∠PQF＝180°，
∴∠EPQ＝132°，
∵∠EPF＝∠QPF，
∴∠EPF＝×132°＝66°，
∴∠EFP＝180°﹣48°﹣66°＝66°．
综上所述，满足条件的∠EFP的值为42°或66°，
故答案为：42°或66°．
②Ⅰ、当点Q在平行线AB，CD之间时．
设∠PFQ＝x，由折叠可知∠EFP＝x，
∵2∠CFQ＝∠CFP，
∴∠PFQ＝∠CFQ＝x，
∴75°+3x＝180°，
∴x＝35°，
∴∠EFP＝35°．
Ⅱ、当点Q在CD下方时，
设∠PFQ＝x，由折叠可知∠EFP＝x，
∵2∠CFQ＝∠CFP，
∴∠PFC＝x，
∴75°+x+x＝180°，
解得x＝63°，
∴∠EFP＝63°．
【点睛】
本题考查了三角形的角度问题，掌握平行线的性质和三角形的内角和定理是解题的关键．
23、﹣4x+1．
【分析】原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算即可求出值．
【详解】解：（x﹣2）2﹣（x﹣3）（x+3）
＝x2﹣4x+4﹣（x2﹣9）
＝x2﹣4x+4﹣x2+9
＝﹣4x+1．
【点睛】
此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
24、（1）3x；（2）；（3）（4）．
【分析】（1）根据分式乘法法则计算即可；
（2）根据平方差公式展开，合并同类项即可；
（3）根据完全平方公式和单项式乘多项式展开，合并同类项即可；
（4）提公因式后，再利用平方差公式继续分解即可．
【详解】（1）；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】
本题考查了分式的乘法，整式的混合运算，因式分解，熟记完全平方公式、平方差公式并灵活运用是解题的关键．
25、（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）首先证明是正三角形得，再根据对称性得，AC=AD，从而可得结论；
（2）在上取点，使，连，证明≌，再证明是正三角形得，从而可得结论．
【详解】在中，，
是正三角形
，
（1）线段与关于直线对称
，
，
是等腰直角三角形
（2）在上取点，使，连
线段与关于直线对称
，
∴
=∠ACE
在与中
∴≌
∴
∴
在中，，
是正三角形，
．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
26、（1）；（2）6+4
【分析】（1）先利用加减消元法消去y得到关于x的一次方程，把解得的x的值代入②计算出y的值，从而得到方程组的解；
（2）根据完全平方公式和平方差公式计算．
【详解】解：（1），
①+②得4x＝1+2x+3，
解得x＝2，
把x＝2代入②得y＝4+3＝7，
所以方程组的解为；
（2）原式＝3+4+4﹣（2﹣1）
＝7+4﹣1
＝6+4．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了解二元一次方程组．
类别/单价
成本价（元/箱）
销售价（元/箱）
A品牌
20
32
B品牌
35
50