2021-2022学年湖北省随州市高新区八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2021-2022学年湖北省随州市高新区八年级下学期期中数学试题及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．二次根式中，x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x＞1C．x≤1D．x＜1
2．下列各组数是三角形的三边，不能组成直角三角形的一组数是（ ）
A．1，1，B．3，4，5C．5，12，13D．，，
3．下列图形：平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形中是轴对称图形的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
4．已知实数x，y满足，则x﹣y等于（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．2.5B．C．D．2
6．如图，x轴、y轴上分别有两点A（3，0）、B（0，2），以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．（2﹣，0）C．（1，0）D．（3，0）
7．若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（ ）
A．矩形
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形
C．对角线相等的四边形
D．对角线互相垂直的四边形
8．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（，1）B．（2，1）C．（1，）D．（2，）
9．如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将滑动（ ）
A．7mB．8mC．9mD．10m
10．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：
①DF＝CF；
②BF⊥EN；
③△BEN是等边三角形；
④S△BEF＝3S△DEF．
其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算：（）2＝ ，＝ ，＝ ．
12．若直角三角形的边长分别为3cm，4cm，则斜边上的中线长为 ．
13．在菱形ABCD中，对角线AC＝2，BD＝4，则菱形ABCD的周长是 ．
14．AD是△ABC的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，则BD＝ ．
15．如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是 ．
16．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与FF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．已知a＝+2，b＝﹣2，求下列代数式的值：
（1）a2﹣2ab+b2；
（2）a2﹣b2．
19．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？
20．已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF．连接EF，与对角线AC交于点O．
求证：OE＝OF．
21．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于O点，DH垂直且平分AB，BD＝8cm，求：DH，AC的长和菱形的面积．
22．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1
（1）判断△BEC的形状，并说明理由；
（2）求证：四边形EFPH是矩形．
23．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．
（1）试说明EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．
24．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．二次根式中，x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x＞1C．x≤1D．x＜1
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
解：由题意可知：x﹣1≥0，
∴x≥1，
故选：A．
2．下列各组数是三角形的三边，不能组成直角三角形的一组数是（ ）
A．1，1，B．3，4，5C．5，12，13D．，，
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．
解：A、∵12+12＝（）2，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
B、32+42＝52，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
C、52+122＝132，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
D、∵（）2+（）2≠（）2，
∴此三角形不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
3．下列图形：平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形中是轴对称图形的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可得解．
解：平行四边形不是轴对称图形，
矩形是轴对称图形，
菱形是轴对称图形，
等腰梯形是轴对称图形，
正方形是轴对称图形，
所以，轴对称图形的是：矩形、菱形、等腰梯形、正方形共4个．
故选：D．
4．已知实数x，y满足，则x﹣y等于（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
解：根据题意得，x﹣2＝0，y+1＝0，
解得x＝2，y＝﹣1，
所以，x﹣y＝2﹣（﹣1）＝2+1＝3．
故选：A．
5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．2.5B．C．D．2
【分析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD＝∠GCF＝45°，再求出∠ACF＝90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，
∴AC＝，CF＝3，
∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
由勾股定理得，AF＝＝＝2，
∵H是AF的中点，
∴CH＝AF＝×2＝．
故选：B．
6．如图，x轴、y轴上分别有两点A（3，0）、B（0，2），以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．（2﹣，0）C．（1，0）D．（3，0）
【分析】根据勾股定理求得AB＝，然后根据图形推知AC＝AB，则OC＝AC﹣OA，所以由点C位于x轴的负半轴来求点C的坐标．
解：如图，∵A（3，0）、B（0，2），
∴OA＝3，OB＝2，
∴在直角△AOB中，由勾股定理得AB＝＝．
又∵以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，
∴AC＝AB，
∴OC＝AC﹣OA＝﹣3．
又∵点C在x轴的负半轴上，
∴C（3，0）．
故选：D．
7．若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（ ）
A．矩形
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形
C．对角线相等的四边形
D．对角线互相垂直的四边形
【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到EH∥AC，EH＝AC，GF∥AC，GF＝AC，EF＝BD，根据菱形的性质解答即可．
解：连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，
∴EH∥AC，EH＝AC，GF∥AC，GF＝AC，EF＝BD，
∴EH＝GF，EH∥GF，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵四边形EFGH是菱形时，EH＝EF，
∴BD＝AC，
即顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形时，该四边形一定是对角线相等的四边形，
故选：C．
8．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（，1）B．（2，1）C．（1，）D．（2，）
【分析】由已知条件得到AD′＝AD＝2，AO＝AB＝1，根据勾股定理得到OD′＝＝，于是得到结论．
解：∵AD′＝AD＝2，
AO＝AB＝1，
∴OD′＝＝，
∵C′D′＝2，C′D′∥AB，
∴C′（2，），
故选：D．
9．如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将滑动（ ）
A．7mB．8mC．9mD．10m
【分析】利用勾股定理进行解答．先求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离．
解：梯子顶端距离墙角地距离为＝24m，
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为＝15m，
15m﹣7m＝8m．
故选：B．
10．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：
①DF＝CF；
②BF⊥EN；
③△BEN是等边三角形；
④S△BEF＝3S△DEF．
其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【分析】由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF＝FM＝DF；
易求得∠BFE＝∠BFN，则可得BF⊥EN；
易证得△BEN是等腰三角形，但无法判定是等边三角形；
易求得BM＝2EM＝2DE，即可得EB＝3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，DF＝MF，
由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF＝MF，
∴DF＝CF；故①正确；
∵∠BFM＝90°﹣∠EBF，∠BFC＝90°﹣∠CBF，
∴∠BFM＝∠BFC，
∵∠MFE＝∠DFE＝∠CFN，
∴∠BFE＝∠BFN，
∵∠BFE+∠BFN＝180°，
∴∠BFE＝90°，
即BF⊥EN，故②正确；
∵在△DEF和△CNF中，
，
∴△DEF≌△CNF（ASA），
∴EF＝FN，
∴BE＝BN，
假设△BEN是等边三角形，则∠EBN＝60°，∠EBA＝30°，
则AE＝BE，又∵AE＝AD，则AD＝BC＝BE，
而明显BE＝BN＞BC，
∴△BEN不是等边三角形；故③错误；
∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM，
∴BE＝3EM，
∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF；
故④正确．
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算：（）2＝ 3 ，＝ 2 ，＝ ．
【分析】根据二次根式的性质化简即可得．
解：（）2＝3，
＝＝2，
＝＝＝，
故答案为：3、2、．
12．若直角三角形的边长分别为3cm，4cm，则斜边上的中线长为 2.5cm或2cm ．
【分析】分两种情况：当4cm为直角三角形的斜边时，当4cm为直角三角形的直角边时，进行计算即可解答．
解：分两种情况：
当4cm为直角三角形的斜边时，
斜边上的中线长＝×4＝2（cm），
当4cm为直角三角形的直角边时，
根据勾股定理得：
斜边＝＝5（cm），
∴斜边上的中线长＝×5＝2.5（cm），
综上所述：斜边上的中线长为：2.5cm或2cm，
故答案为：2.5cm或2cm．
13．在菱形ABCD中，对角线AC＝2，BD＝4，则菱形ABCD的周长是 4 ．
【分析】利用菱形的性质和勾股定理解答即可．
解：∵菱形ABCD中，对角线AC＝2，BD＝4，
∴AD＝，
∴菱形ABCD的周长是4，
故答案为：4
14．AD是△ABC的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，则BD＝ ．
【分析】运用两个直角三角形根据勾股定理表示出AD，得到关于x的方程求解即可．
解：设BD＝x，
在Rt△ABD中，AD2＝42﹣x2＝16﹣x2，
在Rt△ADC中，AD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2，
所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，
解得，x＝，
故答案为：．
15．如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是 5 ．
【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP＝QN＝BC，即可得出答案．
解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP＝∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ＝CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ＝BC，
∵AQ＝CN，∠QAP＝∠PCN，∠APQ＝∠CPN，
∴△APQ≌△CPN（AAS），
∴AP＝PC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CP＝AC＝3，BP＝BD＝4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC＝5，
即NQ＝5，
∴MP+NP＝QP+NP＝QN＝5，
故答案为：5．
16．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与FF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为 ．
【分析】根据中位线定理可得AM＝2，根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得A′M＝A′N＝2，过M点作MG⊥EF于G，可求A′G，根据勾股定理可求MG，进一步得到BE，再根据平行线分线段成比例可求OF，从而得到OD．
解：∵EN＝1，
∴由中位线定理得AM＝2
由折叠的性质可得A′M＝2，
∵AD∥EF，
∴∠AMB＝∠A′NM，
∵∠AMB＝∠A′MB，
∴∠A′NM＝∠A′MB，
∴A′N＝2，
∴A′E＝3，A′F＝2
过M点作MG⊥EF于G，
∴NG＝EN＝1，
∴A′G＝1，
由勾股定理得MG＝＝，
∴BE＝DF＝MG＝，
∴OF：BE＝2：3，
解得OF＝，
∴OD＝﹣＝．
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先根据二次根式的除法法则、零指数幂的意义进行计算，然后分母有理化后合并即可．
解：（1）原式＝（4﹣5）×
＝﹣×
＝﹣2；
（2）原式＝3﹣2+1﹣
＝﹣1﹣
＝﹣1．
18．已知a＝+2，b＝﹣2，求下列代数式的值：
（1）a2﹣2ab+b2；
（2）a2﹣b2．
【分析】（1）直接利用已知得出a+b，a﹣b的值，进而结合完全平方公式计算得出答案；
（2）结合平方差公式计算得出答案．
解：∵a＝+2，b＝﹣2，
∴a+b＝+2+﹣2＝2，
a﹣b＝（+2）﹣（﹣2）＝4，
（1）a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2
＝42
＝16；
（2）a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝2×4
＝8．
19．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，
解得：x＝25．
答：蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是25dm．
20．已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF．连接EF，与对角线AC交于点O．
求证：OE＝OF．
【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，证出AE＝CF，∠E＝∠F，∠OAE＝∠OCF，由ASA证明△AOE≌△COF，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝DF，
∴AB+BE＝CD+DF，即AE＝CF，
∵AB∥CD，
∴AE∥CF，
∴∠E＝∠F，∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF．
21．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于O点，DH垂直且平分AB，BD＝8cm，求：DH，AC的长和菱形的面积．
【分析】利用菱形的边长，结合等边三角形的判定与性质求出DH以及AC，进而得出菱形的面积．
解：∵DH垂直且平分AB，
∴AD＝BD，
∵四边形ABCD是菱形，AD＝BD＝8cm，
∴AD＝AB＝BD＝8cm，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
∵DH⊥AB于点H，
∴DH＝AD•sin60°＝4（cm），
AO＝＝4（cm），
∴AC＝8cm，
则其面积为：×8×8＝32（cm2）．
22．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1
（1）判断△BEC的形状，并说明理由；
（2）求证：四边形EFPH是矩形．
【分析】（1）根据矩形性质得出CD＝2，根据勾股定理求出CE和BE，求出CE2+BE2的值，求出BC2，根据勾股定理的逆定理求出即可；
（2）根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形DEBP和AECP，推出EH∥FP，EF∥HP，推出平行四边形EFPH，根据矩形的判定推出即可；
解：（1）△BEC是直角三角形：
理由是：
∵矩形ABCD，
∴∠ADC＝∠ABP＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝2，
由勾股定理得：CE＝，
同理BE＝2，
∴CE2+BE2＝5+20＝25，
∵BC2＝52＝25，
∴BE2+CE2＝BC2，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是直角三角形．
（2）∵矩形ABCD，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DE＝BP，
∴四边形DEBP是平行四边形，
∴BE∥DP，
∵AD＝BC，AD∥BC，DE＝BP，
∴AE＝CP，
∴四边形AECP是平行四边形，
∴AP∥CE，
∴四边形EFPH是平行四边形，
∵∠BEC＝90°，
∴平行四边形EFPH是矩形．
23．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．
（1）试说明EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．
【分析】（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC＝∠ECB，再根据等边对等角得OE＝OC，同理OC＝OF，可得EO＝FO．
（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．
（3）利用已知条件及正方形的性质解答．
解：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠ECB，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴OE＝OC，
同理OC＝OF，
∴OE＝OF．
（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．
如图AO＝CO，EO＝FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB，
同理，∠ACF＝∠ACG，
∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝（∠ACB+∠ACG）＝×180°＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
（3）当△ABC是直角三角形且∠ACB＝90°时，在AC边上存在点O（为其中点），使四边形AECF是正方形．
证明：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC．
∵MN∥BC，
∴AC⊥MN，即AC⊥EF．
由（2）知，四边形AECF是矩形，
∴矩形AECF是正方形．
24．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【分析】（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；
（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；
（3）分两种情况讨论即可求解．
【解答】（1）证明：∵直角△ABC中，∠C＝90°﹣∠A＝30°．
∵CD＝4t，AE＝2t，
又∵在直角△CDF中，∠C＝30°，
∴DF＝CD＝2t，
∴DF＝AE；
解：（2）∵DF∥AB，DF＝AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形，
即60﹣4t＝2t，
解得：t＝10，
即当t＝10时，▱AEFD是菱形；
（3）当t＝时△DEF是直角三角形（∠EDF＝90°）；
当t＝12时，△DEF是直角三角形（∠DEF＝90°）．理由如下：
当∠EDF＝90°时，DE∥BC．
∴∠ADE＝∠C＝30°
∴AD＝2AE
∵CD＝4t，
∴DF＝2t＝AE，
∴AD＝4t，
∴4t+4t＝60，
∴t＝时，∠EDF＝90°．
当∠DEF＝90°时，DE⊥EF，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，
∴DE⊥AD，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠DEA＝30°，
∴AD＝AE，
AD＝AC﹣CD＝60﹣4t，AE＝DF＝CD＝2t，
∴60﹣4t＝t，
解得t＝12．
综上所述，当t＝时△DEF是直角三角形（∠EDF＝90°）；当t＝12时，△DEF是直角三角形（∠DEF＝90°）．