2021-2022学年湖北省武汉市洪山区八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2021-2022学年湖北省武汉市洪山区八年级下学期期中数学试题及答案，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x＞3C．x≤3D．x≥3
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．用下列长度的线段a，b，c首尾相连构成三角形，其中不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝8，b＝15，c＝17B．a＝1，b，c＝2
C．a：b：c＝3：4：5D．a＝4，b＝5，c＝6
5．已知等边三角形的边长为6，则这个三角形的面积为（ ）
A．9B．C．D．18
6．在下列给出的条件中，可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．AB＝CD，∠A＝∠CB．AB＝CD，AD＝BC
C．AB∥CD，AD＝BCD．AB∥CD，∠A＝∠B
7．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果四边形是矩形，那么它的对角线相等
B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
C．如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2
D．如果四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直
8．一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线长分别是12，6，则这个平行四边形的一条边上的高为（ ）
A．B．C．8D．
9．如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4；…．设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…的面积分别为S1，S2，S3，…．依此下去，则S2022的值为（ ）
A．B．C．22020D．22021
10．如图，在△ABC，△BED中，AB＝CB，BD＝BE，∠ABC＝∠EBD＝50°，且A，B，D三点在一条直线上，连接CE，分别取AD，AC，CE的中点F，H，G，连FH，FG，则∠HFG＝（ ）
A．65°B．60°C．70°D．不能确定
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算： ．
12．已知，，则代数式（x+y）2的值为 ．
13．直角三角形中，若两条边的长分别为3，5，则第三条边的长为 ．
14．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝38°，则∠E的值是 ．
15．如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平，再折一次纸片，使得折痕经过点B，得到折痕BM，同时使得点A的对称点N落在EF上，如果AB，则AM＝ ．
16．如图，矩形ABCD中，BD＝2AB，将△BCD绕D点旋转，使得点C的对应点C′落在线段BD上，得到△B′C′D，在边B′C′上取点M，使得C′M＝AB，若AB，则△MCD的面积等于 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形．
19．我国南宋时期数学家秦九韶，曾经提出用三角形的三边求面积的秦九韶公式．他的方法大致如下：如图，给定一个三角形ABC，三边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC于D，AD为Rt△ADC，Rt△ADB的公共边，则可以利用这个等量关系，运用勾股定理建立方程，求出BD，再求出高AD，从而求出三角形ABC的面积．请你用这一方法，解决下列问题：
已知△ABC，AB＝13，AC＝15，BC＝14，求△ABC的面积．
20．如图，等边三角形网格中，每一个小等边三角形边长均为1，A，B在三角形的顶点处，且AB＝3，按照要求用无刻度直尺作图，不要求写画法，但是要保留作图痕迹．（画图过程用虚线表示，结果用实线表示）．
（1）过A点作AB的垂线段AC，使其长度为；
（2）过（1）中的点C作AB的平行线段CD，使其长度为3；
（3）作一个平行四边形EFGH，使得各边的中点分别为A，B，C，D（C，D为（2）中的点）．
21．如图，将平行四边形ABCD的对角线BD向两端分别延长至点E和点F，使得BE＝DF，若AF＝FC，求证：四边形AFCE为菱形．
22．如图，在△ABC，△ADE中，∠BCA＝∠DEA＝90°，A，C，E在一条直线上，且BC＝DE，连接BD，M，N分别为AB，CE的中点，连MN．
（1）求证：AD＝2MN；
（2）若∠ABC＝45°，∠ADE＝60°，BD＝2，求MN的长．
23．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E为动点．
（1）如图1，当点E在线段AB上，且∠CEN＝60°时，求证：CE＝EN；
（2）如图2，当E在对角线BD的延长线上，且△AEN为等边三角形时，求证：CN⊥AD．
24．如图1，在平面直角坐标系中，矩形AOCD的顶点A（0，2），C（2，0）．
（1）求点D到直线AC的距离；
（2）如图2，∠AOC的角平分线交AD于点B，交CD的延长线于点E，F为BE的中点，连接CF，求∠ACF的大小；
（3）如图3，M，N分别是边CD和对角线AC上的动点，且AN＝CM，则OM+ON的最小值＝ ．（直接写出结果）
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x＞3C．x≤3D．x≥3
【分析】二次根式有意义时，被开方数是非负数．
解：依题意得：x﹣3≥0，
解得x≥3．
故选：D．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
解：A选项，原式＝2，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝|a|，故该选项不符合题意；
C选项，原式，故该选项不符合题意；
D选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
3．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式加减法运算法则判断A、B和C，根据二次根式除法运算法则判断C，
解：A、原式2，故此选项不符合题意；
B、原式，故此选项符合题意；
C、原式，故此选项不符合题意；
D、2与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式加减法和除法运算法则是解题关键．
4．用下列长度的线段a，b，c首尾相连构成三角形，其中不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝8，b＝15，c＝17B．a＝1，b，c＝2
C．a：b：c＝3：4：5D．a＝4，b＝5，c＝6
【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
解：A、∵a2+b2＝82+152＝289，c2＝172＝289，
∴a2+b2＝c2，
∴以线段a，b，c首尾相连能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵a2+b2＝12+（）2＝4，c2＝22＝4，
∴a2+b2＝c2，
∴以线段a，b，c首尾相连能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵a：b：c＝3：4：5，
∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∴a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝16k2，c2＝（5k）2＝25k2，
∴a2+b2＝c2，
∴以线段a，b，c首尾相连能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵a2+b2＝42+52＝41，c2＝62＝36，
∴a2+b2≠c2，
∴以线段a，b，c首尾相连不能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
5．已知等边三角形的边长为6，则这个三角形的面积为（ ）
A．9B．C．D．18
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等边三角形的性质可知D是BC的中点，根据勾股定理求出AD的值，再求△ABC的面积即可．
解：已知等边△ABC，过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
则点D为BC的中点，
∵等边三角形的边长为6，
∴AB＝6，BD＝3，
根据勾股定理，得AD，
∴△ABC的面积为，
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，涉及勾股定理，三角形的面积等，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
6．在下列给出的条件中，可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．AB＝CD，∠A＝∠CB．AB＝CD，AD＝BC
C．AB∥CD，AD＝BCD．AB∥CD，∠A＝∠B
【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
解：A、由AB∥CD，∠A＝∠C，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故选项B符合题意；
C、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由AB∥CD，∠A＝∠B，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
7．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果四边形是矩形，那么它的对角线相等
B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
C．如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2
D．如果四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
解：A、如果四边形是矩形，那么它的对角线相等的逆命题是如果四边形的对角线相等，那么四边形是矩形，逆命题是假命题；
B、如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等，逆命题是假命题；
C、如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2的逆命题是如果三角形三条边满足a2+b2＝c2，那么三角形是直角三角形，逆命题是真命题；
D、如果四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直的逆命题是如果四边形的对角线垂直，那么四边形是菱形，逆命题是假命题；
故选：C．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
8．一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线长分别是12，6，则这个平行四边形的一条边上的高为（ ）
A．B．C．8D．
【分析】根据勾股定理逆定理可以说明平行四边形的对角线互相垂直，进而可以判断这个平行四边形是菱形．
解：因为平行四边形的对角线互相平分，
所以62+（3）2＝36+45＝81＝92，
所以平行四边形的对角线互相垂直，
所以根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
可知这个平行四边形是菱形．
所以这个平行四边形的一条边上的高为4，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定．
9．如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4；…．设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…的面积分别为S1，S2，S3，…．依此下去，则S2022的值为（ ）
A．B．C．22020D．22021
【分析】根据题意求出S1，S2，根据面积的变化规律总结Sn的关系式即可．
解：∵四边形OAA1B1 是边长为1的正方形，
∴OA＝AA1＝A1B1＝1，
∴S11×121﹣2，
∵∠OAA1＝90°，
∴OA12＝OA2+AA12，
∴OA1OA，
∴OA2OA1＝2，
∴A2B1＝OA2﹣OB1＝2﹣1＝1，
∴S22×1＝1＝22﹣2，
同理可求：
S32×2＝2＝23﹣2，
S4＝24﹣2，
…，
Sn＝2n﹣2，
∴S2022＝22020，
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质和三角形面积的计算是解题的关键．
10．如图，在△ABC，△BED中，AB＝CB，BD＝BE，∠ABC＝∠EBD＝50°，且A，B，D三点在一条直线上，连接CE，分别取AD，AC，CE的中点F，H，G，连FH，FG，则∠HFG＝（ ）
A．65°B．60°C．70°D．不能确定
【分析】连接GH，连接AE交FH于点Q，连接CD，分别交GH、AE于点P、M，利用SAS证明△ABE≌△CBD，根据全等三角形的性质及三角形中位线定理求解即可．
解：连接GH，连接AE交FH于点Q，连接CD，分别交GH、AE于点P、M，
∵∠ABC＝∠EBD＝50°，
∴∠ABE＝∠CBD＝180°﹣50°＝130°，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠AEB＝∠CDB，AE＝CD，
∵∠AMC＝∠EAB+∠CDB，∠EBD＝∠EAB+∠AEB，
∴∠AMC＝∠EAB+∠AEB＝∠EBD，
∵∠EBD＝50°，
∴∠AMC＝50°，
∵点F，H，G分别是AD，AC，CE的中点，
∴GH∥AE，GHAE，FH∥CD，FHCD，
∴∠GHF＝∠AQH＝∠AMC＝50°，GH＝FH，
∴∠HFG＝∠HGF（180°﹣∠GHF）130°＝65°，
故选：A．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算： 3 ．
【分析】根据算术平方根的性质进行化简，即|a|．
解：3．
故答案为3．
【点评】此题考查了算术平方根的性质，即|a|．
12．已知，，则代数式（x+y）2的值为 8 ．
【分析】根据二次根式的加法法则求出x+y，计算即可．
解：∵x1，y1，
∴x+y＝（1）+（1）＝2，
则（x+y）2＝（2）2＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是二次根式的计算，掌握二次根式的加法法则是解题的关键．
13．直角三角形中，若两条边的长分别为3，5，则第三条边的长为 或5 ．
【分析】分5为斜边和直角边，分别利用勾股定理可得答案．
解：当5为直角边时，第三边为，
当5为斜边时，第三边为4，
故答案为：或5．
【点评】本题主要考查了勾股定理，运用分类思想是解题的关键．
14．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝38°，则∠E的值是 19° ．
【分析】连接AC，交BD于O，由矩形性质可得BD＝AC＝CE，得出∠E＝∠CAE，而∠ADB＝∠ACB＝38°，可得∠E度数．
解：连接AC，交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠CBD＝∠ADB＝38°，OB＝OC，
∴∠ACB＝∠CBD＝38°，
又∵CE＝BD，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝38°，
∴∠E＝19°．
故答案为：19°．
【点评】本题主要考查了矩形性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
15．如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平，再折一次纸片，使得折痕经过点B，得到折痕BM，同时使得点A的对称点N落在EF上，如果AB，则AM＝ 2 ．
【分析】根据折叠的性质可得BEAB，AB＝BN，即可得BEBN，即得∠BNE＝30°，根据直角三角形的两锐角互余得∠ABN＝60°，根据折叠的性质即可得出∠ABM∠ABN＝30°，利用含30°角的直角三角形三边关系即可得出结论．
解：∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴BEAB，∠BEN＝∠AEN＝90°，
∵再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．
∴AB＝BN，
∴BEBN，
∵∠BEN＝90°，
∴∠BNE＝30°，
∴∠ABN＝60°，
由折叠的性质得：∠ABM＝∠MBN＝30°，
在Rt△ABM中，
AMAB22，
故答案为：2．
【点评】本题考查折叠的性质，直角三角形的性质、矩形的性质等知识，正确的理解题意是解题的关键，题目具有一定的综合性．
16．如图，矩形ABCD中，BD＝2AB，将△BCD绕D点旋转，使得点C的对应点C′落在线段BD上，得到△B′C′D，在边B′C′上取点M，使得C′M＝AB，若AB，则△MCD的面积等于 ．
【分析】利用面积的和差关系可求解．
解：如图，连接CC'，过点C作CH⊥B'C'，交B'C'于点H，
∵将△BCD绕D点旋转，使得点C的对应点C′落在线段BD上，
∴CD＝C'D，∠B'C'D＝90°，
∵BD＝2AB＝2CD＝2，
∴BD＝2C'D，
∴BC'＝C'D，
∵∠BCD＝90°，
∴BC'＝C'D＝CC'，
∴CD＝DC'＝CC'，
∴△CDC'是等边三角形，
∴S△C'DC（）2，∠CC'D＝60°，
∵C′M＝AB，∠MC'D＝90°，
∴S△MC'D1，
∵∠CC'H＝90°﹣60°＝30°，
∴CHCC'，
∴△MCD的面积＝S△DCC'+S△MDC'﹣S△MCC'1，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造等边三角形是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简，再算加减即可；
（2）先算乘法，再算除法即可．
解：（1）
＝2；
（2）
＝4×2
＝8．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形．
【分析】由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，证出BE＝DF，即可得出四边形EBFD是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD．
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝BEAB，DFCD，
∴BE＝DF．
∴四边形EBFD是平行四边形；
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
19．我国南宋时期数学家秦九韶，曾经提出用三角形的三边求面积的秦九韶公式．他的方法大致如下：如图，给定一个三角形ABC，三边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC于D，AD为Rt△ADC，Rt△ADB的公共边，则可以利用这个等量关系，运用勾股定理建立方程，求出BD，再求出高AD，从而求出三角形ABC的面积．请你用这一方法，解决下列问题：
已知△ABC，AB＝13，AC＝15，BC＝14，求△ABC的面积．
【分析】根据题意和题目中的数据，利用勾股定理可以列出相应的方程，然后求出BD的长，再求出AD的长，即可计算出△ABC的面积．
解：设BD的长为x，则CD的长为14﹣x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
∵AB＝13，AC＝15，
∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
解得x＝5，
∴BD＝5，CD＝14﹣x＝9，
∴AD2＝132﹣52，
解得AD＝12，
∴S△ABC84，
即△ABC的面积是84．
【点评】本题考查勾股定理、数学常识、二次根式的应用，解答本题的关键是求出BD和AD的长．
20．如图，等边三角形网格中，每一个小等边三角形边长均为1，A，B在三角形的顶点处，且AB＝3，按照要求用无刻度直尺作图，不要求写画法，但是要保留作图痕迹．（画图过程用虚线表示，结果用实线表示）．
（1）过A点作AB的垂线段AC，使其长度为；
（2）过（1）中的点C作AB的平行线段CD，使其长度为3；
（3）作一个平行四边形EFGH，使得各边的中点分别为A，B，C，D（C，D为（2）中的点）．
【分析】（1）根据等边三角形性质，找到点C，连接AC即可；
（2）按要求，找到符合题意的D，连接CD即可；
（3）利用等边三角形性质，根据中点定义，找到E、F、G、H，连接成四边形EFGH即可．
解：（1）过A点作AB的垂线段AC，使其长度为，作图如下：
（2）过点C作AB的平行线段CD，使其长度为3，如图：
（3）作平行四边形EFGH，使得各边的中点分别为A，B，C，D，如图：
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，解题的关键是读懂题意，掌握平行线等概念，按要求画出图形．
21．如图，将平行四边形ABCD的对角线BD向两端分别延长至点E和点F，使得BE＝DF，若AF＝FC，求证：四边形AFCE为菱形．
【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出AF＝CE，进而利用菱形的判定解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ADF＝∠CBE，
在△ADF与△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE，
同理可得：CF＝AE，
∵AF＝FC，
∴AF＝FC＝AE＝EC，
∴四边形AECF是菱形．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及菱形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
22．如图，在△ABC，△ADE中，∠BCA＝∠DEA＝90°，A，C，E在一条直线上，且BC＝DE，连接BD，M，N分别为AB，CE的中点，连MN．
（1）求证：AD＝2MN；
（2）若∠ABC＝45°，∠ADE＝60°，BD＝2，求MN的长．
【分析】（1）延长AE至G，使NG＝AN，连接BG，证明△DAE≌△BGC，根据全等三角形的性质得到AD＝BG，证明结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到AC＝BC，根据含30°角的直角三角形的性质、勾股定理求出AE，列式计算即可．
【解答】（1）证明：延长AE至G，使NG＝AN，连接BG，
∵AM＝MB，AN＝NG，
∴MNBG，MN∥BG，
∵N为CE的中点，
∴CN＝NE，
∴AE＝GC，
在△DAE和△BGC中，
，
∴△DAE≌△BGC（SAS），
∴AD＝BG，
∴AD＝2MN；
（2）解：设BC＝DE＝x，
在Rt△ACB中，∠ABC＝45°，
∴AC＝BC＝x，
∵BC＝DE，BC∥DE，
∴四边形BCED为矩形，
∴CE＝BD＝2，
∴AE＝x+2，
在Rt△ADE中，∠ADE＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴AD＝2DE＝2x，
由勾股定理得：AEx，
则x＝x+2，
解得：x1，
∴AD＝2x＝22，
∴MNAD1．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
23．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E为动点．
（1）如图1，当点E在线段AB上，且∠CEN＝60°时，求证：CE＝EN；
（2）如图2，当E在对角线BD的延长线上，且△AEN为等边三角形时，求证：CN⊥AD．
【分析】（1）由“ASA”可证△AEN≌△FCE，可得结论；
（2）由“ASA”可证△ABE≌△ACN，可得∠ABE＝∠ACN＝30°，可得结论．
【解答】证明：如图，在BC上截取BF＝BE，连接FE，
∵BF＝BE，∠B＝60°，
∴△BFE是等边三角形，
∴∠B＝∠BFE＝∠BEF＝60°，
∴∠EFC＝120°，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴AB＝BC，∠A＝120°＝∠EFC，
∴AE＝FC，
∵∠CEN＝∠B＝60°，∠AEC＝∠B+∠BCE＝∠CEN+∠AEN，
∴∠BCE＝∠AEN，
在△AEN和△FCE中，
，
∴△AEN≌△FCE（ASA），
∴EN＝EC；
（2）如图2，连接AC，设AD与CN的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC，∠ABD＝30°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△AEN是等边三角形，
∴AN＝AE，∠NAE＝60°＝∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAN，
在△ABE和△ACN中，
，
∴△ABE≌△ACN（SAS），
∴∠ABE＝∠ACN＝30°，
∵∠BAC＝∠CAD＝60°，
∴∠AOC＝90°，
∴CN⊥AD．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．如图1，在平面直角坐标系中，矩形AOCD的顶点A（0，2），C（2，0）．
（1）求点D到直线AC的距离；
（2）如图2，∠AOC的角平分线交AD于点B，交CD的延长线于点E，F为BE的中点，连接CF，求∠ACF的大小；
（3）如图3，M，N分别是边CD和对角线AC上的动点，且AN＝CM，则OM+ON的最小值＝ 2 ．（直接写出结果）
【分析】（1）作DG⊥AC于点G，由四边形AOCD是矩形得∠ADC＝90°，AD＝OC＝2，CD＝OA＝2，根据勾股定理得AC4，由4DG22，得DG，所以点D到直线AC的距离是；
（2）连接AF、DF，由∠AOC的角平分线交AD于点B，交CD的延长线于点E，∠AOC＝90°，∠COE＝∠AOE∠AOC＝45°，可证明△CEF≌△ADF，得CF＝AF，∠CFE＝∠AFD，则∠AFC＝∠AFD﹣∠CFD＝∠CFE﹣∠CFD＝∠DFE＝90°，所以∠ACF＝45°；
（3）连接OD交AC于点Q，先证明△QCD和△QOA都是等边三角形，则∠PCR＝∠CDQ＝60°，CR＝DRCD＝1，PC＝2CR＝2，根据勾股定理求得PR，所以P（3，1），则OP2，当点M在OP上时，OM+PM＝2，此时OM+PM的值最小，再证明△PCM≌△OAN，则PM＝ON，所以OM+ON的最小值为2．
解：（1）如图1，作DG⊥AC于点G，
∵四边形AOCD是矩形，A（0，2），C（2，0），
∴∠ADC＝90°，AD＝OC＝2，CD＝OA＝2，
∴AC4，
∵S△ADCAC•DGAD•CD，
∴4DG22，
∴DG，
∴点D到直线AC的距离是．
（2）如图2，连接AF、DF，
∵∠AOC的角平分线交AD于点B，交CD的延长线于点E，∠AOC＝90°，
∴∠COE＝∠AOE∠AOC＝45°，
∵∠OCE＝90°，
∴∠E＝∠COE＝45°，
∴CE＝OC，
∴CE＝AD，
∵∠BDE＝180°﹣∠ADC＝90°，
∴∠DBE＝∠E＝45°，
∴DB＝DE，
∵F为BE的中点，
∴∠ADF＝∠EDF∠DBE＝45°，EF＝DFBE，DF⊥BE，
∴∠E＝∠ADF，
∴△CEF≌△ADF（SAS），
∴CF＝AF，∠CFE＝∠AFD，
∴∠AFC＝∠AFD﹣∠CFD＝∠CFE﹣∠CFD＝∠DFE＝90°，
∴∠ACF＝∠CAF＝45°．
（3）如图3，连接OD交AC于点Q，
∵OD＝AC＝4，
∴QD＝QC＝CD＝AQ＝OQ＝OA＝2，
∴△QCD和△QOA都是等边三角形，
过CD中点R作RP⊥CD，CP∥OD交RP于点P，连接OP、MP，
∵∠CRP＝90°，∠PCR＝∠CDQ＝60°，CR＝DRCD＝1，
∴∠RPC＝30°，
∴PC＝2CR＝2，
∴PR，
∴P（3，1），
∴OP2，
∵OM+PM≥OP，
∴当点M在OP上时，OM+PM＝2，此时OM+PM的值最小，
∵PC＝OA＝1，∠PCM＝∠OAN＝60°，CM＝AN，
∴△PCM≌△OAN（SAS），
∴PM＝ON，
∴OM+ON的最小值为2，
故答案为：2．
【点评】此题考查图形与坐标、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短、根据面积等式列方程求线段的长度等知识与方法，此题难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．