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数学拓展模块一（下册）第10章 统计优秀习题
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这是一份数学拓展模块一（下册）第10章 统计优秀习题，文件包含专题10统计专题测试原卷版docx、专题10统计专题测试解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
1．2022年北京冬奥会将于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬奥会新增7个小项目，女子单人雪车为其中之一．下表是某国女子单人雪车集训队甲、乙两位队员十轮的比赛成绩，则下列说法正确的是( )
A．估计甲队员的比赛成绩的方差小于乙队员的比赛成绩的方差
B．估计甲队员的比赛成绩的中位数小于乙队员的比赛成绩的平均数
C．估计甲队员的比赛成绩的平均数大于乙队员的比赛成绩的平均数
D．估计甲队员的比赛成绩的中位数大于乙队员的比赛成绩的中位数
【答案】B
【详解】
根据表格中甲乙成绩特征，可去掉成绩里面的分和秒后进行比较，作茎叶图如图：
由图可知，甲的成绩主要集中在70－75之间，乙的成绩主要集中在80－90之间，
∴甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数，故C错误；
由图可知甲的成绩中位数为74.5，乙成绩的中位数为83，故甲队员的比赛成绩的中位数小于乙队员的比赛成绩的中位数，故D错误；
甲队员比赛成绩平均数为：
，
乙队员比赛成绩平均数为：
，
∴甲队员的比赛成绩的中位数小于乙队员的比赛成绩的平均数，故B正确；
甲队员的比赛成绩的方差为：
＝57.41，
乙队员的比赛成绩的方差为：
＝46.61，
∴甲队员的比赛成绩的方差大于乙队员的比赛成绩的方差，故A错误．
故选：B．
2．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，，…，，其中，c为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本方差相同B．两组样本数据的样本众数相同
C．两组样本数据的样本平均数相同D．两组样本数据的样本中位数相同
【答案】A
【详解】
因为原来样本平均数，新样本平均数，C错误；
原来方差为，新样本方差为，A正确；
设原样本众数为，则新样本众数为，B错误；
设原样本中位数为，则新样本中位数为，D错误.
故选：A.
3．一个容量为100的样本，其数据分组与各组的频数如下：
则这组样本数据的中位数所在的区间为（ ）
A．[50，60）B．[60，70）C．[70，80）D．[80，90）
【答案】C
【详解】
因为前3组的频率之和为0.05+0.18+0.20=0.43<0.5，
前4组的频率之和为0.43+0.32=0.75>0.5，
所以这组样本数据的中位数所在的区间为[70，80），
故选：C.
4．已知数据是上海市普通职工的2021年的年收入，设这200个数据的平均数为x，中位数为y，方差为z，如果再加上中国首富钟睒睒的年收入，则这201个数据中，下列说法正确的是（ ）．
A．x一定变大，y一定变大，z可能不变B．x可能不变，y可能不变，z一定变大
C．x可能不变，y一定变大，z可能不变D．x一定变大，y可能不变，z一定变大
【答案】D
【详解】
因为数据是上海普通职工的年收入，
而为中国首富钟睒睒的年收入，则会远大于，
故这个数据中，年收入平均数大大增大，
但中位数可能不变，也可能稍微变大，
但由于数据的集中程度也受到比较大的影响，而更加离散，则方差变大.
故选：D.
5．某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（ ）
A．60B．70C．80D．100
【答案】A
【详解】
设所有参赛的500名选手成绩为：，，，；
则平均数；
方差，即；
对于A选项，若存在，则有，所以不可能是参赛选手成绩；
对于B选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；
对于C选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；
对于D选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；
综上所述，不可能是参赛选手成绩；
故选：A.
6．《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，人睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低，根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表：
注：早睡人群为23:00前人睡的人群，晚睡人群为01:00后入睡的人群．
根据表中数据，下列说法正确的是（ ）A．早睡人群睡眠指数的中位数估计在第3组
B．第1组的早睡人数少于晚睡人数
C．第5组中有的人在23:00后，01:00前人睡
D．晚睡人群的睡眠指数平均数估计落在区间
【答案】D
【详解】
对于A，由于，所以早睡人群睡眠指数的中位数估计不在第3组，故A不正确；
对于B、C，每一组中的早睡人群占比与晚睡人群占比都是以早睡与晚睡各自的总人数为基数的，所以每一组中的早睡人数与晚睡人数不能从所占的百分比来判断，故B、C不正确；
对于D，晚睡人群的睡眠指数平均数为，故D正确.
故选：D
7．为了研究某班学生的脚长x(单位：cm)和身高y(单位：cm)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其经验回归直线方程为＝x＋.已知eq \i\su(i＝1,10, )xi＝225，eq \i\su(i＝1,10, )yi＝1 600，＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( )
A．160 cm B．163 cm
C．166 cm D．170 cm
【答案】选C 由已知eq \x\t(x)＝22.5，eq \x\t(y)＝160，
∴＝160－4×22.5＝70，
当x＝24时，＝4×24＋70＝166，故选C.
8．甲、乙、丙、丁四人次随堂测验的成绩如图所示，从图中可以看出这次测验平均成绩较高且较稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】C
【分析】计算出甲、乙、丙、丁四人次随堂测验的成绩的平均值和方差，即可得出结论.
【详解】甲次随堂测验的成绩的平均值为，
方差为，
乙次随堂测验的成绩的平均值为，
方差为，
丙次随堂测验的成绩的平均值为，
方差为，
丁次随堂测验的成绩的平均值为，
方差为，
所以，，，
因此，这次测验平均成绩较高且较稳定的是丙.
故选：C.
9．甲、乙两名同学某学期的四次数学测试成绩（单位：分）如下表：
据上表计算，甲、乙两名同学四次数学测试成绩的方差分别为S甲2＝17、S乙2＝25，下列说法正确的是（ ）
A．甲同学四次数学测试成绩的平均数是89分
B．甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分
C．乙同学四次数学测试成绩的众数是80分
D．乙同学四次数学测试成绩较稳定
【答案】B
【分析】对于A，直接计算平均数判断，对于B，计算中位数判断，对于C，求出众数判断，对于D，由方差的性质判断
【详解】解：甲同学四次数学测试成绩的平均数是(87+95+85+93)＝90，A错误；
甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分，B正确；
乙同学四次数学测试成绩的众数是80分和90分，C错误；
∵S甲2故选：B．
10．在对一组样本数据进行分析时，小凡列出了方差的计算公式：，根据公式不能得到的是（ ）
A．众数是6B．平均数是8C．方差是6D．中位数是8
【答案】C
【分析】由公式得到样本数据为，即可得样本的数据特征，判断各项正误.
【详解】由公式知：样本数据为，
所以众数为6，平均数为，
方差为，中位数为8.
故选：C
二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
11．某中学对该校九年级45名女学生进行了一次立定跳远测试，成绩如表：
这些立定跳远成绩的中位数和众数分别是________．
【答案】【分析】根据中位数与众数的定义可得.
【详解】将学生的成绩从小到大排列，45名学生成绩的中位数刚好是第23个，而第23个成绩是190，故中位数是190；
众数是学生成绩出现次数最多的成绩，而200出现了15次，故众数为200.
12．方差是刻画数据波动程度的量，对于一组数据，可用如下算式计算方差：，上述算式中的“2”是这组数据的__________．
【答案】【分析】根据方差的公式可判断出2为均值，从而可得正确的选项.
【详解】对于一组数据，其方差公式为：
，
结合已知的方差形式可得，
13．已知第一组数据：1、3、5、7的方差为；第二组数据：2022、2024、2026、2028的方差为，则，的大小关系是__________．
【答案】 先计算出两组数据的平均数，再根据方差的定义计算出方差，从而得出答案．
【详解】∵，，
∴，
，
∴．
14．在一次信息技术考试中，某兴趣小组7名同学的成绩（单位：分）分别是：7，10，9，8，9，9，8，则这组数据的中位数与众数分别为__________．
【答案】【解析】把数据按从小到大顺序排列后可得．
【详解】这级数据人小到大排列为：，中位数是9，众数是9．
15．若一组数据1，2，x，4的平均数是2，则这组数据的方差为______
【答案】
【分析】根据给定的平均数求出x，再利用方差的定义计算作答.
【详解】因为数据1，2，x，4的平均数是2，则，解得，
所以这组数据的方差.
故答案为：
16．五个互不相等自然数的平均数是15，中位数是18，则这五个数中最大数的最大值为__________.
【答案】
【分析】设五个互不相等的自然数从小到大分别为、、、、，依题意可得，，要使尽可能大，则其余三个数竟尽可能小，且，即可确定其余三个数，从而求出.
【详解】解：设五个互不相等的自然数从小到大分别为、、、、，
因为其平均数是，
五个互不相等自然数的和为，
中位数是，即，要使竟尽可能大，则、、需尽可能小，
则，，，此时
即这组数据为，，，，，符合题意.
这五个数中最大数的最大值为．
故答案为：．
17．海南盛产各种名贵树木，如紫檀、黄花梨等.在实际测量单根原木材体积时，可以检量木材的实际长度（检尺长）和小头直径（检尺径），再通过国家公布的原木材积表直接查询得到，原木材积表的部分数据如下所示：
若小李购买了两根紫檀原木，一根检尺长为，检尺径为，另一根检尺长为，检尺径为，根据上表，可知两根原木的材积之和为______.
【答案】0.111
【分析】由图表找到对应的数据，直接求和即可.
【详解】根据图表，检尺长为，检尺径为的原木的材积为，检尺长为，检尺径为的原木的材积为，则材积之和为.
故答案为：0.111
【点睛】此题考查了学生由统计表处理数据的能力，属于基础题.
18．已知x与y之间的几组数据如表，则y与x的经验回归直线方程＝x＋必过点( )
【答案】平均值点(2,5)
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
某班倡议假期每位学生每天至少锻炼一小时．为了解学生的锻炼情况，对该班全部34名学生在某周的锻炼时间进行了调查，调查结果如表：
(1)试根据上述数据，求这个班级女生在该周的平均锻炼时长；
(2)试判断该班男生锻炼时长的方差与女生锻炼时长的方差的大小．（直接写出结果）
【答案】(1)6.5小时(2)
【解析】
(1)
女生在该周的平均锻炼时长:
（小时）.
(2)
，
男生在该周的平均锻炼时长:
（小时）.
故，
，故.
20. 本小题分
在全运会上两名射击运动员甲、乙在比赛中打出如下成绩：
甲：9.4 8.7 7.5 8.4 10.1 10.5 10.7 7.2 7.8 10.8
乙：9.1 8.7 7.1 9.8 9.7 8.5 10.1 9.2 10.1 9.1；
(1)用茎叶图表示甲、乙两人的成绩；并根据茎叶图分析甲、乙两人的成绩；
(2)分别计算两个样本的平均数和标准差，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定，并简述茎叶图的优点．
【答案】(1)作图见解析；答案见解析
(2)答案见解析.
(1)
如图所示，茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字：
从茎叶图可以看出乙的成绩主要分布在茎叶图下部，并且数据大致对称，
甲的成绩主要分布在茎叶图上部和下部，
甲中位数是9.05，乙中位数是9.15，所以乙稳定性好，甲波动性大；
(2)
设甲的平均数和标准差分别为，乙的平均数和标准差分别为，
则，
；
，
因为，故甲运动员成绩的波动大于乙运动员的成绩波动，
故我们估计乙运动员的成绩比较稳定；
因为，故甲运动员成绩的平均值大于乙运动员的成绩，
故我们估计乙运动员的成绩相对较好.
综上，乙运动员比甲运动员成绩好且稳定.
茎叶图的优点：能表示所有的原始数据，可随时记录，动态的表示数据，
还可以从图中得出中位数．
21. 本小题分
某公司为了了解年研发资金投入量x(单位：亿元)对年销售额y(单位：亿元)的影响，对公司近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据进行了对比分析，建立了两个函数模型：①y＝α＋βx2，②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数．并得到一些统计量的值．令ui＝xeq \\al(2,i)，vi＝ln yi(i＝1,2，…，12)，经计算得如下数据：
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
(2)①根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的经验回归方程(回归系数精确到0.01)；
②若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量约是多少亿元？
附：相关系数r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2\i\su(i＝1,n, )yi－\x\t(y)2))，
经验回归直线＝＋x的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)，＝eq \x\t(y)－eq \x\t(x).参考数据：308＝4×77，eq \r(90)≈9.486 8，e4.499 8≈90.
【答案】解：(1)设{ui}和{yi}的相关系数为r1，{xi}和{vi}的相关系数为r2，
则r1＝eq \f(\i\su(i＝1,12, )ui－\x\t(u)yi－\x\t(y),\r(\i\su(i＝1,12, )ui－\x\t(u)2\i\su(i＝1,12, )yi－\x\t(y)2))＝eq \f(215,\r(31 250×2))＝eq \f(43,50)＝0.86，
r2＝eq \f(\i\su(i＝1,12, )xi－\x\t(x)vi－\x\t(v),\r(\i\su(i＝1,12, )xi－\x\t(x)2\i\su(i＝1,12, )vi－\x\t(v)2))＝eq \f(14,\r(77×3.08))＝eq \f(10,11)≈0.91.
因为|r1|<|r2|，所以从相关系数的角度，模型y＝eλx＋t的拟合程度更好．
(2)①先建立v关于x的经验回归方程，
由y＝eλx＋t，得ln y＝t＋λx，即v＝t＋λx.
因为λ＝eq \f(\i\su(i＝1,12, )xi－\x\t(x)vi－\x\t(v),\i\su(i＝1,12, )xi－\x\t(x)2)＝eq \f(2,11)≈0.18，t＝eq \x\t(v)－λeq \x\t(x)＝4.20－eq \f(2,11)×20≈0.56，
所以v关于x的经验回归方程为＝0.18x＋0.56，
所以＝e0.18x＋0.56.
②下一年销售额y需达到90亿元，即y＝90，
代入＝e0.18x＋0.56，得90＝e0.18x＋0.56，
又e4.499 8≈90，所以4.499 8≈0.18x＋0.56，
所以x≈eq \f(4.499 8－0.56,0.18)≈21.89，
所以预测下一年的研发资金投入量约是21.89亿元。
22. 本小题分
某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x(万元)和销售量y(万台)的数据如下：
(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的经验回归方程；
(2)若用y＝c＋deq \r(x)模型拟合y与x的关系，可得回归方程y＝1.63＋0.99eq \r(x)，经计算线性回归模型和该模型的R2分别为0.75和0.88，请用R2说明选择哪个回归模型更好；
(3)已知利润z与x，y的关系为z＝200y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①广告费x＝20时，销售量及利润的预报值是多少？
②广告费x为何值时，利润的预报值最大？(精确到0.01)
参考公式：回归直线＝＋x的斜率和截距的最小二乘估计值分别为＝eq \f(\(∑,\s\up6(n))\( ,\s\d4(i＝1))xiyi－n\x\t(x)\x\t(y),\(∑,\s\up6(n))\( ,\s\d4(i＝1))x\\al(2,i)－n\x\t(x)2)＝eq \f(\(∑,\s\up6(n))\( ,\s\d4(i＝1)) xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\(∑,\s\up6(n))\( ,\s\d4(i＝1)) xi－\x\t(x)2)，＝eq \x\t(y)－eq \x\t(x).
参考数据：eq \r(5)≈2.24.
【答案】解：(1)∵eq \x\t(x)＝8，eq \x\t(y)＝4.2，eq \( ,\s\d4(i＝1))xiyi＝279.4，eq \( ,\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)＝708，
∴＝eq \f(\(∑,\s\up6(7))\( ,\s\d4(i＝1))xiyi－7\x\t(x)\x\t(y),\(∑,\s\up6(7))\( ,\s\d4(i＝1))x\\al(2,i)－7\x\t(x)2)＝eq \f(279.4－7×8×4.2,708－7×82)＝0.17，
＝eq \x\t(y)－eq \x\t(x)＝4.2－0.17×8＝2.84，
∴y关于x的经验回归方程为y＝0.17x＋2.84.
(2)∵0.75＜0.88且R2越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，
∴选用y＝1.63＋0.99eq \r(x)更好．
(3)由(2)知，①当x＝20时，销售量的预报值y＝1.63＋0.99eq \r(20)≈6.07(万台)，利润的预报值z＝200×(1.63＋0.99eq \r(20))－20≈1 193.04(万元)．
②z＝200(1.63＋0.99eq \r(x))－x＝－x＋198eq \r(x)＋326＝－(eq \r(x))2＋198eq \r(x)＋326＝－(eq \r(x)－99)2＋10 127，
∴当eq \r(x)＝99，即x＝9 801时，利润的预报值最大，
故广告费为9 801万元时，利润的预报值最大．
23. 本小题分
经验表明，一般树的直径（树的主干在地而以上1.3m处的直径）越大，树就越高.由于测量树高比测量直径困难，因此研究人员希望由树的直径预测树高.在研究树高与直径的关系时，某林场收集了某种树的一些数据如下表：
(1)请用样本相关系数（精确到0.01）说明变量x和y满足一元线性回归模型；
(2)建立y关于x的一元线性回归方程；并估计当树的直径为45cm时，树高为多少？（精确到0.01）
附参考公式：相关系数
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
参考数据：
【答案】(1)答案见解析
(2)；
【分析】（1）计算，，再根据公式计算得到相关系数，得到答案.
（2）根据公式计算，，得到回归方程，代入数据计算得到答案.
【详解】（1），故，
，故，
，
故和成线性正相关，满足一元回归模型.
（2），，
，当时，.队员
比赛成绩
第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
第六轮
第七轮
第八轮
第九轮
第十轮
甲
1分51秒74
1分51秒72
1分51秒75
1分51秒80
1分51秒90
1分51秒81
1分51秒72
1分51秒94
1分51秒74
1分51秒71
乙
1分51秒70
1分51秒80
1分51秒83
1分51秒83
1分51秒80
1分51秒84
1分51秒90
1分51秒72
1分51秒90
1分51秒91
分组
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
5
18
20
32
16
9
组别
睡眠指数
早睡人群占比
晚睡人群占比
1
2
3
4
5
第一次
第二次
第三次
第四次
甲
87
95
85
93
乙
80
80
90
90
跳远成绩
160
170
180
190
200
210
人数
3
9
6
9
15
3
检尺径
（）
检尺长（）
2.0
2.2
2.4
2.5
2.6
材积（）
8
0.0130
0.0150
0.0160
0.0170
0.0180
10
0.0190
0.0220
0.0240
0.0250
0.0260
12
0.0270
0.0300
0.0330
0.0350
0.0370
14
0.0360
0.0400
0.0450
0.0470
0.0490
16
0.0470
0.0520
0.0580
0.0600
0.0630
18
0.0590
0.0650
0.0720
0.0760
0.0790
20
0.0720
0.0800
0.0880
0.0920
0.0970
22
0.0860
0.0960
0.1060
0.1110
0.1160
24
0.1020
0.1140
0.1250
0.1310
0.1370
x
0
1
3
4
y
1
4
6
9
锻炼时长/h
5
6
7
8
9
男生人数
1
2
4
3
4
女生人数
3
8
6
2
1
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
广告费支出x
1
2
4
6
11
13
19
销售量y
1.9
3.2
4.0
4.4
5.2
5.3
5.4
编号
1
2
3
4
5
6
直径x/cm
19
22
26
29
34
38
树高y/m
5
7
10
12
14
18
1．2022年北京冬奥会将于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬奥会新增7个小项目，女子单人雪车为其中之一．下表是某国女子单人雪车集训队甲、乙两位队员十轮的比赛成绩，则下列说法正确的是( )
A．估计甲队员的比赛成绩的方差小于乙队员的比赛成绩的方差
B．估计甲队员的比赛成绩的中位数小于乙队员的比赛成绩的平均数
C．估计甲队员的比赛成绩的平均数大于乙队员的比赛成绩的平均数
D．估计甲队员的比赛成绩的中位数大于乙队员的比赛成绩的中位数
【答案】B
【详解】
根据表格中甲乙成绩特征，可去掉成绩里面的分和秒后进行比较，作茎叶图如图：
由图可知，甲的成绩主要集中在70－75之间，乙的成绩主要集中在80－90之间，
∴甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数，故C错误；
由图可知甲的成绩中位数为74.5，乙成绩的中位数为83，故甲队员的比赛成绩的中位数小于乙队员的比赛成绩的中位数，故D错误；
甲队员比赛成绩平均数为：
，
乙队员比赛成绩平均数为：
，
∴甲队员的比赛成绩的中位数小于乙队员的比赛成绩的平均数，故B正确；
甲队员的比赛成绩的方差为：
＝57.41，
乙队员的比赛成绩的方差为：
＝46.61，
∴甲队员的比赛成绩的方差大于乙队员的比赛成绩的方差，故A错误．
故选：B．
2．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，，…，，其中，c为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本方差相同B．两组样本数据的样本众数相同
C．两组样本数据的样本平均数相同D．两组样本数据的样本中位数相同
【答案】A
【详解】
因为原来样本平均数，新样本平均数，C错误；
原来方差为，新样本方差为，A正确；
设原样本众数为，则新样本众数为，B错误；
设原样本中位数为，则新样本中位数为，D错误.
故选：A.
3．一个容量为100的样本，其数据分组与各组的频数如下：
则这组样本数据的中位数所在的区间为（ ）
A．[50，60）B．[60，70）C．[70，80）D．[80，90）
【答案】C
【详解】
因为前3组的频率之和为0.05+0.18+0.20=0.43<0.5，
前4组的频率之和为0.43+0.32=0.75>0.5，
所以这组样本数据的中位数所在的区间为[70，80），
故选：C.
4．已知数据是上海市普通职工的2021年的年收入，设这200个数据的平均数为x，中位数为y，方差为z，如果再加上中国首富钟睒睒的年收入，则这201个数据中，下列说法正确的是（ ）．
A．x一定变大，y一定变大，z可能不变B．x可能不变，y可能不变，z一定变大
C．x可能不变，y一定变大，z可能不变D．x一定变大，y可能不变，z一定变大
【答案】D
【详解】
因为数据是上海普通职工的年收入，
而为中国首富钟睒睒的年收入，则会远大于，
故这个数据中，年收入平均数大大增大，
但中位数可能不变，也可能稍微变大，
但由于数据的集中程度也受到比较大的影响，而更加离散，则方差变大.
故选：D.
5．某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（ ）
A．60B．70C．80D．100
【答案】A
【详解】
设所有参赛的500名选手成绩为：，，，；
则平均数；
方差，即；
对于A选项，若存在，则有，所以不可能是参赛选手成绩；
对于B选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；
对于C选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；
对于D选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；
综上所述，不可能是参赛选手成绩；
故选：A.
6．《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，人睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低，根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表：
注：早睡人群为23:00前人睡的人群，晚睡人群为01:00后入睡的人群．
根据表中数据，下列说法正确的是（ ）A．早睡人群睡眠指数的中位数估计在第3组
B．第1组的早睡人数少于晚睡人数
C．第5组中有的人在23:00后，01:00前人睡
D．晚睡人群的睡眠指数平均数估计落在区间
【答案】D
【详解】
对于A，由于，所以早睡人群睡眠指数的中位数估计不在第3组，故A不正确；
对于B、C，每一组中的早睡人群占比与晚睡人群占比都是以早睡与晚睡各自的总人数为基数的，所以每一组中的早睡人数与晚睡人数不能从所占的百分比来判断，故B、C不正确；
对于D，晚睡人群的睡眠指数平均数为，故D正确.
故选：D
7．为了研究某班学生的脚长x(单位：cm)和身高y(单位：cm)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其经验回归直线方程为＝x＋.已知eq \i\su(i＝1,10, )xi＝225，eq \i\su(i＝1,10, )yi＝1 600，＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( )
A．160 cm B．163 cm
C．166 cm D．170 cm
【答案】选C 由已知eq \x\t(x)＝22.5，eq \x\t(y)＝160，
∴＝160－4×22.5＝70，
当x＝24时，＝4×24＋70＝166，故选C.
8．甲、乙、丙、丁四人次随堂测验的成绩如图所示，从图中可以看出这次测验平均成绩较高且较稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】C
【分析】计算出甲、乙、丙、丁四人次随堂测验的成绩的平均值和方差，即可得出结论.
【详解】甲次随堂测验的成绩的平均值为，
方差为，
乙次随堂测验的成绩的平均值为，
方差为，
丙次随堂测验的成绩的平均值为，
方差为，
丁次随堂测验的成绩的平均值为，
方差为，
所以，，，
因此，这次测验平均成绩较高且较稳定的是丙.
故选：C.
9．甲、乙两名同学某学期的四次数学测试成绩（单位：分）如下表：
据上表计算，甲、乙两名同学四次数学测试成绩的方差分别为S甲2＝17、S乙2＝25，下列说法正确的是（ ）
A．甲同学四次数学测试成绩的平均数是89分
B．甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分
C．乙同学四次数学测试成绩的众数是80分
D．乙同学四次数学测试成绩较稳定
【答案】B
【分析】对于A，直接计算平均数判断，对于B，计算中位数判断，对于C，求出众数判断，对于D，由方差的性质判断
【详解】解：甲同学四次数学测试成绩的平均数是(87+95+85+93)＝90，A错误；
甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分，B正确；
乙同学四次数学测试成绩的众数是80分和90分，C错误；
∵S甲2
10．在对一组样本数据进行分析时，小凡列出了方差的计算公式：，根据公式不能得到的是（ ）
A．众数是6B．平均数是8C．方差是6D．中位数是8
【答案】C
【分析】由公式得到样本数据为，即可得样本的数据特征，判断各项正误.
【详解】由公式知：样本数据为，
所以众数为6，平均数为，
方差为，中位数为8.
故选：C
二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
11．某中学对该校九年级45名女学生进行了一次立定跳远测试，成绩如表：
这些立定跳远成绩的中位数和众数分别是________．
【答案】【分析】根据中位数与众数的定义可得.
【详解】将学生的成绩从小到大排列，45名学生成绩的中位数刚好是第23个，而第23个成绩是190，故中位数是190；
众数是学生成绩出现次数最多的成绩，而200出现了15次，故众数为200.
12．方差是刻画数据波动程度的量，对于一组数据，可用如下算式计算方差：，上述算式中的“2”是这组数据的__________．
【答案】【分析】根据方差的公式可判断出2为均值，从而可得正确的选项.
【详解】对于一组数据，其方差公式为：
，
结合已知的方差形式可得，
13．已知第一组数据：1、3、5、7的方差为；第二组数据：2022、2024、2026、2028的方差为，则，的大小关系是__________．
【答案】 先计算出两组数据的平均数，再根据方差的定义计算出方差，从而得出答案．
【详解】∵，，
∴，
，
∴．
14．在一次信息技术考试中，某兴趣小组7名同学的成绩（单位：分）分别是：7，10，9，8，9，9，8，则这组数据的中位数与众数分别为__________．
【答案】【解析】把数据按从小到大顺序排列后可得．
【详解】这级数据人小到大排列为：，中位数是9，众数是9．
15．若一组数据1，2，x，4的平均数是2，则这组数据的方差为______
【答案】
【分析】根据给定的平均数求出x，再利用方差的定义计算作答.
【详解】因为数据1，2，x，4的平均数是2，则，解得，
所以这组数据的方差.
故答案为：
16．五个互不相等自然数的平均数是15，中位数是18，则这五个数中最大数的最大值为__________.
【答案】
【分析】设五个互不相等的自然数从小到大分别为、、、、，依题意可得，，要使尽可能大，则其余三个数竟尽可能小，且，即可确定其余三个数，从而求出.
【详解】解：设五个互不相等的自然数从小到大分别为、、、、，
因为其平均数是，
五个互不相等自然数的和为，
中位数是，即，要使竟尽可能大，则、、需尽可能小，
则，，，此时
即这组数据为，，，，，符合题意.
这五个数中最大数的最大值为．
故答案为：．
17．海南盛产各种名贵树木，如紫檀、黄花梨等.在实际测量单根原木材体积时，可以检量木材的实际长度（检尺长）和小头直径（检尺径），再通过国家公布的原木材积表直接查询得到，原木材积表的部分数据如下所示：
若小李购买了两根紫檀原木，一根检尺长为，检尺径为，另一根检尺长为，检尺径为，根据上表，可知两根原木的材积之和为______.
【答案】0.111
【分析】由图表找到对应的数据，直接求和即可.
【详解】根据图表，检尺长为，检尺径为的原木的材积为，检尺长为，检尺径为的原木的材积为，则材积之和为.
故答案为：0.111
【点睛】此题考查了学生由统计表处理数据的能力，属于基础题.
18．已知x与y之间的几组数据如表，则y与x的经验回归直线方程＝x＋必过点( )
【答案】平均值点(2,5)
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
某班倡议假期每位学生每天至少锻炼一小时．为了解学生的锻炼情况，对该班全部34名学生在某周的锻炼时间进行了调查，调查结果如表：
(1)试根据上述数据，求这个班级女生在该周的平均锻炼时长；
(2)试判断该班男生锻炼时长的方差与女生锻炼时长的方差的大小．（直接写出结果）
【答案】(1)6.5小时(2)
【解析】
(1)
女生在该周的平均锻炼时长:
（小时）.
(2)
，
男生在该周的平均锻炼时长:
（小时）.
故，
，故.
20. 本小题分
在全运会上两名射击运动员甲、乙在比赛中打出如下成绩：
甲：9.4 8.7 7.5 8.4 10.1 10.5 10.7 7.2 7.8 10.8
乙：9.1 8.7 7.1 9.8 9.7 8.5 10.1 9.2 10.1 9.1；
(1)用茎叶图表示甲、乙两人的成绩；并根据茎叶图分析甲、乙两人的成绩；
(2)分别计算两个样本的平均数和标准差，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定，并简述茎叶图的优点．
【答案】(1)作图见解析；答案见解析
(2)答案见解析.
(1)
如图所示，茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字：
从茎叶图可以看出乙的成绩主要分布在茎叶图下部，并且数据大致对称，
甲的成绩主要分布在茎叶图上部和下部，
甲中位数是9.05，乙中位数是9.15，所以乙稳定性好，甲波动性大；
(2)
设甲的平均数和标准差分别为，乙的平均数和标准差分别为，
则，
；
，
因为，故甲运动员成绩的波动大于乙运动员的成绩波动，
故我们估计乙运动员的成绩比较稳定；
因为，故甲运动员成绩的平均值大于乙运动员的成绩，
故我们估计乙运动员的成绩相对较好.
综上，乙运动员比甲运动员成绩好且稳定.
茎叶图的优点：能表示所有的原始数据，可随时记录，动态的表示数据，
还可以从图中得出中位数．
21. 本小题分
某公司为了了解年研发资金投入量x(单位：亿元)对年销售额y(单位：亿元)的影响，对公司近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据进行了对比分析，建立了两个函数模型：①y＝α＋βx2，②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数．并得到一些统计量的值．令ui＝xeq \\al(2,i)，vi＝ln yi(i＝1,2，…，12)，经计算得如下数据：
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
(2)①根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的经验回归方程(回归系数精确到0.01)；
②若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量约是多少亿元？
附：相关系数r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2\i\su(i＝1,n, )yi－\x\t(y)2))，
经验回归直线＝＋x的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)，＝eq \x\t(y)－eq \x\t(x).参考数据：308＝4×77，eq \r(90)≈9.486 8，e4.499 8≈90.
【答案】解：(1)设{ui}和{yi}的相关系数为r1，{xi}和{vi}的相关系数为r2，
则r1＝eq \f(\i\su(i＝1,12, )ui－\x\t(u)yi－\x\t(y),\r(\i\su(i＝1,12, )ui－\x\t(u)2\i\su(i＝1,12, )yi－\x\t(y)2))＝eq \f(215,\r(31 250×2))＝eq \f(43,50)＝0.86，
r2＝eq \f(\i\su(i＝1,12, )xi－\x\t(x)vi－\x\t(v),\r(\i\su(i＝1,12, )xi－\x\t(x)2\i\su(i＝1,12, )vi－\x\t(v)2))＝eq \f(14,\r(77×3.08))＝eq \f(10,11)≈0.91.
因为|r1|<|r2|，所以从相关系数的角度，模型y＝eλx＋t的拟合程度更好．
(2)①先建立v关于x的经验回归方程，
由y＝eλx＋t，得ln y＝t＋λx，即v＝t＋λx.
因为λ＝eq \f(\i\su(i＝1,12, )xi－\x\t(x)vi－\x\t(v),\i\su(i＝1,12, )xi－\x\t(x)2)＝eq \f(2,11)≈0.18，t＝eq \x\t(v)－λeq \x\t(x)＝4.20－eq \f(2,11)×20≈0.56，
所以v关于x的经验回归方程为＝0.18x＋0.56，
所以＝e0.18x＋0.56.
②下一年销售额y需达到90亿元，即y＝90，
代入＝e0.18x＋0.56，得90＝e0.18x＋0.56，
又e4.499 8≈90，所以4.499 8≈0.18x＋0.56，
所以x≈eq \f(4.499 8－0.56,0.18)≈21.89，
所以预测下一年的研发资金投入量约是21.89亿元。
22. 本小题分
某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x(万元)和销售量y(万台)的数据如下：
(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的经验回归方程；
(2)若用y＝c＋deq \r(x)模型拟合y与x的关系，可得回归方程y＝1.63＋0.99eq \r(x)，经计算线性回归模型和该模型的R2分别为0.75和0.88，请用R2说明选择哪个回归模型更好；
(3)已知利润z与x，y的关系为z＝200y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①广告费x＝20时，销售量及利润的预报值是多少？
②广告费x为何值时，利润的预报值最大？(精确到0.01)
参考公式：回归直线＝＋x的斜率和截距的最小二乘估计值分别为＝eq \f(\(∑,\s\up6(n))\( ,\s\d4(i＝1))xiyi－n\x\t(x)\x\t(y),\(∑,\s\up6(n))\( ,\s\d4(i＝1))x\\al(2,i)－n\x\t(x)2)＝eq \f(\(∑,\s\up6(n))\( ,\s\d4(i＝1)) xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\(∑,\s\up6(n))\( ,\s\d4(i＝1)) xi－\x\t(x)2)，＝eq \x\t(y)－eq \x\t(x).
参考数据：eq \r(5)≈2.24.
【答案】解：(1)∵eq \x\t(x)＝8，eq \x\t(y)＝4.2，eq \( ,\s\d4(i＝1))xiyi＝279.4，eq \( ,\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)＝708，
∴＝eq \f(\(∑,\s\up6(7))\( ,\s\d4(i＝1))xiyi－7\x\t(x)\x\t(y),\(∑,\s\up6(7))\( ,\s\d4(i＝1))x\\al(2,i)－7\x\t(x)2)＝eq \f(279.4－7×8×4.2,708－7×82)＝0.17，
＝eq \x\t(y)－eq \x\t(x)＝4.2－0.17×8＝2.84，
∴y关于x的经验回归方程为y＝0.17x＋2.84.
(2)∵0.75＜0.88且R2越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，
∴选用y＝1.63＋0.99eq \r(x)更好．
(3)由(2)知，①当x＝20时，销售量的预报值y＝1.63＋0.99eq \r(20)≈6.07(万台)，利润的预报值z＝200×(1.63＋0.99eq \r(20))－20≈1 193.04(万元)．
②z＝200(1.63＋0.99eq \r(x))－x＝－x＋198eq \r(x)＋326＝－(eq \r(x))2＋198eq \r(x)＋326＝－(eq \r(x)－99)2＋10 127，
∴当eq \r(x)＝99，即x＝9 801时，利润的预报值最大，
故广告费为9 801万元时，利润的预报值最大．
23. 本小题分
经验表明，一般树的直径（树的主干在地而以上1.3m处的直径）越大，树就越高.由于测量树高比测量直径困难，因此研究人员希望由树的直径预测树高.在研究树高与直径的关系时，某林场收集了某种树的一些数据如下表：
(1)请用样本相关系数（精确到0.01）说明变量x和y满足一元线性回归模型；
(2)建立y关于x的一元线性回归方程；并估计当树的直径为45cm时，树高为多少？（精确到0.01）
附参考公式：相关系数
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
参考数据：
【答案】(1)答案见解析
(2)；
【分析】（1）计算，，再根据公式计算得到相关系数，得到答案.
（2）根据公式计算，，得到回归方程，代入数据计算得到答案.
【详解】（1），故，
，故，
，
故和成线性正相关，满足一元回归模型.
（2），，
，当时，.队员
比赛成绩
第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
第六轮
第七轮
第八轮
第九轮
第十轮
甲
1分51秒74
1分51秒72
1分51秒75
1分51秒80
1分51秒90
1分51秒81
1分51秒72
1分51秒94
1分51秒74
1分51秒71
乙
1分51秒70
1分51秒80
1分51秒83
1分51秒83
1分51秒80
1分51秒84
1分51秒90
1分51秒72
1分51秒90
1分51秒91
分组
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
5
18
20
32
16
9
组别
睡眠指数
早睡人群占比
晚睡人群占比
1
2
3
4
5
第一次
第二次
第三次
第四次
甲
87
95
85
93
乙
80
80
90
90
跳远成绩
160
170
180
190
200
210
人数
3
9
6
9
15
3
检尺径
（）
检尺长（）
2.0
2.2
2.4
2.5
2.6
材积（）
8
0.0130
0.0150
0.0160
0.0170
0.0180
10
0.0190
0.0220
0.0240
0.0250
0.0260
12
0.0270
0.0300
0.0330
0.0350
0.0370
14
0.0360
0.0400
0.0450
0.0470
0.0490
16
0.0470
0.0520
0.0580
0.0600
0.0630
18
0.0590
0.0650
0.0720
0.0760
0.0790
20
0.0720
0.0800
0.0880
0.0920
0.0970
22
0.0860
0.0960
0.1060
0.1110
0.1160
24
0.1020
0.1140
0.1250
0.1310
0.1370
x
0
1
3
4
y
1
4
6
9
锻炼时长/h
5
6
7
8
9
男生人数
1
2
4
3
4
女生人数
3
8
6
2
1
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
广告费支出x
1
2
4
6
11
13
19
销售量y
1.9
3.2
4.0
4.4
5.2
5.3
5.4
编号
1
2
3
4
5
6
直径x/cm
19
22
26
29
34
38
树高y/m
5
7
10
12
14
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