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中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）第10章 统计优秀精练
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这是一份中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）第10章 统计优秀精练，文件包含专题10统计知识点串讲原卷版docx、专题10统计知识点串讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。
众数
定义：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
2．中位数
定义：一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排成一列，处于最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数.
3.平均数
定义：一组数据的和与这组数据的个数的商.数据，，的平均数为.
4.极差
定义：一组数据中最大值与最小值的差
5.方差
定义：个体的变量值分别为，，，样本平均数为，则称
为方差
6.标准差
定义：为标准差
1. 某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76，则这组数据的中位数是_________（米）.
解题思路：
①将数据从小到大排序（注意一定要先排序）：1.69,1.72,1.76,1.78,1.80
②样本个数为奇数个，所以中位数是中间数：1.76.
【答案】1.76
将这5位同学的身高按照从低到高排列为：1.69,1.72,1.76,1.78,1.80，这五个数的中位数是1.76.
2．（2022·江苏·高三专题练习）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15、17、14、10、15、17、17、16、14、12.设其平均数为，中位数为，众数为，则有（ ）
A．B．C．D．
解题思路：
①将生产的件数由小到大排列为：10、12、14、14、15、15、16、17、17、17
②平均数，
所以.
③样本个数为偶数个，所以中位数是中间两个数的平均数：中位数为.
④众数：出现次数最多的数据：.
【答案】B
【详解】
解：将生产的件数由小到大排列为：10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，
∴ ，中位数为，
众数为，
因此，，
故选：B．
3. 甲乙两名运动员在某项体能测试中的6次成绩统计如表：
分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
解题思路：本题给出具体的样本数据，直接带入公式求解：
①平均数：，；
②方差：，
，
③根据数据比大小.
【答案】B
【详解】
依题意，，，
，
，
所以，.
故选：B
4. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：
甲地：总体平均数为3，中位数为4；
乙地：总体平均数为1，总体方差大于0；
丙地：总体平均数为2，总体方差为3；
丁地：中位数为2，众数为3；
则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ）
A．甲地B．乙地C．丙地D．丁地
【答案】C
【详解】
当连续10日新增疑似病例数为0,0,0,0,4,4,4,4,4,10时，显然总体平均数为3，中位数为4，故A错误；
当连续10日新增疑似病例数为0,0,0,0,0,0,0,0,0,10时，满足总体平均数为1，总体方差大于0，故B错误；
当连续10日新增疑似病例数为0,0,0,1,1,3,3,3,3,10时，满足中位数为2，众数为3，故D错误；
当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就超过3，故C正确；
故选：C．
知识点二 一元线性回归
1．一元线性回归模型
把式子eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Y＝bx＋a＋e，,Ee＝0，De＝σ2))称为Y关于x的一元线性回归模型．其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差．如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述．
2．线性回归方程与最小二乘法
设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)．
当a，b的取值为时，Q＝eq \i\su(i＝1,n, )(yi－bxi－a)2达到最小．
将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计．
[提醒] 经验回归直线一定过点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))．
5. 已知x与y之间的几组数据如表，则y与x的经验回归直线方程＝x＋必过点( )
A．(0,1) B．(2,5)
C．(1,4) D．(5,9)
解： 答案：B
6. 若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归方程y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( )
A．9亿元 B．9.5亿元
C．10亿元 D．10.5亿元
解析： 选D 因为财政收入x与支出y满足线性回归方程y＝bx＋a＋e，
其中b＝0.7，a＝3，所以得到y＝0.7x＋3＋e，
当x＝10时，得y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e，
而|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤y≤10.5，
所以年支出预计不会超过10.5亿元．故选D.
7. 已知x，y之间的数据见下表，经验回归方程为＝x＋，则( )
A.>0，<0 B.>0，>0
C.<0，<0 D.<0，>0
解析： 选A 画出散点图如图所示，y的值大致随x的增加而减小，因而两个变量呈负相关，可知<0，>0.故选A.
8. 从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看，本科生扎堆考研的原因大概集中在这6个方面：本科就业压力大，提升竞争力；通过考研选择真正感兴趣的专业；为了获得学历；继续深造；随大流；有名校情结．如图是2016～2020年全国硕士研究生报考人数的折线图．
(1)求y关于t的经验回归方程；
(2)根据(1)中的经验回归方程，预测2022年全国硕士研究生报考人数．
参考数据：eq \i\su(i＝1,5, )(ti－eq \x\t(t))(yi－eq \x\t(y))＝311.经验回归方程＝t＋中，
＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )ti－\x\t(t)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,n, )ti－\x\t(t)2)，＝eq \x\t(y)－eq \x\t(t).
(1)由题中数据得 eq \x\t(t)＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq \x\t(y)＝eq \f(165＋177＋201＋238＋290,5)＝214.2，
eq \i\su(i＝1,5, )(ti－eq \x\t(t))2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10，由参考数据知，eq \i\su(i＝1,5, )(ti－eq \x\t(t))(yi－eq \x\t(y))＝311，
所以＝eq \f(\i\su(i＝1,5, )ti－\x\t(t)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,5, )ti－\x\t(t)2)＝eq \f(311,10)＝31.1，＝eq \x\t(y)－eq \x\t(t)＝214.2－31.1×3＝120.9，
故所求经验回归方程为＝31.1t＋120.9.
(2)将2022年对应的t＝7代入经验回归方程，得＝31.1×7＋120.9＝338.6，
所以预测2022年全国硕士研究生报考人数为338.6万甲
9
8
16
15
15
14
乙
7
8
13
15
17
22
x
0
1
3
4
y
1
4
6
9
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
众数
定义：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
2．中位数
定义：一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排成一列，处于最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数.
3.平均数
定义：一组数据的和与这组数据的个数的商.数据，，的平均数为.
4.极差
定义：一组数据中最大值与最小值的差
5.方差
定义：个体的变量值分别为，，，样本平均数为，则称
为方差
6.标准差
定义：为标准差
1. 某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76，则这组数据的中位数是_________（米）.
解题思路：
①将数据从小到大排序（注意一定要先排序）：1.69,1.72,1.76,1.78,1.80
②样本个数为奇数个，所以中位数是中间数：1.76.
【答案】1.76
将这5位同学的身高按照从低到高排列为：1.69,1.72,1.76,1.78,1.80，这五个数的中位数是1.76.
2．（2022·江苏·高三专题练习）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15、17、14、10、15、17、17、16、14、12.设其平均数为，中位数为，众数为，则有（ ）
A．B．C．D．
解题思路：
①将生产的件数由小到大排列为：10、12、14、14、15、15、16、17、17、17
②平均数，
所以.
③样本个数为偶数个，所以中位数是中间两个数的平均数：中位数为.
④众数：出现次数最多的数据：.
【答案】B
【详解】
解：将生产的件数由小到大排列为：10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，
∴ ，中位数为，
众数为，
因此，，
故选：B．
3. 甲乙两名运动员在某项体能测试中的6次成绩统计如表：
分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
解题思路：本题给出具体的样本数据，直接带入公式求解：
①平均数：，；
②方差：，
，
③根据数据比大小.
【答案】B
【详解】
依题意，，，
，
，
所以，.
故选：B
4. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：
甲地：总体平均数为3，中位数为4；
乙地：总体平均数为1，总体方差大于0；
丙地：总体平均数为2，总体方差为3；
丁地：中位数为2，众数为3；
则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ）
A．甲地B．乙地C．丙地D．丁地
【答案】C
【详解】
当连续10日新增疑似病例数为0,0,0,0,4,4,4,4,4,10时，显然总体平均数为3，中位数为4，故A错误；
当连续10日新增疑似病例数为0,0,0,0,0,0,0,0,0,10时，满足总体平均数为1，总体方差大于0，故B错误；
当连续10日新增疑似病例数为0,0,0,1,1,3,3,3,3,10时，满足中位数为2，众数为3，故D错误；
当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就超过3，故C正确；
故选：C．
知识点二 一元线性回归
1．一元线性回归模型
把式子eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Y＝bx＋a＋e，,Ee＝0，De＝σ2))称为Y关于x的一元线性回归模型．其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差．如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述．
2．线性回归方程与最小二乘法
设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)．
当a，b的取值为时，Q＝eq \i\su(i＝1,n, )(yi－bxi－a)2达到最小．
将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计．
[提醒] 经验回归直线一定过点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))．
5. 已知x与y之间的几组数据如表，则y与x的经验回归直线方程＝x＋必过点( )
A．(0,1) B．(2,5)
C．(1,4) D．(5,9)
解： 答案：B
6. 若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归方程y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( )
A．9亿元 B．9.5亿元
C．10亿元 D．10.5亿元
解析： 选D 因为财政收入x与支出y满足线性回归方程y＝bx＋a＋e，
其中b＝0.7，a＝3，所以得到y＝0.7x＋3＋e，
当x＝10时，得y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e，
而|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤y≤10.5，
所以年支出预计不会超过10.5亿元．故选D.
7. 已知x，y之间的数据见下表，经验回归方程为＝x＋，则( )
A.>0，<0 B.>0，>0
C.<0，<0 D.<0，>0
解析： 选A 画出散点图如图所示，y的值大致随x的增加而减小，因而两个变量呈负相关，可知<0，>0.故选A.
8. 从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看，本科生扎堆考研的原因大概集中在这6个方面：本科就业压力大，提升竞争力；通过考研选择真正感兴趣的专业；为了获得学历；继续深造；随大流；有名校情结．如图是2016～2020年全国硕士研究生报考人数的折线图．
(1)求y关于t的经验回归方程；
(2)根据(1)中的经验回归方程，预测2022年全国硕士研究生报考人数．
参考数据：eq \i\su(i＝1,5, )(ti－eq \x\t(t))(yi－eq \x\t(y))＝311.经验回归方程＝t＋中，
＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )ti－\x\t(t)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,n, )ti－\x\t(t)2)，＝eq \x\t(y)－eq \x\t(t).
(1)由题中数据得 eq \x\t(t)＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq \x\t(y)＝eq \f(165＋177＋201＋238＋290,5)＝214.2，
eq \i\su(i＝1,5, )(ti－eq \x\t(t))2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10，由参考数据知，eq \i\su(i＝1,5, )(ti－eq \x\t(t))(yi－eq \x\t(y))＝311，
所以＝eq \f(\i\su(i＝1,5, )ti－\x\t(t)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,5, )ti－\x\t(t)2)＝eq \f(311,10)＝31.1，＝eq \x\t(y)－eq \x\t(t)＝214.2－31.1×3＝120.9，
故所求经验回归方程为＝31.1t＋120.9.
(2)将2022年对应的t＝7代入经验回归方程，得＝31.1×7＋120.9＝338.6，
所以预测2022年全国硕士研究生报考人数为338.6万甲
9
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2.5
－0.5
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－3.0
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