2024-2025学年度北师版九上数学-第十周自主评价练习（期中测评卷）【上课课件】

这是一份2024-2025学年度北师版九上数学-第十周自主评价练习（期中测评卷）【上课课件】，共57页。PPT课件主要包含了第一章至第四章，A卷共100分等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 如图，将矩形 ABCD 对折，使边 AB 与 DC ， BC 与 AD 分别重 合，展开后得到四边形 EFGH . 若 AB ＝2， BC ＝4，则四边形 EFGH 的面积为（　B　）
2. 一元二次方程 x2－3 x ＋1＝0的根的情况（　B　）
3. 随机抛掷一枚瓶盖5 000次，经过统计得到“正面朝上”的次 数为2 100次，则可以由此估计抛掷这枚瓶盖出现“正面朝上” 的概率为（　B　）
4. 如图，点 D ， E ， F 分别是△ ABC 各边中点，则以下说法错 误的是（　C　）
5. 如图，已知∠ DAB ＝∠ CAE ，则添加下列一个条件后，仍然 无法判定△ ABC ∽△ ADE 的是（　A　）
6. 如图，在菱形 ABCD 中， AB ＝5， AC ＝6，过点 D 作 DE ⊥ BA ，交 BA 的延长线于点 E ，则线段 DE 的长为（　D　）
7. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有 门，不知其高宽；有竿，不知其长短.横放，竿比门宽长出4 尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相 等.则门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为 x 尺，下列方程符合题意的是（　B　）
11. 如图，在△ ABC 中，点 P 为边 AB 上一点，且∠ ACP ＝∠ B . 若 AP ＝6， BP ＝4，则 AC 的长为 .
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （本小题满分12分，每题6分）解下列方程：
（1） x2－2 x －3＝0；　　
解：（1）因式分解，得（ x －3）（ x ＋1）＝0，∴ x －3＝0或 x ＋1＝0.∴ x1＝3， x2＝－1.
（2）2 x2－3 x －1＝0.
15. （本小题满分8分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E ， F 在对 角线 BD 上， AE ∥ CF ，连接 AF ， CE ，试判断四边形 AECF 的 形状，并说明理由.
解：四边形 AECF 是菱形.理由如下：
如答图，连接 AC ，交 BD 交于点 O .
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AC ⊥ EF ， AO ＝ CO .
∵ AE ∥ CF ，∴∠ AEF ＝∠ CFE .
又∵ AC ⊥ EF ，
∴平行四边形 AECF 是菱形.
∵∠ AOE ＝∠ COF ，
∴△ AOE ≌△ COF （AAS）.∴ OE ＝ OF .
∵ OA ＝ OC ，∴四边形 AECF 是平行四边形.
16. （本小题满分8分）某中学为进一步提高研学质量，着力培 养学生的核心素养，选取了A. “青少年科技馆”；B. “黄河入 海口湿地公园”；C. “孙子文化园”；D. “白鹭湖营地”四个 研学基地进行研学.为了解学生对以上研学基地的喜欢情况，随 机抽取部分学生进行调查统计（每名学生必须且只能选择一个 研学基地），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如 图所示）.
请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）在本次调查中，一共抽取了 人进行调查，在扇 形统计图中“A”所对应圆心角的度数为 ，并补全条 形统计图；
（2）若该校共有480名学生，请你估计选择研学基地C的学 生人数；
解：（2）480×25％＝120（人）.∴估计该校选择研学基地C的 学生有120人.
（3）学校想从选择研学基地D的学生中选取两名学生了解他们 对研学活动的看法，已知选择研学基地D的学生中恰有两名女 生，请用列表或画树状图的方法求出所选两人都是男生的概率.
（1）求证：无论 k 为何实数，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根 x1， x2满足 x1－ x2＝3，求 k 的值.
（1）如图1，当 AE ＝ AF 时，求∠ AEB 的度数.
解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，∴ BC ∥ AD ，∠ BAC ＝∠ DAC . ∴∠ ABC ＋∠ BAD ＝180°.
∵∠ ABC ＝120°，∴∠ BAD ＝60°.∴∠ EAF ＝30°.∵ AE ＝ AF ，∴∠ AEF ＝∠ AFE ＝75°.由旋转可知，∠ BEF ＝120°，∴∠ AEB ＝120°－75°＝45°.
（2）如图2，分别过点 B ， F 作 EF ， BE 的平行线，且两直线相 交于点 G . ①试探究四边形 BGFE 的形状，并求出四边形 BGFE 周长的 最小值；
解：（2）①如图1，连接 DE . ∵ AB ＝ AD ，∠ BAE ＝∠ DAE ， AE ＝ AE ，∴△ BAE ≌△ DAE （SAS）.∴ BE ＝ DE ，∠ ABE ＝∠ ADE .
由旋转可知，∠ BEF ＝120°，∴∠ BAF ＋∠ BEF ＝60°＋120°＝180°.∴∠ ABE ＋∠ AFE ＝180°.∵∠ AFE ＋∠ EFD ＝180°，∴∠ EFD ＝∠ ABE . ∴∠ EFD ＝∠ ADE . ∴ EF ＝ ED . ∴ EF ＝ BE .
②如图2，连接 BD ， DE ，过点 E 作 EH ⊥ CD 于点 H . ∵ AB ＝ AD ，∠ BAD ＝60°，∴△ ABD 是等边三角形.∴ BD ＝ AB ，∠ ABD ＝60°.∵ BG ∥ EF ，∴∠ EBG ＝180°－∠ BEF ＝60°.∴∠ ABD ＝∠ GBE . ∴∠ ABG ＝∠ DBE . 又∵ BG ＝ BE ，∴△ ABG ≌△ DBE （SAS）.∴ AG ＝ DE ＝ y .
②连接 AG ，设 CE ＝ x ， AG ＝ y ，写出 y 与 x 之间满足的关系式.
21. 班长邀请 A ， B ， C ， D 四位同学参加圆桌会议.如图，班长 坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则 A ， B 两位同学座位相邻的概率是 .
23. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ BCD ＝90°，对角线 AC ， BD 相交于点 O . 若 AB ＝ AC ＝5， BC ＝6，∠ ADB ＝2∠ CBD ，则 AD 的长为 .
二、解答题（共30分）24. （本小题满分8分）某电商在网络平台上对一款成本价为40 元的小商品进行直播销售，若按每件60元销售，每天可卖出20 件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低2元，日销售量 增加4件.
（1）当每件小商品售价降为多少元时，每天的销售量为36件？ 并求出此时的利润.
解：（1）由题意，得60－（36－20）÷4×2＝52（元），此时的利润为（52－40）×36＝432（元）.故当每件小商品售价降为52元时，每天的销售量为36件，此时 的利润为432元.
（2）若降价后每天的利润不变，则每件小商品售价应定为 多少元？
解：（2）设每件小商品售价应定为 x 元，则每件利润为（ x －40）元，日销售量为（140－2 x ）件.由题意，得（ x －40）（140－2 x ）＝（60－40）×20，解得 x1＝50， x2＝60（舍去）.∴每件小商品售价应定为50元.
②若∠ CBO ＝45°，求△ BOC 的面积.
（2）是否存在点 B ，使得以点 A ， B ， C 为顶点的三角形与△ BCO 相似？若存在，求 BO 的长；若不存在，请说明理由.
解：（2）存在点 B ，使得以点 A ， B ， C 为顶点的三角形与△ BCO 相似.过点 A 作 AM ⊥ OB 于点 M . 由（1）②可知， AM ＝3， OM ＝8.
26. （本小题满分12分）如图1，在正方形 ABCD 中，点 M 为 CD 边上一点，过点 M 作 MN ⊥ CD 且 DM ＝ MN ，连接 DN ， BM ， CN ，点 P ， Q 分别为 BM ， CN 的中点，连接 PQ .
（1）求证： CM ＝2 PQ .
（1）证明：如图1，连接 BD ，取 MN 的中点 E ，连接 EP ， EQ .
∵ MN ⊥ CD 且 DM ＝ MN ，
∴△ DMN 是等腰直角三角形.
∴∠ MDN ＝45°.
∵点 E ， P 分别为 MN ， BM 的中点，
∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ MDB ＝45°.
∴ D ， N ， B 三点共线.
设 DC ＝1， DM ＝ a ，
∴ QF 垂直平分 EP . ∴ EQ ＝ PQ .
∵点 E ， Q 分别为 MN ， CN 的中点，
过点 Q 作 QF ⊥ EP ，则△ QFE 是等腰直角三角形.
（2）如图2，将图1中的△ DMN 绕正方形 ABCD 的顶点 D 按顺 时针方向旋转α（0°≤α≤90°）.①（1）中的结论是否成立？若成立，请结合图2写出证明过 程；若不成立，请说明理由.
（2）解：①如图2，连接 BD ，取 MN 的中点 E ，连接 EP ， EQ ， BN .
∵∠ CDB ＝∠ MDN ＝45°，∠ CDM ＋∠ MDB ＝∠ BDN ＋∠ MDB ，
∴∠ CDM ＝∠ BDN .
∴∠ PEM ＝∠ BNM ，∠ PEN ＝180°－∠ BNM ＝180°－（∠ BND －45°）＝225°－∠ BND .
∴∠ NEQ ＝∠ NMC ，∠ MEQ ＝180°－∠ EMC ＝180°－（360° －90°－∠ DMC ）＝∠ DMC －90°.
过点 Q 作 QK ⊥ EP 于点 K ，则△ EKQ 是等腰直角三角形，
∵2 EQ ＝ CM ，∴ CM ＝2 PQ .
如图4，当点 B ， M ， N 共线，点 M 在 DC 的下方时.