重庆合川区南屏中学2023-2024学年数学八年级第一学期期末学业质量监测试题【含解析】

这是一份重庆合川区南屏中学2023-2024学年数学八年级第一学期期末学业质量监测试题【含解析】，共21页。试卷主要包含了下列四个实数中，无理数是，等于，点向右平移个单位后的坐标为等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A＝30°，AE＝6cm，那么CE等于（ ）
A．cmB．2cmC．3cmD．4cm
2．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则以为三边的三角形的面积为（ ）
A．B．1C．2D．
4．已知是完全平方式，则的值是( )
A．5B．C．D．
5．下列四个实数中，无理数是（ ）
A．3.14B．﹣πC．0D．
6．如图所示，三角形ABC的面积为1cm1．AP垂直∠B的平分线BP于P．则与三角形PBC的面积相等的长方形是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．等于（ ）
A．2B．-2C．1D．0
8．如图,∠MON=600，且OA平分∠MON，P是射线OA上的一个点，且OP=4，若Q是射线OM上的一个动点，则PQ的最小值为（ ）.
A．1B．2C．3D．4
9．点向右平移个单位后的坐标为( )
A．B．C．D．
10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密后传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为，明文a，b对应的密文为a＋2b，2a－b，例如：明文1，2对应的密文是5，0，当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是( )
A．3，－1B．1，－3C．－3，1D．－1，3
11．把分式中的a和b都变为原来的2倍，那么该分式的值（ ）
A．变为原来的2倍B．变为原来的4倍C．不变D．变为原来的8倍
12．25的平方根是（ ）
A．±5B．﹣5C．5D．25
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知三角形三边长分别为6,8,9，则此三角形的面积为__________．
14．无论取什么实数，点都在直线上，若点是直线上的点，那么__________．
15．分解因式：=______．
16．如图，在中，BD平分，于点F,于点E，若，则点D到边AB的距离为_____________.
17．已知的两条边长分别为4和8，第三边的长为，则的取值范围______．
18．我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC和∠EDF，使与始终全等，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动，则的理由是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，四边形ABCD的顶点坐标为A（—5，1），B（—1，1）， C（—1，6），D（—5，4），请作出四边形ABCD关于x轴及y轴的对称图形，并写出坐标．
20．（8分）（材料阅读）我们曾解决过课本中的这样一道题目：
如图，四边形是正方形，为边上一点，延长至，使，连接.……
提炼1：绕点顺时针旋转90°得到；
提炼2：；
提炼3：旋转、平移、轴对称是图形全等变换的三种方式.
（问题解决）（1）如图，四边形是正方形，为边上一点，连接，将沿折叠，点落在处，交于点，连接.可得： °；三者间的数量关系是 .
（2）如图，四边形的面积为8，，，连接.求的长度.
（3）如图，在中，，，点在边上，.写出间的数量关系，并证明.
21．（8分）某条道路限速如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速测检测仪间的距离为，这辆小汽车超速了吗？
22．（10分）列方程组解应用题某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，计划购买黑、白两种颜色的文化衫进行手绘设计后出售，并将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花2400元购买了黑、白两种颜色的文化衫100件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：
(1)学校购进黑、白文化衫各几件?
(2)通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润．
23．（10分）已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的顶点的坐标为，顶点在轴上(点在点的右侧)，点在上，连接，且．
(1)如图1，求点的纵坐标；
(2)如图2，点在轴上(点在点的左侧)，点在上，连接交于点；若，求证：
(3)如图3，在(2)的条件下，是的角平分线，点与点关于轴对称，过点作分别交于点，若，求点的坐标．
24．（10分）在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上．
（1）B点关于y轴的对称点坐标为______ ；
（2）将△AOB向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；
（3）在（2）的条件下，△AOB边AB上有一点P的坐标为（a，b），则平移后对应点P1的坐标为______ ．
25．（12分）如图，在中，，为边上的任意点，为线段的中点，.
(1)求证:；
(2)求证:.
26．已知3a+b的立方根是2，b是的整数部分，求a+b的算术平方根．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据在直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半得出AE＝2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的距离相等得出ED＝CE，即可得出CE的值．
【详解】∵ED⊥AB，∠A＝30°，∴AE＝2ED．
∵AE＝6cm，∴ED＝3cm．
∵∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，∴ED＝CE，∴CE＝3cm．
故选C．
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点是在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的基本性质，关键是求出ED＝CE．
2、B
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，本选项错误；
B、是最简二次根式，本选项正确；
C、不是最简二次根式，本选项错误；
D、不是最简二次根式，本选项错误；
故选B．
【点睛】
此题考查了最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
3、B
【分析】根据二次根式与偶数次幂的非负性，求出a，b，c的值，从而得到以为三边的三角形是直角三角形，进而即可求解．
【详解】∵，
∴，
又∵，
∴，
∴a=1，b=2，c=，
∴，
∴以为三边的三角形是直角三角形，
∴以为三边的三角形的面积=．
故选B．
【点睛】
本题主要考查二次根式与偶数次幂的非负性以及勾股定理的逆定理，掌握二次根式与偶数次幂的非负性以及勾股定理的逆定理，是解题的关键．
4、D
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项确定m的值．
【详解】解：∵
∴my＝±2•y•5，
∴m＝±10，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
5、B
【分析】根据无理数的定义，可得答案．
【详解】解：3.14,0，，都是有理数；﹣π是无理数.
故选：B．
【点睛】
本题考查无理数的定义与形式，理解掌握无理数的定义是关键.
6、B
【分析】过P点作PE⊥BP，垂足为P，交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．
【详解】解：过P点作PE⊥BP，垂足为P，交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∠ABP=∠EBP，
又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°，
∴△ABP≌△BEP，
∴AP=PE，
∵△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC=S△PCE，
∴三角形PBC的面积=三角形ABC的面积=cm1，
选项中只有B的长方形面积为cm1，
故选B．
7、C
【解析】根据任何非0数的0次幂都等于1即可得出结论．
【详解】解:
故选C．
【点睛】
此题考查的是零指数幂的性质,掌握任何非0数的0次幂都等于1是解决此题的关键．
8、B
【分析】根据垂线段最短得出当PQ⊥OM时，PQ的值最小，然后利用30°角对应的直角边等于斜边的一半进一步求解即可.
【详解】当PQ⊥OM时，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，∠MON=60°
∴∠AOQ=30°
∵ PQ⊥OM，OP =4，
∴OP=2PQ，
∴PQ=2，
所以答案为B选项.
【点睛】
本题主要考查了垂线段以及30°角对应的直角边的相关性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
9、C
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【详解】解：把点(−1,3)向右平移3个单位后所得的点的坐标为：(−1+3,3)，即(2,3)，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
10、A
【分析】根据题意可得方程组，再解方程组即可．
【详解】由题意得：，
解得：，
故选A．
11、C
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．即可判断．
【详解】解：分式中的a和b都变为原来的2倍可得
，
则该分式的值不变．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点是分式的基本性质，解题的关键是熟练的掌握分式的基本性质．
12、A
【分析】如果一个数x的平方等于a，那么x是a是平方根，根据此定义即可解题．
【详解】∵（±1）2=21
∴21的平方根±1．
故选A.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】由海伦公式：S=，其中可计算三角形的面积．
【详解】由题意知a=6，b=8，c=9，p=；
∴由海伦公式计算
S=
故答案为：
【点睛】
本题考查了利用三边长求三角形面积的应用问题，也考查了二次根式的化简．
解题的关键是掌握海伦公式求三角形的面积．
14、16
【分析】由点坐标可求出直线的解析式，从而可找到和之间的关系，代入即可求得的值．
【详解】解：设点所在直线的解析式为，
依题意得：
∴，
∵无论取什么实数，恒成立，
∴ ，
∴
直线的解析式为，
点是直线上的动点，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式．
15、x（x+2）（x﹣2）．
【解析】试题分析：==x（x+2）（x﹣2）．故答案为x（x+2）（x﹣2）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解．
16、5
【分析】根据角平分线的性质定理，即可求解.
【详解】∵在中，BD平分，于点F，于点E，
∴DE=DF=5,
∴点D到边AB的距离为5.
故答案是:5
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理是解题的关键.
17、4＜＜1
【分析】根据三角形三边关系定理可得8-4＜＜8＋4，进而求解即可．
【详解】由题意，得
8-4＜＜8＋4，
即4＜＜1．
故答案为：4＜＜1．
【点睛】
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
18、ASA
【分析】根据确定三角形全等的条件进行判定即可得解．
【详解】解：由题意可知：
伞柄AP平分∠BAC，∴∠BAP=∠CAP，
伞柄AP平分∠EDF，∴∠EDA=∠FDA，
且AD=AD，
∴△AED≌△AFD(ASA)，
故答案为：ASA．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，理解题意确定出全等的三角形以及全等的条件是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、详见解析
【解析】根据平面直角坐标系,分别找出点A、B、C、D关于x轴的对称点A′、B′、C′、D′的位置,然后顺次连接即可,根据关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数写出各点的坐标即可,根据平面直角坐标系,分别找出点A、B、C、D关于y轴的对称点A″、B″、C″、D″的位置,然后顺次连接即可,根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标相同写出各点的坐标即可．
【详解】
解：如图所示,四边形A′B′C′D′即为所求作的关于x轴的对称图形,
A′（-5,-1）,B′（-1,-1）,C′（-1,-6）,D′（-5,-4）,
四边形A″B″C″D″即为所求作的关于y轴的对称图形,
A″（5,1）,B″（1,1）,C″（1,6）,D″（5,4）．
【点睛】
本题主要考查了利用轴对称变换作图和关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数,关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同,解决本题的关键是准确找出各对称点的位置.
20、（1）45，；（2）4；（3），见解析
【分析】（1）根据折叠的性质可得DG=DA=DC，根据HL证明△DAF≌△DGF，得到AF=GF，，故可求解；
（2）延长到，使，连接，证明，再得到△AEC为等腰直角三角形，根据四边形的面积与的面积相等，即可利用等腰直角三角形求出AC的长；
（3）将绕点逆时针旋转90°得到，连接，可证明.
得到，可求得，得到，由即可证明.
【详解】解：（1）∵将沿折叠得到△GDE,根据折叠的性质可得DG=DA=DC，
∵,DF=DF,
∴Rt△DAF≌Rt△DGF，
∴AF=GF，，
∴=;
EF=FG+EG=AF+CE,即
故答案为：45°，；
（2）如图，延长到，使，连接.
∵
∴
又
∴
又BC=DE,
∴，
∴，.
∴.
∴为等腰直角三角形，
∵四边形的面积为8，∴的面积为8.
∴.
解得，.（-4舍去）
（3），理由如下：
如图：将绕点逆时针旋转90°得到，连接.
∴,
∵，∴
∴
又CE=CE,CD=CH
∴.
∴.
∵旋转角=90°，
∴.
∴.
又，
∴.
【点睛】
此题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键根据题意构造辅助线，利用等腰三角形、全等三角形的判定与性质进行求解.
21、小汽车超速了.
【分析】根据勾股定理求出小汽车在内行驶的距离,再求出其速度,与比较即可.
【详解】解:在中,
米
,
,
所以小汽车超速了.
【点睛】
本题结合速度问题考查了勾股定理的应用,理解题意,合理运用定理是解答关键.
22、（1）学校购进黑文化衫80件，白文化衫20件；（2）该校这次义卖活动共获得1900元利润．
【分析】（1）设学校购进黑文化衫x件，白文化衫y件，根据两种文化衫100件共花费2400元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总利润=每件利润×数量，即可求出结论．
【详解】解：（1）设学校购进黑文化衫x件，白文化衫y件，
依题意，得：；
解得：
答：学校购进黑文化衫80件，白文化衫20件．
（2）（45-25）×80+（35-20）×20=1900（元）．
答：该校这次义卖活动共获得1900元利润．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
23、（1）点的纵坐标为 1；（1）证明见解析；（3）点的坐标为．
【分析】（1）由得出，然后通过等量代换得出，则有，进而有，则点C的纵坐标可求；
（1）通过推导出，然后求出，则利用含30°的直角三角形的性质即可证明结论；
（3）连接，过点 作交 轴于点，先推出 ，然后通过垂直和角度之间的代换得出 则有 ，然后进一步，再因为 得出的值，则可求出 ，利用即可求出的值，则点E的坐标可求．
【详解】（1）如图 ，过点作于点


又



∴点的纵坐标为 1．
（1）


又


（3）如图 ，连接，过点作交轴于点


又

∵



∵点与点关于轴对称，点在轴上











∵点在轴上，且在点 的上方．
∴点的坐标为．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质，含30°的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质，平行线的性质，含30°的直角三角形的性质，垂直平分线的性质是解题的关键，第(3)问有一定的难度，主要是在于辅助线的作法．
24、（1）（﹣3，1）（1）见解析（3）（a﹣3，b+1）
【解析】试题分析：（1）根据坐标系可得B点坐标，再根据关于y轴对称的对称点的坐标特点：横坐标相反，纵坐标不变可得答案；
（1）首先确定A、B、C三点平移后的对应点位置，然后再连接即可；
（3）根据△AOB的平移可得P的坐标为（a，b），平移后横坐标﹣3，纵坐标+1．
解：（1）B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，1），
故答案为（﹣3，1）；
（1）如图所示：
（3）P的坐标为（a，b）平移后对应点P1的坐标为（a﹣3，b+1）．
故答案为（a﹣3，b+1）．
点评：此题主要考查了作图﹣﹣平移变换，关键是几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的平移图形时，也就是确定一些特殊点的对应点．
25、（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由余角的性质可得∠C=∠BAD=∠DAE；
（2）由“ASA”可证△ABC≌△EAF，可得AF=BC．
【详解】证明:，为线段BE的中点，
,
，
(2).
,
又,
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
26、1．
【分析】首先根据立方根的概念可得3a+b的值，接着估计的大小，可得b的值；进而可得a、b的值，进而可得a+b；最后根据平方根的求法可得答案．
【详解】解：根据题意，可得3a+b=8；
又∵1＜＜3，
∴b=1，
∴3a+1=8；
解得：a=1
∴a+b =1+1=4，
∴a+b的算术平方根为1．
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查了立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
批发价（元)
零售价（元)
黑色文化衫
25
45
白色文化衫
20
35