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高考数学二轮复习圆锥曲线专题——蒙日圆
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这是一份高考数学二轮复习圆锥曲线专题——蒙日圆，共5页。
蒙日圆蒙日圆定理的内容：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。如图，设椭圆的方程是。两切线PM和PN互相垂直，交于点P。求证：点P在圆上。证明：若两条切线中有一条平行于x轴时，则另一条必定平行于y轴，显然前者通过短轴端点，而后者通过长轴端点，其交点P的坐标只能是： 它必定在圆上。现考察一般情况，两条切线均不和坐标轴平行。可设两条切线方程如下： 联立两切线方程 GOTOBUTTON ZEqnNum930645 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum930645 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (2)和 GOTOBUTTON ZEqnNum962611 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum962611 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (3)可求出交点P的坐标为： 从而P点距离椭圆中心O的距离的平方为： 现将PM的方程代入椭圆方程，消去y，化简整理得： 由于PM是椭圆的切线，故以上关于x的一元二次方程，其判别式应等于0，化简后可得： 对于切线PN，代入椭圆方程后，消去y，令判别式等于0，同理可得： 为方便起见，令： 这样 GOTOBUTTON ZEqnNum676965 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum676965 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (7)和 GOTOBUTTON ZEqnNum280871 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum280871 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (8)就分别化为了关于M和N的一元一次方程，不难解出： ， 将 GOTOBUTTON ZEqnNum411096 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum411096 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (10)和 GOTOBUTTON ZEqnNum524275 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum524275 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (11)代入 GOTOBUTTON ZEqnNum757290 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum757290 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (5)，就得到： 证毕。 例1.(2014广东)已知椭圆的一个焦点为，离心率为，（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。例2.给定椭圆,称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到F的距离为 (1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程; (2)点P是椭圆C的“准圆”上的动点,过点P作椭圆的切线,交“准圆”于点M,N. (ⅰ)当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求直线,的方程并证明; (ⅱ)求证:线段MN的长为定值并求该定值. 解：（1）∵c＝，a＝，∴b＝＝1，∴椭圆方程为+y2＝1，准圆方程为x2+y2＝4；（2）（ⅰ）因为准圆x2+y2＝4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y＝kx+2，所以由得（1+3k2）x2+12kx+9＝0．因为直线y＝kx+2与椭圆相切，所以△＝144k2﹣4×9（1+3k2）＝0，解得k＝±1，所以直线l1、l2的方程为y＝x+2和y＝﹣x+2；且k1•k2＝﹣1，∴l1⊥l2．（ⅱ）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：x＝±，当l1：x＝时，l1与准圆交于点（，1）和（，﹣1），此时l2为y＝1（或y＝﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1：x＝﹣时，直线l1，l2垂直；②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中+＝4；设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y＝t（x﹣x0）+y0，所以由，得（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3﹣3＝0；由△＝0化简整理得（3﹣）t2+2x0y0t+1﹣＝0，因为+＝4，所以有（3﹣）t2+2x0y0t+（﹣3）＝0；设l1，l2的斜率分别为t1和t2，因为l1，l2与椭圆相切，所以t1，t2满足上述方程（3﹣）t2+2x0y0t+（﹣3）＝0，所以t1•t2＝﹣1，即l1，l2垂直；综合①②知：因为l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M、N，且l1，l2 垂直；所以线段MN为准圆x2+y2＝4的直径，|MN|＝4，所以线段MN的长为定值．例3.（2015秋•宜昌月考）给定椭圆C：+＝1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（，0），且其短轴上的一个端点到F的距离为．（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（2）过点（1，0）作一条倾斜角为30°的直线与椭圆交于A，B两点．若在椭圆上存在一点C满足＝λ（+），试求λ的值；（3）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直，并说明理由．【分析】（1）欲求椭圆C的方程和其“准圆”方程，只要求出半径即可，即分别求出椭圆方程中的a，b即得，这由题意不难求得；（2）确定直线l的方程，代入椭圆方程并整理，利用韦达定理，结合＝λ（+），求出C的坐标，代入椭圆方程，即可求λ的值．（3）先分两种情况讨论：①当l1，l2中有一条无斜率时；②．②当l1，l2都有斜率时，第一种情形比较简单，对于第二种情形，将与椭圆只有一个公共点的直线为y＝t（x﹣x0）+y0，代入椭圆方程，消去去y得到一个关于x的二次方程，根据根的判别式等于0得到一个方程：（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）＝0，而直线l1，l2的斜率正好是这个方程的两个根，从而证得l1⊥l2．解：（1）因为，所以b＝1所以椭圆的方程为，准圆的方程为x2+y2＝4．（2）过点（1，0）作一条倾斜角为30°的直线的方程为y＝tan30°（x﹣1）＝（x﹣1），代入椭圆方程，并整理得x2﹣x﹣1＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝1，∴y1+y2＝（x1﹣1）+（x2﹣1）＝（x1+x2﹣2）＝﹣．∴＝λ（+）＝λ（x1+x2，y1+y2）＝λ（1，﹣），∴C点坐标为（λ，﹣λ），代入椭圆方程，可得+＝1，∴2λ2＝3，解得λ＝±．（3）①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当l1方程为时，此时l1与准圆交于点，此时经过点（或且与椭圆只有一个公共点的直线是y＝1（或y＝﹣1），即l2为y＝1（或y＝﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证l1方程为时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x02+y02＝4，设经过点P（x0，y0），与椭圆只有一个公共点的直线为y＝t（x﹣x0）+y0，则，消去y得到x2+3（tx+（y0﹣tx0））2﹣3＝0，即（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3＝0，△＝[6t（y0﹣tx0）]2﹣4•（1+3t2）[3（y0﹣tx0）2﹣3]＝0，经过化简得到：（3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02＝0，因为x02+y02＝4，所以有（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）＝0，设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，所以t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）＝0，所以t1•t2＝﹣1，即l1，l2垂直．例4.已知椭圆 ,该椭圆上、左、下顶点及右焦点围成的四边形面积为,离心率为 (1)求椭圆的方程; (2)如图,若矩形ABCD的四条边都与该椭圆相切,求矩形ABCD面积的最大值.【分析】（1）由题意可得：＝3，＝，a2＝b2+c2，联立解出即可得出．（2）令A（x0，y0），当AB斜率为0或不存在时，可得SABCD＝8．当AB斜率存在且不为0时，设AB方程：y＝kx+y0﹣kx0．代入椭圆方程可得：（3+4k2）x2﹣8k（kx0﹣y0）x+4﹣12＝0，根据AB与椭圆相切，可得△＝0，化为：k2﹣2kx0y0+﹣3﹣4k2＝0，同理可得AD与椭圆相切，可得：+2kx0y0+﹣3k2﹣4＝0．进而得出．解：（1）由题意可得：＝3，＝，a2＝b2+c2，联立解得a＝2，b＝，c＝1．∴椭圆的方程为＝1．（2）令A（x0，y0），当AB斜率为0或不存在时，可得SABCD＝8．当AB斜率存在且不为0时，设AB方程：y＝kx+y0﹣kx0．代入椭圆方程可得：3x2+4，化为：（3+4k2）x2﹣8k（kx0﹣y0）x+4﹣12＝0，∵AB与椭圆相切，可得△＝﹣4（3+4k2）＝0，化为：k2﹣2kx0y0+﹣3﹣4k2＝0，①．同理可得AD与椭圆相切，可得﹣2x0y0+﹣3﹣4＝0，化为：+2kx0y0+﹣3k2﹣4＝0．②①+②可得：＝7．即A点在以原点为圆心，为半径的圆上．∴ABCD为以原点为圆心，为半径的圆的内接矩形，只有当ABCD为正方形时面积最大．可得SABCD＝14． 例5.（2019南通二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：，椭圆C2：，C2与C1的长轴长之比为∶1，离心率相同．（1）求椭圆C2的标准方程；（2）设点为椭圆C2上一点．① 射线与椭圆C1依次交于点，求证：为定值；② 过点作两条斜率分别为的直线，且直线与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证：为定值．【分析】（1）根据题意求出a和b的值，即可写出椭圆C2的标准方程；（2）①讨论直线OP斜率不存在和直线OP斜率存在时，分别计算是值即可；②设出点P的坐标，写出直线l1和l2的方程，分别与椭圆C1的方程联立，消去y得关于x的方程，利用根与系数的关系，结合椭圆方程求出k1•k2的值．解：（1）设椭圆C2的焦距为2c，由题意知，a＝2，，a2＝b2+c2，解得b＝，因此椭圆C2的标准方程为＝1；（2）①1°当直线OP斜率不存在时，PA＝﹣1，PB＝+1，则；2°当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为y＝kx，代入椭圆C1的方程，消去y，得（4k2+1）x2＝4，所以xA2＝，同理xP2＝；所以xP2＝2xA2，由题意，xP与xA同号，所以xP＝，从而，所以为定值；②设P（x0，y0），所以直线l1的方程为y﹣y0＝k1（x﹣x0），即y＝k1x+k1y0﹣x0，记t＝k1y0﹣x0，则l1的方程为y＝k1x+t，代入椭圆C1的方程，消去y，得（4k12+1）x2+8k1tx+4t2﹣4＝0，因为直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，所以△＝（8k1t）2﹣4（4k12+1）（4t2﹣4）＝0，即4k12﹣t2+1＝0，将t＝k1y0﹣x0代入上式，整理得，（x02﹣4）k12﹣2x0y0k1+y02﹣1＝0，同理可得，（x02﹣4）k22﹣2x0y0k2+y02﹣1＝0，所以k1，k2为关于k的方程（x02﹣4）k2﹣2x0y0k+y02﹣1＝0的两根，从而k1•k2＝；又点在P（x0，y0）椭圆C2：＝1上，所以y02＝2﹣2，所以k1•k2＝为定值．
蒙日圆蒙日圆定理的内容：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。如图，设椭圆的方程是。两切线PM和PN互相垂直，交于点P。求证：点P在圆上。证明：若两条切线中有一条平行于x轴时，则另一条必定平行于y轴，显然前者通过短轴端点，而后者通过长轴端点，其交点P的坐标只能是： 它必定在圆上。现考察一般情况，两条切线均不和坐标轴平行。可设两条切线方程如下： 联立两切线方程 GOTOBUTTON ZEqnNum930645 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum930645 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (2)和 GOTOBUTTON ZEqnNum962611 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum962611 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (3)可求出交点P的坐标为： 从而P点距离椭圆中心O的距离的平方为： 现将PM的方程代入椭圆方程，消去y，化简整理得： 由于PM是椭圆的切线，故以上关于x的一元二次方程，其判别式应等于0，化简后可得： 对于切线PN，代入椭圆方程后，消去y，令判别式等于0，同理可得： 为方便起见，令： 这样 GOTOBUTTON ZEqnNum676965 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum676965 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (7)和 GOTOBUTTON ZEqnNum280871 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum280871 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (8)就分别化为了关于M和N的一元一次方程，不难解出： ， 将 GOTOBUTTON ZEqnNum411096 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum411096 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (10)和 GOTOBUTTON ZEqnNum524275 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum524275 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (11)代入 GOTOBUTTON ZEqnNum757290 \* MERGEFORMAT REF ZEqnNum757290 \* Charformat \! \* MERGEFORMAT (5)，就得到： 证毕。 例1.(2014广东)已知椭圆的一个焦点为，离心率为，（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。例2.给定椭圆,称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到F的距离为 (1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程; (2)点P是椭圆C的“准圆”上的动点,过点P作椭圆的切线,交“准圆”于点M,N. (ⅰ)当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求直线,的方程并证明; (ⅱ)求证:线段MN的长为定值并求该定值. 解：（1）∵c＝，a＝，∴b＝＝1，∴椭圆方程为+y2＝1，准圆方程为x2+y2＝4；（2）（ⅰ）因为准圆x2+y2＝4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y＝kx+2，所以由得（1+3k2）x2+12kx+9＝0．因为直线y＝kx+2与椭圆相切，所以△＝144k2﹣4×9（1+3k2）＝0，解得k＝±1，所以直线l1、l2的方程为y＝x+2和y＝﹣x+2；且k1•k2＝﹣1，∴l1⊥l2．（ⅱ）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：x＝±，当l1：x＝时，l1与准圆交于点（，1）和（，﹣1），此时l2为y＝1（或y＝﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1：x＝﹣时，直线l1，l2垂直；②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中+＝4；设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y＝t（x﹣x0）+y0，所以由，得（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3﹣3＝0；由△＝0化简整理得（3﹣）t2+2x0y0t+1﹣＝0，因为+＝4，所以有（3﹣）t2+2x0y0t+（﹣3）＝0；设l1，l2的斜率分别为t1和t2，因为l1，l2与椭圆相切，所以t1，t2满足上述方程（3﹣）t2+2x0y0t+（﹣3）＝0，所以t1•t2＝﹣1，即l1，l2垂直；综合①②知：因为l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M、N，且l1，l2 垂直；所以线段MN为准圆x2+y2＝4的直径，|MN|＝4，所以线段MN的长为定值．例3.（2015秋•宜昌月考）给定椭圆C：+＝1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（，0），且其短轴上的一个端点到F的距离为．（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（2）过点（1，0）作一条倾斜角为30°的直线与椭圆交于A，B两点．若在椭圆上存在一点C满足＝λ（+），试求λ的值；（3）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直，并说明理由．【分析】（1）欲求椭圆C的方程和其“准圆”方程，只要求出半径即可，即分别求出椭圆方程中的a，b即得，这由题意不难求得；（2）确定直线l的方程，代入椭圆方程并整理，利用韦达定理，结合＝λ（+），求出C的坐标，代入椭圆方程，即可求λ的值．（3）先分两种情况讨论：①当l1，l2中有一条无斜率时；②．②当l1，l2都有斜率时，第一种情形比较简单，对于第二种情形，将与椭圆只有一个公共点的直线为y＝t（x﹣x0）+y0，代入椭圆方程，消去去y得到一个关于x的二次方程，根据根的判别式等于0得到一个方程：（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）＝0，而直线l1，l2的斜率正好是这个方程的两个根，从而证得l1⊥l2．解：（1）因为，所以b＝1所以椭圆的方程为，准圆的方程为x2+y2＝4．（2）过点（1，0）作一条倾斜角为30°的直线的方程为y＝tan30°（x﹣1）＝（x﹣1），代入椭圆方程，并整理得x2﹣x﹣1＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝1，∴y1+y2＝（x1﹣1）+（x2﹣1）＝（x1+x2﹣2）＝﹣．∴＝λ（+）＝λ（x1+x2，y1+y2）＝λ（1，﹣），∴C点坐标为（λ，﹣λ），代入椭圆方程，可得+＝1，∴2λ2＝3，解得λ＝±．（3）①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当l1方程为时，此时l1与准圆交于点，此时经过点（或且与椭圆只有一个公共点的直线是y＝1（或y＝﹣1），即l2为y＝1（或y＝﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证l1方程为时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x02+y02＝4，设经过点P（x0，y0），与椭圆只有一个公共点的直线为y＝t（x﹣x0）+y0，则，消去y得到x2+3（tx+（y0﹣tx0））2﹣3＝0，即（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3＝0，△＝[6t（y0﹣tx0）]2﹣4•（1+3t2）[3（y0﹣tx0）2﹣3]＝0，经过化简得到：（3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02＝0，因为x02+y02＝4，所以有（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）＝0，设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，所以t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）＝0，所以t1•t2＝﹣1，即l1，l2垂直．例4.已知椭圆 ,该椭圆上、左、下顶点及右焦点围成的四边形面积为,离心率为 (1)求椭圆的方程; (2)如图,若矩形ABCD的四条边都与该椭圆相切,求矩形ABCD面积的最大值.【分析】（1）由题意可得：＝3，＝，a2＝b2+c2，联立解出即可得出．（2）令A（x0，y0），当AB斜率为0或不存在时，可得SABCD＝8．当AB斜率存在且不为0时，设AB方程：y＝kx+y0﹣kx0．代入椭圆方程可得：（3+4k2）x2﹣8k（kx0﹣y0）x+4﹣12＝0，根据AB与椭圆相切，可得△＝0，化为：k2﹣2kx0y0+﹣3﹣4k2＝0，同理可得AD与椭圆相切，可得：+2kx0y0+﹣3k2﹣4＝0．进而得出．解：（1）由题意可得：＝3，＝，a2＝b2+c2，联立解得a＝2，b＝，c＝1．∴椭圆的方程为＝1．（2）令A（x0，y0），当AB斜率为0或不存在时，可得SABCD＝8．当AB斜率存在且不为0时，设AB方程：y＝kx+y0﹣kx0．代入椭圆方程可得：3x2+4，化为：（3+4k2）x2﹣8k（kx0﹣y0）x+4﹣12＝0，∵AB与椭圆相切，可得△＝﹣4（3+4k2）＝0，化为：k2﹣2kx0y0+﹣3﹣4k2＝0，①．同理可得AD与椭圆相切，可得﹣2x0y0+﹣3﹣4＝0，化为：+2kx0y0+﹣3k2﹣4＝0．②①+②可得：＝7．即A点在以原点为圆心，为半径的圆上．∴ABCD为以原点为圆心，为半径的圆的内接矩形，只有当ABCD为正方形时面积最大．可得SABCD＝14． 例5.（2019南通二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：，椭圆C2：，C2与C1的长轴长之比为∶1，离心率相同．（1）求椭圆C2的标准方程；（2）设点为椭圆C2上一点．① 射线与椭圆C1依次交于点，求证：为定值；② 过点作两条斜率分别为的直线，且直线与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证：为定值．【分析】（1）根据题意求出a和b的值，即可写出椭圆C2的标准方程；（2）①讨论直线OP斜率不存在和直线OP斜率存在时，分别计算是值即可；②设出点P的坐标，写出直线l1和l2的方程，分别与椭圆C1的方程联立，消去y得关于x的方程，利用根与系数的关系，结合椭圆方程求出k1•k2的值．解：（1）设椭圆C2的焦距为2c，由题意知，a＝2，，a2＝b2+c2，解得b＝，因此椭圆C2的标准方程为＝1；（2）①1°当直线OP斜率不存在时，PA＝﹣1，PB＝+1，则；2°当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为y＝kx，代入椭圆C1的方程，消去y，得（4k2+1）x2＝4，所以xA2＝，同理xP2＝；所以xP2＝2xA2，由题意，xP与xA同号，所以xP＝，从而，所以为定值；②设P（x0，y0），所以直线l1的方程为y﹣y0＝k1（x﹣x0），即y＝k1x+k1y0﹣x0，记t＝k1y0﹣x0，则l1的方程为y＝k1x+t，代入椭圆C1的方程，消去y，得（4k12+1）x2+8k1tx+4t2﹣4＝0，因为直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，所以△＝（8k1t）2﹣4（4k12+1）（4t2﹣4）＝0，即4k12﹣t2+1＝0，将t＝k1y0﹣x0代入上式，整理得，（x02﹣4）k12﹣2x0y0k1+y02﹣1＝0，同理可得，（x02﹣4）k22﹣2x0y0k2+y02﹣1＝0，所以k1，k2为关于k的方程（x02﹣4）k2﹣2x0y0k+y02﹣1＝0的两根，从而k1•k2＝；又点在P（x0，y0）椭圆C2：＝1上，所以y02＝2﹣2，所以k1•k2＝为定值．
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