第八章　培优点11　阿基米德三角形-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
培优点11　阿基米德三角形
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.如图.性质1　阿基米德三角形的底边AB上的中线MQ平行于抛物线的轴.性质2　若阿基米德三角形的底边AB过抛物线内的定
点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线，该直线与以C点为中点的弦平行.性质3　若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边AB过定点(若直线l方程为：ax＋by＋c＝0，则定点的坐标为
性质5　若阿基米德三角形的底边AB过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小，最小值为p2.
例　(多选)(2023·南平模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作抛物线的弦与抛物线交于A，B两点，M为弦AB的中点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2，l1，l2相交于点P.下面关于△PAB的描述正确的是A.点P必在抛物线的准线上B.AP⊥PBC.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则△PAB的面积S的最小值为D.PF⊥AB
先证明出抛物线y2＝2px(p>0)在其上一点(x0，y0)处的切线方程为y0y＝px＋px0.证明如下：
所以抛物线y2＝2px(p>0)在其上一点(x0，y0)处的切线方程为y0y＝px＋px0.
消去x得y2－2mpy－p2＝0，由根与系数的关系可得y1y2＝－p2，y1＋y2＝2mp，对于A，抛物线y2＝2px在点A处的切线方程为y1y＝px＋px1，
即点P在抛物线的准线上，A正确；
所以AP⊥PB，B正确；对于D，当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点P为抛物线的准线与x轴的交点，此时PF⊥AB；
所以kAB·kPF＝－1，则PF⊥AB.综上，PF⊥AB，D正确；
(1)椭圆和双曲线也具有多数上述抛物线阿基米德三角形类似性质.(2)当阿基米德三角形的顶角为直角时，则阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆.
跟踪训练　(2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求p；
(2)若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值.
由(1)知，抛物线方程为x2＝4y，由题意可知直线AB的斜率存在，
则Δ＝16k2＋16b>0(※)，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
即P(2k，－b).因为点P在圆M上，所以4k2＋(4－b)2＝1，①且－1≤2k≤1，－5≤－b≤－3，
所以当b＝5时，t取得最大值，tmax＝5，此时k＝0，
1.若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称△PAB为“阿基米德三角形”，当弦AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下特征：①点P必在抛物线的准线上；②PF⊥AB.若经过抛物线y2＝4x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为A.x－2y－1＝0 B.2x＋y－2＝0C.x＋2y－1＝0 D.2x－y－2＝0
设抛物线的焦点为F，由题意可知，抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1，因为△PAB为“阿基米德三角形”，且弦AB经过抛物线y2＝4x的焦点，所以点P必在抛物线的准线上，所以点P(－1,4)，
2.我们把抛物线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的△PAB(P为两切线的交点)叫做“阿基米德三角形”.当弦AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下性质：①P点必在抛物线的准线上；②PA⊥PB；③PF⊥AB.已知直线l：y＝k(x－1)与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若|AB|＝8，则抛物线的“阿基米德三角形”PAB的面积为
抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，直线l：y＝k(x－1)经过抛物线的焦点，依题意，k≠0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
解得k2＝1，即k＝±1，当k＝1时，因为△PAB为“阿基米德三角形”，则直线PF的斜率kPF＝－1，直线PF的方程为y＝－x＋1，点P必在抛物线的准线x＝－1上，
3.已知抛物线C：x2＝4y，直线y＝kx＋b与抛物线交于A，B两点，|AB|＝8，且抛物线在A，B处的切线相交于点P，则△PAB的面积最大值为
方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
当k＝0时，(S△PAB)max＝32.
4.(多选)(2024·廊坊模拟)如图，△PAB为阿基米德三角形.抛物线x2＝2py(p>0)上有两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B为切点的抛物线的切线PA，PB相交于点P.则下列结论正确的为A.若弦AB过焦点，则△PAB为直角三角形且∠APB ＝90°B.点P的坐标是C.弦AB所在直线的方程为(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0D.△PAB的边AB上的中线与y轴平行(或重合)
联立x2＝2py，得x2－2pkx－p2＝0，
所以PA⊥PB，即∠APB＝90°，故A正确；
因此直线PN平行于y轴(或与y轴重合)，即平行于抛物线的对称轴(或与对称轴重合)，故D正确；
化简得(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0，故C正确.
5.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于该弦所形成的阿基米德三角形面积的 .已知A(－2,1)，B(2,1)为抛物线C：x2＝4y上两点，则在A点处抛物线C的切线的斜率为______；弦AB与抛物线所围成的封闭图形的面积为_____.
所以在A点处抛物线C的切线的斜率为－1，切线方程为y－1＝－(x＋2)，即y＝－x－1，同理在B点处抛物线C的切线方程为y＝x－1，
所以两切线的交点为P(0，－1)，
6.如图，过点P(m，n)作抛物线C：x2＝2py(p>0)的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，动点Q为抛物线C上在A，B之间上的任意一点，抛物线C在点Q处的切线分别交PA，PB于点M，N.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋b，
由根与系数的关系得x1x2＝－2pb，设抛物线C：x2＝2py在点A处切线方程为y－y1＝t(x－x1)，
设点Q(x0，y0)，