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第六章 §6.2 等差数列-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）
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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元函数的关系.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于____ ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示，定义表达式为 .(2)等差中项由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有_______ .
an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)
2.等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝ .(2)前n项和公式：Sn＝ 或Sn＝ .
3.等差数列的常用性质(1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则 (p，q，s，t∈N*).(2)等差数列{an}的单调性当d>0时，{an}是 数列；当d<0时，{an}是 数列；当d＝0时，{an}是 .
ap＋aq＝as＋at
4.等差数列前n项和的常用性质(1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝ 是关于n的二次函数.(2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最 值；若a1<0，d>0，则Sn存在最 值.
1.等差数列通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*).2.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.3.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).这里公差d＝2A.
5.若等差数列{an}的项数为偶数2n，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
6.若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则(1)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( )(2)等差数列{an}中，a10＝a1＋a9.( )(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S6，S12，S18也成等差数列.( )(4)若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2.( )
2.(选择性必修第二册P15T4改编)已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4等于A.－2 B.4 C.6 D.8
设等差数列{an}的公差为d，
∴a4＝a1＋3d＝6.
4.(2023·安康模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a4＝4，则S6等于A.6 B.12 C.18 D.24
由等差数列的性质，可得a1＋a6＝a3＋a4＝4，
例1 (1)(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5等于A.25 B.22 C.20 D.15
题型一 等差数列基本量的运算
方法一 设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，依题意可得，a2＋a6＝a1＋d＋a1＋5d＝10，即a1＋3d＝5，①又a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝45，②①②联立，解得d＝1，a1＝2，
方法二 依题意可得，a2＋a6＝2a4＝10，a4a8＝45，所以a4＝5，a8＝9，
于是a3＝a4－d＝5－1＝4，所以S5＝5a3＝20.
(2)广丰永和塔塔高九层，每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境.某游客从塔底层(一层)进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往
下一层绕塔一周需多三步，则这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周停止共需A.352步 B.387步 C.332步 D.368步
设从第n层到第n＋1层所走的台阶数为an，绕第n＋1层一周所走的步数为bn，由已知可得a1＝26，an＋1－an＝－2，n∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，b8＝12，bn－bn＋1＝3，n∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以数列{an}为首项为26，公差为－2的等差数列，故an＝28－2n，n∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，
数列{bn}为公差为－3的等差数列，故bn＝36－3n，n∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，
S8＋T8＝152＋180＝332，故这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周停止共需332步.
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
跟踪训练1 (1)(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是A.a2＋a3＝0 B.an＝2n－5C.Sn＝n(n－4) D.d＝－2
所以a1＋a4＝a2＋a3＝0，故A正确；a5＝a1＋4d＝5，①a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②
所以an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，故B正确，D错误；
(2)(2023·洛阳联考)《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则春分时节的日影长为A.4.5尺 B.3.5尺C.2.5尺 D.1.5尺
冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列{an}，设公差为d，
所以an＝a1＋(n－1)d＝11.5－n，所以a7＝11.5－7＝4.5，即春分时节的日影长为4.5尺.
例2 (2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列；②数列 是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
题型二 等差数列的判定与证明
①③⇒②.已知{an}是等差数列，a2＝3a1.设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
因为数列{an}的各项均为正数，
设数列{an}的公差为d，
所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.
所以Sn＝n2d2，所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列.
判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法：对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列；(2)等差中项法：对于数列{an}，2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列；(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列；(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列.
跟踪训练2 (2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知 ＝2.(1)证明：数列{bn}是等差数列；
因为bn是数列{Sn}的前n项积，
(2)求{an}的通项公式.
命题点1 项的性质例3 (1)(2024·郑州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝S21，则S23等于A.1 B.2 C.3 D.4
题型三 等差数列的性质
∵S3＝S21，∴S21－S3＝a4＋a5＋…＋a21＝9(a4＋a21)＝0，∴a4＋a21＝0，∴S23＝a1＋a2＋a3＋(a4＋a5＋…a21)＋a22＋a23＝a1＋a2＋a3＋a22＋a23＝a1＋2(a4＋a21)＝a1＝2.
(2)(多选)(2023·郑州模拟)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，S5S8，则下列说法正确的有A.公差d<0B.S12>0C.S9>S5D.使Sn<0的最小正整数n为14
由题意得，S50；S6＝S7，则S7－S6＝a7＝0；S7>S8，则S8－S7＝a8<0.由a6>a7，得d<0，故A正确；
S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)＝2a8<0，故S9
由等差数列{an}的前n项和性质，得S3，S6－S3，S9－S6也成等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋S9－S6，又S3＝9，S6＝63，则S9＝162，因此a7＋a8＋a9＝S9－S6＝162－63＝99.
因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，
等差数列的性质(1)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an；(2)若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列；(3)在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)，S2n－1＝(2n－1)an.
跟踪训练3 (1)(2023·南充模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝10，a2＋a3＋a4＋a5＝20，则Sn的最大值为
由a1＝10，a2＋a3＋a4＋a5＝2(a1＋a6)＝20，得a6＝0，由于{an}为等差数列，且a1＝10>0，a6＝0，所以当n≤5，n∈N*时，an>0，
由等差数列的性质可知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，
即S6＝3S3，(S6－S3)－S3＝S3，∴S9－S6＝3S3，S12－S9＝4S3，∴S9＝6S3，S12＝10S3，
一、单项选择题1.已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n等于A.6 B.7 C.8 D.9
2.已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于A.7 B.14 C.21 D.7(n－1)
因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.
3.在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为A.S15 或S16 D.S17
∵a1＝29，S10＝S20，
∴当n＝15时，Sn取得最大值.
4.(2023·鹰潭统考)公差不为0的等差数列{an}满足 ，Sn为数列{an}的前n项和，则下列各选项正确的是A.a4＝0 B.a5＝0C.S8＝0 D.S9＝0
即2d(a6＋a4)＋2d(a5＋a3)＝0，∵d≠0，∴a6＋a4＋a5＋a3＝0，∴a5＋a4＝0，即S8＝0.
5.(2023·河南统考)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S3n－S2n>S2n－Sn”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝(a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n)－(an＋1＋an＋2＋…＋a2n)＝(a2n＋1－an＋1)＋(a2n＋2－an＋2)＋…＋(a3n－a2n)＝n2d，因为n2>0，若d>0，则S3n－S2n>S2n－Sn，若S3n－S2n>S2n－Sn，则n2d>0，即d>0，故“d>0”是“S3n－S2n>S2n－Sn”的充要条件.
6.(2023·青岛模拟)已知等差数列{an}，an＋m＝am＋n(n≠m，n，m∈N*)，数列{bn}满足bn＝a2n＋1＋a2n－1，则b2 024－b2 023等于A.1 B.2 C.4 D.8
∵bn＝a2n＋1＋a2n－1，∴b2 024＝a4 049＋a4 047，b2 023＝a4 047＋a4 045，∴b2 024－b2 023＝(a4 049＋a4 047)－(a4 047＋a4 045)＝a4 049－a4 045.又an＋m＝am＋n，∴an－am＝n－m，∴b2 024－b2 023＝a4 049－a4 045＝4 049－4 045＝4.
二、多项选择题7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若a1>0，S4＝S12，则A.公差d<0B.a7＋a9<0C.Sn的最大值为S8D.满足Sn<0的n的最小值为16
因为a1>0，S4＝S12，
即a1＋a4＝3(a1＋a12)，
a7＋a9＝2a1＋14d＝－d>0，故B错误；
因为d<0，a1>0，所以数列{an}是递减数列，且当n≤8时，an>0，当n≥9时，an<0，所以Sn的最大值为S8，故C正确；
令Sn<0，解得n>16，所以满足Sn<0的n的最小值为17，故D错误.
8.(2024·南通统考)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则A.驽马第七日行九十四里B.第七日良马先至齐C.第八日二马相逢D.二马相逢时良马行一千三百九十五里
由题意可知，两马日行里数分别成等差数列，记数列{an}为良马的日行里数，其中首项a1＝103，公差d1＝13，所以数列{an}的通项公式为an＝13n＋90，n∈N*，记数列{bn}为驽马的日行里数，其中首项b1＝97，公差d2＝－0.5，所以数列{bn}的通项公式为bn＝－0.5n＋97.5，n∈N*，因此，驽马第七日行里数为b7＝－0.5×7＋97.5＝94，即驽马第七日行九十四里，故A正确；
三、填空题9.若一个等差数列{an}满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项.写出一个满足条件的数列的通项公式an＝___________________.
2n＋1(答案不唯一)
设{an}的公差为d，由题意得a2
设等差数列{an}的公差为d，d≠0，则由题意得S23＝S8，
因为a8＋ak＝0，所以a1＋7d＋a1＋(k－1)d＝0，即2a1＋(k＋6)d＝0，所以－30d＋(k＋6)d＝0，因为d≠0，所以k＝24.
依题意，B，C，P三点共线，
12.等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n＝________.
因为等差数列{an}共有2n＋1项，
四、解答题13.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常数.(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
因为an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1，所以当a2＝－1时，－1＝2－λ，解得λ＝3，所以a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由.
数列{an}不可能为等差数列.理由如下：由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)，若存在常数λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3，
于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24，这与{an}为等差数列矛盾，所以对于任意常数λ，{an}都不可能是等差数列.
14.(2023·新高考全国Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝ ，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和.(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；
∵3a2＝3a1＋a3，∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d，∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d，an＝a1＋(n－1)d＝nd，
(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.
∵{bn}为等差数列，∴2b2＝b1＋b3，
解得a1＝d或a1＝2d，∵d>1，∴an>0，
又S99－T99＝99，由等差数列的性质知，99a50－99b50＝99，即a50－b50＝1，
解得a50＝51或a50＝－50(舍去).
当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51，解得d＝1，与d>1矛盾，无解；当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51，
所以数列{cs an}是以3为周期的周期数列，
因为集合S中只有两个元素，所以有三种情况：cs a1＝cs a2≠cs a3，cs a1＝cs a3≠cs a2，cs a2＝cs a3≠cs a1.下面逐一讨论：
①当cs a1＝cs a2≠cs a3时，
②当cs a1＝cs a3≠cs a2时，
③当cs a2＝cs a3≠cs a1时，
16.(2023·北京模拟)已知项数为k(k∈N*)的等差数列{an}满足a1＝1，≤an(n＝2,3，…，k).若a1＋a2＋…＋ak＝8，则k的最大值是A.14 B.15 C.16 D.17
得1＋(n－2)d≤4[1＋(n－1)d]，即3＋(3n－2)d≥0，当n＝2,3，…，k时，恒有3＋(3n－2)d≥0，
1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元函数的关系.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于____ ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示，定义表达式为 .(2)等差中项由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有_______ .
an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)
2.等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝ .(2)前n项和公式：Sn＝ 或Sn＝ .
3.等差数列的常用性质(1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则 (p，q，s，t∈N*).(2)等差数列{an}的单调性当d>0时，{an}是 数列；当d<0时，{an}是 数列；当d＝0时，{an}是 .
ap＋aq＝as＋at
4.等差数列前n项和的常用性质(1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝ 是关于n的二次函数.(2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最 值；若a1<0，d>0，则Sn存在最 值.
1.等差数列通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*).2.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.3.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).这里公差d＝2A.
5.若等差数列{an}的项数为偶数2n，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
6.若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则(1)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( )(2)等差数列{an}中，a10＝a1＋a9.( )(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S6，S12，S18也成等差数列.( )(4)若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2.( )
2.(选择性必修第二册P15T4改编)已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4等于A.－2 B.4 C.6 D.8
设等差数列{an}的公差为d，
∴a4＝a1＋3d＝6.
4.(2023·安康模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a4＝4，则S6等于A.6 B.12 C.18 D.24
由等差数列的性质，可得a1＋a6＝a3＋a4＝4，
例1 (1)(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5等于A.25 B.22 C.20 D.15
题型一 等差数列基本量的运算
方法一 设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，依题意可得，a2＋a6＝a1＋d＋a1＋5d＝10，即a1＋3d＝5，①又a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝45，②①②联立，解得d＝1，a1＝2，
方法二 依题意可得，a2＋a6＝2a4＝10，a4a8＝45，所以a4＝5，a8＝9，
于是a3＝a4－d＝5－1＝4，所以S5＝5a3＝20.
(2)广丰永和塔塔高九层，每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境.某游客从塔底层(一层)进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往
下一层绕塔一周需多三步，则这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周停止共需A.352步 B.387步 C.332步 D.368步
设从第n层到第n＋1层所走的台阶数为an，绕第n＋1层一周所走的步数为bn，由已知可得a1＝26，an＋1－an＝－2，n∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，b8＝12，bn－bn＋1＝3，n∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以数列{an}为首项为26，公差为－2的等差数列，故an＝28－2n，n∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，
数列{bn}为公差为－3的等差数列，故bn＝36－3n，n∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，
S8＋T8＝152＋180＝332，故这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周停止共需332步.
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
跟踪训练1 (1)(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是A.a2＋a3＝0 B.an＝2n－5C.Sn＝n(n－4) D.d＝－2
所以a1＋a4＝a2＋a3＝0，故A正确；a5＝a1＋4d＝5，①a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②
所以an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，故B正确，D错误；
(2)(2023·洛阳联考)《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则春分时节的日影长为A.4.5尺 B.3.5尺C.2.5尺 D.1.5尺
冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列{an}，设公差为d，
所以an＝a1＋(n－1)d＝11.5－n，所以a7＝11.5－7＝4.5，即春分时节的日影长为4.5尺.
例2 (2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列；②数列 是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
题型二 等差数列的判定与证明
①③⇒②.已知{an}是等差数列，a2＝3a1.设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
因为数列{an}的各项均为正数，
设数列{an}的公差为d，
所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.
所以Sn＝n2d2，所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列.
判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法：对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列；(2)等差中项法：对于数列{an}，2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列；(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列；(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列.
跟踪训练2 (2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知 ＝2.(1)证明：数列{bn}是等差数列；
因为bn是数列{Sn}的前n项积，
(2)求{an}的通项公式.
命题点1 项的性质例3 (1)(2024·郑州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝S21，则S23等于A.1 B.2 C.3 D.4
题型三 等差数列的性质
∵S3＝S21，∴S21－S3＝a4＋a5＋…＋a21＝9(a4＋a21)＝0，∴a4＋a21＝0，∴S23＝a1＋a2＋a3＋(a4＋a5＋…a21)＋a22＋a23＝a1＋a2＋a3＋a22＋a23＝a1＋2(a4＋a21)＝a1＝2.
(2)(多选)(2023·郑州模拟)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，S5
由题意得，S5
S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)＝2a8<0，故S9
由等差数列{an}的前n项和性质，得S3，S6－S3，S9－S6也成等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋S9－S6，又S3＝9，S6＝63，则S9＝162，因此a7＋a8＋a9＝S9－S6＝162－63＝99.
因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，
等差数列的性质(1)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an；(2)若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列；(3)在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)，S2n－1＝(2n－1)an.
跟踪训练3 (1)(2023·南充模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝10，a2＋a3＋a4＋a5＝20，则Sn的最大值为
由a1＝10，a2＋a3＋a4＋a5＝2(a1＋a6)＝20，得a6＝0，由于{an}为等差数列，且a1＝10>0，a6＝0，所以当n≤5，n∈N*时，an>0，
由等差数列的性质可知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，
即S6＝3S3，(S6－S3)－S3＝S3，∴S9－S6＝3S3，S12－S9＝4S3，∴S9＝6S3，S12＝10S3，
一、单项选择题1.已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n等于A.6 B.7 C.8 D.9
2.已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于A.7 B.14 C.21 D.7(n－1)
因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.
3.在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为A.S15 或S16 D.S17
∵a1＝29，S10＝S20，
∴当n＝15时，Sn取得最大值.
4.(2023·鹰潭统考)公差不为0的等差数列{an}满足 ，Sn为数列{an}的前n项和，则下列各选项正确的是A.a4＝0 B.a5＝0C.S8＝0 D.S9＝0
即2d(a6＋a4)＋2d(a5＋a3)＝0，∵d≠0，∴a6＋a4＋a5＋a3＝0，∴a5＋a4＝0，即S8＝0.
5.(2023·河南统考)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S3n－S2n>S2n－Sn”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝(a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n)－(an＋1＋an＋2＋…＋a2n)＝(a2n＋1－an＋1)＋(a2n＋2－an＋2)＋…＋(a3n－a2n)＝n2d，因为n2>0，若d>0，则S3n－S2n>S2n－Sn，若S3n－S2n>S2n－Sn，则n2d>0，即d>0，故“d>0”是“S3n－S2n>S2n－Sn”的充要条件.
6.(2023·青岛模拟)已知等差数列{an}，an＋m＝am＋n(n≠m，n，m∈N*)，数列{bn}满足bn＝a2n＋1＋a2n－1，则b2 024－b2 023等于A.1 B.2 C.4 D.8
∵bn＝a2n＋1＋a2n－1，∴b2 024＝a4 049＋a4 047，b2 023＝a4 047＋a4 045，∴b2 024－b2 023＝(a4 049＋a4 047)－(a4 047＋a4 045)＝a4 049－a4 045.又an＋m＝am＋n，∴an－am＝n－m，∴b2 024－b2 023＝a4 049－a4 045＝4 049－4 045＝4.
二、多项选择题7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若a1>0，S4＝S12，则A.公差d<0B.a7＋a9<0C.Sn的最大值为S8D.满足Sn<0的n的最小值为16
因为a1>0，S4＝S12，
即a1＋a4＝3(a1＋a12)，
a7＋a9＝2a1＋14d＝－d>0，故B错误；
因为d<0，a1>0，所以数列{an}是递减数列，且当n≤8时，an>0，当n≥9时，an<0，所以Sn的最大值为S8，故C正确；
令Sn<0，解得n>16，所以满足Sn<0的n的最小值为17，故D错误.
8.(2024·南通统考)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则A.驽马第七日行九十四里B.第七日良马先至齐C.第八日二马相逢D.二马相逢时良马行一千三百九十五里
由题意可知，两马日行里数分别成等差数列，记数列{an}为良马的日行里数，其中首项a1＝103，公差d1＝13，所以数列{an}的通项公式为an＝13n＋90，n∈N*，记数列{bn}为驽马的日行里数，其中首项b1＝97，公差d2＝－0.5，所以数列{bn}的通项公式为bn＝－0.5n＋97.5，n∈N*，因此，驽马第七日行里数为b7＝－0.5×7＋97.5＝94，即驽马第七日行九十四里，故A正确；
三、填空题9.若一个等差数列{an}满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项.写出一个满足条件的数列的通项公式an＝___________________.
2n＋1(答案不唯一)
设{an}的公差为d，由题意得a2
设等差数列{an}的公差为d，d≠0，则由题意得S23＝S8，
因为a8＋ak＝0，所以a1＋7d＋a1＋(k－1)d＝0，即2a1＋(k＋6)d＝0，所以－30d＋(k＋6)d＝0，因为d≠0，所以k＝24.
依题意，B，C，P三点共线，
12.等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n＝________.
因为等差数列{an}共有2n＋1项，
四、解答题13.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常数.(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
因为an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1，所以当a2＝－1时，－1＝2－λ，解得λ＝3，所以a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由.
数列{an}不可能为等差数列.理由如下：由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)，若存在常数λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3，
于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24，这与{an}为等差数列矛盾，所以对于任意常数λ，{an}都不可能是等差数列.
14.(2023·新高考全国Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝ ，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和.(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；
∵3a2＝3a1＋a3，∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d，∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d，an＝a1＋(n－1)d＝nd，
(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.
∵{bn}为等差数列，∴2b2＝b1＋b3，
解得a1＝d或a1＝2d，∵d>1，∴an>0，
又S99－T99＝99，由等差数列的性质知，99a50－99b50＝99，即a50－b50＝1，
解得a50＝51或a50＝－50(舍去).
当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51，解得d＝1，与d>1矛盾，无解；当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51，
所以数列{cs an}是以3为周期的周期数列，
因为集合S中只有两个元素，所以有三种情况：cs a1＝cs a2≠cs a3，cs a1＝cs a3≠cs a2，cs a2＝cs a3≠cs a1.下面逐一讨论：
①当cs a1＝cs a2≠cs a3时，
②当cs a1＝cs a3≠cs a2时，
③当cs a2＝cs a3≠cs a1时，
16.(2023·北京模拟)已知项数为k(k∈N*)的等差数列{an}满足a1＝1，≤an(n＝2,3，…，k).若a1＋a2＋…＋ak＝8，则k的最大值是A.14 B.15 C.16 D.17
得1＋(n－2)d≤4[1＋(n－1)d]，即3＋(3n－2)d≥0，当n＝2,3，…，k时，恒有3＋(3n－2)d≥0，
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