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初中数学北师大版（2024）七年级上册第五章 一元一次方程综合训练题
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这是一份初中数学北师大版（2024）七年级上册第五章 一元一次方程综合训练题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(时间：120分钟 满分：150分)
班级：________ 姓名：________ 分数：________
一、选择题(每小题3分，共36分)
1.下列方程中是一元一次方程的是（ ）
A.5x＋1＝2 B.3x－2y＝0 C.x2－4＝0 D.eq \f(2,x)＝5
2.下列等式变形中正确的是（ ）
A.若a＝b，则a＋m＝b－m B.若a2＝5a，则a＝5
C.若a＝b，则eq \f(a,n2)＝eq \f(b,n2) D.若 eq \f(a,m)＝eq \f(b,m)，则a＝b
3.下列方程中，解是x＝4的是（ ）
A.3x＋1＝11 B.－2x－4＝0
C.3x－8＝4 D.4x＝1
4.方程－2x＋3＝0的解x的值为（ ）
A.eq \f(2,3) B.－eq \f(2,3) C.eq \f(3,2) D.－eq \f(3,2)
5.将方程 eq \f(x,2)－eq \f(x＋1,4)＝1去分母，正确的是（ ）
A.2x－x＋1＝1 B.2x－(x＋1)＝1
C.2x－x＋1＝4 D.2x－(x＋1)＝4
6.如果代数式5x－7与4x＋9的值互为相反数，则x的值为（ ）
A.eq \f(9,2) B.－eq \f(9,2) C.eq \f(2,9) D.－eq \f(2,9)
7.将等式4a＝2b－1进行如下变换，正确的是（ ）
A.4a－2b＝1 B.2b＝4a－1
C.b＝2a＋eq \f(1,2) D.a＝eq \f(1,2)b－1
8.设P＝2x－2，Q＝2x＋3，且3P－eq \f(Q,2)＝1，则x的值为（ ）
A.1 B.1.1 C.1.6 D.1.7
9.我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步。问人与车各几何。其大意：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐。问人数和车数各多少。设车x辆，根据题意，可列出的方程是（ ）
A.3x－2＝2x＋9 B.3(x－2)＝2(x＋9)
C.eq \f(x,3)＋2＝eq \f(x,2)－9 D.3(x－2)＝2x＋9
10.如图，在日历纵列上任意圈出相邻的三个数，算出它们的和，下列不可能是它们的和的是（ ）
A.35 B.45 C.54 D.63
11.若定义“*”运算为“a*b＝ab－3b”，若(2*x)－2(x*2)＝2，则x的值为（ ）
A.－3 B.1 C.－2 D.2
12.小明上午9：00从学校出发前往图书馆，同时小欢从图书馆出发前往学校，小明的速度是90 m/min，小欢的速度是80 m/min，出发9 min后，小欢到达学校。下列说法中正确的是（ ）
A.他们出发4.5 min后相遇
B.相遇点更靠近图书馆
C.当他们都到达各自目的地时是上午9：17
D.小明比小欢晚到1 min
二、填空题(每小题4分，共16分)
13.请写一个一元一次方程，使它的解为x＝－1： 。
14.已知 eq \f(3,4)m－1＝eq \f(3,4)n，请比较m与n的大小：m n(选填“>”“<”或“＝”)。
15.若|2a－3|＋5(8＋2b)2＝0，则ax－b＝3的解为 。
16.观察图形和表格回答：当图形的周长为80时，梯形的个数为 。
三、解答题(本大题共9小题，共98分)
17.(12分)解下列方程：
(1)－2x－3(2x－1)＝2；
(2)eq \f(x－3,4)＝eq \f(4x＋3,2)＋1。
18.(10分)(1)从一个底面半径是10 cm的圆柱形凉水杯中，向一个底面半径为5 cm，高为8 cm 的圆柱形空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯的水面将下降多少？
(2)如图，长方形ABCD可以分割成7个小正方形，若AB＝10，求AD的长。
19.(10分)已知关于x的一元一次方程eq \f(x,3)＋m＝eq \f(mx－3,6)。
(1)当m＝－1时，求方程的解；
(2)当m为何值时，方程的解为x＝21。
20.(10分)课外活动时李老师到教室布置作业，有一道题只写到“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需3天，徒弟单独完成需6天”，请补充一个问题并解答。
(1)请解答小刘所添加的问题：两人合作需要几天完成？
(2)请解答小张所添加的问题：现由徒弟先做1天，两人再合作，完成后共得报酬 540元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？
(3)请你也提出一个可解答的问题： 。
21.(10分)若a，b，c，d均为有理数，现定义一种新运算eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\ac\hs10\c2(a,b,c,d)))＝ad－bc，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\ac\hs10\c2(2,4,1－m,5)))＝18，求关于x的方程 eq \f(2x－3m,5)＝1－eq \f(m－x,2) 的解。
22.(10分)已知方程①：2－3(x＋1)＝0，方程②：eq \f(k＋x,2)－3k－2＝2x，若方程①与方程②的解互为倒数，求k的值。
23.(12分)我们规定：若关于x的一元一次方程a＋x＝b(a≠0)的解为x＝eq \f(b,a)，则称该方程为“商解方程”。例如：2＋x＝4的解为x＝2且x＝eq \f(4,2)，则方程2＋x＝4是“商解方程”。请回答下列问题：
(1)判断4＋x＝eq \f(16,3)是不是“商解方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元一次方程6＋x＝m＋3是“商解方程”，求m的值。
24.(12分)某文具店计划购进甲、乙两种地球仪共100只，这两种地球仪的进价，售价如下表：
(1)购进甲、乙两种地球仪各多少只时，进货款恰好为3 000元？
(2)为确保乙种地球仪顺利销售，在(1)的条件下，超市决定对乙种地球仪进行打折出售，两种地球仪全部售完后，总利润率为20%，则乙种地球仪每只打几折？
25.(12分)阅读理解：
A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B距离的2倍，我们就称点C是【A，B】的好点，如图①，点C到点A的距离是2，点C到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点，但点C不是【B，A】的好点。
知识运用：
(1)如图①，点A 【C，D】的好点(选填“是”或“不是”)；
(2)如图②，M，N，E为数轴上三点，点M所表示的数为－2，点N所表示的数为4。若点M是【N，E】的好点，则点E所对应的数是多少？
拓展提升：
(3)如图③，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为－20，点B所表示的数为40。现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向左移动。当经过几秒时，点P，点A和点B中有一个点为其余两点的好点？
北师大版（2024年新教材）七年级上册数学第五章 一元一次方程 达标测试卷·教师版
(时间：120分钟 满分：150分)
班级：________ 姓名：________ 分数：________
一、选择题(每小题3分，共36分)
1.下列方程中是一元一次方程的是（A）
A.5x＋1＝2 B.3x－2y＝0 C.x2－4＝0 D.eq \f(2,x)＝5
2.下列等式变形中正确的是（D）
A.若a＝b，则a＋m＝b－m B.若a2＝5a，则a＝5
C.若a＝b，则eq \f(a,n2)＝eq \f(b,n2) D.若 eq \f(a,m)＝eq \f(b,m)，则a＝b
3.下列方程中，解是x＝4的是( C )
A.3x＋1＝11 B.－2x－4＝0
C.3x－8＝4 D.4x＝1
4.方程－2x＋3＝0的解x的值为（C）
A.eq \f(2,3) B.－eq \f(2,3) C.eq \f(3,2) D.－eq \f(3,2)
5.将方程 eq \f(x,2)－eq \f(x＋1,4)＝1去分母，正确的是（D）
A.2x－x＋1＝1 B.2x－(x＋1)＝1
C.2x－x＋1＝4 D.2x－(x＋1)＝4
6.如果代数式5x－7与4x＋9的值互为相反数，则x的值为（D）
A.eq \f(9,2) B.－eq \f(9,2) C.eq \f(2,9) D.－eq \f(2,9)
7.将等式4a＝2b－1进行如下变换，正确的是（C）
A.4a－2b＝1 B.2b＝4a－1
C.b＝2a＋eq \f(1,2) D.a＝eq \f(1,2)b－1
8.设P＝2x－2，Q＝2x＋3，且3P－eq \f(Q,2)＝1，则x的值为（D）
A.1 B.1.1 C.1.6 D.1.7
9.我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步。问人与车各几何。其大意：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐。问人数和车数各多少。设车x辆，根据题意，可列出的方程是（D）
A.3x－2＝2x＋9 B.3(x－2)＝2(x＋9)
C.eq \f(x,3)＋2＝eq \f(x,2)－9 D.3(x－2)＝2x＋9
10.如图，在日历纵列上任意圈出相邻的三个数，算出它们的和，下列不可能是它们的和的是（A）
A.35 B.45 C.54 D.63
11.若定义“*”运算为“a*b＝ab－3b”，若(2*x)－2(x*2)＝2，则x的值为（D）
A.－3 B.1 C.－2 D.2
12.小明上午9：00从学校出发前往图书馆，同时小欢从图书馆出发前往学校，小明的速度是90 m/min，小欢的速度是80 m/min，出发9 min后，小欢到达学校。下列说法中正确的是（B）
A.他们出发4.5 min后相遇
B.相遇点更靠近图书馆
C.当他们都到达各自目的地时是上午9：17
D.小明比小欢晚到1 min
二、填空题(每小题4分，共16分)
13.请写一个一元一次方程，使它的解为x＝－1：x＋1＝0(答案不唯一)。
14.已知 eq \f(3,4)m－1＝eq \f(3,4)n，请比较m与n的大小：m>n(选填“>”“<”或“＝”)。
15.若|2a－3|＋5(8＋2b)2＝0，则ax－b＝3的解为x＝－eq \f(2,3)。
16.观察图形和表格回答：当图形的周长为80时，梯形的个数为26。
三、解答题(本大题共9小题，共98分)
17.(12分)解下列方程：
(1)－2x－3(2x－1)＝2；
解：去括号，得－2x－6x＋3＝2，
移项，得－2x－6x＝2－3，
合并同类项，得－8x＝－1，
系数化为1，得x＝eq \f(1,8)。
(2)eq \f(x－3,4)＝eq \f(4x＋3,2)＋1。
解：去分母，得x－3＝2(4x＋3)＋4，
去括号，得x－3＝8x＋6＋4，
移项、合并同类项，得－7x＝13，
方程两边同除以－7，得x＝－eq \f(13,7)。
18.(10分)(1)从一个底面半径是10 cm的圆柱形凉水杯中，向一个底面半径为5 cm，高为8 cm 的圆柱形空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯的水面将下降多少？
(2)如图，长方形ABCD可以分割成7个小正方形，若AB＝10，求AD的长。
解：(1)设凉水杯水面下降的高度是x cm，
由题意，得π×102x＝π×52×8，
解得x＝2，
故凉水杯的水面将下降2 cm。
(2)设最小正方形的边长为x，则第二大的正方形的边长为3x，根据题意，得3×3x＋x＝10，
解得x＝1，
所以AD＝10＋3×1＝13。
19.(10分)已知关于x的一元一次方程eq \f(x,3)＋m＝eq \f(mx－3,6)。
(1)当m＝－1时，求方程的解；
(2)当m为何值时，方程的解为x＝21。
解：(1)当m＝－1时，
原方程变为 eq \f(x,3)－1＝eq \f(－x－3,6)，
2x－6＝－x－3，
3x＝3，
解得x＝1。
(2)将x＝21代入方程，得 eq \f(21,3)＋m＝eq \f(21m－3,6)，
化简，得7＋m＝eq \f(7m－1,2)，
14＋2m＝7m－1，
解得m＝3。
20.(10分)课外活动时李老师到教室布置作业，有一道题只写到“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需3天，徒弟单独完成需6天”，请补充一个问题并解答。
(1)请解答小刘所添加的问题：两人合作需要几天完成？
(2)请解答小张所添加的问题：现由徒弟先做1天，两人再合作，完成后共得报酬 540元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？
(3)请你也提出一个可解答的问题：现由师傅先做1天，两人再合作几天可完成？(答案不唯一)。
解：(1)设两人合作需要x天完成，
根据题意，得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋\f(1,6)))x＝1，
解得x＝2，
经检验，符合题意，
答：两人合作需要2天完成。
(2)设徒弟先做1天，两人再合作y天完成，
根据题意，得 eq \f(1,6)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋\f(1,6)))y＝1，
解得y＝eq \f(5,3)，
经检验，符合题意，
所以师傅完成的工作量为eq \f(1,3)×eq \f(5,3)＝eq \f(5,9)，
报酬为540×eq \f(5,9)＝300元；
徒弟完成的工作量为1－eq \f(5,9)＝eq \f(4,9)，
报酬为240元。
答：师傅应得的报酬为300元，徒弟应得的报酬为240元。
21.(10分)若a，b，c，d均为有理数，现定义一种新运算eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\ac\hs10\c2(a,b,c,d)))＝ad－bc，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\ac\hs10\c2(2,4,1－m,5)))＝18，求关于x的方程 eq \f(2x－3m,5)＝1－eq \f(m－x,2) 的解。
解：由题意，得2×5－4(1－m)＝18，
解得m＝3，
所以 eq \f(2x－9,5)＝1－eq \f(3－x,2)，
2(2x－9)＝10－5(3－x)，
4x－18＝10－15＋5x，
x＝－13。
22.(10分)已知方程①：2－3(x＋1)＝0，方程②：eq \f(k＋x,2)－3k－2＝2x，若方程①与方程②的解互为倒数，求k的值。
解：解方程①得x＝－eq \f(1,3)，
解方程②得x＝eq \f(－5k－4,3)，
当两个方程的解互为倒数时，
即－eq \f(1,3)×eq \f(－5k－4,3)＝1，解得k＝1。
23.(12分)我们规定：若关于x的一元一次方程a＋x＝b(a≠0)的解为x＝eq \f(b,a)，则称该方程为“商解方程”。例如：2＋x＝4的解为x＝2且x＝eq \f(4,2)，则方程2＋x＝4是“商解方程”。请回答下列问题：
(1)判断4＋x＝eq \f(16,3)是不是“商解方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元一次方程6＋x＝m＋3是“商解方程”，求m的值。
解：(1)4＋x＝eq \f(16,3) 是“商解方程”，
理由：方程4＋x＝eq \f(16,3)的解为x＝eq \f(4,3)，
因为eq \f(16,3)÷4＝eq \f(4,3)，所以4＋x＝eq \f(16,3)是“商解方程”。
(2)由题意，得m－3＝eq \f(m＋3,6)，解得m＝eq \f(21,5)。
24.(12分)某文具店计划购进甲、乙两种地球仪共100只，这两种地球仪的进价，售价如下表：
(1)购进甲、乙两种地球仪各多少只时，进货款恰好为3 000元？
(2)为确保乙种地球仪顺利销售，在(1)的条件下，超市决定对乙种地球仪进行打折出售，两种地球仪全部售完后，总利润率为20%，则乙种地球仪每只打几折？
解：(1)设购进甲地球仪x只，则购进乙地球仪(100－x)只，由题意，得20x＋45(100－x)＝3 000，解得x＝60，
购进乙地球仪的数量为100－x＝100－60＝40。
答：购进甲地球仪60只，购进乙地球仪40只。
(2)设乙种地球仪每只打a折，依题意得
60×(30－20)＋40(60×0.1a－45)＝3 000×20%，
解得a＝7.5。
答：乙种地球仪每只打7.5折。
25.(12分)阅读理解：
A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B距离的2倍，我们就称点C是【A，B】的好点，如图①，点C到点A的距离是2，点C到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点，但点C不是【B，A】的好点。
知识运用：
(1)如图①，点A 是【C，D】的好点(选填“是”或“不是”)；
(2)如图②，M，N，E为数轴上三点，点M所表示的数为－2，点N所表示的数为4。若点M是【N，E】的好点，则点E所对应的数是多少？
拓展提升：
(3)如图③，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为－20，点B所表示的数为40。现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向左移动。当经过几秒时，点P，点A和点B中有一个点为其余两点的好点？
解：(2)设点E表示的数为x，
依题意，得|－2－4|＝2|－2－x|，
即－4－2x＝6或4＋2x＝6，
解得x＝－5或x＝1。
答：点E所对应的数是－5或1。
(3)当运动时间为t s时，点P所表示的数为40－5t，则PB＝|40－5t－40|＝5t，AB＝|－20－40|＝60，
AP＝|－20－(40－5t)|＝|60－5t|。
当点P为【A，B】的好点时，|60－5t|＝2×5t，
解得t＝4或t＝－12(不合题意，舍去)；
当点P为【B，A】的好点时，5t＝2|60－5t|，
解得t＝8或t＝24；
当点A为【P，B】的好点时，|60－5t|＝2×60，
解得t＝36或t＝－12(不合题意，舍去)；
当点A为【B，P】的好点时，60＝2|60－5t|，
解得t＝6或t＝18；
当点B为【P，A】的好点时，5t＝2×60，
解得t＝24；
当点B为【A，P】的好点时，60＝2×5t，
解得t＝6。
综上所述，经过4 s，6 s，8 s，18 s，24 s或36 s时，点P，点A和点B中有一个点为其余两点的好点。
梯形个数
1
2
3
4
5
…
图形周长
5
8
11
14
17
…
进价(元/只)
售价(元/只)
甲
20
30
乙
45
60
梯形个数
1
2
3
4
5
…
图形周长
5
8
11
14
17
…
进价(元/只)
售价(元/只)
甲
20
30
乙
45
60
(时间：120分钟 满分：150分)
班级：________ 姓名：________ 分数：________
一、选择题(每小题3分，共36分)
1.下列方程中是一元一次方程的是（ ）
A.5x＋1＝2 B.3x－2y＝0 C.x2－4＝0 D.eq \f(2,x)＝5
2.下列等式变形中正确的是（ ）
A.若a＝b，则a＋m＝b－m B.若a2＝5a，则a＝5
C.若a＝b，则eq \f(a,n2)＝eq \f(b,n2) D.若 eq \f(a,m)＝eq \f(b,m)，则a＝b
3.下列方程中，解是x＝4的是（ ）
A.3x＋1＝11 B.－2x－4＝0
C.3x－8＝4 D.4x＝1
4.方程－2x＋3＝0的解x的值为（ ）
A.eq \f(2,3) B.－eq \f(2,3) C.eq \f(3,2) D.－eq \f(3,2)
5.将方程 eq \f(x,2)－eq \f(x＋1,4)＝1去分母，正确的是（ ）
A.2x－x＋1＝1 B.2x－(x＋1)＝1
C.2x－x＋1＝4 D.2x－(x＋1)＝4
6.如果代数式5x－7与4x＋9的值互为相反数，则x的值为（ ）
A.eq \f(9,2) B.－eq \f(9,2) C.eq \f(2,9) D.－eq \f(2,9)
7.将等式4a＝2b－1进行如下变换，正确的是（ ）
A.4a－2b＝1 B.2b＝4a－1
C.b＝2a＋eq \f(1,2) D.a＝eq \f(1,2)b－1
8.设P＝2x－2，Q＝2x＋3，且3P－eq \f(Q,2)＝1，则x的值为（ ）
A.1 B.1.1 C.1.6 D.1.7
9.我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步。问人与车各几何。其大意：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐。问人数和车数各多少。设车x辆，根据题意，可列出的方程是（ ）
A.3x－2＝2x＋9 B.3(x－2)＝2(x＋9)
C.eq \f(x,3)＋2＝eq \f(x,2)－9 D.3(x－2)＝2x＋9
10.如图，在日历纵列上任意圈出相邻的三个数，算出它们的和，下列不可能是它们的和的是（ ）
A.35 B.45 C.54 D.63
11.若定义“*”运算为“a*b＝ab－3b”，若(2*x)－2(x*2)＝2，则x的值为（ ）
A.－3 B.1 C.－2 D.2
12.小明上午9：00从学校出发前往图书馆，同时小欢从图书馆出发前往学校，小明的速度是90 m/min，小欢的速度是80 m/min，出发9 min后，小欢到达学校。下列说法中正确的是（ ）
A.他们出发4.5 min后相遇
B.相遇点更靠近图书馆
C.当他们都到达各自目的地时是上午9：17
D.小明比小欢晚到1 min
二、填空题(每小题4分，共16分)
13.请写一个一元一次方程，使它的解为x＝－1： 。
14.已知 eq \f(3,4)m－1＝eq \f(3,4)n，请比较m与n的大小：m n(选填“>”“<”或“＝”)。
15.若|2a－3|＋5(8＋2b)2＝0，则ax－b＝3的解为 。
16.观察图形和表格回答：当图形的周长为80时，梯形的个数为 。
三、解答题(本大题共9小题，共98分)
17.(12分)解下列方程：
(1)－2x－3(2x－1)＝2；
(2)eq \f(x－3,4)＝eq \f(4x＋3,2)＋1。
18.(10分)(1)从一个底面半径是10 cm的圆柱形凉水杯中，向一个底面半径为5 cm，高为8 cm 的圆柱形空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯的水面将下降多少？
(2)如图，长方形ABCD可以分割成7个小正方形，若AB＝10，求AD的长。
19.(10分)已知关于x的一元一次方程eq \f(x,3)＋m＝eq \f(mx－3,6)。
(1)当m＝－1时，求方程的解；
(2)当m为何值时，方程的解为x＝21。
20.(10分)课外活动时李老师到教室布置作业，有一道题只写到“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需3天，徒弟单独完成需6天”，请补充一个问题并解答。
(1)请解答小刘所添加的问题：两人合作需要几天完成？
(2)请解答小张所添加的问题：现由徒弟先做1天，两人再合作，完成后共得报酬 540元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？
(3)请你也提出一个可解答的问题： 。
21.(10分)若a，b，c，d均为有理数，现定义一种新运算eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\ac\hs10\c2(a,b,c,d)))＝ad－bc，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\ac\hs10\c2(2,4,1－m,5)))＝18，求关于x的方程 eq \f(2x－3m,5)＝1－eq \f(m－x,2) 的解。
22.(10分)已知方程①：2－3(x＋1)＝0，方程②：eq \f(k＋x,2)－3k－2＝2x，若方程①与方程②的解互为倒数，求k的值。
23.(12分)我们规定：若关于x的一元一次方程a＋x＝b(a≠0)的解为x＝eq \f(b,a)，则称该方程为“商解方程”。例如：2＋x＝4的解为x＝2且x＝eq \f(4,2)，则方程2＋x＝4是“商解方程”。请回答下列问题：
(1)判断4＋x＝eq \f(16,3)是不是“商解方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元一次方程6＋x＝m＋3是“商解方程”，求m的值。
24.(12分)某文具店计划购进甲、乙两种地球仪共100只，这两种地球仪的进价，售价如下表：
(1)购进甲、乙两种地球仪各多少只时，进货款恰好为3 000元？
(2)为确保乙种地球仪顺利销售，在(1)的条件下，超市决定对乙种地球仪进行打折出售，两种地球仪全部售完后，总利润率为20%，则乙种地球仪每只打几折？
25.(12分)阅读理解：
A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B距离的2倍，我们就称点C是【A，B】的好点，如图①，点C到点A的距离是2，点C到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点，但点C不是【B，A】的好点。
知识运用：
(1)如图①，点A 【C，D】的好点(选填“是”或“不是”)；
(2)如图②，M，N，E为数轴上三点，点M所表示的数为－2，点N所表示的数为4。若点M是【N，E】的好点，则点E所对应的数是多少？
拓展提升：
(3)如图③，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为－20，点B所表示的数为40。现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向左移动。当经过几秒时，点P，点A和点B中有一个点为其余两点的好点？
北师大版（2024年新教材）七年级上册数学第五章 一元一次方程 达标测试卷·教师版
(时间：120分钟 满分：150分)
班级：________ 姓名：________ 分数：________
一、选择题(每小题3分，共36分)
1.下列方程中是一元一次方程的是（A）
A.5x＋1＝2 B.3x－2y＝0 C.x2－4＝0 D.eq \f(2,x)＝5
2.下列等式变形中正确的是（D）
A.若a＝b，则a＋m＝b－m B.若a2＝5a，则a＝5
C.若a＝b，则eq \f(a,n2)＝eq \f(b,n2) D.若 eq \f(a,m)＝eq \f(b,m)，则a＝b
3.下列方程中，解是x＝4的是( C )
A.3x＋1＝11 B.－2x－4＝0
C.3x－8＝4 D.4x＝1
4.方程－2x＋3＝0的解x的值为（C）
A.eq \f(2,3) B.－eq \f(2,3) C.eq \f(3,2) D.－eq \f(3,2)
5.将方程 eq \f(x,2)－eq \f(x＋1,4)＝1去分母，正确的是（D）
A.2x－x＋1＝1 B.2x－(x＋1)＝1
C.2x－x＋1＝4 D.2x－(x＋1)＝4
6.如果代数式5x－7与4x＋9的值互为相反数，则x的值为（D）
A.eq \f(9,2) B.－eq \f(9,2) C.eq \f(2,9) D.－eq \f(2,9)
7.将等式4a＝2b－1进行如下变换，正确的是（C）
A.4a－2b＝1 B.2b＝4a－1
C.b＝2a＋eq \f(1,2) D.a＝eq \f(1,2)b－1
8.设P＝2x－2，Q＝2x＋3，且3P－eq \f(Q,2)＝1，则x的值为（D）
A.1 B.1.1 C.1.6 D.1.7
9.我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步。问人与车各几何。其大意：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐。问人数和车数各多少。设车x辆，根据题意，可列出的方程是（D）
A.3x－2＝2x＋9 B.3(x－2)＝2(x＋9)
C.eq \f(x,3)＋2＝eq \f(x,2)－9 D.3(x－2)＝2x＋9
10.如图，在日历纵列上任意圈出相邻的三个数，算出它们的和，下列不可能是它们的和的是（A）
A.35 B.45 C.54 D.63
11.若定义“*”运算为“a*b＝ab－3b”，若(2*x)－2(x*2)＝2，则x的值为（D）
A.－3 B.1 C.－2 D.2
12.小明上午9：00从学校出发前往图书馆，同时小欢从图书馆出发前往学校，小明的速度是90 m/min，小欢的速度是80 m/min，出发9 min后，小欢到达学校。下列说法中正确的是（B）
A.他们出发4.5 min后相遇
B.相遇点更靠近图书馆
C.当他们都到达各自目的地时是上午9：17
D.小明比小欢晚到1 min
二、填空题(每小题4分，共16分)
13.请写一个一元一次方程，使它的解为x＝－1：x＋1＝0(答案不唯一)。
14.已知 eq \f(3,4)m－1＝eq \f(3,4)n，请比较m与n的大小：m>n(选填“>”“<”或“＝”)。
15.若|2a－3|＋5(8＋2b)2＝0，则ax－b＝3的解为x＝－eq \f(2,3)。
16.观察图形和表格回答：当图形的周长为80时，梯形的个数为26。
三、解答题(本大题共9小题，共98分)
17.(12分)解下列方程：
(1)－2x－3(2x－1)＝2；
解：去括号，得－2x－6x＋3＝2，
移项，得－2x－6x＝2－3，
合并同类项，得－8x＝－1，
系数化为1，得x＝eq \f(1,8)。
(2)eq \f(x－3,4)＝eq \f(4x＋3,2)＋1。
解：去分母，得x－3＝2(4x＋3)＋4，
去括号，得x－3＝8x＋6＋4，
移项、合并同类项，得－7x＝13，
方程两边同除以－7，得x＝－eq \f(13,7)。
18.(10分)(1)从一个底面半径是10 cm的圆柱形凉水杯中，向一个底面半径为5 cm，高为8 cm 的圆柱形空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯的水面将下降多少？
(2)如图，长方形ABCD可以分割成7个小正方形，若AB＝10，求AD的长。
解：(1)设凉水杯水面下降的高度是x cm，
由题意，得π×102x＝π×52×8，
解得x＝2，
故凉水杯的水面将下降2 cm。
(2)设最小正方形的边长为x，则第二大的正方形的边长为3x，根据题意，得3×3x＋x＝10，
解得x＝1，
所以AD＝10＋3×1＝13。
19.(10分)已知关于x的一元一次方程eq \f(x,3)＋m＝eq \f(mx－3,6)。
(1)当m＝－1时，求方程的解；
(2)当m为何值时，方程的解为x＝21。
解：(1)当m＝－1时，
原方程变为 eq \f(x,3)－1＝eq \f(－x－3,6)，
2x－6＝－x－3，
3x＝3，
解得x＝1。
(2)将x＝21代入方程，得 eq \f(21,3)＋m＝eq \f(21m－3,6)，
化简，得7＋m＝eq \f(7m－1,2)，
14＋2m＝7m－1，
解得m＝3。
20.(10分)课外活动时李老师到教室布置作业，有一道题只写到“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需3天，徒弟单独完成需6天”，请补充一个问题并解答。
(1)请解答小刘所添加的问题：两人合作需要几天完成？
(2)请解答小张所添加的问题：现由徒弟先做1天，两人再合作，完成后共得报酬 540元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？
(3)请你也提出一个可解答的问题：现由师傅先做1天，两人再合作几天可完成？(答案不唯一)。
解：(1)设两人合作需要x天完成，
根据题意，得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋\f(1,6)))x＝1，
解得x＝2，
经检验，符合题意，
答：两人合作需要2天完成。
(2)设徒弟先做1天，两人再合作y天完成，
根据题意，得 eq \f(1,6)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋\f(1,6)))y＝1，
解得y＝eq \f(5,3)，
经检验，符合题意，
所以师傅完成的工作量为eq \f(1,3)×eq \f(5,3)＝eq \f(5,9)，
报酬为540×eq \f(5,9)＝300元；
徒弟完成的工作量为1－eq \f(5,9)＝eq \f(4,9)，
报酬为240元。
答：师傅应得的报酬为300元，徒弟应得的报酬为240元。
21.(10分)若a，b，c，d均为有理数，现定义一种新运算eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\ac\hs10\c2(a,b,c,d)))＝ad－bc，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\ac\hs10\c2(2,4,1－m,5)))＝18，求关于x的方程 eq \f(2x－3m,5)＝1－eq \f(m－x,2) 的解。
解：由题意，得2×5－4(1－m)＝18，
解得m＝3，
所以 eq \f(2x－9,5)＝1－eq \f(3－x,2)，
2(2x－9)＝10－5(3－x)，
4x－18＝10－15＋5x，
x＝－13。
22.(10分)已知方程①：2－3(x＋1)＝0，方程②：eq \f(k＋x,2)－3k－2＝2x，若方程①与方程②的解互为倒数，求k的值。
解：解方程①得x＝－eq \f(1,3)，
解方程②得x＝eq \f(－5k－4,3)，
当两个方程的解互为倒数时，
即－eq \f(1,3)×eq \f(－5k－4,3)＝1，解得k＝1。
23.(12分)我们规定：若关于x的一元一次方程a＋x＝b(a≠0)的解为x＝eq \f(b,a)，则称该方程为“商解方程”。例如：2＋x＝4的解为x＝2且x＝eq \f(4,2)，则方程2＋x＝4是“商解方程”。请回答下列问题：
(1)判断4＋x＝eq \f(16,3)是不是“商解方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元一次方程6＋x＝m＋3是“商解方程”，求m的值。
解：(1)4＋x＝eq \f(16,3) 是“商解方程”，
理由：方程4＋x＝eq \f(16,3)的解为x＝eq \f(4,3)，
因为eq \f(16,3)÷4＝eq \f(4,3)，所以4＋x＝eq \f(16,3)是“商解方程”。
(2)由题意，得m－3＝eq \f(m＋3,6)，解得m＝eq \f(21,5)。
24.(12分)某文具店计划购进甲、乙两种地球仪共100只，这两种地球仪的进价，售价如下表：
(1)购进甲、乙两种地球仪各多少只时，进货款恰好为3 000元？
(2)为确保乙种地球仪顺利销售，在(1)的条件下，超市决定对乙种地球仪进行打折出售，两种地球仪全部售完后，总利润率为20%，则乙种地球仪每只打几折？
解：(1)设购进甲地球仪x只，则购进乙地球仪(100－x)只，由题意，得20x＋45(100－x)＝3 000，解得x＝60，
购进乙地球仪的数量为100－x＝100－60＝40。
答：购进甲地球仪60只，购进乙地球仪40只。
(2)设乙种地球仪每只打a折，依题意得
60×(30－20)＋40(60×0.1a－45)＝3 000×20%，
解得a＝7.5。
答：乙种地球仪每只打7.5折。
25.(12分)阅读理解：
A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B距离的2倍，我们就称点C是【A，B】的好点，如图①，点C到点A的距离是2，点C到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点，但点C不是【B，A】的好点。
知识运用：
(1)如图①，点A 是【C，D】的好点(选填“是”或“不是”)；
(2)如图②，M，N，E为数轴上三点，点M所表示的数为－2，点N所表示的数为4。若点M是【N，E】的好点，则点E所对应的数是多少？
拓展提升：
(3)如图③，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为－20，点B所表示的数为40。现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向左移动。当经过几秒时，点P，点A和点B中有一个点为其余两点的好点？
解：(2)设点E表示的数为x，
依题意，得|－2－4|＝2|－2－x|，
即－4－2x＝6或4＋2x＝6，
解得x＝－5或x＝1。
答：点E所对应的数是－5或1。
(3)当运动时间为t s时，点P所表示的数为40－5t，则PB＝|40－5t－40|＝5t，AB＝|－20－40|＝60，
AP＝|－20－(40－5t)|＝|60－5t|。
当点P为【A，B】的好点时，|60－5t|＝2×5t，
解得t＝4或t＝－12(不合题意，舍去)；
当点P为【B，A】的好点时，5t＝2|60－5t|，
解得t＝8或t＝24；
当点A为【P，B】的好点时，|60－5t|＝2×60，
解得t＝36或t＝－12(不合题意，舍去)；
当点A为【B，P】的好点时，60＝2|60－5t|，
解得t＝6或t＝18；
当点B为【P，A】的好点时，5t＝2×60，
解得t＝24；
当点B为【A，P】的好点时，60＝2×5t，
解得t＝6。
综上所述，经过4 s，6 s，8 s，18 s，24 s或36 s时，点P，点A和点B中有一个点为其余两点的好点。
梯形个数
1
2
3
4
5
…
图形周长
5
8
11
14
17
…
进价(元/只)
售价(元/只)
甲
20
30
乙
45
60
梯形个数
1
2
3
4
5
…
图形周长
5
8
11
14
17
…
进价(元/只)
售价(元/只)
甲
20
30
乙
45
60
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