高考数学复习第四章　第一节　导数的概念及其意义、导数的运算（导学案）

这是一份高考数学复习第四章　第一节　导数的概念及其意义、导数的运算（导学案），共21页。学案主要包含了课程标准，必备知识·精归纳，基础小题·固根基，方法提炼，对点训练，加练备选，思维导图·构网络等内容，欢迎下载使用。

第四章 导数及其应用
第一节 导数的概念及其意义、导数的运算
【课程标准】
1.理解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.
3.能利用导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数的导数.
【必备知识·精归纳】
1.导数的概念
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数记作f'(x0)或y'|x=x0.
f'(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx.
(2)函数y=f(x)的导函数
f'(x)=y'=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx.
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
点睛求曲线切线时,要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者.
3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则
若f'(x),g'(x)存在,则有[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0);
[cf(x)]'=cf'(x).
5.复合函数的定义及其导数
(1)一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).
(2)复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
点睛在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导,不能混淆.
【基础小题·固根基】
1.(教材变式)(多选题)下列求导运算正确的有( )
A.(sin x)'=cs xB. (1x)'=1x2
C.(lg3x)'=13lnxD.(ln x)'=1x
解析：选AD.因为(sin x)'=cs x, (1x)'=-1x2,(lg3x)'=1xln3,(ln x)'=1x,所以A,D项正确.
2.(教材提升)已知f(x)=x(2 023+ln x),若f'(x0)=2 024,则x0=( )
A.e2B.1C.ln 2D.e
解析：选B.因为f(x)=x(2 023+ln x),
所以f'(x)=2 023+ln x+1=2 024+ln x.
又f'(x0)=2 024,
所以2 024+ln x0=2 024,所以x0=1.
3.(教材变式)函数f(x)=ex+1x在x=1处的切线方程为 .
解析：f'(x)=ex-1x2,所以f'(1)=e-1,
又f(1)=e+1,
所以切点为(1,e+1),切线斜率k=f'(1)=e-1,
即切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),
即y=(e-1)x+2.
答案:y=(e-1)x+2
4.(教材提升)已知函数f(x)=xln x+ax2+2,若f'(e)=0,则a= .
解析：f'(x)=1+ln x+2ax,
所以f'(e)=2ae+2=0,所以a=-1e.
答案:-1e
5.(不会用方程法解导数求值)已知f(x)=x2+3xf'(2),则f(2)= .
解析：因为f'(x)=2x+3f'(2),令x=2,得f'(2)=-2,所以f(x)=x2-6x,所以f(2)=-8.
答案:-8
6.(混淆在点P处的切线和过点P的切线)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则a的值为 ;b的值为 .
解析：y'=aex+ln x+1,
所以ae+1=2,ae=2+b,解得a=1e,b=-1.
答案:1e -1
题型一 导数的概念
[典例1](1)如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则
limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx= .(用数字作答)
解析：由题图可得x在[0,2]上,函数图象上每一点处的斜率都是4-00-2=-2.由导数的几何意义知limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=-2.
答案:-2
(2)(2020·北京高考)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改,设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-f(b)-f(a)b-a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.
给出下列四个结论:
①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;
④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是 .
解析：-f(b)-f(a)b-a表示区间端点连线斜率的相反数,在[t1,t2]这段时间内,甲的斜率比乙的小,所以甲的斜率的相反数比乙的大,因此甲企业的污水治理能力比乙企业强,①正确;
在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,甲企业在[t1,t2]这段时间内,甲的斜率最小,其相反数最大,即在[t1,t2]的污水治理能力最强,④错误;
在t2时刻,甲切线的斜率比乙的小,所以甲切线的斜率的相反数比乙的大,甲企业的污水治理能力比乙企业强,②正确;
在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以都已达标,③正确.
答案:①②③
【方法提炼】
求函数y=f(x)在点x0处导数的步骤
(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率ΔyΔx=f(x0+Δx)-f(x0)Δx;
(3)得导数f'(x0)=limΔx→0ΔyΔx,简记作:一差、二比、三极限.
提醒函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
【对点训练】
1.已知函数f(x)可导,则limΔx→0f(2+2Δx)-f(2)2Δx=( )
A.f'(x)B.f'(2)C.f(x)D.f(2)
解析：选B.因为函数f(x)可导,
所以f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx,
所以limΔx→0f(2+2Δx)-f(2)2Δx=f'(2).
2.某市开始全面实施垃圾分类,家庭厨余垃圾的分出量不断增加.已知甲、乙两个小区在[0,t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示.给出下列四个结论:
①在[t1,t2]这段时间内,甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大;
②在[t2,t3]这段时间内,乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大;
③在t2时刻,甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢;
④甲小区在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[t2,t3]的平均分出量最大.
其中所有正确结论的序号是( )
A.①②B.②③C.①④D.③④
解析：选B.①在[t1,t2]这段时间内,甲小区的增长量小于乙小区的增长量,所以甲小区的平均分出量小于乙小区,说法错误.②在[t2,t3]这段时间内,甲小区的增长量小于乙小区的增长量,所以乙小区的平均分出量大于甲小区,说法正确.③在t2时刻,乙小区的图象比甲小区的图象陡,瞬时增长率大,说法正确.④甲小区的图象大致为一条直线,所以三个时间段的平均分出量相等,说法错误.
题型二 导数的运算
[典例2](1)下列求导运算正确的是( )
A. (1lnx)'=-1x(lnx)2
B.(x2ex)'=2x+ex
C.(xcs x)'=-sin x
D. (x-1x)'=1-1x2
解析：选A.对于A, (1lnx)'=-(lnx)'(lnx)2=
-1x(lnx)2,正确;对于B,(x2ex)'=(x2)'ex+x2(ex)'=2xex+x2ex=(2x+x2)ex,错误;
对于C,(xcs x)'=cs x-xsin x,错误;
对于D, (x-1x)'=1-(1x)'=1+1x2,错误.
(2)(2020·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=exx+a.若f'(1)=e4,则a= .
解析：由于f'(x)=ex(x+a)-ex(x+a)2,故f'(1)=ea(1+a)2=e4,解得a=1.
答案:1
(3)求下列函数的导数:
①y=(3x3-4x)(2x+1);
②f(x)=lnx+2xx2;
③f(x)=11-2x2;
④f(x)=cs(3x2-π6).
解析：①方法一:y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x,所以y'=24x3+9x2-16x-4.
方法二:y'=(3x3-4x)'·(2x+1)+(3x3-4x)·(2x+1)'=(9x2-4)·(2x+1)+(3x3-4x)·2=24x3+9x2-16x-4.
②f'(x)= (lnxx2+2xx2)'=(lnxx2)'+(2xx2)'
=1x·x2-lnx·2xx4+2x(ln2·x2-2x)x4
=(1-2lnx)x+(ln2·x2-2x)·2xx4
=1-2lnx+(ln2·x-2)2xx3.
③设y=u-12,u=1-2x2,则f'(x)=(u-12)'(1-2x2)'=(-12u-32)·(-4x)=-12(1-2x2)-32·(-4x)=2x(1-2x2)-32.
④f'(x)=-sin(3x2-π6(3x2-π6)'
=-6xsin(3x2-π6).
【方法提炼】
(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导.
(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导.
(3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导.
(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导.
(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.
【对点训练】
1.函数y=sin 2x-cs 2x的导数y'等于( )
A.22cs(2x-π4)B.cs 2x+sin x
C.cs 2x-sin 2xD.22cs(2x+π4)
解析：选A.y'=2cs 2x+2sin 2x=22cs(2x-π4).
2.求下列函数的导数:
(1)y=tan x;
(2)y=x2x;
(3)y=lnxx2+1;
(4)y=xsin(2x+π2)cs(2x+π2).
解析：(1)y'=(sinxcsx)'
=(sinx)'csx-sinx(csx)'cs2x=1cs2x.
(2)因为y=x2x=2x32,
所以y'=(2x32)'=322x12.
(3)y'=(lnx)'(x2+1)-lnx·(x2+1)'(x2+1)2
=1x(x2+1)-2xlnx(x2+1)2=x2+1-2x2lnxx(x2+1)2.
(4)因为y=xsin(2x+π2)cs(2x+π2)=12x·
sin(4x+π)=-12xsin 4x,所以y'=-12sin 4x-12x·4cs 4x=-12sin 4x-2xcs 4x.
【加练备选】
1.(2023·济南模拟)已知函数f'(x)=exsin x+excs x,则f(2 023)-f(0)等于( )
A.e2 023cs 2 023B.e2 023sin 2 023
C.e2D.e
解析：选B.因为f'(x)=exsin x+excs x,
所以f(x)=exsin x+k(k为常数),
所以f(2 023)-f(0)=e2 023sin 2 023.
2.(2022·湖南模拟)已知函数f(x)=x2+f(0)·x-f'(0)·cs x+2,其导函数为f'(x),则( )
A.f(0)=-1B.f'(0)=1
C.f(0)=0D.f'(0)=-1
解析：选B.因为f(x)=x2+f(0)·x-f'(0)·cs x+2,所以f(0)=2-f'(0).
因为f'(x)=2x+f(0)+f'(0)·sin x,
所以f'(0)=f(0),故f'(0)=f(0)=1.
题型三 导数的几何意义
角度1 求切线方程
[典例3](1)金榜原创·易错对对碰
已知曲线f(x)=x3-x,则
①曲线在点(1,0)处的切线方程为 ;
②曲线过点(1,0)的切线方程为 .
解析：f'(x)=3x2-1.
①曲线在点(1,0)处的切线的斜率为k=f'(1)=2.
所以所求切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.
答案:2x-y-2=0
②设切点为P(x0,x03-x0),则k切=f'(x0)=3x02-1,
所以所求切线方程为y-x03+x0=(3x02-1)(x-x0),又切线过点(1,0),
所以-x03+x0=(3x02-1)(1-x0),
解得x0=1或-12.
故所求切线方程为y=2(x-1)或y-38=
-14x+12
即2x-y-2=0或x+4y-1=0.
答案:2x-y-2=0或x+4y-1=0
(2)(2021·全国甲卷)曲线y=2x-1x+2在点(-1,-3)处的切线方程为 .
解析：y'=(2x-1x+2)'=2(x+2)-(2x-1)(x+2)2=5(x+2)2,
所以y'|x=-1=5(-1+2)2=5,
所以切线方程为y+3=5(x+1),
即5x-y+2=0.
答案:5x-y+2=0
(3)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为 , .
解析：因为y=ln |x|,当x>0时y=ln x,
设切点为(x0,ln x0),由y'=1x,
所以y'|x=x0=1x0,
所以切线方程为y-ln x0=1x0(x-x0),
又切线过坐标原点,
所以-ln x0=1x0(-x0),
解得x0=e,
所以切线方程为y-1=1e(x-e),
即y=1ex;
当x<0时y=ln(-x),
设切点为(x1,ln(-x1)),由y'=1x,
所以y'|x=x1=1x1,
所以切线方程为y-ln(-x1)=1x1(x-x1),
又切线过坐标原点,
所以-ln(-x1)=1x1(-x1),
解得x1=-e,
所以切线方程为y-1=-1e(x+e),
即y=-1ex.
答案:y=1ex y=-1ex
【方法提炼】
求曲线y=f(x)过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0);
(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成:
第一步:设出切点坐标P'(x1,f(x1));
第二步:写出过点P'(x1,f(x1))的切线方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1);
第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;
第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.
角度2 求切点坐标
[典例4](1)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点Ρ处的切线垂直,则点P的坐标为 .
解析：设P(x0,y0).对y=ex求导得y'=ex,
令x=0,得曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率为1,
故曲线y=1x(x>0)上点P处的切线斜率为-1,
由y'|x=x0=-1x02=-1,
得x0=1,则y0=1,所以点P的坐标为(1,1).
答案:(1,1)
(2)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是 .
解析：设A(m,n),则曲线y=ln x在点A处的切线方程为y-n=1m(x-m).
又切线过点(-e,-1),
所以有n+1=1m(m+e).
再由n=ln m,
解得m=e,n=1.
故点A的坐标为(e,1).
答案:(e,1)
【方法提炼】
求切点坐标的思路
(1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.
(2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标,列出切线方程,将切点代入曲线方程,已知点代入切线方程联立方程求出切点坐标.
角度3 求参数的值(范围)
[典例5](1)(2023·青岛模拟)直线y=kx+1与曲线f(x)=aln x+b相切于点P(1,2),则2a+b等于( )
A.4B.3C.2D.1
解析：选A.因为直线y=kx+1与曲线f(x)=aln x+b相切于点P(1,2),
将P(1,2)代入y=kx+1,
可得k+1=2,解得k=1,
因为f(x)=aln x+b,
所以f'(x)=ax,
由f'(1)=a1=1,
解得a=1,可得f(x)=ln x+b,
因为P(1,2)在曲线f(x)=ln x+b上,
所以f(1)=ln 1+b=2,
解得b=2,故2a+b=2+2=4.
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 .
解析：因为y=(x+a)ex,
所以y'=(x+1+a)ex,
设切点为(x0,y0),则y0=(x0+a)ex0,切线斜率k=(x0+1+a)ex0,切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+1+a)ex0(x-x0).
因为切线过原点,
所以-(x0+a)ex0=(x0+1+a)ex0(-x0),
整理得,x02+ax0-a=0.
因为切线有两条,
所以Δ=a2+4a>0,
解得a<-4或a>0,
所以a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).
答案:(-∞,-4)∪(0,+∞)
【方法提炼】
利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.
提醒(1)注意曲线上横坐标的取值范围;
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上.
【对点训练】
1.已知曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线与直线x+2y-1=0垂直,则点P的坐标为 ( )
A.(1,3)B.(-1,3)
C.(1,3)或(-1,3)D.(1,-3)
解析：选C.设切点P(x0,y0),f'(x)=3x2-1,
又直线x+2y-1=0的斜率为-12,
所以f'(x0)=3x02-1=2,
所以x02=1,所以x0=±1,
又切点P(x0,y0)在y=f(x)上,
所以y0=x03-x0+3,
所以当x0=1时,y0=3;
当x0=-1时,y0=3.
所以点P的坐标为(1,3)或(-1,3).
2.(2021·新高考Ⅰ卷)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则( )
A.ebC.0解析：选D.设切点为(x0,y0),因为y'=ex,
所以曲线y=ex在点(x0,y0)处的切线方程为y-ex0=ex0(x-x0).
又因为点(a,b)在此切线上,
所以b-ex0=ex0(a-x0),
整理得b=(a-x0+1)ex0.
令f(x)=(a-x+1)ex,
所以f'(x)=(a-x)ex,
则当x0,函数f(x)在(-∞,a)上单调递增;
当x>a时,f'(x)<0,函数f(x)在(a,+∞)上单调递减,
所以函数f(x)在x=a处取得最大值f(a)=ea,且当x→+∞时,f(x)→-∞,当x→-∞时,f(x)→0.
因为过点(a,b)的切线有两条,
即方程b=(a-x0+1)ex0有两个不相等的实数根,
所以03.已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为 .
解析：因为点(0,-1)不在曲线f(x)=xln x上,
所以设切点为(x0,y0).
又f'(x)=1+ln x,
所以直线l的方程为y+1=(1+ln x0)x.
所以由y0=x0ln x0,y0+1=(1+ln x0)x0,
解得x0=1,y0=0.
所以直线l的方程为y=x-1,
即x-y-1=0.
答案:x-y-1=0
【加练备选】
1.(2022·哈尔滨模拟)已知M是曲线y=ln x+12x2+(1-a)x上的任一点,若曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角,则实数a的取值范围是( )
A.[2,+∞) B.[4,+∞)
C.(-∞,2]D.(-∞,4]
解析：选C.因为y=ln x+12x2+(1-a)x,
所以y'=1x+x+1-a,
因为曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角,
所以y'≥tanπ4=1对于任意的x>0恒成立,
即1x+x+1-a≥1对任意x>0恒成立,
所以x+1x≥a,又x+1x≥2,
当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立,
故a≤2,所以a的取值范围是(-∞,2].
2.(2022·成都模拟)已知点P是曲线y=-sin x(x∈[0,π])上的动点,点Q在直线x-2y-6=0上运动,则当|PQ|取最小值时,点P的横坐标为( )
A.π4B.π2C.2π3D.5π6
解析：选C.如图所示:
若使得|PQ|取最小值,则曲线y=-sin x(x∈[0,π])在点P处的切线与直线x-2y-6=0平行,对函数y=-sin x求导得y'=-cs x,令y'=12,可得cs x=-12,
因为0≤x≤π,所以x=2π3.
【思维导图·构网络】
解题思维拓广角度❹ 两曲线公切线问题的求法
1.解题关键.
(1)导数的几何意义:切线的斜率k等于导函数在切点处的函数值;
(2)两个等量关系:切点在切线上,又在曲线上.
2.求公切线的思路:先解决切线和第一条曲线相切,然后再解决切线和第二条切线相切即可.
类型一 判断公切线的条数
[典例1]曲线y=-1x(x<0)与曲线y=ln x的公切线的条数为 .
解析：设与曲线y=-1x(x<0)和曲线y=ln x相切的切点分别为(m,n),(s,t),
则n=-1m,t=ln s,(m<0,s>0),
由(-1x)'=1x2,(ln x)'=1x,
即有1m2=1s=n-tm-s=-1m-lnsm-s,
即m2=s,1-m=-1-mln s,
即为12+1-m=ln (-m),(m<0),
令x=-m,则有ln x=12+1x,
令f(x)=ln x-12-1x,
f'(x)=1x+1x2>0,f(x)单调递增,
因为f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3-56>0,
由零点存在定理可得f(x)=0有且只有一个实根,即有m唯一,s唯一,则公切线的条数为1.
答案:1
类型二 求两曲线的公切线
[典例2]已知f(x)=ex(e为自然对数的底数),g(x)=ln x+2,直线l是f(x)与g(x)的公切线,则直线l的方程为 .
解析：根据题意,设直线l与f(x)=ex相切于点(m,em),与g(x)相切于点(n,ln n+2),
对于f(x)=ex,其导数为f'(x)=ex,
则有k=f'(m)=em,
则直线l的方程为y-em=em(x-m),
即y=emx+em(1-m),
对于g(x)=ln x+2,其导数为g'(x)=1x,
则有k=g'(n)=1n,
则直线l的方程为y-(ln n+2)=1n(x-n),
即y=1nx+(ln n+1),
因为直线l是f(x)与g(x)的公切线,
则em=1n(1-m)em=lnn+1,
变形可得:(1-m)(1-n)n=0,
则m=1或n=1,
当m=1时,直线l的方程为y=ex,
当n=1时,直线l的方程为y=x+1.
故直线l的方程为y=ex或y=x+1.
答案:y=ex或y=x+1
类型三 求参数的值或范围
[典例3]若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln (x+1)的切线,则b=( )
A.1B.12
C.1-ln 2D.1-2ln 2
解析：选C.设y=kx+b与y=ln x+2和y=ln (x+1)的切点分别为(x1,kx1+b),(x2,kx2+b);
由导数的几何意义可得k=1x1=1x2+1,
得x1=x2+1,
再由切点也在各自的曲线上,
可得kx1+b=ln x1+2kx2+b=ln(x2+1),
联立上述式子解得k=2,x1=12,x2=-12.
代入kx1+b=ln x1+2,解得b=1-ln 2.
[典例4]已知曲线f(x)=ln x+1与g(x)=x2-x+a有公共切线,则实数a的取值范围为 .
解析：设切线与y=f(x)相切于点P(x0,ln x0+1),
f'(x0)=1x0,所以切线方程为
y-(ln x0+1)=1x0(x-x0),
即y=xx0+ln x0,联立y=xx0+ln x0y=x2-x+a,
得x2-(1+1x0)x+a-ln x0=0,
所以Δ=(1+1x0)2-4(a-ln x0)=0,
即1x02+2x0+1-4a+4ln x0=0,
即4a=1x02+2x0+1+4ln x0有解,
令φ(x)=1x2+2x+1+4ln x(x>0),则
φ'(x)=-2x3-2x2+4x=4x2-2x-2x3
=2(x-1)(2x+1)x3,
当x∈(0,1)时,φ'(x)<0,
当x∈(1,+∞)时,φ'(x)>0,
所以φ(x)在(0,1)上单调递减,
在(1,+∞)上单调递增,所以φ(x)min=φ(1)=4,
又x→+∞时,φ(x)→+∞,故φ(x)的值域为
[4,+∞),所以4a≥4,即a≥1,
故实数a的取值范围是[1,+∞).
答案:[1,+∞)
基本初等函数
导函数
f(x)=c(c为常数)
f'(x)=0
f(x)=xα(α∈Q且α≠0)
f'(x)=αxα-1
f(x)=sin x
f'(x)=cs x
f(x)=cs x
f'(x)=-sin x
f(x)=ax(a>0且a≠1)
f'(x)=axln a
f(x)=ex
f'(x)=ex
f(x)=lgax(a>0,且a≠1)
f'(x)=1xlna
f(x)=ln x
f'(x)=1x
教材改编
易错易混
1,2,3,4
5,6