2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习18导数的概念及其几何意义导数的运算（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习18导数的概念及其几何意义导数的运算（Word版附解析），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．[2024·黑龙江哈尔滨模拟]下列求导运算不正确的是( )
A．(x2)′＝2xB．(ex＋ln3)′＝ex＋eq \f(1,3)
C．(3x)′＝3xln3D．(sinx)′＝csx
2．已知f(x)＝lneq \f(1,x)，若f′(x0)＝eq \f(1,e)，则x0＝( )
A．－eq \f(1,e)B．－eC．eq \f(1,e)D．e
3．[2024·山西运城模拟]函数f(x)＝xex－2ex＋x＋e在(1，f(1))处的切线方程为( )
A．y＝xB．y＝2x－1
C．y＝ex－e＋1D．y＝－ex＋e＋1
4．设函数f(x)＝ln (x＋a)在x＝1处的切线与直线y＝eq \f(x,2)＋1平行，则a＝( )
A．－2B．2C．－1D．1
5．已知函数f(x)＝x2ex－1－ax的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为2，则a＝( )
A．－1B．1C．－2D．2
6．[2024·北京东城模拟]若函数f(x)＝2lnx＋x2＋mx＋1的图象上任意一点的切线的斜率都大于0，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，－4) B．(－∞，4)
C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)
7．已知函数f(x)＝ex－ax＋b，g(x)＝x2－x.若曲线y＝f(x)和y＝g(x)在公共点A(1，0)处有相同的切线，则a，b的值分别为( )
A．e－1，－1B．－1，e－1
C．e，－1D．－1，e
8．(素养提升)已知曲线y＝ex－m在x＝2处的切线与坐标轴围成的面积为eq \f(e,2)，则m＝( )
A．1B．2C．3D．4
二、多项选择题
9．已知直线l与曲线f(x)＝lnx＋x2相切，则下列直线中可能与l垂直的是( )
A．x＋4y＝0B．eq \r(2)x＋3y＝0
C．eq \r(2)x＋4y＝0D．eq \r(2)x－y＝0
10．(素养提升)直线x＋ay－a＝0是曲线y＝eq \f(sinx,x)的切线，则实数a的值可以是( )
A．3πB．πC．eq \f(π,2)D．eq \f(π,3)
三、填空题
11．[2024·广东深圳模拟]若曲线y＝lnx＋eq \f(1,x)在x＝2处切线的倾斜角为α，则tanα＝__________．
12．[2024·福建宁德模拟]已知函数f(x)满足如下条件：①定义域为R；②存在x0∈R，使得f(x0)＝f′(x0)＝0；③f(x)≤0，试写出一个符合上述要求的函数f(x)＝__________．
13．[2024·山东烟台模拟]过坐标原点作曲线y＝(x＋2)ex的切线，则切点的横坐标为__________．
四、解答题
14．[2024·天津蓟州模拟]已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
优生选做题
15．已知直线y＝ax＋b(a∈R，b>0)是曲线f(x)＝ex与曲线g(x)＝lnx＋2的公切线，则a＋b＝( )
A．e＋2B．3C．e＋1D．2
16．[2024·辽宁沈阳模拟]已知过点P(a，1)可以作曲线y＝lnx的两条切线，则实数a的取值范围是______．
课后定时检测案18 导数的概念及其几何意义、导数的运算
1．解析：根据导数的四则运算法则和常用函数导数公式知(ln3)′＝0，故选项B不正确．故选B.
答案：B
2．解析：因为f(x)＝lneq \f(1,x)＝－lnx．所以f′(x)＝－eq \f(1,x)，
由f′(x0)＝－eq \f(1,x0)＝eq \f(1,e)，解得x0＝－e.故选B.
答案：B
3．解析：f′(x)＝ex＋xex－2ex＋1＝(x－1)ex＋1，f′(1)＝1，f(1)＝1，所以所求切线方程为y－1＝x－1，即y＝x.故选A.
答案：A
4．解析：函数f(x)＝ln (x＋a)的定义域为(－a，＋∞)，
由已知1>－a，故a>－1，
函数f(x)＝ln (x＋a)的导函数f′(x)＝eq \f(1,x＋a)，
所以f′(1)＝eq \f(1,1＋a)，
因为函数f(x)＝ln (x＋a)在x＝1处的切线与直线y＝eq \f(x,2)＋1平行，
所以eq \f(1,1＋a)＝eq \f(1,2)，所以a＝1，经验证，此时满足题意．故选D.
答案：D
5．解析：由函数f(x)＝x2ex－1－ax，可得f′(x)＝(x2＋2x)ex－1－a，
因为函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为2，
可得f′(1)＝3－a＝2，解得a＝1.故选B.
答案：B
6．解析：f(x)的定义域是(0，＋∞)，
依题意，f′(x)＝eq \f(2,x)＋2x＋m>0恒成立，
即－m由于eq \f(2,x)＋2x≥2eq \r(\f(2,x)·2x)＝4，
当且仅当eq \f(2,x)＝2x，x＝1时等号成立，
所以－m<4，m>－4.故选C.
答案：C
7．解析：因为g′(x)＝2x－1，所以g′(1)＝1，f′(x)＝ex－a，
由题意，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f′（1）＝e－a＝1，,f（1）＝e－a＋b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝e－1，,b＝－1.))故选A.
答案：A
8．解析：由题意可得y＝ex－m，y′＝ex－m，则y|x＝2＝e2－m，y′|x＝2＝e2－m，
即切点坐标为(2，e2－m)，斜率k＝e2－m，
切线方程为y－e2－m＝e2－m(x－2)，
令x＝0，解得y＝－e2－m，即切线与y轴交点坐标为(0，－e2－m)；
令y＝0，解得x＝1，即切线与x轴交点坐标为(1，0)；
可得与坐标轴围成的面积为eq \f(1,2)×1×|－e2－m|＝eq \f(e2－m,2)＝eq \f(e,2)，解得m＝1.故选A.
答案：A
9．解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∵f′(x)＝eq \f(1,x)＋2x≥2eq \r(2)，即直线l的斜率k≥2eq \r(2)，
设与l垂直的直线的斜率为m，则k＝－eq \f(1,m)，所以－eq \f(1,m)≥2eq \r(2)，∴－eq \f(\r(2),4)≤m<0.
对于A，直线的斜率为m＝－eq \f(1,4)，故A正确；
对于B，直线的斜率为m＝－eq \f(\r(2),3)<－eq \f(\r(2),4)，故B错误；
对于C，直线的斜率为m＝－eq \f(\r(2),4)，故C正确；
对于D，直线的斜率为m＝eq \r(2)>0，故D错误．故选AC.
答案：AC
10．解析：设切点为P(x0，y0)，∵直线x＋ay－a＝0恒过定点(0，1)，
y′＝eq \f(x·csx－sinx,x2)，∴eq \f(\f(sinx0,x0)－1,x0)＝eq \f(x0csx0－sinx0,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) )，
∴sinx0－x0＝x0csx0－sinx0，∴2sinx0＝x0(1＋csx0)，
∵x0≠0，∴可取x0＝(2k－1)π(k∈Z)，
由导数的几何意义知，eq \f(\f(sinx0,x0)－1,x0)＝eq \f(sinx0－x0,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) )＝－eq \f(1,a)，
则eq \f(sin [（2k－1）π]－（2k－1）π,[（2k－1）π]2)＝－eq \f(1,a)，则eq \f(－（2k－1）π,[（2k－1）π]2)＝－eq \f(1,（2k－1）π)＝－eq \f(1,a)，
所以a＝(2k－1)π，k∈Z，
∴当k＝1时，a＝π；当k＝2，a＝3π，故A，B正确，C，D不正确．
故选AB.
答案：AB
11．解析：y′＝eq \f(1,x)－eq \f(1,x2)，则y′|x＝2＝eq \f(1,4)，故切线的斜率为eq \f(1,4)，即tanα＝eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
12．解析：设f(x)＝－x2，
则函数定义域为R，f′(x)＝－2x，f(0)＝f′(0)＝0，f(x)≤0.
答案：f(x)＝－x2
13．解析：由y＝(x＋2)ex可得y′＝(x＋3)ex，设切点坐标为(x0，y0)，
所以切线斜率k＝(x0＋3)ex0，又因为y0＝(x0＋2)ex0，
则切线方程为y－(x0＋2)ex0＝(x0＋3)ex0(x－x0)，
把(0，0)代入并整理可得x eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(0)) ＋2x0－2＝0，解得x0＝－1＋eq \r(3)或x0＝－1－eq \r(3).
答案：－1＋eq \r(3)或－1－eq \r(3)
14．解析：(1)由f(x)＝x3＋x－16，得f′(x)＝3x2＋1，
所以f′(2)＝3×22＋1＝13，
所以曲线y＝f(x)在点(2，6)处的切线方程为y－6＝13(x－2)，即13x－y－20＝0.
(2)设切点为(x0，x eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(0)) ＋x0－16)，由(1)得f′(x0)＝3x eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(0)) ＋1，
所以切线方程为y－(x eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(0)) ＋x0－16)＝(3x eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(0)) ＋1)(x－x0)，
因为切线经过原点，
所以－(x eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(0)) ＋x0－16)＝－x0(3x eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(0)) ＋1)，
所以2x eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(0)) ＝－16，x0＝－2.
则f′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13，
所以所求的切线方程为y＝13x，切点为(－2，－26).
15．解析：设(t，et)是f(x)图象上的一点，f′(x)＝ex，
所以f(x)在点(t，et)处的切线方程为y－et＝et(x－t)，y＝etx＋(1－t)et ①，
令g′(x)＝eq \f(1,x)＝et，解得x＝e－t，
g(e－t)＝lne－t＋2＝2－t，所以eq \f(2－t－et,e－t－t)＝et，
1－t＝(1－t)et，所以t＝0或t＝1(此时①为y＝ex，b＝0，不符合题意，舍去)，
所以t＝0，此时①可化为y－1＝1×(x－0)，y＝x＋1，
所以a＋b＝1＋1＝2.故选D.
答案：D
16．解析：设切点为(x0，y0)，由题意y′＝eq \f(1,x)，y0＝lnx0，
所以切线的方程为y－lnx0＝eq \f(1,x0)(x－x0)，代入点P(a，1)，
可得1－lnx0＝eq \f(1,x0)(a－x0)，即a＝2x0－x0lnx0.
因为过点P(a，1)可以作曲线y＝lnx的两条切线，所以方程a＝2x0－x0lnx0有2解．
令函数g(x)＝2x－xlnx，则g′(x)＝1－lnx，
当x>e时，g′(x)<0；当00.
所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．
所以g(x)的极大值为g(e)＝2e－elne＝e，当x趋向于正无穷大时，g(x)无限趋向负无穷大，g(e2)＝0，
当x趋向于0时，g(x)无限趋向于0，
作出函数y＝a与函数g(x)的图象如图所示，
由图可知，当0因此，实数a的取值范围是(0，e).
答案：(0，e)