2025届高考数学一轮复习教师用书第六章第六节复数讲义（Word附解析）

第六节　复数【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.复数的有关概念(1)复数的定义把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.实部是a,虚部是b.(2)复数的分类(3)复数相等a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).(4)共轭复数a+bi与c+di互为共轭复数⇔a=c且b=-d(a,b,c,d∈R).(5)复数的模向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=a2+b2(a,b∈R).【微点拨】(1)虚数不能比较大小;(2)复数集包含实数集与虚数集.2.复数的几何意义(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量OZ(O为坐标原点).【微点拨】(1)复数加法的几何意义:若复数z1,z2对应的向量OZ1,OZ2不共线,则复数z1+z2是以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数.(2)复数减法的几何意义:复数z1-z2是OZ1-OZ2=Z2Z1所对应的复数.3.复数的运算复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;③乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;④除法:z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i(c+di≠0).【微点拨】复数的运算律:任何z1,z2,z3∈C①复数加法交换律:z1+z2=z2+z1,结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).②复数乘法交换律:z1·z2=z2·z1,结合律:(z1z2)z3=z1(z2z3),乘法对加法的分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 (　　)A.若|z|=1,则z=±1或z=±iB.若z∈C,则|z2|=|z|2C.若复数z满足|z|=1,则|z+2i|的最大值为3D.若a+bi=1+i(a,b∈C),则a=b=1【解析】选BC.对于A,若z=12+32i,满足|z|=1,故A错误;对于B,设z=a+bi,a,b∈R,则|z2|=|a2-b2+2abi|=(a2-b2)2+(2ab)2=a4+b4+2a2b2=(a2+b2)2=a2+b2,|z|2=(a2+b2)2=a2+b2,则|z2|=|z|2,故B正确;对于C,设z=a+bi,a,b∈R,因为|z|=1,则复数z对应的点P在以原点O为圆心,1为半径的圆上,|z+2i|的几何意义为点P(a,b)到(0,-2)的距离,其最大值为(0,-2)与圆心(0,0)的距离加1,即2+1=3,故C正确;对于D,若a=1+2i,b=-1,则a+bi=1+i(a,b∈C),此时a≠b≠1,故D错误.2.(虚部概念掌握不清致误)复数z=13+4i的虚部是 (　　)A.-325　 B.-325i　 C.-425　 D.-425i【解析】选C.z=13+4i=3-4i(3+4i)(3-4i)=3-4i25=325-4i25,故z=13+4i的虚部为-425.3.(必修第二册P69例1·变条件)若a∈R,复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是纯虚数,则(　　)A.a≠2且a≠-1　 B.a=0C.a=2　 D.a=0或a=2【解析】选B.复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是纯虚数,则a2-2a=0,a2-a-2≠0,解得a=0.4.(2022·全国乙卷)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则 (　　)A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1【解析】选A.因为a,b∈R,(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,2a=2,解得a=1,b=-1.【巧记结论·速算】1.in(n∈N)的周期性:(1)i4n =1,i4n+1 =i,i4n+2 =-1,i4n+3=-i;(2)i4n +i4n+1 +i4n+2 +i4n+3=0.2.复数模的性质:(1)|z|2=|z|2=z·z;(2)|z1·z2|=|z1|·|z2|;(3)|z1z2|=|z1||z2|(z2≠0);(4)|zn|=|z|n.【即时练】1.已知a为实数,若复数z=(a2-1)+(a-1)i为纯虚数,则a+i2 0241-i的值为 (　　)A.1　 B.0　 C.1+i　 D.1-i【解析】选B.若复数z=(a2-1)+(a-1)i为纯虚数,所以a2-1=0a-1≠0,解得a=-1,a+i2 0241-i=-1+(i4)5061-i=-1+11-i=0.2.(多选题)已知i为虚数单位,则以下四个说法错误的是 (　　)A.i+i2+i3+i4=0B.复数-2-i的虚部为-iC.若复数z为纯虚数,则|z|2=z2D.若z1,z2为复数,则|z1·z2|=|z1||z2|【解析】选BC.对于A,i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,A正确;对于B,复数-2-i的虚部为-1,B错误;对于C,若z=i,则z2=-1,|z|2=1,C错误;对于D,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),于是z1z2=ac-bd+(ad+bc)i,|z1z2|=(ac-bd)2+(ad+bc)2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=a2+b2·c2+d2=|z1||z2|,D正确.【核心考点·分类突破】考点一　复数的有关概念[例1](1)(2023·保定模拟)已知复数z满足z(1-i)=i,则z的虚部为 (　　)A.-12　 B.12　 C.-12i　 D.12i【解析】选A.复数z满足z(1-i)=i,则z=i1-i=i(1+i)(1-i)(1+i)=-12+12i,所以z=-12-12i,z的虚部为-12.(2)(2023·全国甲卷)若复数(a+i)(1-ai)=2,a∈R,则a= (　　)A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选C.因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2,所以2a=21-a2=0,解得a=1.(3)i是虚数单位,若(1+mi)(3-i)为纯虚数,则实数m的值为 (　　)A.3　 B.4　 C.-3　 D.-4【解析】选C.依题意,(1+mi)(3-i)=(3+m)+(3m-1)i,而m为实数,因此3+m=03m-1≠0,解得m=-3,所以实数m的值为-3.【解题技法】解决复数概念问题的常用方法(1)求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R),则该复数的实部为a,虚部为b.(2)复数是实数的条件:①z=a+bi∈R⇔b=0(a,b∈R);②z∈R⇔z=z;③z∈R⇔z2≥0.(3)复数是纯虚数的条件:①z=a+bi是纯虚数⇔a=0且b≠0(a,b∈R);②z是纯虚数⇔z+z=0(z≠0);③z是纯虚数⇔z2<0.(4)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为z=a-bi,则z·z=|z|2=|z|2,即|z|=|z|=z·z,若z∈R,则z=z.【对点训练】1.(2023·菏泽模拟)设z=i(2-i),则z= (　　)A.1+2i　 B.-1+2iC.1-2i　 D.-1-2i【解析】选C.因为z=i(2-i)=1+2i,所以z=1-2i.2.(2022·全国乙卷)已知z=1-2i,且z+az+b=0,其中a,b为实数,则 (　　)A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2【解析】选A.z=1+2i,z+az+b=1-2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a-2)i,由z+az+b=0,得1+a+b=02a-2=0,即a=1b=-2.考点二　复数的四则运算[例2](1)(2023·石家庄模拟)(1+i3)(2-i)= (　　)A.3-i　 B.3+iC.1-3i　 D.1+3i【解析】选C.(1+i3)(2-i)=(1-i)(2-i)=2-i-2i-1=1-3i.(2)(2023·全国乙卷) 设z=2+i1+i2+i5,则z= (　　)A.1-2i B. 1+2i C. 2-i D. 2+i【解析】选B.由题意可得z=2+i1+i2+i5=2+i1-1+i=i(2+i)i2=2i-1-1=1-2i,则z=1+2i.(3)(2023·新高考Ⅰ卷)已知z=1-i2+2i,则z-z= (　　)A.-i B.i C.0 D.1【解析】选A.因为z=1-i2+2i=(1-i)(1-i)2(1+i)(1-i)=-2i4=-12i,所以z=12i,z-z=-12i-12i=-i.(4)(2023·全国乙卷)|2+i2+2i3|= (　　)A.1 B. 2 C. 5 D. 5【解析】选C.由题意可得2+i2+2i3=2-1-2i=1-2i,则|2+i2+2i3|=|1-2i|=12+(-2)2=5.(5)(2022·北京高考)若复数z满足i·z=3-4i,则|z|= (　　)A.1 B.5 C.7 D.25【解析】选B.由已知,得z=3-4ii=-4-3i,所以|z|=5.【解题技法】复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法类似于多项式的运算(注意:i2=-1),可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.(2)复数的除法:除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数,使分母实数化.【对点训练】1.(2022·全国甲卷)若z=-1+3i,则zzz-1= (　　)A.-1+3i B.-1-3iC.-13+33i D.-13-33i【解析】选C.因为z=-1+3i,所以z·z=|z|2=((-1)2+(3)2)2=4,则zzz-1=-1+3i4-1=-13+33i.2.(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1-z)=1,则z+z= (　　)A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】选D.由题设有1-z=1i=ii2=-i,故z=1+i,故z+z=(1+i)+(1-i)=2.3.(一题多法)(2023·忻州模拟)若复数z=(1+i)(1+3i),则|z|= (　　)A.25　 B.42　 C.20　 D.32【解析】选A.方法一:由题意可得z=(1+i)(1+3i)=1+3i+i+3i2=-2+4i,则|z|=4+16=25.方法二:|z|=|1+i||1+3i|=2×10=25.4.已知a,b∈R,a+i与3+bi互为共轭复数,则|a-bi|=(　　)A.2　 B.3　 C.10　 D.4【解析】选C.因为a+i与3+bi互为共轭复数,所以a=3,b=-1,所以|a-bi|=|3+i|=10.【加练备选】1.(2022·新高考Ⅱ卷)(2+2i)(1-2i)= (　　)A.-2+4i B.-2-4iC.6+2i D.6-2i【解析】选D.(2+2i)(1-2i)=2+4-4i+2i=6-2i.2.(2022·全国甲卷)若z=1+i.则|iz+3z|=(　　)A.45 B.42 C.25 D.22【解析】选D.因为z=1+i,所以iz+3z=i1+i+31-i=2-2i,所以iz+3z=4+4=22.考点三　复数的几何意义[例3](1)复平面内,复数z=i(2+i)的共轭复数对应的点位于 (　　)A.第一象限　 B.第二象限C.第三象限　 D.第四象限【解析】选C.复数z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,复数z的共轭复数为z=-1-2i,z对应的点为(-1,-2),在第三象限.(2)(2023·唐山模拟)已知复平面内,复数z=a+i1-i对应的点(x,y)满足x+y=0,则实数a=(　　)A.-1　 B.0　 C.1　 D.2【解析】选B.由z=a+i1-i=(a+i)(1+i)(1-i)(1+i)=(a-1)+(a+1)i2,复数z对应的点(a-12,a+12)满足x+y=0,则a-12+a+12=0,解得a=0.(3)(2023·景德镇模拟)已知i为虚数单位,且|z-2i|=1,则|z|的最大值是__________ . 【解析】设z=a+bi(a,b∈R),由|z-2i|=1的几何意义知:z对应的点(a,b)的轨迹是以(0,2)为圆心,1为半径的圆,即a2+(b-2)2=1,因为|z|的几何意义为点(a,b)到坐标原点(0,0)的距离,所以|z|max=(0-0)2+(2-0)2+1=3.答案:3【解题技法】复数几何意义的解题策略(1)已知复数对应点的位置求参数范围,可依据点所在位置建立不等式求解.(2)研究复数模的问题,可利用数形结合法,考虑模的几何意义求解:①|z-z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离;②||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.【对点训练】1.(2023·北京高考)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-1,3),则z的共轭复数z= (　　)A.1+3i　 B.1-3iC.-1+3i　 D.-1-3i【解析】选D.因为在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-1,3),所以z=-1+3i,则z的共轭复数z=-1-3i.2.若i为虚数单位,复数z满足|z|≤1,则|z-(1+i)|的最大值为 (　　)A.2-1 B.2C.2+1 D.22【解析】选C.设z=x+yi,x,y∈R,则x2+y2≤1,表示以(0,0)为圆心,1为半径的圆上和圆内的点,|z-(1+i)|=|x-1+(y-1)i|=(x-1)2+(y-1)2,表示以(0,0)为圆心,以1为半径的圆上和圆内的点到点(1,1)的距离,故|z-(1+i)|的最大值为(1-0)2+(1-0)2+1=2+1.3.已知i是虚数单位,复数z=m2-m-(m-1)i(m∈R).(1)若z为纯虚数,求z;(2)若z在复平面内对应的点在第四象限,求实数m的取值范围.【解析】(1)若z为纯虚数,则m2-m=0-(m-1)≠0,解得m=0,则z=i,所以z=-i.(2)若z在复平面内对应的点在第四象限,则m2-m>0-(m-1)<0,解得m>1.即实数m的取值范围为(1,+∞).考点四　复数与方程[例4](1)已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实根b,且z=a+bi,则复数z等于(　　)A.2-2i　 B.2+2iC.-2+2i　 D.-2-2i【解析】选A.由b是方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)的实根可得b2+(4+i)b+4+ai=0,整理可得:(b+a)i+(b2+4b+4)=0,所以b+a=0b2+4b+4=0,解得a=2b=-2,所以z=2-2i.(2)已知复数z1=1+i,z2=2i-3.①求|z2z1|;②已知z1是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,求实数p,q的值.【解析】①z2z1=2i-31+i=(2i-3)(1-i)(1+i)(1-i)=-1+5i2=-12+52i,|z2z1|=(-12)2+522=262.②因为(1+i)2=1+i2+2i=2i,因为z1是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,所以2(1+i)2+p(1+i)+q=0,所以4i+p(1+i)+q=0,即p+q+(p+4)i=0,所以p+q=0p+4=0⇒p=-4q=4.【解题技法】复数与方程的解题策略(1)对实系数二次方程来说,求根公式、根与系数的关系、判别式的功能没有变化,仍然适用.(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程来说,判别式判断根的功能失去了,其他仍适用.【对点训练】(多选题)若关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有两个不等复数根x1和x2,其中x1=-12+32i(i是虚数单位),则下面四个选项正确的有 (　　)A.m=1　 B.x1>x2C.x13=1　 D.x22=x2【解析】选ACD.由题可知,x1+x2=-1,所以x2=-12-32i,m=x1x2=(-12+32i) (-12-32i)=1,故A正确;x1,x2均为虚数,不能比较大小,故B错误;x13=(-12+32i)3=1,故C正确;x22=(-12-32i)2=-12+32i=x2,故D正确.【课程标准】1.通过方程的解,认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义.3.掌握复数代数表示的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.【考情分析】考点考法:高考对复数的考查相对稳定,为每年必考题型.复数的运算、概念、复数的模、复数的几何意义是常考点,以选择题的形式考查.核心素养:数学运算、直观想象.类型辨析改编易错高考题号1324