2025届高考数学一轮复习教师用书第六章第五节第1课时余弦定理、正弦定理讲义（Word附解析）

第五节　解三角形第1课时　余弦定理、正弦定理【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.正弦定理【微点拨】已知两边及一边的对角,利用正弦定理解三角形时,注意解的个数讨论,可能有一解、两解或无解.2.余弦定理3.三角形常用面积公式(1)S=12a·ha(ha表示a边上的高).(2)S=12absin C=12acsin B=12bcsin A=abc4R.(3)S=12r(a+b+c)(r为内切圆半径).【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 (　　)A.在三角形中,已知两边及其一边的对角,不能用余弦定理求解三角形B.余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此它适用于任何三角形C.利用余弦定理,可以解决已知三角形三边求角的问题D.在三角形中,勾股定理是余弦定理的特例【解析】选BCD.在三角形中,已知两边及其一边的对角,可用余弦定理列出关于第三边的方程,解方程得第三边,故A错误;余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,它适用于任意三角形,故B正确;余弦定理可以直接解决已知三边求角,已知两边及其夹角求第三边的问题,故C正确;当夹角为90°时,余弦定理就变成了勾股定理,故D正确.2.(应用正弦定理求角时漏解)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=2,A=30°,则B等于 (　　)A.30°　 B.45°C.30°或150°　 D.45°或135°【解析】选D.由正弦定理asinA=bsinB得1sin30°=2sinB,sin B=22,又b>a,即B>A,又因为0°0,所以sin A=1-cos2A=1-342=74.答案:74【核心考点·分类突破】考点一　利用正、余弦定理解三角形[例1](1)(2023·北京高考)在△ABC中,(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),则C=(　　)A.π6　 B.π3　 C.2π3　 D.5π6【解析】选B.由正弦定理知,(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B)可化为(a+c)(a-c)=b(a-b),即a2+b2-c2=ab,所以cos C=a2+b2-c22ab=ab2ab=12,又C∈(0,π),所以C=π3.(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=2π3,bc=3,且b+c=52a,则a=(　　)A.23　 B.33　 C.22　 D.32【解析】选A.因为A=2π3,bc=3,且b+c=52a,由余弦定理知,cos A=b2+c2-a22bc=(b+c)2-2bc-a22bc=14a2-2bc2bc=14a2-66=a224-1=-12,解得a=23.(3)(多选题)(2023·蚌埠模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列各组条件中使得△ABC有两个解的是 (　　)A.a=23,b=4,A=π6B.a=23,b=4,cos A=35C.a=23,b=4,C=π6D.a=23,b=4,B=π6【解析】选AB.A选项,bsin A=4×sin π6=2,bsin A0,A为锐角,sin A=1-cos2A=45,bsin A=4×45=165,bsin A0,据此可得cos A=0,A=π2,则B=π-A-C=π-π2-π5=3π10.2.(2023·全国甲卷)在△ABC中,AB=2,∠BAC=60°,BC=6,D为BC上一点,AD为∠BAC的平分线,则AD=________. 【解析】如图所示,记AB=c,AC=b,BC=a,方法一:由余弦定理可得,22+b2-2×2×b×cos 60°=6,因为b>0,所以b=1+3.由S△ABC=S△ABD+S△ACD可得,12×2×b×sin 60°=12×2×AD×sin 30°+12×AD×b×sin 30°,解得AD=3b1+b2=23(1+3)3+3=2.方法二:由余弦定理可得,22+b2-2×2×b×cos 60°=6,因为b>0,所以b=1+3.由正弦定理可得,6sin 60°=bsinB=2sinC,解得sin B=6+24,sin C=22,因为1+3>6>2,所以C=45°,B=180°-60°-45°=75°,又∠BAD=30°,所以∠ADB=75°,即AD=AB=2.答案:23.(2023·天津高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=39,b=2,A=120°.(1)求sin B的值;(2)求c的值;(3)求sin(B-C)的值.【解析】(1)a=39,b=2,A=120°,则sin B=bsinAa=2×3239=1313;(2)a=39,b=2,A=120°,则a2=b2+c2-2bc·cos A=4+c2+2c=39,化简整理可得,(c+7)(c-5)=0,解得c=5(负值舍去);(3)因为a>c>b,所以B,C为锐角,所以cos B=1-sin2B=23913,c=5,a=39,A=120°,则sin C=csinAa=5×3239=51326,故cos C=1-sin2C=33926,所以sin(B-C)=sin Bcos C-sin Ccos B=1313×33926-51326×23913=-7263.【加练备选】设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,sin B=32,C=π6,则c= (　　)A.3　 B.3或32C.32或3　 D.32【解析】选B.由正弦定理知asinA=csinC,则c=asinCsinA=32sinA,sin A=sin(π-B-C)=sin(B+C),因为sin B=32,所以cos B=±1-sin2B=±12,故B=π3或2π3.又C=π6,故均满足题设.　当B=π3时,sin A=1,此时c=32;当B=2π3时,sin A=12,此时c=3.考点二　利用正、余弦定理判断三角形形状[例2](1)(2023·绥化模拟)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos A=bcos B=ccos C,则△ABC的形状是 (　　)A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.三边比为1∶2∶3的三角形【解析】选B.因为acos A=bcos B,由正弦定理可得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.因为A,B为三角形的内角,所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=π2,同理可得B=C或B+C=π2.当A=B时,B+C=π2不可能成立(三角形内角和不等于π);当B=C时,A+B=π2不可能成立;当A+B=π2时,B+C=π2也不可能成立,所以只有A=B=C,即△ABC为等边三角形.(2)(2023·重庆模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a-b+cc=ba+b-c.①求A;②若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形.【解析】①由a-b+cc=ba+b-c整理可得,bc=b2+c2-a2,由余弦定理可得cos A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12,又045=sin A,于是B>A,从而A,B为锐角.又sin A=45>22=sin π4,于是A+B>2A>π2,因此C为锐角,所以△ABC为锐角三角形.2.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c2-a2+b2=(4ac-2bc)cos A,则 (　　)A.△ABC一定为直角三角形B.△ABC可能为等腰三角形C.角A可能为直角D.角A可能为钝角【解析】选BC.由余弦定理可得2bccos A=(4ac-2bc)cos A,化简可得bcos A=(2a-b)cos A.当cos A=0时,A=90°,此时△ABC为直角三角形;当cos A≠0时,可得b=2a-b,即a=b,此时△ABC为等腰三角形,cos A=b2+c2-a22bc=c22bc>0,所以B,C选项正确.考点三　正、余弦定理的综合应用【考情提示】正、余弦定理在高考中一般综合考查,主要考查三角形的面积、周长、与边有关或与角有关的最值范围问题.角度1 三角形面积问题[例3](一题多法)(2023·泉州模拟)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足ccos B+(b+2a)cos C=0.(1)求C;(2)若CD平分∠ACB,且AD=2DB,CD=2,求△ABC的面积.【解析】(1)方法一:因为ccos B+(b+2a)cos C=0,所以由正弦定理可得,sin Ccos B+(sin B+2sin A)cos C=0,即sin Ccos B+sin Bcos C+2sin Acos C=0,sin (B+C)+2sin Acos C=0,所以sin A+2sin Acos C=0, 又sin A>0,所以cos C=-12.因为C∈(0,π),所以C=23π.方法二:在△ABC中,由余弦定理得cos B=a2+c2-b22ac,cos C=a2+b2-c22ab,又因为ccos B+(b+2a)cos C=0,所以a2+c2-b22a+a2+b2-c22a+a2+b2-c2b=0,即a2+b2-c2=-ab,所以cos C=a2+b2-c22ab=-12.因为C∈(0,π),所以C=23π.(2)方法一:因为AD=2DB,所以CD=CA+23AB=CA+23(CB-CA)=23CB+13CA,两边平方得,CD2=49CB2+19CA2+49CB·CA,即4a2+b2-2ab=36①.又因为CD平分∠ACB,所以ba=ADDB=2,即b=2a②,由①②,解得a=3,b=6,所以S△ABC=12absin∠ACB=9sin 23π=932.方法二:在△ABC中,AD=2DB,所以ADDB=2.又因为CD平分∠ACB,所以ba=ADDB=2,即b=2a①.在△ACD中,由余弦定理,得CA2+CD2-AD2=2CA·CDcos ∠ACD,即b2+4-49c2=2b②,在△BCD中,由余弦定理,得CD2+CB2-BD2=2CD·CBcos ∠DCB,即4+a2-19c2=2a③,由①②③解得a=3,b=6,所以S△ABC=12absin ∠ACB=9sin 23π=932.方法三:过D点作DE∥AC交CB于点E,因为∠ACB=120°,且CD平分∠ACB,所以∠ACD=∠CDE=∠DCE=60°,所以△CDE为等边三角形,所以CD=CE=DE=2.又因为DEAC=BEBC=BDBA=13,所以BC=3,AC=6,所以S△ABC=12absin ∠ACB=9sin 23π=932.【解题技法】求解三角形面积问题的方法技巧(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积,代入公式求面积.(2)若已知三角形的三边,可先求其中一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积.【加练备选】(2022·浙江高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=5c,cos C=35.(1)求sin A的值;(2)若b=11,求△ABC的面积.【解析】(1)由于cos C=35,sin C>0,则sin C=45.由正弦定理知4sin A=5sin C,则sin A=55.(2)因为a=54c,cos C=35>0,所以C>A,C<π2,则A0,所以cos A=12,又0π2,解得B∈(π6,π2),所以π6<2B-π6<5π6,所以12