素养拓展4 指数、对数、幂值的比较大小（精讲+精练）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）原卷版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展04 指数、对数、幂值比较大小（精讲+精练）

一、常规思路

1. ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；

②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；

③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；

注：除了指对幂函数，其他函数（比如三角函数，对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。

2.底数、指数、真数、三角函数名都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助“媒介数”进行大小关系的判定.

3.通过做差与0的比较来判断两数的大小；通过做商与1的比较来判断两数的大小。

二、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数

1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用将要比较的三个数化为结构相同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小.

2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值与的大小,最后利用函数的单调性,转化为比较自变量与的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。

常见指数、对数的同构函数有:

(1)与;                 (2)与;

(3)与;            (4)与。

3.作差法、作商法是构造函数的一种最常用的方法.解题的关键是作差(或作商)后将得到式子中相同部分看作变量,由常值换元法构造函数,利用函数的单调性比较大小.比较两个代数式的大小时,若在适当变形的基础上,能够发现这两个代数式均涉及某个特殊的“数字”,则可将该数字利用变量“”加以表示,从而可考虑通过作差(或作商)方式,灵活构造函数,并利用函数的单调性,巧妙比较大小.

三、放缩法

1.

【典例1】 设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据换底公式可得，由对数函数的性质可得，从而可比较大小.

【详解】,

因为在上单调递增，所以，

所以，即.

又，所以.

故选:A.

【典例2】已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先对等式变形得到，，，构造，求导得到其单调性，结合，，得到，，由推出，结合函数单调性求出，从而比较出大小.

【详解】由，同理，，

令，，

当时，，当时，，

可得函数的递减区间为，递增区间为，而2 < e < 3 < 4，

又由，，可得，，

，

又由及的单调性，可知，故．故选：C．

【点睛】关键点点睛：构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，变形得到，，，从而构造，达到比较大小的目的.

【典例3】已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化简得，构造函数，通过导数可证得，可得，而，从而可得答案．

【详解】.设，则有，单调递减，从而，所以，故，即，而，故有．故选：A．

【题型训练1-刷真题】

1．（2022·全国·统考高考真题）设，则（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（    ）

A． B． C． D．

3．（2020·全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ）

A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b

4．（2020·全国·统考高考真题）若，则（    ）

A． B． C． D．

【题型训练2-刷模拟】

1.常规思路

1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

2．已知实数，，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

3．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

4．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

5．已知，，则（    ）

A． B．

C． D．

6．设，则a，b，c的大小顺序为（    ）

A． B． C． D．

2.构造函数

一、单选题

1．（2023春·北京·高三北京铁路二中校考期中）设，，（），则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

2．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知，则（    ）

A． B．

C． D．

3．（2023秋·安徽安庆·高三安徽省怀宁县新安中学校考期末）设，，，则（    ）

A． B． C． D．

4．（2023秋·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）设，，，则a、b、c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

5．（2023·全国·高三专题练习），，，则（    ）

A． B．

C． D．

6．（2023秋·江苏宿迁·高三统考开学考试）已知则（    ）

A． B．

C． D．

7．（2023·新疆·统考一模）已知，则（    ）

A． B．

C． D．

8．（2023·新疆乌鲁木齐·高三统考阶段练习）设，，，则下列正确的是（    ）

A． B． C． D．

9．（2023春·浙江杭州·高三学军中学校考阶段练习）已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

10．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（    ）

A． B． C． D．

11．（2023秋·广东广州·高三统考阶段练习）设．则a，b，c大小关系是（    ）

A． B． C． D．

12．（2023秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

13．（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）设，，，则（    ）

A． B． C． D．

14．（2023·广西河池·校联考模拟预测）设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

3.放缩法

1．（2023·全国·高三专题练习）若,则

A.    B.    C.    D.

2．（2023·全国·高三专题练习）已知正数满足,则

A.    B.    C.    D.

3．（2023·全国·模拟预测）已知，，，试比较a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

28．（2023春·湖北武汉·高三校联考期末）设，，，则下列关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．