辽宁省沈阳市实验北2023-2024学年数学八上期末综合测试试题【含解析】

这是一份辽宁省沈阳市实验北2023-2024学年数学八上期末综合测试试题【含解析】，共21页。试卷主要包含了下列语句是命题的是，估计的值，点的位置在等内容，欢迎下载使用。
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，，分别对应下列六个字：益，爱，我，数，学，广，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱学B．爱广益C．我爱广益D．广益数学
2．下列四个图形中轴对称图形的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
3．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（ ）
A．5B．10C．12D．13
4．下列命题中，假命题是（ ）
A．对顶角相等
B．平行于同一直线的两条直线互相平行
C．若，则
D．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
5．下列分式中，是最简分式的是( )
A．B．C．D．
6．下列语句是命题的是（ ）
（1）两点之间，线段最短；
（2）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余.
（3）请画出两条互相平行的直线；
（4）过直线外一点作已知直线的垂线；
A．（1）（2）B．（3）（4）C．（2）（3）D．（1）（4）
7．已知三角形三边长3，4，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．估计的值（ ）
A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间
9．如图是婴儿车的平面示意图,其中AB∥CD,∠1=120°,∠3=40°,那么∠2的度数为（ ）
A．80°B．90°C．100°D．102°
10．点的位置在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．分解因式：x2﹣7x+12 =________．
12．函数y＝自变量x的取值范围是__．
13．如果点和点关于轴对称，则______．
14．计算=________________．
15．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x= ．
16．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x+y＝36的解，则k的值为_____．
17．计算：的结果是________．
18．如图，在中，，是的垂直平分线，的周长为14，，那么的周长是__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知：如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作经过点A的直线l的垂线段BD、CE，垂足分别D、E．
（1）求证：DE=BD+CE．
（2）如果过点A的直线经过∠BAC的内部，那么上述结论还成立吗？请画出图形，直接给出你的结论（不用证明）．
20．（6分）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将看成整体，令，刚
原式．
再将“”还原，得原式．
上述解题用到的是“整体思想”，这题数学解题中常用的一种思想方法，请你回答下列问题，
（1）因式分解：_______；
（2）因式分解：；
（3）请将化成某一个整式的平方．
21．（6分）在综合实践课上，老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．
已知，在等腰三角形纸片ABC中，CA=CB=5，∠ACB=120°，将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如图所示放置，顶点P在线段BA上滑动（点P不与A，B重合），三角尺的直角边PM始终经过点C，并与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D．
（1）特例感知
当∠BPC＝110°时，α＝ °，点P从B向A运动时，∠ADP逐渐变 （填“大”或“小”）．
（2）合作交流
当AP等于多少时，△APD≌△BCP，请说明理由．
（3）思维拓展
在点P的滑动过程中，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角α的大小；若不可以，请说明理由．
22．（8分）某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．
要求：根据上述条件，提出相关问题，并利用所学知识进行解答．
23．（8分）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为： ；
（3）本题正确的结论为： ．
24．（8分）请按照研究问题的步骤依次完成任务．
（问题背景）
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”， 请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D．
（简单应用）
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=20°，∠ADC=26°，求∠P的度数（可直接使用问题（1）中的结论）
（问题探究）
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， 若∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P的度数为 ；
（拓展延伸）
（4）在图4中，若设∠C=x，∠B=y，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 （用x、y表示∠P） ；
（5）在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、D的关系，直接写出结论 ．
25．（10分）在解分式方程时，小马虎同学的解法如下：
解：方程两边同乘以，得
移项，得
解得
你认为小马虎同学的解题过程对吗?如果不对，请你解这个方程．
26．（10分）分式化简求值与解方程
（1）分式化简求值÷ ，其中
（2）解分式方程 ：
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】先运用提公因式法,再运用公式法进行因式分解即可.
【详解】因为==
所以结果呈现的密码信息可能是:我爱广益.
故选:C
【点睛】
考核知识点:因式分解.掌握提公因式法和套用平方差公式是关键.
2、C
【解析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】第1，2，3个图形为轴对称图形，共3个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3、D
【分析】ED垂直平分AB，BE＝AE，在通过△ACE的周长为30计算即可
【详解】解：∵ED垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∵AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，
∴12+5+AE＝30，
∴AE＝13，
∴BE＝AE＝13，
故选：D．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
4、C
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】A，真命题，符合对顶角的性质；
B，真命题，平行线具有传递性；
C，假命题，若≥0，则；
D，真命题，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
故选：C．
【点睛】
考查学生对命题的定义的理解及运用，要求学生对常用的基础知识牢固掌握．
5、D
【分析】根据最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式，逐一判断即可．
【详解】A． ，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B． ，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C． ，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D． 是最简分式，故本选项符合题意．
故选D．
【点睛】
此题考查的是最简分式的判断，掌握最简分式的定义和公因式的定义是解决此题的关键．
6、A
【分析】判断一件事情的语句叫命题，命题都由题设和结论两部分组成，依此对四个小题进行逐一分析即可；
【详解】（1）两点之间，线段最短符合命题定义，正确；
（2）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余，符合命题定义，正确．
（3）请画出两条互相平行的直线只是做了陈述，不是命题，错误；
（4）过直线外一点作已知直线的垂线没有做出判断，不是命题，错误，
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题的概念：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．注意命题是一个能够判断真假的陈述句．
7、C
【分析】根据三角形三边的关系即可得出结论
【详解】解：∵三角形的三边长分别是x，3，4，
∴x的取值范围是1＜x＜1．
故选：C
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
8、B
【分析】先根据二次根式的乘法法则得出的值，再估算即可
【详解】解：
∵
∴
故选：B
【点睛】
本题主要考查了二次根式的乘法和估算无理数的大小，掌握运算法则是解题的关键．
9、A
【解析】分析：根据平行线性质求出∠A，根据三角形内角和定理得出∠2=180°∠1−∠A，代入求出即可．
详解：∵AB∥CD.
∴∠A=∠3=40°，
∵∠1=60°，
∴∠2=180°∠1−∠A=80°，
故选：A.
点睛：本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等.三角形内角和定理：三角形内角和为180°.
10、B
【分析】根据各象限内点的坐标特点，再根据M点的坐标符号，即可得出答案．
【详解】解：∵ 点M（-2019,2019），
∴点M所在的象限是第二象限．
故选B．
【点睛】
本题考查各象限内点的坐标的符号特征，解题的关键是熟记各象限内点的坐标的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、 (x-4)(x-3)
【分析】因为（-3）×（-4）=12，（-3）+（-4）=-7，所以利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：x2-7x+12=（x-3）（x-4）．
故答案为：（x-3）（x-4）．
【点睛】
本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
12、
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0即可确定a的取值范围．
【详解】∵二次根式有意义，
，
解得 ，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
13、1
【分析】根据关于y轴对称的两点坐标关系：横坐标互为相反数、纵坐标相同，即可求出a和b，然后代入求值即可．
【详解】解：∵点和点关于轴对称
∴a=-4，b=-5
∴
故答案为：1．
【点睛】
此题考查的是关于y轴对称的两点坐标关系，掌握关于y轴对称的两点坐标关系：横坐标互为相反数、纵坐标相同是解决此题的关键．
14、
【分析】在进行分式乘方运算时，先确定运算结果的符号，负数的偶数次方为正，而奇数次方为负，同时要注意运算顺序，先乘方，后乘除．
【详解】
．
故答案是：xy2
【点睛】
本题考查了负整数指数幂的运算，分式的乘除法，分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先进行乘方运算，然后统一成乘法运算，最后进行约分运算．
15、1
【解析】试题分析：如图，∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，
∵△ABC≌△DEF，∴EF=BC=1，即x=1．
16、1
【分析】先用含k的式子表示x、y，根据方程组的解也是二元一次方程x+y＝36的解，即可求得k的值．
【详解】解：
解方程组得，，
因为方程组的解也是二元一次方程x+y＝36的解，
所以3k＝36，
解得k＝1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查二元一次方程与方程组的解的意义，深刻理解定义是解答关键.
17、
【分析】根据二次根式的乘法公式和积的乘方的逆用计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=
故答案为：
【点睛】
此题考查的是二次根式的运算，掌握二次根式的乘法公式和积的乘方的逆用是解决此题的关键．
18、1
【分析】由垂直平分线的性质可得，故的周长可转化为：，由，可得，故可求得的周长．
【详解】∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长为14，
∴，
又，
∴，
∴的周长．
故答案为：1．
【点睛】
线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，解题的关键是运用线段的垂直平分线的性质．
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）上述结论不成立．
【解析】试题分析：（1）由垂线的定义和角的互余关系得出由AAS证明≌，得出对应边相等 由 即可得出结论；
（2）由垂线的定义和角的互余关系得出 由AAS证明≌，得出对应边相等由 之间的和差关系，即可得出结论．
试题解析：(1)∵∠BAC=，
∴∠BAD+∠CAE=，
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB=∠CEA=，
∴∠BAD+∠ABD=，
∴∠ABD=∠CAE.
在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AD+AE=DE，
∴BD+CE=DE；
(2)上述结论不成立，
如图所示，BD=DE+CE.
证明：∵∠BAC=，
∴∠BAD+∠CAE=，
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB=∠CEA=，
∴∠BAD+∠ABD=，
∴∠ABD=∠CAE.
在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AD+DE=AE，
∴BD=DE+CE.
如图所示，CE=DE+BD，
证明：证明：∵∠BAC=，
∴∠BAD+∠CAE=，
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB=∠CEA=，
∴∠BAD+∠ABD=，
∴∠ABD=∠CAE.
在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE+DE=AD，
∴CE=DE+BD.
20、（1）；（2）；（3）
【分析】（1）令，按照“整体代换”的思想分解因式即可；
（2）令，按照“整体代换”的思想分解因式即可；
（3）先提取公因式，然后求出，再按照“整体代换”的思想分解因式即可.
【详解】（1）令，
则
∴原式=；
（2）令，
则=
∴原式=；
（3）
=
令，则上式===
∴原式=.
【点睛】
此题主要考查运用整体代换的思想分解因式，熟练掌握，即可解题.
21、（1）40°，小；（2）当AP＝5时，△APD≌△BCP，理由详见解析；（3）当α＝45°或90°时，△PCD是等腰三角形．
【分析】(1)先根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再一次运用三角形内角和定理即可求出 的度数；根据三角形内角和定理即可判断点P从B向A运动时，∠ADP的变化情况；
(2)先根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角和得到∠APC＝∠B+α＝30°+∠PCB，再证明∠APD＝∠BCP，根据全等三角形的判定定理，即可得到当AP＝5时，△APD≌△BCP．
(3)根据等腰三角形的判定，分三种情况讨论即可得到；
【详解】解：（1）∵CA=CB=5，∠ACB=120°，
∴∠B=∠A= =30°，
∴ ，
∵三角尺的直角边PM始终经过点C，
∴再移动的过程中，∠APN不断变大，∠A的度数没有变化，
∴根据三角形的内角和定理，得到∠ADP逐渐变小；
故答案为：40°，小．
（2）当AP＝5时，△APD≌△BCP．
理由如下：∵∠ACB＝120°，CA＝CB，
∴∠A＝∠B＝30°．
又∵∠APC是△BPC的一个外角，
∴∠APC＝∠B+α＝30°+∠PCB，
∵∠APC＝∠DPC+∠APD＝30°+∠APD，
∴∠APD＝∠BCP，
当AP＝BC＝5时，
在△APD和△BCP中，

∴△APD≌△BCP（ASA）；
（3）△PCD的形状可以是等腰三角形．
根据题意得：∠PCD＝120°﹣α，∠CPD＝30°，
有以下三种情况：
①当PC＝PD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝＝75°，即120°﹣α＝75°，
∴α＝45°；
②当DP＝DC时，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°﹣α＝30°，
∴α＝90°；
③当CP＝CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠CDP＝∠CPD＝30°，
∴∠PCD＝180°﹣2×30°＝120°，
即120°﹣α＝120°，
∴α＝0°，
此时点P与点B重合，不符合题意，舍去．
综上所述，当α＝45°或90°时，△PCD是等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定（ASA）、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理（三角形的内角和是180°），熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.
22、甲种玩具的进货单价为6元，乙种玩具的进货单价为5元
【分析】根据题意提出问题，可以提问：甲、乙玩具的进货单价格分别是多少元？设甲进货单价为元，则乙进货价为元,由题意列出方程求解即可．
【详解】问：甲、乙玩具的进货单价格分别是多少元？
设设甲进货单价为元，则乙进货价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
答：甲种玩具的进货单价为6元，乙种玩具的进货单价为5元．
故答案为：6；5.
【点睛】
考查了利用已知条件提问的开放性问题，由已知条件总价=数量乘以单价可得分式方程，求解分式方程的过程是关键，注意求解后要检验根的存在性情况．
23、（1）C；（2）没有考虑a=b的情况；（3）△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【解析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；
（2）根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；
（3）根据题意可以写出正确的结论．
【详解】（1）由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：C，
故答案为C；
（2）错误的原因为：没有考虑a=b的情况，
故答案为没有考虑a=b的情况；
（3）本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形，
故答案为△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．
24、（1）见解析；（2）∠P=23º；（3）∠P=26º；（4）∠P=；（5）∠P=．
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；
（2）如图2，根据角平分线的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，列方程组即可得到结论；
（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题；
（4）根据题意得出∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，再结合∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，得到y+（∠CAB-∠CAB）=∠P+（∠BDC-∠CDB），从而可得∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB=；
（5）根据题意得出∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，再结合AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，得到∠BAD+∠P=[∠BCD+（180°-∠BCD）]+∠D，所以∠P=90°+∠BCD-∠BAD +∠D=.
【详解】解：（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，
在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）解：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
由（1）的结论得：，
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D，
∴∠P=（∠B+∠D）=23°；
（3）解：如图3，
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，
∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），
∠P+∠1=∠B+∠4，
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°；
故答案为：26°；
（4）由题意可得：∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，
即y+∠CAB=x+∠BDC，即∠CAB-∠BDC=x-y，
∠B+∠BAP=∠P+∠PDB，
即y+∠BAP=∠P+∠PDB，
即y+（∠CAB-∠CAP）=∠P+（∠BDC-∠CDP），
即y+（∠CAB-∠CAB）=∠P+（∠BDC-∠CDB），
∴∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB
= y+（∠CAB-∠CDB）
=y+（x-y）
=
故答案为：∠P=；
（5）由题意可得：∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，
∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，
∴∠B-∠D=∠BCD-∠BAD，
∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠BAP=∠DAP，∠PCE=∠PCB，
∴∠BAD+∠P=（∠BCD+∠BCE）+∠D，
∴∠BAD+∠P=[∠BCD+（180°-∠BCD）]+∠D，
∴∠P=90°+∠BCD-∠BAD +∠D
=90°+（∠BCD-∠BAD）+∠D
=90°+（∠B-∠D）+∠D
=，
故答案为：∠P=.
【点睛】
本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型．
25、不对，
【分析】观察解方程过程，找出错误步骤，再写出正确解答即可．
【详解】解：方程两边同乘以，得
移项得：
解得：
经检验：是原分式方程的解
所以小马虎同学的解题不对，正确的解是．
【点睛】
本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解方程一定注意要验根．
26、（1），；（2）
【分析】（1）先化简分式得到，再将变形为代入求值即可；
（2）去分母，将分式方程化成整式方程，求出x值，再检验即可.
【详解】解：（1）÷
=
=
=
=
=
∵其中 ∴
∴原式== ；
（2）解：
去分母得：
化简得：
，
经检验是原方程的解，
∴原方程的解是.
【点睛】
本题考查了分式的化简求值与解分式方程，解题的关键是掌握运算法则和解法.