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    2021-2022学年山东省临沂市临沭县八年级下学期期中数学试题及答案

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    2021-2022学年山东省临沂市临沭县八年级下学期期中数学试题及答案

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    这是一份2021-2022学年山东省临沂市临沭县八年级下学期期中数学试题及答案,共22页。试卷主要包含了解答题等内容,欢迎下载使用。


    1.式子有意义的条件是( )
    A.x<2B.x≤2C.x>2D.x≥2
    2.下列二次根式中,能与合并的是( )
    A.B.C.D.
    3.△ABC中,已知AB=1,AC=2.要使∠B是直角,BC的长度是( )
    A.B.C.3D.或
    4.下列运算正确的是( )
    A.B.3﹣=3C.×=D.=4
    5.下列命题中是假命题的是( )
    A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
    B.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
    C.一组邻边相等的平行四边形是菱形
    D.一组邻边相等的矩形是正方形
    6.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )
    A.∠A+∠B=∠CB.a:b:c=3:4:6
    C.a2=c2﹣b2D.∠A:∠B:∠C=1:2:3
    7.已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD交于点O,E是BC的中点,以下说法错误的是( )
    A.OE=DCB.OA=OCC.∠BOE=∠OBAD.∠OBE=∠OCE
    8.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,0),B(0,3),以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的正半轴于点C,则点C的横坐标介于( )
    A.0和1之间B.1和2之间C.2和3之间D.3和4之间
    9.如图1,平行四边形ABCD中,AD>AB,∠ABC为锐角.要在对角线BD上找点N、M,使四边形ANCM为平行四边形,现有图2中的甲、乙两种方案,则正确的方案是( )
    A.甲是B.乙是
    C.甲、乙都是D.甲、乙都不是
    10.如图,在平行四边形ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD'E处,AD'与CE交于点F.若∠B=54°,∠DAE=20°,则∠FED'的大小为( )
    A.27°B.32°C.36°D.40°
    11.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几.”此问题可理解为:如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地距离AB长度为1尺.将它往前水平推送10尺时,即A′C=10尺,则此时秋千的踏板离地距离A′D就和身高5尺的人一样高.若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直,则绳索OA长为( )
    A.13.5尺B.14尺C.14.5尺D.15尺
    12.如图,在菱形ABCD中,BC=2,∠C=120°,Q为AB的中点,P为对角线BD上的任意一点,则AP+PQ的最小值为( )
    A.2B.1C.D.
    二.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
    13.数学中说明某个命题不成立时常采用“举反例”,即举一个满足条件,但不满足结论的例子.为说明命题“对于任何实数a,都有=a”是假命题,请举一个反例a= .
    14.如图,BD是菱形ABCD的一条对角线,点E在BC的延长线上,若∠ADB=32°,则∠DCE的度数为 度.
    15.勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并标示了A、B、C三地的坐标,数据如图(单位:km),笔直铁路经过A、B两地.则A、B两地间的距离为 km,A、C两地间的距离为 km.
    16.如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF,则下列结论:①△ABG≌△AFG;②BG=CG;③AG∥CF;④S△EGC=12;⑤∠AGB+∠AED=145°.其中正确结论的序号是 .
    三、解答题(本大题共7小题,共68分)
    17.计算:
    (1)×﹣4;
    (2)|﹣|﹣(1﹣)2.
    18.如图,每个小正方形的边长都是1.A、B、C、D均在网格的格点上.
    (1)∠BCD是直角吗?请证明你的判断.
    (2)直接写出四边形ABCD的面积
    (3)找到格点E,并画出四边形ABED(一个即可),使得其面积与四边形ABCD面积相等.
    19.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点N.
    (1)求证:四边形ADCE为矩形;
    (2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE为正方形?给出证明.
    20.如图1,居家网课学习时,小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上,显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角120°,侧面示意图如图2;如图3,使用时为了散热,他在底板下垫入散热架ACO'后,电脑转到AO'B'位置,侧面示意图如图4.已知OA=OB,O'C⊥OA于点C,∠O′AC=30°,AC=cm.
    (1)求OA的长;
    (2)垫入散热架后,显示屏顶部B'比原来升高了多少cm?
    21.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.
    (1)求证:四边形ABCD是菱形;
    (2)若AB=2,BD=4,求OE的长.
    22.阅读材料:如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记p=,那么这个三角形的面积为S=这个公式叫“海伦公式”,它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式,我国南宋时期数学家秦九韶也得出了类似的公式,称三斜求积术,故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”.完成以下问题:如图,在△ABC中,a=8,b=5,c=7.
    (1)直接写出p的值,p= .
    (2)求△ABC的面积;
    (3)过点A作AD⊥BC,垂足为D,求线段CD的长.
    23.问题解决:如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE=AF,DE⊥AF于点G.
    (1)求证:四边形ABCD是正方形;
    (2)延长CB到点H,使得BH=AE,判断△AHF的形状,并说明理由.
    类比迁移:如图2,在菱形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE与AF相交于点G,DE=AF,∠AED=60°,AE=7,BF=2,则DE= .(只在图2中作辅助线,并简要说明其作法,直接写出DE的长度)
    参考答案
    一、选择题(本大题共12小题,每小题3分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.式子有意义的条件是( )
    A.x<2B.x≤2C.x>2D.x≥2
    【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式,解不等式得到答案.
    解:由题意得3x﹣6>0,
    解得x>2,
    故选:C.
    2.下列二次根式中,能与合并的是( )
    A.B.C.D.
    【分析】根据同类二次根式的概念解答即可.
    解:A、=3,与不是同类二次根式,故本选项不符合题意;
    B、=2,与是同类二次根式,故本选项符合题意;
    C、=与不是同类二次根式,故本选项不符合题意;
    D、=与不是同类二次根式,故本选项不符合题意;
    故选:B.
    3.△ABC中,已知AB=1,AC=2.要使∠B是直角,BC的长度是( )
    A.B.C.3D.或
    【分析】先分析得出AC为斜边,AB为直角边,所以BC用勾股定理可求.
    解:∵∠B是直角,故AC为△ABC的斜边,AB为直角边,
    ∴BC===.
    故选:A.
    4.下列运算正确的是( )
    A.B.3﹣=3C.×=D.=4
    【分析】利用二次根式的加减法法则计算A、B,利用二次根式的乘、除法法则计算C、D,根据计算结果判断即可.
    解:与不是同类二次根式,不能加减,故选项A错误;
    3﹣=2≠3,故选项B错误;
    ×=,故选项C错误;
    ÷==2≠4,故选项D错误.
    故选:C.
    5.下列命题中是假命题的是( )
    A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
    B.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
    C.一组邻边相等的平行四边形是菱形
    D.一组邻边相等的矩形是正方形
    【分析】做题时首先熟悉各种四边形的判定方法,然后作答.
    解:A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(平行四边形判定定理);故A不符合题意.
    B、一组对边相等且有一个角是直角的四边形,不一定是矩形,还可能是不规则四边形,故B符合题意.
    C、一组邻边相等的平行四边形是菱形,故C不符合题意;
    D、一组邻边相等的矩形是正方形,故D不符合题意.
    故选:B.
    6.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )
    A.∠A+∠B=∠CB.a:b:c=3:4:6
    C.a2=c2﹣b2D.∠A:∠B:∠C=1:2:3
    【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可.
    解:A、∠A+∠B=∠C,∠C=90°,是直角三角形,不符合题意;
    B、∵设a=3x,b=4x,c=6x,(3x)2+(4x)2≠(6x)2,不是直角三角形,符合题意;
    C、a2=c2﹣b2,a2+b2=c2,是直角三角形,不符合题意;
    D、∵∠A:∠B:∠C=1:2:3,∴∠C=90°,是直角三角形,不符合题意;
    故选:B.
    7.已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD交于点O,E是BC的中点,以下说法错误的是( )
    A.OE=DCB.OA=OCC.∠BOE=∠OBAD.∠OBE=∠OCE
    【分析】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A、B、C正确;由OB≠OC,得出∠OBE≠∠OCE,选项D错误;即可得出结论.
    解:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴OA=OC,OB=OD,AB∥DC,
    又∵点E是BC的中点,
    ∴OE是△BCD的中位线,
    ∴OE=DC,OE∥DC,
    ∴OE∥AB,
    ∴∠BOE=∠OBA,
    ∴选项A、B、C正确;
    ∵OB≠OC,
    ∴∠OBE≠∠OCE,
    ∴选项D错误;
    故选:D.
    8.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,0),B(0,3),以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的正半轴于点C,则点C的横坐标介于( )
    A.0和1之间B.1和2之间C.2和3之间D.3和4之间
    【分析】求出OA、OB,根据勾股定理求出AB,即可得出AC,求出OC长即可.
    解:∵点A,B的坐标分别为(﹣2,0),(0,3),
    ∴OA=2,OB=3,
    在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB==,
    ∴AC=AB=,
    ∴OC=﹣2,
    ∴点C的坐标为(﹣2,0),
    ∵,
    ∴,
    即点C的横坐标介于1和2之间,
    故选:B.
    9.如图1,平行四边形ABCD中,AD>AB,∠ABC为锐角.要在对角线BD上找点N、M,使四边形ANCM为平行四边形,现有图2中的甲、乙两种方案,则正确的方案是( )
    A.甲是B.乙是
    C.甲、乙都是D.甲、乙都不是
    【分析】方案甲,连接AC,由平行四边形的性质得OB=OD,OA=OC,则NO=OM,得四边形ANCM为平行四边形,方案甲正确;
    方案乙,证△ABN≌△CDM(AAS),得AN=CM,再由AN∥CM,得四边形ANCM为平行四边形,方案乙正确.
    解:方案甲,连接AC,如图所示:
    ∵四边形ABCD是平行四边形,O为BD的中点,
    ∴OB=OD,OA=OC,
    ∵BN=NO,OM=MD,
    ∴NO=OM,
    ∴四边形ANCM为平行四边形,故方案甲正确;
    方案乙,∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AB=CD,AB∥CD,
    ∴∠ABN=∠CDM,
    ∵AN⊥BD,CM⊥BD,
    ∴AN∥CM,∠ANB=∠CMD,
    在△ABN和△CDM中,

    ∴△ABN≌△CDM(AAS),
    ∴AN=CM,
    又∵AN∥CM,
    ∴四边形ANCM为平行四边形,故方案乙正确;
    故选:C.
    10.如图,在平行四边形ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD'E处,AD'与CE交于点F.若∠B=54°,∠DAE=20°,则∠FED'的大小为( )
    A.27°B.32°C.36°D.40°
    【分析】由三角形外角的性质可得∠AEC=∠D+∠DAE=74°,由折叠的性质可得∠AED=∠AED'=106°,即可求解.
    解:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴∠B=∠D=54°,
    ∵∠DAE=20°,
    ∴∠AEC=∠D+∠DAE=74°,
    ∴∠AED=106°,
    ∵将△ADE沿AE折叠至△AD'E处,
    ∴∠AED=∠AED'=106°,
    ∴∠FED'=∠AED'﹣∠AEC=106°﹣74°=32°,
    故选:B.
    11.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几.”此问题可理解为:如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地距离AB长度为1尺.将它往前水平推送10尺时,即A′C=10尺,则此时秋千的踏板离地距离A′D就和身高5尺的人一样高.若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直,则绳索OA长为( )
    A.13.5尺B.14尺C.14.5尺D.15尺
    【分析】设绳索有x尺长,根据勾股定理列方程即可得到结论.
    解:设绳索有x尺长,则
    102+(x+1﹣5)2=x2,
    解得:x=14.5.
    故绳索长14.5尺.
    故选:C.
    12.如图,在菱形ABCD中,BC=2,∠C=120°,Q为AB的中点,P为对角线BD上的任意一点,则AP+PQ的最小值为( )
    A.2B.1C.D.
    【分析】如图,连接PC,AC,CQ.证明PA=PC,可得PA+PQ=PC+PQ≥CQ,解直角三角形求出CQ,可得结论.
    解:如图,连接PC,AC,CQ.
    ∵四边形ABCD是菱形,
    ∴∠ABP=∠PBC,
    ∴△ABP≌△CBP,
    ∴PA=PC,
    ∵AB∥CD,
    ∴∠ABC+∠BCD=180°,
    ∴∠ABC=180°﹣120°=60°,
    ∵AB=BC,
    ∴△ABC是等边三角形,
    ∵AQ=QB,
    ∴CQ⊥AB,
    ∴CQ=BC•sin60°=,
    ∵PA+PQ=PC+PQ≥CQ,
    ∴PA+PQ≥,
    ∴PA+PQ的最小值为.
    故选:C.
    二.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
    13.数学中说明某个命题不成立时常采用“举反例”,即举一个满足条件,但不满足结论的例子.为说明命题“对于任何实数a,都有=a”是假命题,请举一个反例a= ﹣2(答案不唯一). .
    【分析】利用a<0时,=a不成立,从而可对各选项进行判断.
    解:当a=﹣2时,=a不成立.
    故答案为:﹣2(答案不唯一).
    14.如图,BD是菱形ABCD的一条对角线,点E在BC的延长线上,若∠ADB=32°,则∠DCE的度数为 64 度.
    【分析】根据菱形的性质可得BC=CD,AD∥BC,得到∠CBD=∠BDC=∠ADB,利用外角性质可得.
    解:∵四边形ABCD为菱形,
    ∴BC=CD,AD∥BC,
    ∴∠CBD=∠BDC,∠CBD=∠ADB=32°,
    ∴∠CBD=∠BDC=32°,
    ∴∠DCE=∠CBD+∠BDC=64°,
    故答案为:64.
    15.勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并标示了A、B、C三地的坐标,数据如图(单位:km),笔直铁路经过A、B两地.则A、B两地间的距离为 5 km,A、C两地间的距离为 3 km.
    【分析】根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度;由勾股定理得出A、C两地间的距离.
    解:由A、B两点的纵坐标相同可知:AB∥x轴,
    ∴AB=3﹣(﹣2)=5(km);
    ∵A(3,1),C(0,﹣5),
    ∴AC==3(km).
    故答案为:5,3.
    16.如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF,则下列结论:①△ABG≌△AFG;②BG=CG;③AG∥CF;④S△EGC=12;⑤∠AGB+∠AED=145°.其中正确结论的序号是 ①②③ .
    【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG;在直角△ECG中,根据勾股定理可证BG=GC;通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF,由平行线的判定可得AG∥CF;求出S△EGC的面积即可;求得∠GAF=45°,∠AGB+∠AED=180°﹣∠GAF=135°.
    解:①正确.
    理由:∵AB=AD=AF,AG=AG,∠B=∠AFG=90°,
    ∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL);
    ②正确.
    理由:EF=DE=CD=2,设BG=FG=x,则CG=6﹣x.
    在直角△ECG中,根据勾股定理,得(6﹣x)2+42=(x+2)2,
    解得x=3.
    ∴BG=3=6﹣3=CG;
    ③正确.
    理由:∵CG=BG,BG=GF,
    ∴CG=GF,
    ∴△FGC是等腰三角形,∠GFC=∠GCF.
    又∵Rt△ABG≌Rt△AFG;
    ∴∠AGB=∠AGF,∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF,
    ∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF,
    ∴AG∥CF;
    ④错误.
    理由:∵S△GCE=GC•CE=×3×4=6,
    ∴④错误;
    ⑤错误.
    ∵∠BAG=∠FAG,∠DAE=∠FAE,
    又∵∠BAD=90°,
    ∴∠GAE=45°,
    ∴∠AGB+∠AED=180°﹣∠GAE=135°,
    故答案为:①②③.
    三、解答题(本大题共7小题,共68分)
    17.计算:
    (1)×﹣4;
    (2)|﹣|﹣(1﹣)2.
    【分析】(1)先计算二次根式,再计算乘法,后计算加减;
    (2)先计算开方、绝对值和平方,后计算加减.
    解:(1)×﹣4
    =3×﹣4×
    =3﹣2
    =;
    (2)|﹣|﹣(1﹣)2
    =3﹣2﹣(3﹣2)
    =3﹣2﹣3+2
    =0.
    18.如图,每个小正方形的边长都是1.A、B、C、D均在网格的格点上.
    (1)∠BCD是直角吗?请证明你的判断.
    (2)直接写出四边形ABCD的面积
    (3)找到格点E,并画出四边形ABED(一个即可),使得其面积与四边形ABCD面积相等.
    【分析】(1)利用勾股定理,判断即可.
    (2)利用分割法求解即可.
    (3)取格点E,连接BE,DE即可.
    解:(1)∠BCD不是直角.
    理由:∵BC2=52+22=29,CD2=5,BD2=42+42=32,
    ∴BC2+CD2≠BD2,
    ∴∠BCD不是直角.
    (2)S四边形ABCD=5×5﹣×2×5﹣×1×5﹣×1×2﹣×1×3﹣1=14.
    (3)如图,四边形ABED即为所求作.
    19.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点N.
    (1)求证:四边形ADCE为矩形;
    (2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE为正方形?给出证明.
    【分析】(1)根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形,已知CE⊥AN,AD⊥BC,所以求证∠DAE=90°,可以证明四边形ADCE为矩形.
    (2)根据正方形的判定,我们可以假设当AD=BC,由已知可得,DC=BC,由(1)的结论可知四边形ADCE为矩形,所以证得,四边形ADCE为正方形.
    【解答】(1)证明:在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,
    ∴∠BAD=∠DAC,
    ∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线,
    ∴∠MAE=∠CAE,
    ∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°,
    又∵AD⊥BC,CE⊥AN,
    ∴∠ADC=∠CEA=90°,
    ∴四边形ADCE为矩形.
    (2)当△ABC满足∠BAC=90°时,四边形ADCE是一个正方形.
    理由:∵AB=AC,
    ∴∠ACB=∠B=45°,
    ∵AD⊥BC,
    ∴∠CAD=∠ACD=45°,
    ∴DC=AD,
    ∵四边形ADCE为矩形,
    ∴矩形ADCE是正方形.
    ∴当∠BAC=90°时,四边形ADCE是一个正方形.
    20.如图1,居家网课学习时,小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上,显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角120°,侧面示意图如图2;如图3,使用时为了散热,他在底板下垫入散热架ACO'后,电脑转到AO'B'位置,侧面示意图如图4.已知OA=OB,O'C⊥OA于点C,∠O′AC=30°,AC=cm.
    (1)求OA的长;
    (2)垫入散热架后,显示屏顶部B'比原来升高了多少cm?
    【分析】(1)根据直角三角形的性质得到AO′=2CO′,根据勾股定理即可得到结论;
    (2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,根据勾股定理即可得到结论.
    解:(1)∵O'C⊥OA,
    ∴∠ACO′=90°,
    ∵∠CAO′=30°,
    ∴AO′=2CO′,
    ∵AO′2=AC2+CO′2,
    ∴AO′2=(10)2+(AO′)2,
    ∴AO=AO′=20cm,
    答:OA的长为20cm;
    (2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,
    ∵∠AOB=120°,
    ∴∠BOD=60°,
    ∴∠OBD=30°,
    ∴OD=OB,
    ∵OB=OA=20cm,
    ∴OD=10cm,
    ∴BD==10(cm),
    ∵O′C⊥OA,∠CAO′=30°,
    ∴∠AO′C=60°,
    ∵∠AO′B′=120°,
    ∴∠AO′B′+∠AO′C=180°,
    ∴O′B′+O′C﹣BD=20+10﹣10=(30﹣10)cm,
    ∴显示屏的顶部B′比原来升高了(30﹣10)cm.
    21.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.
    (1)求证:四边形ABCD是菱形;
    (2)若AB=2,BD=4,求OE的长.
    【分析】(1)先判断出∠OAB=∠DCA,进而判断出∠DAC=∠DCA,得出CD=AD=AB,即可得出结论;
    (2)先判断出OE=OA=OC,再求出OB=2,利用勾股定理求出OA,即可得出结论.
    解:(1)∵AB∥CD,
    ∴∠OAB=∠DCA,
    ∵AC为∠DAB的平分线,
    ∴∠OAB=∠DAC,
    ∴∠DCA=∠DAC,
    ∴CD=AD=AB,
    ∵AB∥CD,
    ∴四边形ABCD是平行四边形,
    ∵AD=AB,
    ∴▱ABCD是菱形;
    (2)∵四边形ABCD是菱形,
    ∴OA=OC,BD⊥AC,
    ∵CE⊥AB,
    ∴OE=OA=OC,
    ∵BD=4,
    ∴OB=BD=2,
    在Rt△AOB中,AB=2,OB=2,
    ∴OA==4,
    ∴OE=OA=4.
    22.阅读材料:如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记p=,那么这个三角形的面积为S=这个公式叫“海伦公式”,它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式,我国南宋时期数学家秦九韶也得出了类似的公式,称三斜求积术,故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”.完成以下问题:如图,在△ABC中,a=8,b=5,c=7.
    (1)直接写出p的值,p= 10 .
    (2)求△ABC的面积;
    (3)过点A作AD⊥BC,垂足为D,求线段CD的长.
    【分析】(1)利用阅读材料,计算出p的值;
    (2)根据海伦——秦九韶公式计算△ABC的面积;
    (3)利用面积法求AD的长,再根据勾股定理可求CD的长.
    解:(1)∵a=8,b=5,c=7,
    ∴p==10.
    故答案为:10;
    (2)△ABC的面积S===10;
    (3)如图,∵△ABC的面积=BC•AD,
    ∴×8×AD=10,
    解得AD=.
    在Rt△ACD中,AC=5,AD=,
    ∴CD===.
    23.问题解决:如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE=AF,DE⊥AF于点G.
    (1)求证:四边形ABCD是正方形;
    (2)延长CB到点H,使得BH=AE,判断△AHF的形状,并说明理由.
    类比迁移:如图2,在菱形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE与AF相交于点G,DE=AF,∠AED=60°,AE=7,BF=2,则DE= 9 .(只在图2中作辅助线,并简要说明其作法,直接写出DE的长度)
    【分析】问题解决:(1)证△ADE≌△BAF(AAS),得AD=BA,即可得出结论;
    (2)由全等三角形的性质得AE=BF,则BF=BH,再证AB⊥BC,然后由线段垂直平分线的性质即可得出结论;
    类比迁移:延长CB到点H,使得BH=AE,连接AH,证△DAE≌△ABH(SAS),得DE=AH,∠AHB=∠DEA=60°,再证△AHF是等边三角形,即可得出答案.
    【解答】问题解决:
    (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
    ∴∠DAE=∠ABF=90°,
    ∴∠BAF+∠DAF=90°,
    ∵DE⊥AF,
    ∴∠AGD=90°,
    ∴∠ADE+∠DAF=90°,
    ∴∠ADE=∠BAF,
    ∵DE=AF,
    ∴△ADE≌△BAF(AAS),
    ∴AD=BA,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴四边形ABCD是正方形:
    (2)解:△AHF是等腰三角形,理由如下:
    由(1)得:△ADE≌△BAF,
    ∴AE=BF,
    ∵BH=AE,
    ∴BF=BH,
    ∵四边形ABCD是正方形,
    ∴∠ABC=90°,
    ∴AB⊥BC,
    即AB垂直平分FH,
    ∴AH=AF,
    ∴△AHF是等腰三角形.
    类比迁移:
    解:延长CB到点H,使得BH=AE,连接AH,如图2所示:
    ∵四边形ABCD是菱形,
    ∴AD∥BC,AB=AD,
    ∴∠ABH=∠BAD.
    ∵BH=AE,
    ∴△DAE≌△ABH(SAS),
    ∴DE=AH,∠AHB=∠DEA=60°,
    ∵DE=AF,
    ∴AH=AF,
    ∴△AHF是等边三角形,
    ∴AH=HF=BH+BF=AE+BF=7+2=9,
    ∴DE=AH=9,
    故答案为:9.

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