2021-2022学年山东省临沂市临沭县八年级下学期期中数学试题及答案
展开这是一份2021-2022学年山东省临沂市临沭县八年级下学期期中数学试题及答案,共22页。试卷主要包含了解答题等内容,欢迎下载使用。
1.式子有意义的条件是( )
A.x<2B.x≤2C.x>2D.x≥2
2.下列二次根式中,能与合并的是( )
A.B.C.D.
3.△ABC中,已知AB=1,AC=2.要使∠B是直角,BC的长度是( )
A.B.C.3D.或
4.下列运算正确的是( )
A.B.3﹣=3C.×=D.=4
5.下列命题中是假命题的是( )
A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C.一组邻边相等的平行四边形是菱形
D.一组邻边相等的矩形是正方形
6.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A.∠A+∠B=∠CB.a:b:c=3:4:6
C.a2=c2﹣b2D.∠A:∠B:∠C=1:2:3
7.已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD交于点O,E是BC的中点,以下说法错误的是( )
A.OE=DCB.OA=OCC.∠BOE=∠OBAD.∠OBE=∠OCE
8.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,0),B(0,3),以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的正半轴于点C,则点C的横坐标介于( )
A.0和1之间B.1和2之间C.2和3之间D.3和4之间
9.如图1,平行四边形ABCD中,AD>AB,∠ABC为锐角.要在对角线BD上找点N、M,使四边形ANCM为平行四边形,现有图2中的甲、乙两种方案,则正确的方案是( )
A.甲是B.乙是
C.甲、乙都是D.甲、乙都不是
10.如图,在平行四边形ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD'E处,AD'与CE交于点F.若∠B=54°,∠DAE=20°,则∠FED'的大小为( )
A.27°B.32°C.36°D.40°
11.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几.”此问题可理解为:如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地距离AB长度为1尺.将它往前水平推送10尺时,即A′C=10尺,则此时秋千的踏板离地距离A′D就和身高5尺的人一样高.若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直,则绳索OA长为( )
A.13.5尺B.14尺C.14.5尺D.15尺
12.如图,在菱形ABCD中,BC=2,∠C=120°,Q为AB的中点,P为对角线BD上的任意一点,则AP+PQ的最小值为( )
A.2B.1C.D.
二.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
13.数学中说明某个命题不成立时常采用“举反例”,即举一个满足条件,但不满足结论的例子.为说明命题“对于任何实数a,都有=a”是假命题,请举一个反例a= .
14.如图,BD是菱形ABCD的一条对角线,点E在BC的延长线上,若∠ADB=32°,则∠DCE的度数为 度.
15.勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并标示了A、B、C三地的坐标,数据如图(单位:km),笔直铁路经过A、B两地.则A、B两地间的距离为 km,A、C两地间的距离为 km.
16.如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF,则下列结论:①△ABG≌△AFG;②BG=CG;③AG∥CF;④S△EGC=12;⑤∠AGB+∠AED=145°.其中正确结论的序号是 .
三、解答题(本大题共7小题,共68分)
17.计算:
(1)×﹣4;
(2)|﹣|﹣(1﹣)2.
18.如图,每个小正方形的边长都是1.A、B、C、D均在网格的格点上.
(1)∠BCD是直角吗?请证明你的判断.
(2)直接写出四边形ABCD的面积
(3)找到格点E,并画出四边形ABED(一个即可),使得其面积与四边形ABCD面积相等.
19.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点N.
(1)求证:四边形ADCE为矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE为正方形?给出证明.
20.如图1,居家网课学习时,小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上,显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角120°,侧面示意图如图2;如图3,使用时为了散热,他在底板下垫入散热架ACO'后,电脑转到AO'B'位置,侧面示意图如图4.已知OA=OB,O'C⊥OA于点C,∠O′AC=30°,AC=cm.
(1)求OA的长;
(2)垫入散热架后,显示屏顶部B'比原来升高了多少cm?
21.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若AB=2,BD=4,求OE的长.
22.阅读材料:如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记p=,那么这个三角形的面积为S=这个公式叫“海伦公式”,它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式,我国南宋时期数学家秦九韶也得出了类似的公式,称三斜求积术,故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”.完成以下问题:如图,在△ABC中,a=8,b=5,c=7.
(1)直接写出p的值,p= .
(2)求△ABC的面积;
(3)过点A作AD⊥BC,垂足为D,求线段CD的长.
23.问题解决:如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE=AF,DE⊥AF于点G.
(1)求证:四边形ABCD是正方形;
(2)延长CB到点H,使得BH=AE,判断△AHF的形状,并说明理由.
类比迁移:如图2,在菱形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE与AF相交于点G,DE=AF,∠AED=60°,AE=7,BF=2,则DE= .(只在图2中作辅助线,并简要说明其作法,直接写出DE的长度)
参考答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.式子有意义的条件是( )
A.x<2B.x≤2C.x>2D.x≥2
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式,解不等式得到答案.
解:由题意得3x﹣6>0,
解得x>2,
故选:C.
2.下列二次根式中,能与合并的是( )
A.B.C.D.
【分析】根据同类二次根式的概念解答即可.
解:A、=3,与不是同类二次根式,故本选项不符合题意;
B、=2,与是同类二次根式,故本选项符合题意;
C、=与不是同类二次根式,故本选项不符合题意;
D、=与不是同类二次根式,故本选项不符合题意;
故选:B.
3.△ABC中,已知AB=1,AC=2.要使∠B是直角,BC的长度是( )
A.B.C.3D.或
【分析】先分析得出AC为斜边,AB为直角边,所以BC用勾股定理可求.
解:∵∠B是直角,故AC为△ABC的斜边,AB为直角边,
∴BC===.
故选:A.
4.下列运算正确的是( )
A.B.3﹣=3C.×=D.=4
【分析】利用二次根式的加减法法则计算A、B,利用二次根式的乘、除法法则计算C、D,根据计算结果判断即可.
解:与不是同类二次根式,不能加减,故选项A错误;
3﹣=2≠3,故选项B错误;
×=,故选项C错误;
÷==2≠4,故选项D错误.
故选:C.
5.下列命题中是假命题的是( )
A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C.一组邻边相等的平行四边形是菱形
D.一组邻边相等的矩形是正方形
【分析】做题时首先熟悉各种四边形的判定方法,然后作答.
解:A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(平行四边形判定定理);故A不符合题意.
B、一组对边相等且有一个角是直角的四边形,不一定是矩形,还可能是不规则四边形,故B符合题意.
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形,故C不符合题意;
D、一组邻边相等的矩形是正方形,故D不符合题意.
故选:B.
6.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A.∠A+∠B=∠CB.a:b:c=3:4:6
C.a2=c2﹣b2D.∠A:∠B:∠C=1:2:3
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可.
解:A、∠A+∠B=∠C,∠C=90°,是直角三角形,不符合题意;
B、∵设a=3x,b=4x,c=6x,(3x)2+(4x)2≠(6x)2,不是直角三角形,符合题意;
C、a2=c2﹣b2,a2+b2=c2,是直角三角形,不符合题意;
D、∵∠A:∠B:∠C=1:2:3,∴∠C=90°,是直角三角形,不符合题意;
故选:B.
7.已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD交于点O,E是BC的中点,以下说法错误的是( )
A.OE=DCB.OA=OCC.∠BOE=∠OBAD.∠OBE=∠OCE
【分析】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A、B、C正确;由OB≠OC,得出∠OBE≠∠OCE,选项D错误;即可得出结论.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,AB∥DC,
又∵点E是BC的中点,
∴OE是△BCD的中位线,
∴OE=DC,OE∥DC,
∴OE∥AB,
∴∠BOE=∠OBA,
∴选项A、B、C正确;
∵OB≠OC,
∴∠OBE≠∠OCE,
∴选项D错误;
故选:D.
8.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,0),B(0,3),以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的正半轴于点C,则点C的横坐标介于( )
A.0和1之间B.1和2之间C.2和3之间D.3和4之间
【分析】求出OA、OB,根据勾股定理求出AB,即可得出AC,求出OC长即可.
解:∵点A,B的坐标分别为(﹣2,0),(0,3),
∴OA=2,OB=3,
在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB==,
∴AC=AB=,
∴OC=﹣2,
∴点C的坐标为(﹣2,0),
∵,
∴,
即点C的横坐标介于1和2之间,
故选:B.
9.如图1,平行四边形ABCD中,AD>AB,∠ABC为锐角.要在对角线BD上找点N、M,使四边形ANCM为平行四边形,现有图2中的甲、乙两种方案,则正确的方案是( )
A.甲是B.乙是
C.甲、乙都是D.甲、乙都不是
【分析】方案甲,连接AC,由平行四边形的性质得OB=OD,OA=OC,则NO=OM,得四边形ANCM为平行四边形,方案甲正确;
方案乙,证△ABN≌△CDM(AAS),得AN=CM,再由AN∥CM,得四边形ANCM为平行四边形,方案乙正确.
解:方案甲,连接AC,如图所示:
∵四边形ABCD是平行四边形,O为BD的中点,
∴OB=OD,OA=OC,
∵BN=NO,OM=MD,
∴NO=OM,
∴四边形ANCM为平行四边形,故方案甲正确;
方案乙,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABN=∠CDM,
∵AN⊥BD,CM⊥BD,
∴AN∥CM,∠ANB=∠CMD,
在△ABN和△CDM中,
,
∴△ABN≌△CDM(AAS),
∴AN=CM,
又∵AN∥CM,
∴四边形ANCM为平行四边形,故方案乙正确;
故选:C.
10.如图,在平行四边形ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD'E处,AD'与CE交于点F.若∠B=54°,∠DAE=20°,则∠FED'的大小为( )
A.27°B.32°C.36°D.40°
【分析】由三角形外角的性质可得∠AEC=∠D+∠DAE=74°,由折叠的性质可得∠AED=∠AED'=106°,即可求解.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠D=54°,
∵∠DAE=20°,
∴∠AEC=∠D+∠DAE=74°,
∴∠AED=106°,
∵将△ADE沿AE折叠至△AD'E处,
∴∠AED=∠AED'=106°,
∴∠FED'=∠AED'﹣∠AEC=106°﹣74°=32°,
故选:B.
11.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几.”此问题可理解为:如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地距离AB长度为1尺.将它往前水平推送10尺时,即A′C=10尺,则此时秋千的踏板离地距离A′D就和身高5尺的人一样高.若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直,则绳索OA长为( )
A.13.5尺B.14尺C.14.5尺D.15尺
【分析】设绳索有x尺长,根据勾股定理列方程即可得到结论.
解:设绳索有x尺长,则
102+(x+1﹣5)2=x2,
解得:x=14.5.
故绳索长14.5尺.
故选:C.
12.如图,在菱形ABCD中,BC=2,∠C=120°,Q为AB的中点,P为对角线BD上的任意一点,则AP+PQ的最小值为( )
A.2B.1C.D.
【分析】如图,连接PC,AC,CQ.证明PA=PC,可得PA+PQ=PC+PQ≥CQ,解直角三角形求出CQ,可得结论.
解:如图,连接PC,AC,CQ.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABP=∠PBC,
∴△ABP≌△CBP,
∴PA=PC,
∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴∠ABC=180°﹣120°=60°,
∵AB=BC,
∴△ABC是等边三角形,
∵AQ=QB,
∴CQ⊥AB,
∴CQ=BC•sin60°=,
∵PA+PQ=PC+PQ≥CQ,
∴PA+PQ≥,
∴PA+PQ的最小值为.
故选:C.
二.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
13.数学中说明某个命题不成立时常采用“举反例”,即举一个满足条件,但不满足结论的例子.为说明命题“对于任何实数a,都有=a”是假命题,请举一个反例a= ﹣2(答案不唯一). .
【分析】利用a<0时,=a不成立,从而可对各选项进行判断.
解:当a=﹣2时,=a不成立.
故答案为:﹣2(答案不唯一).
14.如图,BD是菱形ABCD的一条对角线,点E在BC的延长线上,若∠ADB=32°,则∠DCE的度数为 64 度.
【分析】根据菱形的性质可得BC=CD,AD∥BC,得到∠CBD=∠BDC=∠ADB,利用外角性质可得.
解:∵四边形ABCD为菱形,
∴BC=CD,AD∥BC,
∴∠CBD=∠BDC,∠CBD=∠ADB=32°,
∴∠CBD=∠BDC=32°,
∴∠DCE=∠CBD+∠BDC=64°,
故答案为:64.
15.勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并标示了A、B、C三地的坐标,数据如图(单位:km),笔直铁路经过A、B两地.则A、B两地间的距离为 5 km,A、C两地间的距离为 3 km.
【分析】根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度;由勾股定理得出A、C两地间的距离.
解:由A、B两点的纵坐标相同可知:AB∥x轴,
∴AB=3﹣(﹣2)=5(km);
∵A(3,1),C(0,﹣5),
∴AC==3(km).
故答案为:5,3.
16.如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF,则下列结论:①△ABG≌△AFG;②BG=CG;③AG∥CF;④S△EGC=12;⑤∠AGB+∠AED=145°.其中正确结论的序号是 ①②③ .
【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG;在直角△ECG中,根据勾股定理可证BG=GC;通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF,由平行线的判定可得AG∥CF;求出S△EGC的面积即可;求得∠GAF=45°,∠AGB+∠AED=180°﹣∠GAF=135°.
解:①正确.
理由:∵AB=AD=AF,AG=AG,∠B=∠AFG=90°,
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL);
②正确.
理由:EF=DE=CD=2,设BG=FG=x,则CG=6﹣x.
在直角△ECG中,根据勾股定理,得(6﹣x)2+42=(x+2)2,
解得x=3.
∴BG=3=6﹣3=CG;
③正确.
理由:∵CG=BG,BG=GF,
∴CG=GF,
∴△FGC是等腰三角形,∠GFC=∠GCF.
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG;
∴∠AGB=∠AGF,∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF,
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF,
∴AG∥CF;
④错误.
理由:∵S△GCE=GC•CE=×3×4=6,
∴④错误;
⑤错误.
∵∠BAG=∠FAG,∠DAE=∠FAE,
又∵∠BAD=90°,
∴∠GAE=45°,
∴∠AGB+∠AED=180°﹣∠GAE=135°,
故答案为:①②③.
三、解答题(本大题共7小题,共68分)
17.计算:
(1)×﹣4;
(2)|﹣|﹣(1﹣)2.
【分析】(1)先计算二次根式,再计算乘法,后计算加减;
(2)先计算开方、绝对值和平方,后计算加减.
解:(1)×﹣4
=3×﹣4×
=3﹣2
=;
(2)|﹣|﹣(1﹣)2
=3﹣2﹣(3﹣2)
=3﹣2﹣3+2
=0.
18.如图,每个小正方形的边长都是1.A、B、C、D均在网格的格点上.
(1)∠BCD是直角吗?请证明你的判断.
(2)直接写出四边形ABCD的面积
(3)找到格点E,并画出四边形ABED(一个即可),使得其面积与四边形ABCD面积相等.
【分析】(1)利用勾股定理,判断即可.
(2)利用分割法求解即可.
(3)取格点E,连接BE,DE即可.
解:(1)∠BCD不是直角.
理由:∵BC2=52+22=29,CD2=5,BD2=42+42=32,
∴BC2+CD2≠BD2,
∴∠BCD不是直角.
(2)S四边形ABCD=5×5﹣×2×5﹣×1×5﹣×1×2﹣×1×3﹣1=14.
(3)如图,四边形ABED即为所求作.
19.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点N.
(1)求证:四边形ADCE为矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE为正方形?给出证明.
【分析】(1)根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形,已知CE⊥AN,AD⊥BC,所以求证∠DAE=90°,可以证明四边形ADCE为矩形.
(2)根据正方形的判定,我们可以假设当AD=BC,由已知可得,DC=BC,由(1)的结论可知四边形ADCE为矩形,所以证得,四边形ADCE为正方形.
【解答】(1)证明:在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC,
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线,
∴∠MAE=∠CAE,
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°,
又∵AD⊥BC,CE⊥AN,
∴∠ADC=∠CEA=90°,
∴四边形ADCE为矩形.
(2)当△ABC满足∠BAC=90°时,四边形ADCE是一个正方形.
理由:∵AB=AC,
∴∠ACB=∠B=45°,
∵AD⊥BC,
∴∠CAD=∠ACD=45°,
∴DC=AD,
∵四边形ADCE为矩形,
∴矩形ADCE是正方形.
∴当∠BAC=90°时,四边形ADCE是一个正方形.
20.如图1,居家网课学习时,小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上,显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角120°,侧面示意图如图2;如图3,使用时为了散热,他在底板下垫入散热架ACO'后,电脑转到AO'B'位置,侧面示意图如图4.已知OA=OB,O'C⊥OA于点C,∠O′AC=30°,AC=cm.
(1)求OA的长;
(2)垫入散热架后,显示屏顶部B'比原来升高了多少cm?
【分析】(1)根据直角三角形的性质得到AO′=2CO′,根据勾股定理即可得到结论;
(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,根据勾股定理即可得到结论.
解:(1)∵O'C⊥OA,
∴∠ACO′=90°,
∵∠CAO′=30°,
∴AO′=2CO′,
∵AO′2=AC2+CO′2,
∴AO′2=(10)2+(AO′)2,
∴AO=AO′=20cm,
答:OA的长为20cm;
(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,
∵∠AOB=120°,
∴∠BOD=60°,
∴∠OBD=30°,
∴OD=OB,
∵OB=OA=20cm,
∴OD=10cm,
∴BD==10(cm),
∵O′C⊥OA,∠CAO′=30°,
∴∠AO′C=60°,
∵∠AO′B′=120°,
∴∠AO′B′+∠AO′C=180°,
∴O′B′+O′C﹣BD=20+10﹣10=(30﹣10)cm,
∴显示屏的顶部B′比原来升高了(30﹣10)cm.
21.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若AB=2,BD=4,求OE的长.
【分析】(1)先判断出∠OAB=∠DCA,进而判断出∠DAC=∠DCA,得出CD=AD=AB,即可得出结论;
(2)先判断出OE=OA=OC,再求出OB=2,利用勾股定理求出OA,即可得出结论.
解:(1)∵AB∥CD,
∴∠OAB=∠DCA,
∵AC为∠DAB的平分线,
∴∠OAB=∠DAC,
∴∠DCA=∠DAC,
∴CD=AD=AB,
∵AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AD=AB,
∴▱ABCD是菱形;
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC,BD⊥AC,
∵CE⊥AB,
∴OE=OA=OC,
∵BD=4,
∴OB=BD=2,
在Rt△AOB中,AB=2,OB=2,
∴OA==4,
∴OE=OA=4.
22.阅读材料:如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记p=,那么这个三角形的面积为S=这个公式叫“海伦公式”,它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式,我国南宋时期数学家秦九韶也得出了类似的公式,称三斜求积术,故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”.完成以下问题:如图,在△ABC中,a=8,b=5,c=7.
(1)直接写出p的值,p= 10 .
(2)求△ABC的面积;
(3)过点A作AD⊥BC,垂足为D,求线段CD的长.
【分析】(1)利用阅读材料,计算出p的值;
(2)根据海伦——秦九韶公式计算△ABC的面积;
(3)利用面积法求AD的长,再根据勾股定理可求CD的长.
解:(1)∵a=8,b=5,c=7,
∴p==10.
故答案为:10;
(2)△ABC的面积S===10;
(3)如图,∵△ABC的面积=BC•AD,
∴×8×AD=10,
解得AD=.
在Rt△ACD中,AC=5,AD=,
∴CD===.
23.问题解决:如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE=AF,DE⊥AF于点G.
(1)求证:四边形ABCD是正方形;
(2)延长CB到点H,使得BH=AE,判断△AHF的形状,并说明理由.
类比迁移:如图2,在菱形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE与AF相交于点G,DE=AF,∠AED=60°,AE=7,BF=2,则DE= 9 .(只在图2中作辅助线,并简要说明其作法,直接写出DE的长度)
【分析】问题解决:(1)证△ADE≌△BAF(AAS),得AD=BA,即可得出结论;
(2)由全等三角形的性质得AE=BF,则BF=BH,再证AB⊥BC,然后由线段垂直平分线的性质即可得出结论;
类比迁移:延长CB到点H,使得BH=AE,连接AH,证△DAE≌△ABH(SAS),得DE=AH,∠AHB=∠DEA=60°,再证△AHF是等边三角形,即可得出答案.
【解答】问题解决:
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAE=∠ABF=90°,
∴∠BAF+∠DAF=90°,
∵DE⊥AF,
∴∠AGD=90°,
∴∠ADE+∠DAF=90°,
∴∠ADE=∠BAF,
∵DE=AF,
∴△ADE≌△BAF(AAS),
∴AD=BA,
∵四边形ABCD是矩形,
∴四边形ABCD是正方形:
(2)解:△AHF是等腰三角形,理由如下:
由(1)得:△ADE≌△BAF,
∴AE=BF,
∵BH=AE,
∴BF=BH,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,
∴AB⊥BC,
即AB垂直平分FH,
∴AH=AF,
∴△AHF是等腰三角形.
类比迁移:
解:延长CB到点H,使得BH=AE,连接AH,如图2所示:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,AB=AD,
∴∠ABH=∠BAD.
∵BH=AE,
∴△DAE≌△ABH(SAS),
∴DE=AH,∠AHB=∠DEA=60°,
∵DE=AF,
∴AH=AF,
∴△AHF是等边三角形,
∴AH=HF=BH+BF=AE+BF=7+2=9,
∴DE=AH=9,
故答案为:9.
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