【开学考】2024年新九年级上册数学（云南专用，人教版）开学摸底考试卷

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（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：人教版八下。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本大题共15题，每小题2分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是最简二次根式，二次根式的化简，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念逐一判断即可解题．
【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、不是最简二次根式，不符合题意；
C、不是最简二次根式，不符合题意；
D、不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
2．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示：
根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【分析】本题考查根据平均数和方差作决策，重点考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可．
【详解】解：由表中数据可知，射击成绩的平均数最大的是甲，射击成绩方差最小的也是甲，
从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲，
故选：A．
3．式子有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0即可求解．
【详解】解：根据题意有：，
∴，
故选：A．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘法运算，本题属于基础题型．
根据二次根式的加减运算以及乘法运算法则即可求出答案．
【详解】解：A、无法合并，故错误，不合题意；
B、，故错误，不合题意；
C、，故错误，不合题意；
D、，故正确，符合题意；
故选：D．
5．下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就确定唯一的一个值，那么我们称是的函数，根据函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、C、D对于的任何值，都有唯一的值与之对应，符合函数的定义，
B对于部分的值，的值不是唯一的，不符合函数的定义，
故选：B．
6．为庆祝中国共产主义青年团建团100周年，某校团委组织以“扬爱国精神，展青春风采”为主题的合唱活动，下表是九年级一班的得分情况：
数据9.9，9.7，9.6，10，9.8的中位数是（ ）
A．9.6B．9.7C．9.8D．9.9
【答案】C
【分析】根据中位数的概念分析即可．
【详解】解：将数据按照从小到大的顺序排列为：9.6，9.7，9.8，9.9，10，则中位数为9.8．
故选：C．
【点睛】本题主要考查中位数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据个数是偶数，则最中间两个数的平均数就是这组数据的中位数．
7．若一个长方体的底面积为，底面长、宽和高的比为，则这个长方体的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式乘法的应用、算术平方根的应用，先根据已知条件设长为，宽为，高为，根据长方形的底面积等于长乘宽列方程求得x值，再根据长方形的体积公式，结合二次根式的乘法运算法则求解即可．
【详解】解：∵该长方体的底面长、宽和高的比为，
∴设长为，宽为，高为，
∵该长方体的底面积为，
∴，解得（负值已舍去），
∴该长方形的长为，宽为，高为，
∴该长方形的体积为，
故选：B．
8．下面命题中，正确的是（ ）
A．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
D．一组邻边相等的四边形是菱形
【答案】B
【分析】本题分别考察了平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定，根据题意逐一分析四个选项即可得出答案．
【详解】解：A、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；
B、一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，符合题意；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意；
D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意．
故选∶B．
9．按一定规律排列的单项式：，第个单项式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式的系数发现第n个单项式的系数为；由，发现第n个单项式的字母次数是，即可求解．
【详解】通过观察单项式的系数发现：第n个单项式的系数为，
∵，
∴第n个单项式的字母次数是，
∴第n个单项式为，
故选：C．
10．在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向下平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换．解题关键是掌握一次函数图象平移的规律“上加下减，左加右减”．
根据一次函数的平移规律求解即可．
【详解】解：正比例函数的图象向下平移3个单位长度得：
，
故选：A．
11．如图，矩形中，对角线交于点，若，则长为（ ）
A．B．C．6D．
【答案】B
【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，由矩形对角线性质可得，又，可证为等边三角形，得，即可得解．
【详解】：∵矩形，
∴，
∵
∴为等边三角形．
∴．
故选：B．
12．一次函数的图象经过点，，则下列判断中正确的是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】此题考查一次函数的性质，比较函数值的大小，熟知一次函数的增减性与k的关系是解题的关键．
根据一次函数的解析式判断出增减性，然后利用增减性求解．
【详解】解：一次函数中，
y随x的增大而增大，
，
，
故选：A．
13．如图，在一次数学实践活动中，同学们为测量校园内被花坛隔开的两点间距离，在外取一点，测得两边中点的距离为，则两点间的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理计算即可得出答案．
【详解】解：∵两边中点的距离为，
∴为的中位线，
∴，
故选：C．
14．如图，已知函数和的图象交于点P，根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
由图可知：两个一次函数的交点坐标为；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．
【详解】解：函数和的图象交于点，
即，同时满足两个一次函数的解析式．
所以关于，的方程组的解是．
故选：B．
15．如图，在四边形中，对角线与相交于点．不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形，逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意；
B、∵，，
∴能判断四边形是平行四边形，故不符合题意；
C、∵，，
∴能判断四边形是平行四边形，故不符合题意；
D、∵，，
∴能判断四边形是平行四边形，故不符合题意；
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
16．若式子有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了分式有意义以及二次根式有意义的条件：分母不为0以及被开方数为非负数，据此进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵式子有意义
∴
解得
故答案为：且
17．如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积．根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，得出点C的坐标及的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积．
【详解】解：将代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为．
当时，，解得：，
∴点C的坐标为，，
∴．
故答案为：9．
18．如图，在中，，点D为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．由勾股定理求出，由折叠的性质得出，，得出，设则在中，由勾股定理得出方程，可求长，由勾股定理可求的长．
【详解】解：由折叠可知：，，
在中，由勾股定理得：
∴
设则
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
19．如图，是菱形ABCD的对角线，，．若点P，点Q分别是上的动点，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，掌握菱形的性质和理解“垂线段最短”是解题的关键．
先根据菱形的对称性和“垂线段最短”确定最小值，再根据菱形的面积公式求解．
【详解】解：如图，∵四边形是菱形，
∴点关于直线对称，，
过作于，交于，
此时，的值最小，的最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共62分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）利用平方差公式和二次根式的除法计算，再进行加减运算即可；
（2）先计算除法、化简绝对值、计算负整数指数幂，再进行加减法即可．
【详解】（1）解：
=
=
=
=
（2）解：
=
=
21．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过，两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)若一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P为直线上一动点，，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的几何应用；
（1）把点和代入，再进一步求解即可；
（2）先求解，，再利用面积公式建立方程求解即可
【详解】（1）解：将点和代入得：
，
解得：
∴一次函数解析式为：．
（2）解：当，则；当，则；
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵点P在直线上，
∴或，
∴，，
∴或．
22．【材料阅读】
平面内两点Mx1,y1，Nx2,y2，则由勾股定理可得，这两点间的距离．
例如，如图1，，，则．
【直接应用】
(1)已知，，求、两点间的距离；
(2)如图2，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴的夹角是．
①求点的坐标；
②试判断的形状．
【答案】(1)
(2)①B1，-1；②直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理的应用，等角对等边，勾股定理的逆定理等知识．熟练掌握勾股定理的应用，等角对等边，勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）由题意知，，计算求解即可；
（2）①如图，过作轴于，则，，设，，则，可求，进而可得B1，-1；②由题意知，，，则，进而可得是直角三角形．
【详解】（1）解：由题意知，，
∴、两点间的距离为；
（2）①解：如图，过作轴于，
∴，
∴，
设，，
∴，
解得，，
∴B1，-1；
②解：由题意知，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形．
23．垃圾的分类回收不仅能够减少环境污染，美化家园，甚至能够变废为宝，节约能源，为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某中学组织全校1565名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”（满分为100分），该校数学兴趣小组为了解全校学生竞赛分数情况，采用简单随机抽样的方法（即每名学生的竞赛分数被抽到的可能性相等的抽样方法）抽取部分学生的竞赛分数进行调查分析．
（1）以下三种抽样调查方案：
方案一：从七年级、八年级、九年级中指定部分学生的竞赛分数作为样本；
方案二：从七年级、八年级中随机抽取部分男生的竞赛分数以及在九年级中随机抽取部分女生的竞赛分数作为样本；
方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本，其中抽取的样最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是_______（填写“方案一”、“方案二”或“方案三”）；
（2）该校数学兴趣小组根据简单随机抽样方法获得的样本，绘制出如下统计表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”，学生竞赛分数记为x分）
结合上述信息解答下列问题：
①样本数据的中位数所在分数段为__________；
②全校1565名学生，估计竞赛分数达到“优秀”的学生有________人．
【答案】（1）方案三；（2）①80≤x＜90；②626
【分析】（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三符合题意；
（2）①根据中位数的定义即可判断；②样本中“优秀”人数占调查人数的40%，乘以总人数即可．
【详解】解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本，是最符合题意的．
故答案为：方案三；
（2）①样本100人中，成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在80≤x＜90，
因此中位数在80≤x＜90分数段中；
②由题意得，1565×40%=626（人），
答：该校1565名学生中竞赛分数达到“优秀”的有626人．
【点睛】本题考查了平均数、中位数的意义和计算方法，样本估计总体是统计中常用的方法．
24．如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，，证明四边形是平行四边形，再利用三角形中位线定理得到，，利用矩形的性质得到，即可证明四边形是菱形；
（2）利用三角形中位线定理和菱形性质得到，利用lx 面积公式得到，再利用完全平方公式结合勾股定理进行变形求解即可得到．
【详解】（1）解：连接，，
，，
四边形是平行四边形，
四边形中，点、、、分别是各边的中点，
，，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形中，点、、、分别是各边的中点，
，，
矩形的周长为22，
，
四边形是菱形，
即，
四边形的面积为10，
，即，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，矩形的性质和判定，三角形中位线定理，菱形的性质和判定，菱形面积公式，勾股定理，完全平方公式，熟练掌握相关性质是解题的关键．
25．、两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．
某超市销售、两种型号的吉祥物，有关信息见下表：
若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元．
(1)求、的值；
(2)若某公司计划从该超市购买、两种型号的吉祥物共90个，且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值．
注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数、一元一次不等式、二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是解题的关键．
（1）根据“购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元”建立二元一次方程组求解，即可解题；
（2）根据“且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．”建立不等式求解，得到，再根据总利润种型号吉祥物利润种型号吉祥物利润建立关系式，最后根据一次函数的性质即可得到的最大值．
【详解】（1）解：由题知，，
解得；
（2）解：购买种型号吉祥物的数量个，
则购买种型号吉祥物的数量个，
且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，
，
解得，
种型号吉祥物的数量又不超过种型号吉祥物数量的2倍．
，
解得，
即，
由题知，，
整理得，
随的增大而减小，
当时，的最大值为．
26．如图，四边形是矩形，E、F分别是线段、上的点，点O是与的交点．若将沿直线折叠，则点E与点F重合．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据折叠的性质得到BE=BF，DE=DF，∠EDB=∠FDB，根据矩形的性质证明∠EDB=∠FBD，可得∠FDB=∠FBD，则有BF=DF，根据四边相等的四边形是菱形即可证明；
（2）根据ED=2AE，得出菱形BEDF的面积为EF·BD=AD·AB，结合AB·AD=即可求出结果．
【详解】解：（1）证明：∵△BED沿直线BE折叠，点E与点F重合，
∴BE=BF，DE=DF，∠EDB=∠FDB，
又∵四边形ABCD是矩形，且E、F分别是线段AD、BC上的点，
∴DE∥DF，
∴∠EDB=∠FBD，
∴∠FDB=∠FBD，
∴BF=DF，
∴BE=BF=DF=DE，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）∵ED=2AE，点E是线段AD上的点，
∴ED=AD，
∵四边形BEDF是菱形，四边形ABCD是矩形，
∴S菱形BEDF=EF·BD=ED·AB=AD·AB，
∵AB·AD=，
∴EF·BD=，
解得：EF·BD=．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，菱形面积的求法，折叠的性质，难度不大，解题的关键是根据折叠得到线段和角相等，掌握菱形的面积计算方法．
27．【发现结论】
（1）如图1，中，，．点O既是斜边上的中点，又是的直角顶点，绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接，．以下结论正确的有______（多选）
①；②；③
【类比迁移】
（2）如图2，正方形的对角线交于点O，点O又是正方形的一个顶点，正方形绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接．
①（1）中结论依然成立的是______（填序号）
②在证明以上结论成立的过程中，你还发现了哪些结论？（至少写出三条，正方形的性质除外）
【类比迁移】
（3）如图3，矩形的对角线交于点O，点O又是矩形的一个顶点，矩形绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接．是否成立？若成立，请证明结论；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）①②③；（2）①（1）中结论依然成立的是①②③；②；（3）成立，理由见解析过程
【分析】（1）由余角的性质可得，由“”可证，可得，可得，由勾股定理可求解；
（2）①由余角的性质可得，由“”可证，可得，可得，由勾股定理可求解；
②由全等三角形的性质可得；
（3）由“”可证，可得，由勾股定理可求解．
【详解】解：（1）∵，点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：①②③；
（2）①∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：①②③；
②∵，
∴，
∴，
则还可以发现：；
（3）成立，理由如下：
如图，延长交于，连接，
∵四边形是矩形，
，
，
，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
甲
乙
丙
丁
9.9
9.5
8.2
8.5
0.09
0.65
0.16
2.85
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
9.9
9.7
9.6
10
9.8
样本容量
平均分
及格率
优秀率
最高分
最低分
100
83.59
95%
40%
100
52
分数段
频数
5
7
18
30
40
成本（单位：元/个）
销售价格（单位：元/个）
型号
35
a
型号
42