【开学考】2024年新九年级上册数学（全国通用，人教版八下全部九上第1章）02数学开学摸底考试卷

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：人教版八年级下册全部+九年级上册第1章
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24八年级下·福建厦门·期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的加减乘除运算，直接根据二次根式的加减乘除运算进行排除选项．
【详解】A、与不是同类二次根式，两个根式的被开方数不能加减，故原选项错误；
B、，故原选项错误；C、，故原选项正确；
D、，故原选项错误；故选：C．
2．（23-24八年级下·湖北鄂州·期末）在中，，，的对边分别为a，b，c，在下面结论中：①；②；③；④．
能判定是直角三角形的是（ ）
A．①③B．①③④C．①②③D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理，根据相关知识的性质和直角三角形的判定逐个判断即可．
【详解】解：①∵，，
∴，∴是直角三角形，故①符合题意；
②∵，∴，
∵，∴，则，
∴是直角三角形，故②符合题意；
③∵，∴，∴是直角三角形，故③符合题意；
④∵，∴，无法证明是直角三角形，故④不符合题意，
综上，能判定是直角三角形的是①②③，故选：C．
3．（23-24八年级下·北京海淀·期末）下表是魔方比赛中甲、乙、丙、丁四位选手的复原时间统计表，同一行表示同一位选手四次复原的时间（单位：秒），则下列说法正确的是（ ）
A．乙选手的最短复原时间小于甲选手的最短复原时间
B．丙选手复原时间的平均数大于丁选手复原时间的平均数
C．甲选手复原时间的中位数小于丁选手复原时间的中位数
D．乙选手复原时间的方差大于丁选手复原时间的方差
【答案】C
【分析】本题考查了平均数、中位数、方差，根据平均数、中位数、方差的计算公式，分别计算，逐项判断即可得出答案，熟练掌握平均数、中位数、方差的运算公式是解此题的关键．
【详解】解：A、由表格可得：乙选手的最短复原时间为秒，甲选手的最短复原时间为秒，乙选手的最短复原时间大于甲选手的最短复原时间，故原说法错误，不符合题意；
B、丙选手复原时间的平均数为，
丁选手复原时间的平均数为，
故丙选手复原时间的平均数小于丁选手复原时间的平均数，故原说法错误，不符合题意；
C、甲选手复原时间的中位数为，丁选手复原时间的中位数为，
故甲选手复原时间的中位数小于丁选手复原时间的中位数，故原说法正确，符合题意；
D、乙选手复原时间的平均数为，
乙选手复原时间的方差为，
丁选手复原时间的方差，
故乙选手复原时间的方差小于丁选手复原时间的方差，故原说法错误，不符合题意；故选：C．
4．（2024·河北邯郸·模拟预测）问题“解方程”，嘉嘉说“其中一个解是”，琪琪说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为”，珍珍说“，此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（ ）
A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对 C．珍珍说得对 D．三名同学说法都不对
【答案】C
【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是熟练掌握根的判别式及根据根据判别式判断一元二次方程根的情况．
由题意得出系数后，根据根的判别式判断即可求解．
【详解】解：方程中，，，，
，此时方程无实数根，珍珍说得对．故选：．
5．（2024·安徽·三模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程．
设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可．
【详解】解：设每天遗忘的百分比为，则，解得：．故选：C．
6．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点C是直线上一点，四边形是菱形，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查菱形的性质、一次函数的图象和性质、勾股定理，先求出点A，B坐标，利用勾股定理求出，由菱形的性质可得，利用等面积法求出，即可求解．
【详解】解：对于，当时，；当时，，
，，，，，
如图，菱形对角线交于点E，则于点E，

，，，故选A．
7．（23-24八年级下·山西太原·期末）如图，在中，，点，分别是，的中点，的平分线交于点，的平分线交于点．若，，则线段的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理得，由三角形中位线定理得，，，，结合角平分线的定义得，，进一步得，，即可得解．
【详解】解：∵，，，∴，
∵点，分别是，的中点，，，
∴，，，，
∴，，
∵平分，平分，∴，，
∴，，∴，，
∴，∴线段的长度为．故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，三角形中位线定理，角分平线的定义，平行线的性质，等角对等边等知识点．解题的关键是掌握勾股定理，三角形中位线定理．
8．（23-24八年级下·北京房山·期末）关于函数和函数，有以下结论：
①当时，的取值范围是；②随x的增大而增大；
③函数的图象与函数的图象的交点一定在第一象限；
④若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则。上述结论正确的是（ ）
A．①④B．②③C．③④D．①②
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象和性质，不等式的性质，掌握一次函数的图象和性质是正确解答的前提．
根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的增减性逐项进行判断即可．
【详解】解：①当时，，当时，，而一次函数，y随x的增大而增大，所以，所以①正确；
②一次函数，y随x的增大而减小，因此②不正确；
③联立，解得，则函数的图象与函数的图象的交点坐标为，当时，，此时交点在第四象限，所以③不正确；
④若点在函数图象上，在函数图象上，则， ，即，，当时，，即，因此④正确．综上所述，正确的结论有①④．故选A．
9．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ）

A．4B．5C．8D．10
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5．
【详解】解：∵四边形是正方形，∴，
又∵，∴，∴，
∴，
∵点M是的中点，∴；如图所示，在延长线上截取，连接，

∵，∴，
∴，∴，∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，∵，，
∴，∴，在中，由勾股定理得，
∴的最小值为5，故选：B．
10．（23-24八年级下·广西玉林·期中）如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，证出，证明，可得，求出，从而判断出①正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出②正确；求出，，证明，可得，判断出③正确；判断出不是等边三角形，从而得到，即，得到④错误．
【详解】解：在矩形中，平分，
，是等腰直角三角形，，
，，在和中，，
，，，
，，
，平分，故①正确；
，，，，
，，
，，，，故②正确；
，，
又，，在和中，
，，，，故③正确；
，，不是等边三角形，，
即，故④错误；故选：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）小北对数据36，26，36，46，5■，66进行统计分析，发现其中一个两位数的个位被墨水涂污看不到了，有如下统计量：平均数，中位数，众数，方差．其中计算结果与被涂污数字无关的统计量是
【答案】中位数，众数
【分析】本题考查的是平均数、中位数、众数、方差的概念和计算，根据平均数、中位数、众数、方差的计算方法判断即可．
【详解】解：不论被涂污数字是多少，这组数据的中位数是：，众数为36，
而被涂污数字变化时平均数、方差、会发生变化，故答案为：中位数，众数．
12．（23-24八年级下·山东·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，若点，点，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据菱形的性质和勾股定理得出，，进而利用坐标解答即可．
【详解】解：过作轴于，则四边形是矩形，∴，
四边形是菱形，，∴；
，，，设，，
在中，，即，解得：，
∵，∴，点的坐标为，故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理和菱形的性质，关键是根据菱形的四边相等、利用勾股定理建立方程解答．
13．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键．由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解．
【详解】解：由勾股定理得：，即，
，，由图形可知，阴影部分的面积为，
阴影部分的面积为，故答案：．
14．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，函数的图像与x、y轴分别交于点B和两点，与函数交于点C、D，若D点纵坐标为1，则的解集为
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，两条直线相交问题，求得、的坐标是解题的关键．由题意可知，，然后求得点的坐标，根据图象即可求解．
【详解】解：设，则，把代入得，，解得，，
，，把的坐标代入中，得，解得，，
解，得，，观察图象，的解集为．故答案：．
15．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，边长为4的正方形中，点E，F分别是对角线，边上一动点，连结，，．取，的中点分别记为H，G，连结，则长度的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理以及中位线定理，作，则为的中点，根据题意可得，由三角形中位线定理可得是解决问题的关键．
【详解】解：在正方形中，，则，
作，则为的中点，∴，由点到直线垂线段最短可知，，
∵，分别是，的中点，∴，
即：长度的最小值为，故答案为：．
16．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式：
，
，……．请运用以上的方法化简 ．
【答案】/
【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可．
【详解】解：；
故答案为：．
17．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若，，则的长为
【答案】
【分析】连接相交于于点，根据折叠的性质可得，进而得出四边形是平行四边形，设，则，，在中，利用勾股定理列出方程，求得，进而可得．
【详解】解：连接相交于于点，
将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，
，，，，
又将沿折叠，点恰好落在上的点处，，
，，，，
，，
，，，
又四边形是矩形，，，
四边形是平行四边形，，
设，则，，
，，，
，，在中，，
即，化简方程解得，，
，舍去，，．故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，平行四边形的性质与判定，矩形的性质等知识，掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．
18．（2024·四川成都·二模）在实数范围内，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，；设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，，则 ；若，则 ．
【答案】 14
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系得应用，方程改写为，则可求得，根据根于系数的关系求出方程的根，进而可求解，解题的关键是理解方程根与系数的关系．
【详解】解：关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，，
方程可以写成，
即：，，，
，，
即：，即：，
，或或，
，，，，故答案为：；14．
三、解答题（本大题共8小题，共78分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 其中：19-21 每题8分 22-24 每题10分 25-26 每题12分
19．（23-24八年级下·绵阳市·校考期末）（8分）计算和用适当的方法解下列方程：
(1)；(2)已知，，求代数式的值；
(3)； (4)
【答案】(1) (2)24 (3) (4)，
【分析】本题考查了二次根式的化简求值．（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后去括号合并即可．
（2）先把所求的代数式利用完全平方公式进行变形，然后代入求值．
（3）根据公式法解一元二次方程；（4）根据因式分解法解一元二次方程。
【详解】（1）原式（1分）
．（2分）
（2）∵
∴，，（3分）
．（4分）
（3）解：
，（5分）
，
，．（6分）
（4）
整理，得
因式分解，得（7分）
，；（8分）
20．（8分）（23-24八年级下·福建厦门·期末）九年级一班邀请A、B、C、D、E五位评委对甲、乙两位同学的才艺表演打分，并组织全班50名同学对两人民意测评投票，绘制了如下的统计表和不完整的条形统计图：
五位评委的打分表
并求得了五位评委对甲同学才艺表演所打分数的平均分和中位数：
（分）；中位数是91分．
(1)五位评委对乙同学才艺表演所打分数的平均分为 ，中位数为 ；
(2)= ，并补全条形统计图；
(3)为了从甲、乙二人中只选拔出一人去参加艺术节演出，班级制定了如下的选拔规则：
选拔规则：选拔综合分最高的同学参加艺术节演出，其中，
综合分才艺分测评分
才艺分五位评委所打分数中去掉一个最高分和去掉一个最低分，再算平均分；
测评分“好”票数分“较好”票数分“一般”票数分；
①当时，通过计算说明应选拔哪位同学去参加艺术节演出？
②通过计算说明的值不能是多少？
【答案】(1)；90(2)8；图形见解析(3)①甲同学，理由见解析；②
【分析】本题考查了中位数、加权平均数及条形统计图的知识，解题的关键是能够读懂题意，并能正确的识图，难度不大．（1）利用中位数及平均数的定义分别求解即可；
（2）用样本个数减去其他小组的频数即可求得a的值，从而补全统计图；
（3）分别根据打分要求确定两人的成绩，然后即可确定参选人员．
【详解】（1）解：分；中位数是90分；故答案为：；90（2分）
（2）解：，补全条形统计图，如图：
（4分）
（3）解：①甲的才艺分分，甲的测评分分，
甲的综合分分，（5分）
乙的才艺分分， 乙的测评分分，
乙的综合分分，（6分）
∵甲的综合分乙的综合分，∴应选拔甲同学去参加艺术节演出．
②甲的综合分，
乙的综合分，（7分）
∵从甲、乙二人中只选拔出一人去参加演出，∴，∴．（8分）
21．（8分）（23-24重庆市八年级期末）新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21．(1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？(2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽．
【答案】(1)4个(2)6米
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用：（1）设这种水果黄瓜每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是21，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案．
（2）设种植田的宽为米，则长为米，根据题意列一元二次方程组，解方程组，再根据对求出的根进行取舍．
【详解】（1）解：设这种水果黄瓜每个支干长出x个小分支，
由题意得：，（2分）
解得，（舍），
即这种水果黄瓜每个支干长出4个小分支；（4分）
（2）解：设种植田的宽为米，则长为米，
由题意得：，（5分）
整理得：，解得，，（6分）
当时，，不合题意，舍去；（7分）
当时，，符合题意；
综上可知，该种植田的宽为6米．（8分）
22．（10分）（23-24八年级下·江苏盐城·期末）四边形是平行四边形，E、F分别是、上的点，连接．(1)如图1，对角线、相交于点O，若经过点O，求证：．
(2)在如图2中，仅用无刻度的直尺作线段，使它满足：
①点M、N分别在、上；②．（不写画法，保留画图痕迹）
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）证明，即可证明；
（2）连接、，设、交于点O，连接并延长，交于点M，连接并延长，交于点N，连接即可．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，∴，，（2分）
∴，，∴，∴．（4分）
（2）解：如图，即为所求作的线段；
∵四边形为平行四边形，∴，，（6分）
∴，，∴，（7分）
∴，同理可得：，（8分）
∴，∴，即，（9分）
∵，∴四边形为平行四边形，∴．（10分）
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和平行四边形的判定方法．
23．（10分）（23-24八年级下·山东·专题练习）问题背景：在中，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将的面积直接填写在横线上： ；
思维拓展：（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为，，，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，求出它的面积．
探索创新：（3）若三边的长分别为（，，且），试运用构图法求出这三角形的面积．
【答案】（1）；（2）画图见解析，；（3）构图见解析，
【分析】本题主要考查了勾股定理及作图的知识，解答本题关键是仔细理解问题背景，熟练掌握勾股定理，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．
（1）利用割补法求解可得；（2）在网格中利用勾股定理分别作出边长为、、的首尾相接的三条线段，再利用割补法求解可得；（3）在网格中构建边长为和的矩形，同理作出边长为、，的三角形，最后同理可得这个三角形的面积．
【详解】解：（1）的面积为，故答案为：；（2分）
（2）如图，，，，
（4分）
由图可得：；故答案为：；（6分）
（3）构造所示，，（7分）
，，（9分）
∴．（10分）
24．（10分）（2024·黑龙江·二模）某生产车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也共同加工零件.设甲组加工时间为t（单位：小时），甲组加工零件的数量为（单位：个），乙组加工零件的数量为（单位：个），其函数图象如图所示.(1)a的值为 ；(2)求与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
(3)直接写出甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件数相差80个.
【答案】(1)280(2)与t之间的函数关系式是(3)2小时或6小时或8小时
【分析】（1）根据甲车间前三分种的数据算出甲车间生产效率，然后即可算出值；（2）运用待定系数法求解析式，即可作答．（3）根据题意和函数图象中的数据，可以写出甲各段对应的函数解析式；再结合“甲、乙两组加工零件数相差80个”进行列式计算，即可作答．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
【详解】（1）解：由图象可得，甲组的工作效率为：（个小时），
则，即甲组加工零件总量的值是280；（2分）
（2）解：设与t之间的函数关系式是把代入（3分）
得解得（4分）
∴与t之间的函数关系式是；（5分）
（3）解：当时，设甲组加工零件的数量与时间之间的函数关系式为，
点在该函数图象上，，解得，
即当时，甲组加工零件的数量与时间之间的函数关系式为；（6分）
当时，；
当时，设甲组加工零件的数量与时间之间的函数关系式为，
点，在该函数图象上，，解得，（7分）
即当时，甲组加工零件的数量与时间之间的函数关系式为；
由上可得，甲组加工零件的数量与时间之间的函数关系式是（8分）
依题意，当时，则解得；（9分）
当时，则 解得或8；
综上：甲组加工2小时或6小时或8小时，甲、乙两组加工零件数相差80个．（10分）
25．（12分）（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）【问题探究】
（1）如图1，在正方形中，对角线、相交于点．在线段上任取一点 (端点除外)，连接．点在线段的延长线上，连接，且．当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；探究与的数量关系，并说明理由．
【迁移探究】（2）如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）的大小不发生变化，理由见解析；
，理由见解析（2）理由见解析
【分析】本题考查正方形，菱形，三角形的知识，解题的关键是掌握正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，即可．
（1）作，，垂足分别为点，，根据正方形的判定和性质，则四边形是正方形，根据全等三角形的判定和性质，则，
得到，根据等量代换，即可；设，，根据正方形的性质，勾股定理的运用，求出，根据线段之间的数量关系，得到；再根据正方形的性质，勾股定理求出，根据全等三角形的性质，则，再根据线段间的数量关系，即可；
（2）作，，垂足分别为点，，令，，根据菱形的性质，全等三角形的判定和性质，则，得到，再根据等边三角形的判定，则是等边三角形，根据全等三角形的判定和性质，则，，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，则，最后根据线段间的数量关系，即可．
【详解】解∶（1）的大小不发生变化，，
作，，垂足分别为点， （1分）
∵四边形是正方形，，是对角线
∴，（2分）
∴∴四边形是正方形；∴
∵∴∴
∵∴；（3分）
，理由，如下：设，，（4分）
∵四边形是正方形，∴，，
∴，∴，（5分）
∵四边形是正方形，，是对角线，∴，
∴，
∴，（6分）
∵，∴，∴，
∵，∴，∴．（7分）
（2），理由：如下：作，，垂足分别为点，，令，，
∵四边形是菱形，，是对角线，（8分）
∴，，，，∴，
∵，∴，∴，（9分）
∵，，∴是等边三角形，∴，，
∵，，，（10分）
∴，∴，在中，，
∴，∴，∴，（11分）
∴，∵，
∴，∴．（12分）
26．（12分）（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点．(1)求的长；(2)如图1，点在轴的负半轴上，点在上，连接交轴于点，点为的中点，设点的横坐标为的面积为，求与的函数解析式；(3)如图2，在（2）的条件下，将射线绕点顺时针旋转，交轴的负半轴于点，连接，若，求S的值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定及性质、勾股定理，添加合适的辅助线是解题的关键．（1）令，可求出点A的坐标，从而得出，再根据勾股定理即可得出答案；
（2）过作于于，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，根据点C的坐标可得出，最后根据三角形面积公式即可得出答案；（3）根据题意可得出，根据角之间的关系可得出，设，可得出，在上截取，连接，利用证明，根据全等三角形的性质得出，过点作轴于点，利用证明，最后根据全等三角形的性质结合勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）对于，当时，，
在中，，（2分）
（2）过作于于
在和中，（4分）
， 设直线解析式为： （5分）
（6分）
；（7分）
（3），，
，且，
， （8分）
设，则，
，，
由题得：， （9分）
，
又
在上截取，连接，在和中
， （10分）
过点作轴于点，
，
在和中， （11分）
，
又，
在中，，
解得： （12分）

A
B
C
D
E
甲
89
91
93
94
86
乙
88
89
90
98
92