【开学考】2024年新九年级上册数学（重庆专用 ，人教版）-开学摸底考试卷

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：八年级下册+一元二次方程
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．由线段a,b,c组成的三角形，不是直角三角形的是（ ）
A．a=3,b=4,c=5B．a=5,b=12,c=13
C．a=8,b=15,c=17D．a=9,b=24,c=25
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，分别计算各选项中较短的两边的平方和是否等于最长边的平方，再根据勾股定理的逆定理可得答案．掌握利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形是解题的关键．
【详解】解：A、∵32+42=52，∴a=3，b=4，c=5组成的三角形是直角三角形，故不符合题意；
B、∵52+122=132，∴a=5,b=12,c=13组成的三角形是直角三角形，故不符合题意；
C、∵82+152=172，∴a=8，b=15，c=17组成的三角形是直角三角形，故不符合题意；
D、∵92+242≠252，∴a=9，b=24，c=25组成的三角形不是直角三角形，故符合题意；
故选：D．
2．若代数式x+5在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x≥-5C．x≥5D．x≤-5
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识点，根据二次根式有意义的条件可知x+5≥0，解不等式即可，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决此题的关键．
【详解】∵x+5在实数范围内有意义，
∴x+5≥0，
解得：x≥-5，
故选：B．
3．已知点A-1,y1，B3,y2都在一次函数y=x+2的图象上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1>y2B．y1=y2C．y1【答案】C
【分析】本题考查了一次函数值大小的比较，一次函数的性质；利用一次函数的增减性即可求解．
【详解】解：∵k=1>0，且-1<3，
∴y1故选：C．
4．关于x的一元二次方程mx2+3x-1=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤-94 B．m≥-94
C．m≥-94，m≠0D．m>-94，m≠0
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系成为解题的关键．
由于关于x的一元二次方程mx2+3x-1=0有实数根，由此可以得到m≠0，并且方程的判别式△≥0，由此即可求出m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2+3x-1=0有实数根，
∴m≠0且△=b2-4ac=9+4m≥0，
∴m≥-94且m≠0．
故选C．
5．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】A
【分析】本题主要考查正方形、矩形、菱形、平行四边形的判定，根据正方形、矩形、菱形、平行四边形的判定定理进行判定即可得到结论
【详解】解：A. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，说法正确，故选项A符合题意；
B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，故选项B不符合题意；
C. 对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故选项C不符合题意；
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原说法错误，故选项D不符合题意；
故选：A
6．旧衣物回收能够物尽其用，帮助更多需要帮助的人．向阳中学开展旧衣物回收活动，八（1）班40名学生捐赠旧衣物的情况如下：
八（1）班40名学生捐赠旧衣物数量的中位数和众数分别是（ ）
A．3，4B．3，5C．3，12D．4，12
【答案】A
【分析】一共40名学生，中位数应该是最中间两个数的平均数，由此即可求解．找出这组数据中出现次数最多的数据即为众数．
本题主要考查了中位数和众数．熟练掌握中位数和众数的定义是解题的关键．注意计算中位数时，要先把这组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列．
【详解】将这40个数据从小到大排列，排在第20位和第21位的数据均为3，
因此中位数为3+32=3；
这组数据中捐4件衣服的人最多，因此众数为：4，
故选：A．
7．估计1323+21的值应在（ ）
A．5和6之间B．4和5之间C．7和8之间D．6和7之间
【答案】B
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，根据二次根式混合运算法则计算得到结果，再估算结果的范围即可，正确掌握二次根式混合运算法则是解题的关键
【详解】解：原式=213×3+13×21
=2+7
∵2<7<3
∴4<2+7<5
故选：B.
8．如图，一次函数y=kx+b与y=x+2的图象相交于点Pm,4，则关于x的不等式kx+b>x+2的解集是（ ）
A．x<4B．x>4C．x>2D．x<2
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能根据函数图象求出不等式的解集是解题的关键．先利用解析式y=x+2确定P点坐标，然后结合函数图象写出y=kx+b在y=x+2上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：把P(m,4)代入y=x+2，得m+2=4，
解得m=2，
则P(2,4)，
由图象得关于x的不等式kx+b>x+2的解集为x<2．
故选：D
9．如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N分别在AB,CD上，将正方形沿MN折叠，使点D落在边BC上的点E处，折痕MN与DE相交于点Q，点G为EF中点，连接GQ，随着折痕MN位置的变化，GQ+QE的最小值为（ ）
A．3B．2+5C．4D．25
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质以及直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是取AD中点，利用轴对称的性质得出GQ+QE=QP+QC≥CP．
取AD中点P，连接QG、QP、QC，可得QP=QG，根据直角三角形斜边中线的性质可得CQ=12DE=QE，进而求出GQ+QE=QP+QC≥CP，然后利用勾股定理求出CP即可得出答案．
【详解】如图，取AD中点P，连接QP、QC，

∵正方形ABCD的边长为4，
∴∠BCD=90°，AD=CD=4
∴DP=12AD=2
由折叠的性质可知，QP=QG，Q为DE中点，
∵△CDE为直角三角形，
∴CQ=12DE=QE，
∴GQ+QE=QP+QC≥CP，
∵CP=CD2+PD2=42+22=25，
∴QP+QC≥25，
∴GQ+QE的最小值为25，
故选：D．
10．已知多项式A=2x2-10x-1,B=2x2-14x-3，其中x为任意实数，则下列结论中正确的有（ ）
①若A+B=44-28x，则x1=3,x2=4；
②若(A-2018)(A-2023)=20，则(A-2018)2+(A-2023)2=65；
③若A×B=0，则此关于x的方程一定有4个互不相等的实数解；
④若分式A+13B+27的值为整数，则整数x的值有4个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程，代数式的值，熟练掌握，正确运用所学知识是解题的关键．解方程求得方程的解即可判断①；由(A-2018)(A-2023)=20得到A2-4041A=20-2018×2023，(A-2018)2+(A-2023)2变形得到2(A2-4041A)+20182+20232，直接代入即可判断②；解得方程的解即可判断③．由A+13B+27=x2-5x+6x2-7x+12=x-2x-4=1+2x-4，即可确定整数x的值有3个，即可判断④．
【详解】若A+B=4x2-24x-4=44-28x，
化简得x2+x-12=0，
解得x1=3,x2=-4，
故①错误；
则ab=20,a-b=5，
设A-2018=a,A-2023=b，
∴(A-2018)2+(A-2023)2=a2+b2=(a-b)2+2ab=52+2×20=65，
故②正确；
若A×B=0，则A=0或B=0．
当A=2x2-10x-1=0时，Δ=108>0，
则此方程有两个不相等的实数解；
当B=2x2-14x-3=0时，Δ=220>0，
则此方程有两个不相等的实数解，
∴原方程共有4个不相等的实数解，故③正确；
A+13B+27=2x2-10x+122x2-14x+24=x2-5x+6x2-7x+12=(x-2)(x-3)(x-3)(x-4)=x-2x-4=1+2x-4．
∵分式的值为整数，
∴x-4=±1,±2，
解得x=3,5,2,6．
当x=3时，分母为0，舍去，
∴整数x的值有3个，故④错误．
综上，正确的结论有2个
故选：B

填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．一元二次方程3x2=27的解为： ．
【答案】x1=3，x2=-3
【分析】本题考查了解一元二次方程．根据解一元二次方程-直接开平方法，进行计算即可解答．
【详解】解：3x2=27，
x2=9，
x1=3，x2=-3，
故答案为：x1=3，x2=-3．
12．经统计，甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量（吨/公顷）和方差分别为：x甲=10，S甲2=0.02，x乙=10，S乙2=0.244，根据以上数据估计， 种水稻试验品种的产量更稳定．
【答案】甲
【分析】本题考查了方差和算术平均数，根据甲、乙的方差的大小得出答案即可．能熟记方差的有关内容（方差越小，波动越小，越稳定）是解此题的关键．
【详解】解：∵S甲2=0.02，S乙2=0.244，
又∵0.02<0.244，
∴甲种水稻试验品种的产量更稳定．
故答案为：甲．
13．已知点(a,b)在直线y=-3x-4上，则代数式6a+2b的值是 ．
【答案】-8
【分析】本题考查的是一次函数的性质，求解代数式的值，由函数的性质得到b=3a-2是解本题的关键．把(a,b)代入函数解析式y=-3x-4可得3a+b=-4，再代入代数式求值即可．
【详解】解：∵点(a,b)在直线y=-3x-4上，
∴ b=-3a-4，
即3a+b=-4，
∴ 6a+2b=23a+b=2×-4=-8，
故答案为：-8．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点P为边AD上一点，将△ABP沿BP翻折，点A的对应点E恰好落在CD的延长线上，且PE⊥CD，若CD=8，AD=6，则PA长度为 ．
【答案】83
【分析】本题考查平行四边形性质，勾股定理，翻折性质，三角形内角和定理等．根据题意利用平行线性质可得∠EBC=90°，利用勾股定理求得CE=10，继而设AP=x，则PD=6-x，再△PED中应用勾股定理即可得到本题答案．
【详解】解：∵平行四边形ABCD中，
∴∠A=∠C，
∵将△ABP沿BP翻折，点A的对应点E恰好落在CD的延长线上，
∴∠A=∠PEB，
∴∠PEB=∠C，
∵PE⊥CD，
∴∠PEB+∠BEC=90°，
∴∠C+∠BEC=90°，
∴∠EBC=90°，
∵CD=8，AD=6，
∴CE=62+82=10，
∴DE=2，
设AP=x，则PD=6-x，
∴在△PED中：x2+22=(6-x)2，解得：x=83，
∴AP=83，
故答案为：83．
15．如图，有一个长方体盒子，其长、宽、高分别是8cm、6cm、21cm，则该长方体盒子内可放入的木棒（木棒的粗细忽略不计）的长度最长是 cm．
【答案】11
【分析】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于理解最长的木棒和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线长组成了直角三角形．两次运用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方即可解决．
【详解】解：长和宽组成的长方形的对角线长为62+82=10cm．
这根最长的木棒和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形．
盒内可放木棒最长的长度是(21)2+102=11cm．
故答案为：11．
16．如图，一次函数y=34x+92的图象与y=kx+bk≠0的图象相交于点P-2,n，则关于x，y的方程组y=34x+92y=kx+b的解是 ．
【答案】x=-2y=3
【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解答本题的关键要明确：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，据此即可求解．
【详解】解：关于x,y的方程组y=34x+92y=kx+b的解，
即为一次函数y=34x+92的图象与y=kx+b的图象的交点坐标，
将P(-2,n)代入y=34x+92得：n=34×(-2)+92=3，
∴P(-2,3)，
故关于x,y的方程组y=34x+92y=kx+b的解是x=-2y=3．
故答案为：x=-2y=3．
17．若整数a使得关于x的一元一次不等式组x-43+1<3x-3x+a2≤x+32的解集为x>1，且使得关于y的分式方程2y-ay-1=-1+y-41-y的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之积为 ．
【答案】-15
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，分式方程的非负整数解，根据一元一次不等式组解集的定义，分式方程的整数解的意义进行计算即可．
【详解】解：不等式x-43+1<3x-3的解集为x>1，
关于x的不等式x+a2≤x+32的解集为x≥a-3，
∵关于x的一元一次不等式组x-43+1<3x-3x+a2≤x+32的解集为x>1，
∴a-3≤1，
∴a≤4，
将关于y的分式方程2y-ay-1=-1+y-41-y两边都乘以y-1得，
2y-a=1-y-y+4，
解得y=a+54，
由于关于y的分式方程2y-ay-1=-1+y-41-y的解为非负整数，
∴a+54≥0的整数，
∴a≥-5的整数，
由于分式方程有增根y=1，
当y=1时，即a+54=1，
解得a=-1，
因此a≠-1，
∴-5≤a≤4，且a≠-1，且y=a+54是整数，
∴a=-5或a=3，
∴所有满足条件的整数a的值之积为-5×3=-15．
故答案为：-15．
18．对于一个四位自然数M，如果它百位上的数字与十位上的数字的和等于千位上的数字与个位上的数字的和，则称M为“和对称数”．对于一个“和对称数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N，规定：F(M)=M-N9．在2367、7934中选出“和对称数”，并计算相应的F(M)= ；已知A，B均为“和对称数”，其中A=1000a+10b+526，B=100m+n+2030（其1≤a≤9，0≤b≤7，0≤m≤8，1≤n≤9且均为整数），令k=F(A)-2F(B)，若k能被13整除，则当F(A)+F(B)取最小值时，B= ．
【答案】 -34 2039
【分析】本题考查了因式分解的应用，整式的加减运算的应用，新定义运算，理解新定义是解题的关键．根据新定义运算直接判断，再根据新定义的含义列式计算即可；根据新定义先分别计算FA，FB，再根据F(A)+F(B)与k=F(A)-2F(B)，k能被13整除，进一步解答即可．
【详解】解：∵3+6=2+7，
∴2367是和对称数，
∵9+3=12≠7+4，
∴7934不是和对称数，
∵2367是和对称数，
∴N=2673，
∴F(M)=M-N9=2367-26739=-34，
∵1≤a≤9，0≤b≤7，
A=1000a+10b+526
=1000a+500+10b+2+6，
∴N=1000a+100b+2+60+5，
∴FA=1000a+10b+526-1000a-100b+2-659
=-10b+29，
∵0≤m≤8，1≤n≤9
B=100m+n+2030
=2000+100m+30+n，
∴N=2000+300+10n+m，
∴FB=100m+n+2030-2000-300-10n-m9
=11m-n-30，
∴F(A)+F(B)=-10b+11m-n-1，
∵F(A)+F(B)最小，
∴m=0，b，n取最大，
∴k=F(A)-2F(B)
=-10b+29-22m+2n+60
=-10b-22m+2n+89，
=-13b-13m+78+3b-9m+2n+11
=-13b+m-6+3b-9m+2n+11
∴3b+2n+11能够被13整除，而b，n取最大，
∴b=7，n=9，经检验符合题意；
B=100×0+9+2030=2039
故答案为：-34；2039；
解答题（本大题共8小题，共78分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 其中：19 每题8分 20-26 每题10分
19．（8分）解方程：
(1)x2+8x=4
(2)x(3x+1)-5(x-1)=0
【答案】(1)x1=25-4，x2=-25-4；
(2)无解
【分析】本题考查的是解一元二次方程组，掌握一元二次方程组的解法是解题关键．
（1）利用配方法解一元二次方程组即可；
（2）利用公式法解一元二次方程组即可．
【详解】（1）解：x2+8x=4，
配方得：x2+8x+16=4+16，即x+42=20，
∴x+4=±25，
∴x1=25-4，x2=-25-4；
（2）解：x3x+1-5x-1=0，
整理得：3x2-4x+5=0，
其中，a=3，b=-4，c=5，
∴Δ=b2-4ac=-42-4×3×5=-44<0，
∴该方程无解．
20．（10分）学习了矩形后，小莉进行了拓展性研究．她发现：过矩形的一对对角的顶点分别作连接矩形另两个顶点所形成的对角线的垂线段，得到两个垂足，这两个垂足与这一对对角的两个顶点为顶点构成的四边形形状是平行四边形．为了证明这个发现，她的解决思路是通过证明这两条垂线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
(1)用直尺和圆规，过点A作BD的垂线，垂足为点F，连接CF．（只保留作图痕迹）
(2)已知：如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O，过C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的垂线，垂足为点F，连接CF、AE．
求证：四边形AECF为平行四边形
证明：∵CE⊥BD，AF⊥BD，∴∠CEO=∠AFO=①_____°
∴②____∥___
∵四边形ABCD是矩形
∴OA=③______
又∵∠COE=∠AOF
∴△AOF≌△COEAAS
∴④______
∴四边形AECF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
小莉再进一步研究发现，当矩形对角线夹角为60°时，过矩形的一对对角的顶点分别作另两个顶点所形成的对角线的垂线段，得到两个垂足，这两个垂足与这一对对角的两个顶点为顶点构成的四边形形状均有此特征，而此时得到的平行四边形的面积和矩形的面积的数量关系是：⑤______．
【答案】(1)见解析
(2)①90；②AF,CE；③OC；④AF=CE；⑤平行四边形的面积等于矩形的面积的一半
【分析】本题考查尺规作图、矩形的性质、平行四边形的判定、等边三角形的判定和性质等：
（1）过直线BD外一点A作BD的垂线即可；
（2）根据平行四边形的判定定理，结合已知证明过程逐项推导论证即可；当矩形对角线夹角为60°时，矩形两条对角线将矩形分成的四个三角形中两个锐角三角形为等边三角形，根据“三线合一”的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：补全后的证明过程如下：
证明：∵CE⊥BD，AF⊥BD，∴∠CEO=∠AFO=①90°
∴②AF∥CE
∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OC③
又∵∠COE=∠AOF
∴△AOF≌△COEAAS
∴④AF=CE
∴四边形AECF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
⑤平行四边形的面积等于矩形的面积的一半，理由如下：
如图，四边形ABCD是矩形，CE⊥BD，AF⊥BD，∠AOB=∠COD=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，OC=OD，
∵∠AOB=∠COD=60°，
∴△AOB，△COD为等边三角形，
∵CE⊥BD，AF⊥BD，
∴BF=OF，DE=OE，
∴S△AOF=12S△AOB，S△COF=12S△BOC，S△CEO=12S△COD，S△AOE=12S△AOD，
∴S▱AECF=12S矩形ABCD．
21．（10分）为配合我区进行的垃圾分类工作，某校进行了“垃圾分类，责任在心”的知识讲座，随后进行了有关垃圾分类的知识竞赛．现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：70≤x<80，B：80≤x<90，C：90≤x≤100．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97：
八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：81，82，84，88，88．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a=______，b=______，m=______．
(2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
(3)若七年级共有600名学生参赛，八年级共有500名学生参赛，请通过计算，估计七、八年级参赛学生中成绩为优秀的人数．
【答案】(1)86，84，30；
(2)八年级的成绩更好，理由见解析；
(3)330名．
【分析】（1）根据中位数、众数的定义及扇形统计图解答即可求解；
（2）根据平均数、中位数和众数和方差的意义即可判断说明；
（3）用七、八年级参赛的学生人数乘以对应的成绩为优秀的人数的占比，再相加即可求解；
本题考查了扇形统计图，平均数、中位数、众数和方差，样本估计总体，看懂题意是解题的关键．
【详解】（1）解：由扇形统计图可得，八年级A等级的有10×20%=2人，
把八年级10名同学的成绩从小到大排列，排在中间的数分别是84，88，
∴中位数 a=84+882=86，
在74，75，84，84，84，86，86，95，95，97中，出现次数最多的是84，
∴众数b=84，
∵m%=1-20%-510×100%=30%，
∴m=30，
故答案为：86，84，30；
（2）解：八年级的成绩更好，
理由如下： 因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于七年级，
所以八年级的成绩更好；
（3）解：600×310+500×30%=330，
答：七、八年级参赛学生中成绩为优秀的人数为330名．
22．（10分）2024年端午节小长假恰巧遇上高考，元祖食品店特别推出“冰淇淋粽”礼盒和“事事高中”礼盒．甲公司从元祖店购买了这两种部分礼盒发给员工作为福利，甲公司采购人员发现，购买“事事高中”礼盒的单价是“冰淇淋粽”礼盒单价的1.5倍，且花费6000元购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量比花费7200元购买的“事事高中”礼盒的数量多5盒．
(1)求“冰淇淋粽”和“事事高中”粽子礼盒的单价分别为多少元；
(2)两种粽子礼盒在市场上颇受欢迎，元祖食品店决定对这两种礼盒进行进一步促销．其中每盒“冰淇淋粽”礼盒降价6m元，每盒“事事高中”粽子礼盒降价5m元．乙公司也决定购买以上两种礼盒发放给员工作为福利，乙公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量和甲公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量一样，乙公司购买“事事高中”礼盒的数量比甲公司购买“事事高中”礼盒的数量多56m盒，最后乙公司的总花费与甲公司的总花费相同，求m的值．
【答案】(1)“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为240元，“事事高中”粽子礼盒的单价为360元
(2)12
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是：
（1）设“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为x元，则“事事高中”粽子礼盒的单价为1.5x元，根据“花费6000元购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量比花费7200元购买的“事事高中”礼盒的数量多5盒”列方程求解即可；
（2）根据“乙公司的总花费与甲公司的总花费相同”列方程求解即可．
【详解】（1）解∶ 设“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为x元，则“事事高中”粽子礼盒的单价为1.5x元，
根据题意，得6000x=72001.5x+5，
解得x=240，
经检验，x=240是原方程的解，
∴1.5x=360，
答：“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为240元，“事事高中”粽子礼盒的单价为360元；
（2）解：由（1）知：甲公司购买“冰淇淋粽”粽子礼盒6000240=25盒，“事事高中”粽子礼盒25-5=20元，
根据题意，得25240-6m+360-5m20+56m=6000+7200，
整理得50m-56m2=0
解得m=12或m=0（舍去），
∴m的值为12．
23．（10分）如图，甲，乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时15海里的速度沿着北偏东75°方向航行，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船在B处改变航向，沿南偏东60°方向航行，结果甲，乙两船在小岛C处相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（结果保留根号）

(1)港口A与小岛C之间的距离；
(2)甲船从B处行至小岛C的速度．
【答案】(1)15+153海里
(2)56海里/时
【分析】（1）自B作BM⊥AC，垂足为M，根据题意知AB=30，可推知∠BAC=30°，∠MBC=45°，分别在Rt△ABM与Rt△BCM中依据已知的特殊角、已知边AB，可逐一求出BM、AM、MC、BC的长，于是AC的长度可求出．
（2）先依据AC的距离与乙船航行的速度可求得乙船航行的时间，然后求出甲船从B处行至小岛C的时间，最后求得甲船此段航行的速度．
【详解】（1）
如图，过点B作BM⊥AC，垂足为M，

由题意得，∠BAC=75°-45°=30°，∠ABM=90°-∠BAC=60°，
设BN指示南北方向，点N在线段AC上，则∠ABN=45°，
∴∠MBN=∠ABM-∠ABN=60°-45°=15°．
由题意知，∠CBN=60°，
∴∠MBC=∠CBN-∠MBN=60°-15°=45°，
在Rt△ABM中，∠BAM=30°，AB=30海里，
∴BM=12AB=15海里，AM=AB2-BM2=302-152=153海里，
在Rt△BCM中，∠MBC=45°，
∴BM=MC=15海里，
∴AC=AM+MC=(15+153)海里，
答：港口A与小岛C之间的距离为(15+153)海里；
（2）
在Rt△BCM中，∠MBC=45°，BM=MC=15海里，
∴BC=2BM=152 （海里），
∴乙船行驶的时间为15+15315=1+3小时，
∴甲船从B处行至小岛C的时间为1+3-1=3（小时）．
∴甲船从B处行至小岛C的速度为1523=56（海里/时），
答：甲船从B处行至小岛C的速度为56海里/时．
【点睛】
本题主要考查了与方向角有关的计算题，涉及勾股定理的应用、含30°角的直角三角形等知识点，解题的关键是准确理解“方向角”．
24．（10分）如图1，菱形ABCD的周长为24，∠ABC=60°，点G为对角线BD上一点，且BG=4．动点P从点O出发，沿O→A→B移动到点B时停止运动（点P不与点O、点B重合）．设点P的运动路程为x，△PBG的面积为y．
请回答以下问题：
(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：
(2)在图2的平面直角坐标系中画出y与x的函数图像，并写出该函数的一条性质；
(3)若y1=-x2+5的函数图像如图2所示，结合你画出的y与x的函数图像，直接写出当y【答案】(1)y=2x(0(2)见解析
(3)0【分析】此题考查了菱形的性质，动点问题的函数图象，解题关键是利用分类讨论思想，求出y与x的函数关系式和数形结合思想的应用．
（1）首先根据菱形的性质得到AB=BC=CD=AD=6，AC⊥BD，然后求出AO=12AB=3，然后分两种情况讨论：点P在OA上运动时和点P在AB上运动时，分别求解即可；
（2）根据（1）求出的表达式画出图象，进而求解即可；
（3）根据图象求解即可．
【详解】（1）∵菱形ABCD的周长为24，
∴AB=BC=CD=AD=6，AC⊥BD
∵∠ABC=60°
∴∠ABD=12∠ABC=30°
∴AO=12AB=3
∴当点P在OA上运动时，即0如图所示，当点P在AB上运动时，即3≤x<9时，过点P作PE⊥BO于点E，
∴BP=AB+AO-x=6+3-x=9-x
∴PE=12BP=129-x
y=12BG⋅PE=12×4×129-x=9-x
综上所述，y=2x(0（2）如下图所示，
0当x=3时，y有最大值6，无最小值．（答案不唯一）
（3）根据图象得，
当y25．（10分）如图，一次函数y=kx+b的图象交x轴于点A，OA=4，与正比例函数y=-3x的图象交于点B，点B的横坐标为-1．

(1)求一次函数y=kx+b的解析式；
(2)若点C在y轴上，且满足S△BOC=12S△AOB，求点C的坐标；
(3)一次函数y=kx+b有一点D，点D的纵坐标为1，点M为坐标轴上一动点，在函数y=-3x上确定一点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一个情况的过程．
【答案】(1)y=x+4
(2)点C的坐标为0,6，0,-6
(3)点N的坐标为N1-23,2,N223,-2,N32,-6，N4-2,6，过程见解析
【分析】（1）由待定系数法求直线解析式即可；
（2）由题意可得S△BOC=3=12OC⋅xB，求C点坐标即可；
（3）先得出D-3,1，分当点M在x轴上时，设Mm,0，当点M在y轴上时，设M0,m，每种都需要进行分类讨论．
【详解】（1）解：∵点B在函数y=-3x上，点B的横坐标为-1；
∴B-1,3；
∵OA=4；
∴A-4,0，
由题意，得0=-4k+b3=-k+b，
解之，得k=1b=4；
∴一次函数的解析式为y=x+4；
（2）解：设点C的坐标为0,m，
∵S△AOB=12AO⋅yB=12×4×3=6,S△BOC=12S△AOB；
∴S△BOC=3=12OC⋅xB；
则12m×1=3,m=±6；
点C的坐标为0,6，0,-6；
（3）解：由题意，得：点D-3,1；
当点M在x轴上时，设Mm,0；
①点D的对应点为点M1，点B的对应点为点N1，纵坐标都减少1，则N1的纵坐标为2，点N1在函数y=-3x上，
∴N1-23,2；
②点B的对应点为点M2，点D的对应点为点N2，纵坐标都减少3，则N2的纵坐标为－2，点N2在函数y=-3x上，
∴N223,-2；
当点M在y轴上时，设M0,m；
①点D的对应点为点M3，点B的对应点为点N3，横坐标都增加3，则N3的横坐标为2，点N3在函数y=-3x上，
∴N32,-6；
②点B的对应点为点M4，点D的对应点为点N4，横坐标都增加1，则N4的横坐标为－2，点N4在函数y=-3x上，
∴N4-2,6．
综上所述，点N的坐标为N1-23,2,N223,-2,N32,-6，N4-2,6．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
26．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE、CE，且BE=CE,BE⊥CE，点F是CE上一动点，连接BF．

(1)如图1，若点F是CE的中点，BF=5，求平行四边形ABCD的面积．
(2)如图2，若AB⊥BF，连接DF，试探究AB、BF、DF三者之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，以BF为直角边作等腰直角△BFG，∠GBF=90°，连接GE，若DE=32,CD=5，请直接写出当点F在运动过程中，△BEG周长的最小值．
【答案】(1)20
(2)AB+DF=BF，理由见解析
(3)7+75
【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质求解BE，CE，再求解△BEC的面积，从而可得平行四边形的面积；
（2）如图，延长BE，CD交于点K，先证明△BEF≌△CEK，再证明△KED≌△FED，再结合平行四边形的性质可得BF=CK=CD+DK=AB+DF；
（3）如图，过G作GR∥BE，交CB的延长线于R，过B作SB⊥BC，交GR于S，先证明G在RS上运动，作B关于RS的对称点B'，连接B'E，交RS于G'，C△G'BE=BE+BG'+G'E=BE+B'G'+G'E=BE+B'E，确定三角形周长最小时G的位置，再过D作DH⊥CE于H, 分别求解HE,DH,CH,CE,BE,BC,BS,BR,BT,BB',再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵F是EC的中点，
∴ 设EF=FC=x,EC=2x,
∵BE=CE，BE⊥CE，BF=5，
∴BE=2x ，
∴2x2+x2=25,
解得：x=5，（负根舍去）
∴BE=EC=25，
作EL⊥BC于点L，
∴S△BEC=12BE2=12×252=10=12BC⋅EL ，则BC⋅EL=20，
∴S▱ABCD=BC⋅EL=20；
（2）AB+DF=BF．理由如下：
如图，延长BE，CD交于点K，
在▱ABCD中，AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，
∴∠ABE=∠K,
∵∠BF⊥AB，BE⊥CE，BE=CE，
∴∠ABE+∠FBE=90°=∠FBE+∠EFB，∠BEF=∠KEC=90°，
∴∠ABE=∠EFB ，
∴∠K=∠EFB，
∴△BEF≌△CEK,
∴BF=CK,EF=EK,
∵BE=CE,BE⊥CE,
∴∠EBC=∠ECB=45°,
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC=45°=∠KED，∠DEC=∠ECB=45°，
∴∠KED=∠FED,
∵KE=FE，ED=ED，
∴△KED≌△FED，
∴FD=KD，
∴BF=CK=CD+DK=AB+DF.
（3）如图，过G作GR∥BE，交CB的延长线于R，过B作SB⊥BC，交GR于S，
∴∠R=∠EBC=45°，
∴∠GSB=∠FCB=45°，
∵GB⊥BF，SB⊥BC，
∴∠GBS+∠SBF=∠SBF+∠FBC=90°，
∴∠GBS=∠FBC，
∵ 等腰直角三角形FBG，
∴BG=BF，
∴△GBS≌△FBC，
∴G在RS上运动，BS=BC，
如图，作B关于RS的对称点B'，连接B'E，交RS于G'，
C△G'BE=BE+BG'+G'E=BE+B'G'+G'E=BE+B'E，
此时周长最短，

过D作DH⊥CE于H，由（2）可知：∠DEH=45°，而DE=32，CD=5，
∴HE=HD=3，HC=CD2-DH2=4，
∴BE=CE=7，BC=72，
则BR=BS=BC=72，△BRT是等腰直角三角形，则BT=TR=TS，
∴2BT2=722，
∴BT=7，BB'=14，
∵∠TBS=∠EBC=45°，
∴∠B'BE=90°，
∴B'E=142+72=75，
∴C△G'BE=BE+B'E=7+75，
即△BEG的周长的最小值是7+75
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，轴对称的性质，动点的轨迹，灵活应用以上知识是解题的关键.
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平均数
中位数
众数
方差
七年级
86
85
b
56
八年级
86
a
88
62.4