【开学考】2024年新九年级上册数学（福建专用，人教版）开学摸底考试卷

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一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小愿给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
二、填空题：（本题共6小愿，每小题4分，共24分）
11.， 12.（﹣2，1） 13.10
14. 22 15.120 16.①②④
三、解答题：本题共9小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（8分）
【解答】解：（1）∵a＝1、b＝﹣2、c＝﹣2，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12＞0，
则x=2±232=1±3，
∴x1＝1+3、x2＝1-3；
（2）∵（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，即3（x﹣3）（x﹣1）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得：x＝3或x＝1．
18．（8分）【分析】（1）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）把平行四边形的面积看成两个三角形面积的和即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1（﹣3，﹣2），B1（﹣5，0）；
（2）四边形AB1A1B的面积＝2×12×8×2＝16．
19．（8分）已知二次函数y＝x2﹣6x+5，请回答下列问题：
（1）其图象与x轴的交点坐标为 （1，0）和（5，0） ；
（2）当x满足 1＜x＜5 时，y＜0；
（3）当﹣1≤x≤4时，函数y的取值范围是 ﹣4≤y≤12 ．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，
解得：x＝1或x＝5，
∴它与x轴的交点坐标为（1，0）和（5，0）；
故答案为：（1，0）和（5，0）；
（2）∵抛物线y＝x2﹣6x+5开口向上，与x轴的交点坐标为（1，0）和（5，0）；
∴当1＜x＜5 时，y＜0；
故答案为：1＜x＜5；
（3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴顶点坐标为（3，﹣4），
∴x＝3时，有最小值﹣4，
当x＝﹣1时，y＝1+6+5＝12，
∴当﹣1≤x≤4时，y的范围是﹣4≤y≤12．
故答案为：﹣4≤y≤12．
20.【答案】AF=CE，．理由见解答．
【解析】
【分析】先证，再证△ABE≌△CDF得AE=CF，得四边形AECF是平行四边形；由平行四边形的性质即可解决问题．
【详解】解∶ AF=CE， ，理由如下∶
∵四边形ABCD是矩形，
∴， AB=CD ．
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD， CF⊥BD，
∴，
∴，
在△A BE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF ( AAS )，
∴AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF=CE， ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
21．（8分）
【解答】解：（1）甲的平均数为：5+6×2+7×4+8×2+910=7，故：a＝7；
乙的成绩中位数为：（7+8）÷2＝7.5，故：b＝7.5；
乙的方差为：S2=12(16+9+1+0+0+1+1+1+4+9)=4.1，故：c＝4.1
答：a，b，c的值分别为：7，7.5，4.1．
（2）从平均数上看，甲、乙二人相同，
从中位数看，甲的为7，乙的为7.5，乙的好一些；
从众数看，甲的是7，乙的是8，乙的较好，
从方差上看；甲的1.2，乙的4.1，甲比乙稳定，
但综合考虑，乙虽然不稳定，但他的中位数大，有打到满分的可能性，即有创造奇迹的可能，我认为乙的成绩较好．
22.（10分）
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交AB于点D，连接CD，点D即为所求；
（2）根点C作CH⊥AB于点H，求出AB，CH可得结论．
【小问1详解】
解：如图，点D即为所求；
【小问2详解】
解：过点C作CH⊥AB于点H．
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DC＝DB，
∴∠B＝∠DCB＝15°，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝30°，
∵∠ACB＝105°，
∴∠ACD＝90°，
∵CD＝，
∴AC＝CD•tan30°＝1，
∴AD＝2AC＝2，CH＝CD＝，
∵AB＝AD+BD＝2+，
∴S△ABC＝•AB•CH＝×（2+）×＝．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．（10分）
【解答】解：（1）设该公司生产销售每件商品的成本为z元，
依题意得：150（1﹣12%）＝（1+10%）z，
解得：z＝120，
答：该公司生产销售每件商品的成本为120元；
（2）由题意得（﹣2x+24）[150（1+x%）﹣120]＝660，
整理得：x2+8x﹣20＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣10，
此时，商品定价为每件135元或153元，日销售利润为660元；
（3）设利润为W元，由题意
W＝[150（1+x%）﹣120﹣a]•（﹣2x+24）＝﹣3x2+（2a﹣24）x+720﹣24a，
对称轴x=-2a-24-6=a3-4，
由题意，a3-4≤-2a≥1，
解得：1≤a≤6．
24．（12分）
【分析】（1）由旋转的性质可得AD＝AE，∠DAE＝60°，由“SAS”可证△ACD≌△ABE，可得∠ABE＝∠ACD＝60°，由余角的性质可得结论；
（2）由直角三角形的性质可求BG=12BD，DG=32BD，FG＝EG=32BD，由全等三角形的性质可得BE＝CD=32BD-12BD，即可求解；
（3）由等腰直角三角形的性质可求OG＝1，由三角形的三边关系可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵将线段AD以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE＝DE，∠ADE＝∠DAE＝∠AED＝60°，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝∠BAE，
又∵AE＝AD，AB＝AC，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD＝60°，
∴∠DBG＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝60°，
∵点D关于直线BE的对称点为F，
∴BG⊥DF，FG＝DG，
∴∠BDF＝90°﹣60°＝30°；
（2）∵∠BDF＝30°，GB⊥DF，
∴BG=12BD，DG=3BG=32BD，
∵∠EFG＝45°，BG⊥DF，
∴∠EFG＝∠FEG＝45°，
∴FG＝EG=32BD，
∴BE＝EG﹣BG=32BD-12BD，
∵△ACD≌△ABE，
∴BE＝CD=32BD-12BD，
∵AC＝BC＝BD+CD=3+1，
∴BD+32BD-12BD=3+1，
∴BD＝2；
（3）如图2，连接OG，
∵∠DNM＝90°，DN＝MN=2，
∴DM=2DN＝2，
∵DG＝FG＝EG=32BD，BD＝2，
∴DG＝FG＝EG=3，
又∵点O为FM的中点，
∴OG=12DM＝1，
在△EGO中，EO＜EG+GO，
∴当点G，点O，点E三点共线时，EO的最大值＝EG+GO=3+1，
∵BC=3+1，
∴EO的最大值等于BC．
25. （14分）
【答案】（1），A(﹣4，0)
（2）①P(﹣1，3)或(﹣3，2)；②
【解析】
【分析】（1）将B（1，0），C（0，2）代入，即可求函数的解析式；
（2）①先求直线AC的解析式，过P作PG//y轴交AC于点G，设，则，则S△APC＝﹣t2﹣4t＝3，求出t的值即可求P（﹣1，3）或（﹣3，2）；②先求直线BC的解析式，设，则直线PD的解析式为，可求，再由，则当时，PD有最大值．
【小问1详解】
将B（1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴，
令y＝0，则，
解得x＝﹣4或x＝1，
∴A（﹣4，0）；
【小问2详解】
①设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴，
过P作PG//y轴交AC于点G，
设，则，
∴，
∴，
解得t＝﹣1或t＝﹣3，
∴P(﹣1，3)或(﹣3，2)；
②设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣2x+2，
∵PD//BC，
设，则直线PD的解析式为，
∴，
∴PD＝，
∵，
∴=（t-1）（t+4）<0，
∴PD=，
∴当时，PD有最大值．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，两直线平行，k值相等的性质是解题的关键。1
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