初中数学浙教版九年级上册3.8 弧长及扇形的面积复习练习题

这是一份初中数学浙教版九年级上册3.8 弧长及扇形的面积复习练习题，共21页。
例1．如图，点A,B,C在半径为3的⊙O上，∠ACB=30°，则AB的长为（ ）
A．3B．π2C．πD．3π2
变式1-1．如图，在扇形纸扇中，若∠AOB=150°，OA=24，则AB的长为（ ）
A．30πB．25πC．20πD．10π
变式1-2．如图，△ABC的顶点B，C落在⊙O上，AB经过圆心O，AC与⊙O相交于点D，已知∠A=20°，∠CBD=50°，BC=2，则CD的长为（ ）
A．5π9B．10π9C．πD．20π9
考点二：求扇形半径
例2．一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm2，那么这个扇形的弧长为（ ）cm．
A．3πB．2πC．23 πD．12 π
变式2-1．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆形的半径为1，扇形的圆心角等于60°，则这个扇形的半径R的值是（ ）
A．3B．6C．9D．12
变式2-2．已知扇形的弧长为6πcm，该所对圆心角为90°，则此扇形的半径为（ ）
A．3cmB．6cmC．12cmD．18cm
考点三：求某点的弧形运动路径
例3．如图，已知在△ABC中∠B=90°,AB=3cm,BC=4cm，现将△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到△ADE，那么在旋转的过程中，点C所走过的路径长为（ ）．

A．52cmB．54πcmC．52πcmD．5πcm
变式3-1．如图，半径为2，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一动点P，从点P作PH⊥OA于点H，设△OPH的三个内角平分线交于点M，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，点M所经过的路径长是（ ）
A．πB．22πC．2πD．2π
变式3-2．如图，在打开房门时，将门扇绕着门轴逆时针旋转160°后可以开到最大，若门扇的宽度OA=90cm，则旋转过程中点A经过的路径长为（ ）
A．60πcmB．80πcmC．100πcmD．120πcm
考点四：求扇形面积
例4．荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2的扇形环面（由扇形OAB挖去扇形OCD），∠AOB=108°，OC的长度是10cm，OA的长度是30cm，则该环形荷花装饰挂画的面积是（ ）
A．160πcm2B．240πcm2C．360πcm2D．480πcm2
变式4-1．传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似的看作扇环，其中AD长度为13π米，裙长AB为0.6米，圆心角∠AOD=60°，则马面裙的面积为 平方米．
变式4-2．在源远流长的岁月中，扇子除日用外，还孕育着中华文化艺术的智慧，凝聚了古今工艺美术之精华．将如图①所示的扇子完全打开后可近似看成如图②所示的几何图形，外侧两根竹条OA、OB的夹角∠AOB=120°，点O为AB和CD所在圆的圆心，点C、D分别在OA、OB上，经测量，OA=27cm，AC=18cm，则贴纸部分（即图②中阴影部分）的面积为（ ）
A．243πcm2B．240πcm2C．216πcm2D．108πcm2
考点五：求弓形面积
例5．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC=30∘，在直径AB上截取AD=AC，延长CD交⊙O于点E，若CE=2，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．2B．π2−1C．π−2D．π2
变式5-1．如图，已知点C、D在⊙O上，直径AB=6，弦AC、BD相交于点E．若CE=BC，则阴影部分面积为（ ）
A．π−493B．94π−92C．32π−493D．32π−92
变式5-2．如图，在四边形ABCD中，先以点A为圆心，AB长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，CB长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若AB=23，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．4π−63B．2π−33C．433π−63D．233π−33
考点六：求不规则图形面积
例6．如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若AD=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．32−8πB．163−4π
C．32−4πD．163−8π
变式6-1．如图，在⊙O中，直径AB=8，点D为AB上方圆上的一点，∠ABD=30°，OE⊥BD于点E，点P是OE上一点，连接DP，AP，得出下列结论：
Ⅰ：阴影部分的面积随着点P的位置的改变而改变，其最小值为83π．
Ⅱ：阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为8+43π．
下列判断正确的是（ ）．
A．只有Ⅰ正确B．只有Ⅱ正确C．Ⅰ、Ⅱ都正确D．Ⅰ、Ⅱ都不正确
变式6-2．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AC于点D，以点B为圆心，AB的长为半径画弧交BC于点E，且这条弧恰好也经过点D，若AC=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π3−3B．23−2π3C．23−π3D．3−π3
参考答案
考点一： 求弧长
例1．如图，点A,B,C在半径为3的⊙O上，∠ACB=30°，则AB的长为（ ）
A．3B．π2C．πD．3π2
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理，弧长的计算．根据∠ACB=30°，先计算∠AOB=2∠ACB=60°，再用弧长公式计算即可．
【详解】解：∵ ∠ACB=30°
∴∠AOB=2∠ACB=60°
∴ AB⌢=60π×3180=π．
故选：C．
变式1-1．如图，在扇形纸扇中，若∠AOB=150°，OA=24，则AB的长为（ ）
A．30πB．25πC．20πD．10π
【答案】C
【分析】本题考查了弧长，根据弧长公式∶l=nπr180求解即可．
【详解】解∵∠AOB=150°，OA=24，
∴AB的长为150π×24180=20π，
故选∶C．
变式1-2．如图，△ABC的顶点B，C落在⊙O上，AB经过圆心O，AC与⊙O相交于点D，已知∠A=20°，∠CBD=50°，BC=2，则CD的长为（ ）
A．5π9B．10π9C．πD．20π9
【答案】B
【分析】连接OC，OD，有圆周角定理得出∠COD=100°，由等边对等角结合三角形内角和定理得出∠ODC=∠OCD=40°，由三角形外角的定义及性质得出∠A=∠DOA=20°，证明△OBC是等边三角形，得出OC=BC=2，最后再由弧长公式计算即可得出答案．
【详解】解：连接OC，OD，
∵∠CBD=50°，
∴∠COD=100°，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD=180°−∠COD2=40°，
∵∠A+∠DOA=∠ODC，∠A=20°，
∴∠A=∠DOA=20°，
∴∠BOC=180°−∠DOA−∠COD=180°−100°−20°=60°，
∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC=BC=2，
∴CD的长为：100π×2180=10π9．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
考点二：求扇形半径
例2．一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm2，那么这个扇形的弧长为（ ）cm．
A．3πB．2πC．23 πD．12 π
【答案】B
【分析】根据扇形的面积求出半径，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：设扇形的半径为r，
则：nπr2360=120πr2360=3π，
∴r=3（负值已舍掉）；
∴这个扇形的弧长为=120180π×3=2πcm；
故选B．
【点睛】本题考查求弧长．熟练掌握扇形的面积公式和弧长公式，是解题的关键．
变式2-1．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆形的半径为1，扇形的圆心角等于60°，则这个扇形的半径R的值是（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】B
【分析】根据扇形的弧长与圆的周长相等，列方程求解即可．
【详解】解：由题意可得：2π=60πR180，解得R=6，
故选：B
【点睛】本题考查扇形弧长公式，圆的周长，掌握扇形弧长公式，圆的周长公式，抓住扇形弧长与圆的周长相等构造等式是解题关键．
变式2-2．已知扇形的弧长为6πcm，该所对圆心角为90°，则此扇形的半径为（ ）
A．3cmB．6cmC．12cmD．18cm
【答案】C
【分析】本题考查了用弧长公式计算扇形半径，扇形的半径为rcm，然后用弧长公式l=nπr180即可求解，熟记弧长公式l=nπr180是解题的关键．
【详解】设扇形的半径为rcm，
∴6π=90πr180，
解得：r=12cm，
故选：C．
考点三：求某点的弧形运动路径
例3．如图，已知在△ABC中∠B=90°,AB=3cm,BC=4cm，现将△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到△ADE，那么在旋转的过程中，点C所走过的路径长为（ ）．

A．52cmB．54πcmC．52πcmD．5πcm
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，旋转性质，弧长公式，根据弧长公式计算即可．
【详解】根据题意，得∠B=90°,AB=3cm,BC=4cm，
故AC=AB2+BC2=5cm，
又∠CAE=90°，
故CE=90×π×5180=52π，
故选C．
变式3-1．如图，半径为2，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一动点P，从点P作PH⊥OA于点H，设△OPH的三个内角平分线交于点M，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，点M所经过的路径长是（ ）
A．πB．22πC．2πD．2π
【答案】B
【分析】本题考查了弧长的计算公式：l=nπR180，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质．如图，连接AM，由△OPH的内心为M，可得到∠PMO=135°，并且易证△OPM≌△OAMSAS，得到∠AIO=∠PIO=135°，所以点M在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A、M、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，在优弧AO取点N，连接NA，NO，可得∠ANO=180°−135°=45°，得∠AO′O=90°，O′O=22OA=22×2=2，然后利用弧长公式计算弧OA的长即可．
【详解】解：如图，连接AM，
∵△OPH的内心为M，
∴∠MOP=∠MOA，∠MPO=∠MPH，
∴∠PMO=180°−∠MPO−∠MOP=180°−12(∠HOP+∠OPH)，
∵PH⊥OA，
∴∠PHO=90°，
∴∠PMO=180°−12(∠HOP+∠OPH)=180°−12(180°−90°)=135°，
又∵OP=OA，OM为公共边，
而∠MOP=∠MOA，
∴△OPM≌△OAMSAS，
∴∠AMO=∠PMO=135°，
所以点M在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；
过A、M、O三点作⊙O′，如图，连接O′A，O′O，在优弧AO取点N，连接NA，NO，
∵∠AMO=135°，
∴∠ANO=180°−135°=45°，
∴∠AO′O=90°，
∵OA=2，
∴O′O=22OA=22×2=2，
∴弧OA的长=90×π×2180=2π2，
所以内心M所经过的路径长为2π2．
故选：B．
变式3-2．如图，在打开房门时，将门扇绕着门轴逆时针旋转160°后可以开到最大，若门扇的宽度OA=90cm，则旋转过程中点A经过的路径长为（ ）
A．60πcmB．80πcmC．100πcmD．120πcm
【答案】B
【分析】本题考查弧长的应用，解题的关键是掌握弧长公式，据此解答即可．
【详解】解：旋转过程中点A经过的路径长为：160π×90180=80πcm．
故选：B．
考点四：求扇形面积
例4．荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2的扇形环面（由扇形OAB挖去扇形OCD），∠AOB=108°，OC的长度是10cm，OA的长度是30cm，则该环形荷花装饰挂画的面积是（ ）
A．160πcm2B．240πcm2C．360πcm2D．480πcm2
【答案】B
【分析】此题考查了扇形面积，利用较大扇形面积减去较小扇形面积即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，该环形荷花装饰挂画的面积是：
108π×302360−108π×102360=240πcm2，
故选：B
变式4-1．传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似的看作扇环，其中AD长度为13π米，裙长AB为0.6米，圆心角∠AOD=60°，则马面裙的面积为 平方米．
【答案】1350π
【分析】本题考查了弧长公式，扇形的面积公式．由题意知，lAD=60π⋅OA180=13π，求得OA=1，得到OB=85米，由马面裙的面积S=S扇形BOC−S扇形AOD，结合扇形的面积公式计算求解即可．
【详解】解：由题意知，lAD=60π⋅OA180=13π，
解得OA=1，
∵裙长AB为0.6米，
∴OB=85米，
∴马面裙的面积S=S扇形BOC−S扇形AOD=60π⋅852360−60π⋅12360=1350πcm2．
故答案为：1350π．
变式4-2．在源远流长的岁月中，扇子除日用外，还孕育着中华文化艺术的智慧，凝聚了古今工艺美术之精华．将如图①所示的扇子完全打开后可近似看成如图②所示的几何图形，外侧两根竹条OA、OB的夹角∠AOB=120°，点O为AB和CD所在圆的圆心，点C、D分别在OA、OB上，经测量，OA=27cm，AC=18cm，则贴纸部分（即图②中阴影部分）的面积为（ ）
A．243πcm2B．240πcm2C．216πcm2D．108πcm2
【答案】C
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，解题关键是熟练掌握扇形的面积公式．
先根据已知条件求出OC，然后根据阴影部分的面积=扇形AOB的面积−扇形COD的面积，进行计算即可．
【详解】解：由题意可知：∠AOB=∠COD=120°，
∵OA=27cm，AC=18(cm)，
∴OC=OA−AC=27−18=9(cm)，
∴阴影部分的面积=扇形AOB的面积−扇形COD的面积
=120π×272360−120π×92360
=243π−27π
=216π(cm2)，
∴贴纸部分（即图②中阴影部分）的面积为216πcm2，
故选：C．
考点五：求弓形面积
例5．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC=30∘，在直径AB上截取AD=AC，延长CD交⊙O于点E，若CE=2，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．2B．π2−1C．π−2D．π2
【答案】B
【分析】如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，求出∠ADC=∠ACD=75°，由圆周角定理得∠AOE=150°，得∠EOD=30°，由三角形外角的性质得∠OEC=45°,∠FOC=90°，由垂径定理得EF=1，根据勾股定理得OE=2，根据S阴影=S扇形EOF−S△EOF求解即可．
【详解】解：如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，

则EF=12CE=12×2=1，
∵AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD，
∵∠A=30°，
∴∠ADC=∠ACD=12×(180°−30°)=75°，
∴∠AOE=2∠ACD=150°，
∴∠EOD=30°，
又∠OED+∠EOD=∠ODC=75°，
∴∠OED=75°−∠EOD=75°−30°=45°，
∴∠EOF=∠OEF=45°，
∴OF=EF=1，
∴OE=OF2+EF2=22+22=2，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OFE=45°，
∴∠EOC=90°，
∴S阴影=S扇形EOF−S△EOF=90⋅π(2)2360−12×2×1=π2−1．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，扇形面积等知识，求出扇形的半径和圆心角是解答本题的关键．
变式5-1．如图，已知点C、D在⊙O上，直径AB=6，弦AC、BD相交于点E．若CE=BC，则阴影部分面积为（ ）
A．π−493B．94π−92C．32π−493D．32π−92
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理和弧之间的关系，扇形的面积等．连接OD，OC，根据CE=BC，得出∠DBC=∠CEB=45°，进而得到∠DOC=90°，利用S阴影=S扇形COD−S△COD即可求解．
【详解】解：连接OD，OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE=BC，
∴∠DBC=∠CEB=45°，
∴∠DOC=90°，
∴S阴影=S扇形COD−S△COD=90π×32360−12×3×3= =94π−92，
故选：B．
变式5-2．如图，在四边形ABCD中，先以点A为圆心，AB长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，CB长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若AB=23，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．4π−63B．2π−33C．433π−63D．233π−33
【答案】A
【分析】本题考查了扇形的面积、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．连接AC，过点B作BE⊥AC于点E，先证出△ABC是等边三角形，再根据图中阴影部分的面积等于S扇形ABC+S扇形CAB−2S△ABC求解即可得．
【详解】解：如图，连接AC，过点B作BE⊥AC于点E，

由题意可知，AB=AC,BC=AC=23，
∴AB=AC=BC=23，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°,AE=12AC=3，
∴BE=AB2−AE2=3，
∴S△ABC=12AC⋅BE=12×23×3=33，
则图中阴影部分的面积为S扇形ABC+S扇形CAB−2S△ABC
=60×π×232360+60×π×232360−63
=4π−63，
故选：A．
考点六：求不规则图形面积
例6．如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若AD=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．32−8πB．163−4π
C．32−4πD．163−8π
【答案】D
【分析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识．根据题意可得AC=2AD=8，由勾股定理得出AB=43，用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论．
【详解】解：连接AC，
根据题意可得AC=2AD=8，
∵矩形ABCD，∴AD=BC=4，∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AB=AC2−BC2=43，
∴图中阴影部分的面积=4×43−2×90π×42360=163−8π．
故选：D．
变式6-1．如图，在⊙O中，直径AB=8，点D为AB上方圆上的一点，∠ABD=30°，OE⊥BD于点E，点P是OE上一点，连接DP，AP，得出下列结论：
Ⅰ：阴影部分的面积随着点P的位置的改变而改变，其最小值为83π．
Ⅱ：阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为8+43π．
下列判断正确的是（ ）．
A．只有Ⅰ正确B．只有Ⅱ正确C．Ⅰ、Ⅱ都正确D．Ⅰ、Ⅱ都不正确
【答案】B
【分析】此题考查了扇形面积和弧长、垂径定理、圆周角定理等知识，连接OD、AD、PB，证明S△AOD=S△PAD，得到阴影部分的面积为S扇形AOD=60π×42360=83π，即可判断Ⅰ；证明当A、P、E三点共线时，AP+DP取得最小值，最小值为AB的长度，即为8，得到阴影部分的周长的最小值为8+60π×4180=8+4π3，即可判断Ⅱ．
【详解】解：连接OD、AD、PB，
∵∠ABD=30°，
∴∠AOD=2∠ABD=60°，
∵AO=DO=4，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠BOD=120°，
∵OD=OB=4，
∴△OBD是等腰三角形，
∵OE⊥BD于点E，
∴∠DOE=∠BOE=12∠BOD=60°，
∴∠DOE=∠ADO，
∴OE∥AD，
∴S△AOD=S△PAD，
∴阴影部分的面积为S扇形AOD=60π×42360=83π
∴阴影部分的面积随着点P的位置的改变而不改变，其值为83π．
故Ⅰ错误；
∵PE垂直平分BD，
∴点D与点B关于OE对称，
∴DP=PB，
当A、P、B三点共线时，AP+DP取得最小值，最小值为AB的长度，即为8，
∴阴影部分的周长的最小值为8+60π×4180=8+4π3，
∴阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为8+43π．
故Ⅱ正确；
故选：B
变式6-2．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AC于点D，以点B为圆心，AB的长为半径画弧交BC于点E，且这条弧恰好也经过点D，若AC=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π3−3B．23−2π3C．23−π3D．3−π3
【答案】D
【分析】本题考查了圆中不规则图形的面积求法，熟练掌握割补法、勾股定理、等边三角形的性质与判定是解题的关键．连接BD，先判定△ABD是等边三角形，得出有关三角形的角度，再利用勾股定理、30°直角三角形的性质进行边的求解，最后利用割补法求面积．
【详解】解：如图，连接BD，
∵以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AC于点D，
∴AB=AD，
∵以点B为圆心，AB的长为半径画弧交BC于点E，且这条弧恰好也经过点D，
∴AB=BD=BE，
∴AB=AD=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠A=∠ABD=60°，
∵∠ABC=90°，AC=4，
∴∠C=30°，∠DBC=30°，
∴AB=AD=12AC=2，BC=3AB=23，
∴D为AC中点，
∴S△ABD=12S△ABC=12×12×2×23=3，
∴S阴影=S扇形DBE−S扇形BAD−S△ABD=30π×22360−60π×22360−3=3−π3，
故选：D．