2022-2023学年陕西省西安市西咸新区秦汉中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年陕西省西安市西咸新区秦汉中学八年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中，是最简二次根式的是( )
A. 13B. 8C. 27D. 2
2.在平面直角坐标系中，将点P(−3,2)向右平移3个单位得到点P′，则点P′关于x轴的对称点的坐标为( )
A. (0,−2)B. (0,2)C. (−6,2)D. (−6,−2)
3.一组数据5，2，6，9，5，3的众数、中位数、平均数分别是( )
A. 5，5，6B. 9，5，5C. 5，5，5D. 2，6，5
4.如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2=( )
A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°
5.两个一次函数y=−32x+3和y=2x−4的交点坐标为(a,b)，那么下列方程组中，解为x=ay=b的是( )
A. y−3x=62x+y=−4B. 3x+6+y=02x−4−y=0
C. 3x−2y=−62x−y−4=0D. 3x+2y=62x−y=4
6.如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE.若∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°，则∠1的大小为( )
A. 60°
B. 70°
C. 75°
D. 85°
7.一次函数y=(m−1)xm2−3+m的函数值y随x的增大而增大，则该函数的图象经过( )
A. 第一、三、四象限B. 第一、二、三象限C. 第一、二、四象限D. 第二、三、四象限
8.如图所示，已知点C(2,0)，直线y=−x+6与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB、OA上的动点，当△CDE的周长取最小值时，点D的坐标为( )
A. (2,1)
B. (3,2)
C. (73,2)
D. (103,83)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.比较大小： 24______5(填“>”或“<”)．
10.已知四个数的和为33，其中一个数为12，那么其余三个数的平均数是______ ．
11.一次函数y=(a−32)x|2−a|+a2+6的图象过一、二、三象限，则a=______．
12.一个两位数的各位数字之和为8，十位数字与个位数字互换后，所得新数比原数小18，则原来的两位数是______ ．
13.如图，在平面直角坐标系中，直线y=− 3x+3分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C为线AB的中点，若点D是经过点A，且与y轴平行的直线上的一个动点，则OD+CD的最小值为______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
14.已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨，某物流公司现有26吨货物，计划A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)l辆A型车和l辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案：
(3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱车方案，并求出最少租车费．
四、解答题：本题共11小题，共73分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
解方程组：
(1)x−y=24x−3y=5；
(2)x6−y2=−1323x+34y=1712．
16.(本小题5分)
如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A=∠1，CE/​/DF，求证：∠E=∠F．
17.(本小题5分)
口罩是疫情防控的重要物资，某药店销售A、B两种品牌口罩，购买1盒A品牌和1盒B品牌的口罩共需180元；购买3盒A品牌和1盒B品牌的口罩共需380元，求这两种品牌口罩的单价．
18.(本小题5分)
如图，已知直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线AB上有一点Q(2,b)．
(1)求点A、B、Q的坐标；
(2)若点P在x轴上，且PO=24，求△APQ的面积．
19.(本小题6分)
已知一次函数y=kx+b的图象如图所示．
(1)求k，b的值；
(2)请在图中作出函数y=2x+6的图象；
(3)利用图象解答下列问题：当y=kx+b的函数值大于y=2x+6的函数值时，求x的取值范围．
20.(本小题6分)
已知：如图，BC⊥AC于点C，CD⊥AB于点D，∠EBC=∠A，求证：BE/​/CD．
21.(本小题6分)
如图所示，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M，求证：2∠M=∠ACB−∠B．
22.(本小题7分)
为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制处如图统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次接受随机抽样调查的男生人数为______ ，图①中m的值为______ ．
(2)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数、中位数．
(3)若规定引体向上6次及以上为该项目良好，根据样本数据，估计该校320名男生中该项目良好的人数．
(4)根据良好人数，为了中招体育测试能有更多人得到高分，请你给该校男生提出一些相关建议(最少两条)．
23.(本小题7分)
如图，AD//BC，∠C=∠A=90°，将四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．
(1)求证：△ABF≌△EDF；
(2)将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点G正好重合，连接DG，若AB=6，BC=8，求DG的长．
24.(本小题8分)
某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费.月用电量不超过210度时，按0.55元/度计费；月用电量超过210度时，其中的210度仍按0.55元/度计费，超过部分按0.60元/度计费.设每户家庭月用电量为x度时，应交电费y元．
(1)分别求出当0≤x≤210和x>210时，y与x之间的函数关系式；
(2)小李家12月份交电费145.5元，则小李家这个月用电多少度？
25.(本小题10分)
如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(5,0)，点B在第一象限内，且使得AB=4，OB=3．
(1)试判断△AOB的形状，并说明理由；
(2)在第二象限内是否存在一点P，使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点C为线段OB上一动点，点D为线段BA上一动点，且始终满足OC=BD.求AC+OD的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A． 13= 33，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B. 8=2 2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C. 27= 147，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D. 2是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式，①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了坐标与图形变化−平移，以及轴对称中的坐标变化，属于基础题．
首先根据平移中的坐标变化规律求出点P′的坐标，然后再根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可．
【解答】
解：∵将点P(−3,2)向右平移3个单位得到点P′，
∴点P′的坐标是(0,2)，
∴点P′关于x轴的对称点的坐标是(0,−2)．
故选A．
3.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了众数、中位数和平均数，关键是掌握三种数的概念．
直接根据概念求解即可
【解答】解：5出现了2次，次数最多，则众数是5；
将5，2，6，9，5，3按从小到大排列为：2，3，5，5，6，9，
则中间两个数的平均数为5，则中位数为5；
平均数：5+2+6+9+5+36=5，
故选C．
4.【答案】C
【解析】解：如图所示：
∵∠1与∠4是对顶角，∠2与∠3是对顶角，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∴此三角形是直角三角形，
∴∠3+∠4=90°，即∠1+∠2=90°．
故选：C．
根据题意画出图形，再根据对顶角相等及直角三角形的性质解答即可．
本题考查的是直角三角形的性质及对顶角相等的有关知识，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵两个一次函数y=−32x+3和y=2x−4的交点坐标为(a,b)，
∴解为x=ay=b的是方程组为y=−32x+3y=2x−4，即3x+2y=62x−y=4．
故选：D．
由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．那么所求方程组的解即为两函数的交点坐标．
考查了一次函数与二元一次方程组的知识，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
6.【答案】B
【解析】解：如图，
∵∠1=∠BFD=180−(∠B+∠ADB)，∠ADB=∠A+∠C，
∴∠1=180°−(∠B+∠A+∠C)，
=180°−(25°+35°+50°)，
=180°−110°，
=70°，
故选：B．
由三角形的内角和定理，可得∠1=180−(∠B+∠ADB)，由三角形外角性质可得∠ADB=∠A+∠C，所以∠1=180°−(∠B+∠A+∠C)，由此解答即可．
本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质，掌握这些知识点是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵y=(m−1)xm2−3+m是一次函数，
∴m2−3=1，
解得：m=±2，
∵函数值y随x的增大而增大，
∴m−1>0，
∴m=2，
∴一次函数的解析式为y=x+2，经过一、二、三象限，
故选：B．
根据一次函数的定义确定m的值，从而确定m−1的符号，然后确定答案即可．
此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，同学们应熟练掌握一次函数y=kx+b的性质．当k>0，y随x的增大而增大，图象一定过第一、三象限；当k<0，y随x的增大而减小，图象一定过第二、四象限；当b>0，图象与y轴的交点在x轴上方；当b=0，图象过原点；当b<0，图象与y轴的交点在x轴下方．
8.【答案】D
【解析】解：如图，点C关于OA的对称点C′(−2,0)，点C关于直线AB的对称点C″，
∵直线AB的解析式为y=−x+6，
∴直线CC″的解析式为y=x−2，
由y=−x+6y=x−2解得：x=4y=2，
∴直线AB与直线CC″的交点坐标为K(4,2)，
∵K是CC″中点，
∴可得C″(6,4)．
连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，
设直线C′C″的解析式为y=kx+b，
∴−2k+b=06k+b=4，解得k=12b=1，
∴直线C′C″的解析式为y=12x+1，
解y=12x+1y=−x+6得x=103y=83，
∴D(103,83)，
故选：D．
点C关于OA的对称点C′(−2,0)，点C关于直线AB的对称点C″(6,4)，连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，解y=−x+6y=x−2求得K的坐标，进而求得C″的坐标，然后根据待定系数法求得直线C′C″的解析式，然后与直线AB的解析式联立，解方程组即可．
本题考查轴对称−最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点D、点E位置．
9.【答案】<
【解析】解：∵5= 25，
∴4< 24<5，
∴ 24<5，
故答案为：<．
先估算出 24的范围，即可得出答案．
本题考查了实数的大小比较和算术平方根，能估算出 24的范围是解此题的关键．
10.【答案】7
【解析】解：其余三个数据的和为33−12=21，
故这三个数据的平均数为213=7．
故答案为：7．
先求出其它三个数的和，再根据平均数的概念求解即可．
本题考查了平均数的定义．平均数等于所有数据的和除以数据的个数．
11.【答案】3
【解析】解：∵一次函数y=(a−32)x|2−a|+a2+6的图象过一、二、三象限，
∴|2−a|=1a−32>0a2+6>0，
解得：a=1或a=3，
∵1−32=−12<0，
∴a=1不符合题意舍去，
∴a=3．
故答案为：3．
根据一次函数的定义和性质列式计算即可．
本题主要考查了一次函数的定义和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的定义和性质．
12.【答案】53
【解析】解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为y．
则x+y=8(10y+x)−(10x+y)=18，
解得x=3y=5，
∴10y+x=53，
故答案为：53．
求两位数一般应设它个数位上的数字为未知数．本题中的两个等量关系为：十位数字+个位数字=8，原数−新数=18.根据这两个等量关系可列出方程组．
本题此题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是涉及两位数与各数位上的数字之间的关系．那么，两位数=10×十位数字+个位数字，是应掌握的知识点．
13.【答案】3
【解析】解：对于直线y=− 3x+3，
令x=0，则y=3，令y=0，即0=− 3x+3，解得x= 3，
故点A、B的坐标分别为( 3,0)，(0,3)，
在Rt△AOB中，点C是AB的中点，则点C( 32,32)，
如图，设经过点A且与y轴平行的直线为直线l，过点C作直线l的对称点C′(3 32,32)，
连接OC′交直线l于点D′，则点D′为所求点，
此时OD′+CD′的最小值=OD′+C′D′=C′O为最小，
OC′= (3 32)2+(32)2=3，
故OD′+CD′的最小值为3．
故答案为：3．
先求出点A、B的坐标，再求出点C的坐标，设经过点A且与y轴平行的直线为直线l，过点C作直线l的对称点C′(3 32,32)，连接OC′交直线l于点D′，则点D′为所求点，进而求解．
本题属于一次函数综合题，轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
14.【答案】解：(1)设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货λ吨、μ吨，
由题意得：2λ+μ=10λ+2μ=11，
解得：λ=3，μ=4．
故1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨．
(2)由题意和(1)得：3a+4b=26，
∵a、b均为非负整数，
∴a=6b=2或a=2b=5，
∴共有2种租车方案：
①租A型车6辆，B型车2辆，
②租A型车2辆，B型车5辆．
(3)方案①的租金为：6×100+2×120=840(元)，
方案②的租金为：2×100+5×120=800(元)，
∵840>800，
∴最省钱的租车方案为方案②，租车费用为800元．
【解析】(1)根据2辆A型车和1辆B型车装满货物=10吨；1辆A型车和2辆B型车装满货物=11吨，列出方程组即可解决问题．
(2)由题意得到3a+4b=26，根据a、b均为正整数，即可求出a、b的值．
(3)求出每种方案下的租金数，经比较、分析，即可解决问题．
该题主要考查了列二元一次方程组或二元一次方程来解决现实生活中的实际应用问题；解题的关键是深入把握题意，准确找出命题中隐含的数量关系，正确列出方程或方程组来分析、推理、解答．
15.【答案】解：(1)x−y=2①4x−3y=5②，
②−①×3，得x=−1，
把x=−1代入①，得y=−3，
故原方程组的解为x=−1y=−3；
(2)原方程组整理，得x−3y=−2①8x+9y=17②，
①×3+②，得11x=11，
解得x=1，
把x=1代入①，得y=1，
故原方程组的解为x=1y=1．
【解析】(1)用②−①×3，消去未知数y，可得x的值，再把x的值代入①求出y的值即可；
(2)方程组整理后，利用加减消元法求解即可．
本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握“利用代入法与加减法解二元一次方程组的步骤”是解本题的关键．
16.【答案】证明：∵∠1=∠A，
∴AE/​/BF，
∴∠2=∠E．
∵CE//DF，
∴∠2=∠F，
∴∠E=∠F．
【解析】先根据同位角相等两直线平行得出AE/​/BF，再根据两直线平行内错角相等可得∠2=∠E，∠2=∠F，即可求解．
本题考查了平行线的性质和判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
17.【答案】解：设A品牌口罩的单价为x元/盒，B品牌口罩的单价为y元/盒．
由题意得：x+y=1803x+y=380，
解得x=100y=80，
因此A品牌口罩的单价为100元/盒，B品牌口罩的单价为80元/盒．
【解析】设A品牌口罩的单价为x元，B品牌口罩的单价为y元，根据所给数量关系列二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查二元一次方程组的实际应用，根据所给数量关系列出二元一次方程组是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当x=0时，y=2x+4=2×0+4=4，
∴B(0,4)，
当y=0时，0=2x+4，解得x=−2，
∴A(−2,0)，
将Q(2,b)代入y=2x+4得b=2×2+4=8，
∴Q(2,8)；
(2)∵点P在x轴上，且PO=24，
∴P点坐标为(−24,0)或(24,0)，
∴当P点坐标为(−24,0)时，AP=−2−(−24)=22△APQ的面积=12×AP×yQ=12×22×8=88；
∴当P点坐标为(24,0)时，AP=24−(−2)=26△APQ的面积=12×AP×yQ=12×26×8=104；
综上所述，△APQ的面积为88或104．
【解析】(1)分别当x=0和y=0时求出A和B的坐标，将Q(2,b)代入y=2x+4即可求出点Q的坐标；
(2)首先根据题意得到点P的坐标，然后利用三角形面积公式求解即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求三角形面积，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)由图得：一次函数y=kx+b的图象经过点(3,0)，点B(0,3)，
∴3k+b=0b=3，
解得k=−1b=3；
(2)如图，
(3)当y=kx+b的函数值大于y=2x+6的函数值时，x的取值范围是x<−1．
【解析】(1)先写出交点点的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
(2)利用描点法画直线y=2x+6；
(3)利用所画图象，写出直线y=kx+b在直线y=2x+6上方所对应的自变量的值即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
20.【答案】解：∵BC⊥AC，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠DCA=∠A+∠DCA，
∴∠BCD=∠A，
∵∠EBC=∠A，
∴∠EBC=∠BCD，
∴BE‖CD．
【解析】根据垂直的定义得到∠BCD+∠DCA=∠A+∠DCA，等量代换可得∠EBC=∠BCD，再根据平行线的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
21.【答案】证明：在△AEP与△AFP中，
∠1=∠2AP=AP∠APE=∠APF，
∴△AEP≌△AFP(ASA)，
∴∠AEP=∠AFP(全等三角形的性质)，
又∵∠AEP=∠B+∠M①，∠ACB=∠AFP+∠M②，
∴①+②得，2∠M=∠AEP+∠ACB−∠B−∠AFP=∠ACB−∠B，
∴2∠M=(∠ACB−∠B)．
【解析】由题中条件可得△AEP≌△AFP，∠AEP=∠AFP，而∠AEP=∠B+∠M，∠ACB=∠AFP+∠M，代入即可证．
本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知三角形外角的性质是解答此题的关键．
22.【答案】40 25
【解析】解：(1)6+12+10+8+4=40(名)，
10÷40×100%=25%，即m=25，
故答案为：40，25；
(2)平均数为4×6+5×12+6×10+7×8+8×440=5.8(次)，
这40名男生引体向上的次数出现最多的是5次，共出现12次，因此众数是5次，
将这40名男生引体向上的次数从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数是6+62=6次，因此中位数是6次，
答：平均数是5.8，中位数是6，众数是5；
(3)320×10+8+440=176(人)，
答：答：该校320名男生中该项目良好的人数大约为176人；
(4)加强对“5次”男生的训练，使其进入“良好”行列；每名男生均要积极训练力争取得更加优异的成绩．
(1)将各组数据求和即可，再根据频率=频数总数进行计算即可；
(2)根据平均数、总数、中位数的定义进行解答即可；
(3)求出样本中“良好”所占的百分比，估计总体的百分比，进而求出“良好”的人数；
(4)根据提高“良好率”采取建议即可．
本题考查众数、中位数、平均数以及样本估计总体，理解众数、中位数、平均数的意义，掌握众数、中位数、平均数的计算方法是解决问题的前提．
23.【答案】(1)证明：∵AD/​/BC，∠C=∠A=90°，
∴四这形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠C=∠A=90°，
由折叠的性质可知：DE=CD，∠C=∠E=90°，
∴AB=DE，∠A=∠E=90°，
又∵∠AFB=∠EFD，
∴△ABF≌△EDF(AAS)；
(2)解：∵AD/​/BC，
∴∠ADB=∠DBG，
由折叠的性质可得，∠ADB=∠GDB，
∴∠GBD=∠GDB，
∴BG=DG，
设GC为x，则BG=DG=8−x，
在Rt△DCG中，由勾股定理可得，DG2=GC2+CD2，
即(8−x)2=x2+62，
解得x=74，
∴DG=8−74=254．
【解析】(1)根据矩形的判定与性质可得AB=CD，∠C=∠A=90°，再根据折叠的性质可得DE=CD，∠C=∠E=90°，然后利用“角角边”证明即可；
(2)根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBG，由折叠的性质可得∠ADB=∠GDB，从而得到∠GBD=∠GDB，根据等角对等边可得BG=DG，设GC=x，表示出DG，然后利用勾股定理列方程求解即可．
本题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，翻折前后对应边相等，对应角相等，(2)利用勾股定理列出方程是解题的关键．
24.【答案】解：(1)当0≤x≤210时，y与x的函数解析式是y=0.55x；
当x>210时，y与x的函数解析式：y=0.55×210+0.6(x−210)=0.6x−10.5；
(2)因为小李家12月份的电费超过115.5元，
所以把y=145.5代入y=0.6x−10.5中，
解得x=260．
答：小李家12月份用电260度．
【解析】(1)0≤x≤210时，电费y就是0.55乘以相应度数；x>210时，电费y=0.55×210+超过210的度数×0.6；
(2)把145.5代入x>210得到的函数解析式中，求解即可．
本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
25.【答案】解：(1)△AOB是以B为直角顶点的直角三角形，理由如下：
∵A(5,0)，
∴OA=5，
∴AB2+OB2=42+32=25=52=OA2，
∴△AOB是以OA为斜边的直角三角形；
(2)存在，如图，当∠POB=90°，分别过点B，P作BE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，
∴OB=OP=3，
∵S△AOB=12BO⋅AB=12OA⋅BE，
∴BE=OB⋅ABOA=125，
∴OE= OB2−BE2=95，
∵∠PFO=∠POB=∠OEB=90°，
∴∠POF+∠OPF=90°，∠POF+∠BOE=90°，
∴∠OPF=∠BOE，
在△OPF与△BOE中，
∠OFP=∠BEO∠OPF=∠BOEOP=BO，
∴△OPF≌△BOE(AAS)，
∴OF=BE=125，PF=OE=95，
∵P在第二象限，
∴P(−125,95)；
如图，当∠PBO=90°，分别过点B，P作BE⊥x轴于E，PF⊥BE的延长线于F，交y轴于D，
同理可求出BE=125，OE=95，
同理可证明△PFB≌△BEO(AAS)，
∴BF=OE=95，PF=BE=125，
∴EF=BE+BF=215，PD=PF−DF=PF−OE=35，
∵P在第二象限，
∴P(−35,215)，
综上，存在点P，使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形，P(−125,95)或(−35,215)；
(3)如图，过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，
∴HO=BO，∠HOC=∠OBD=90°，
又∵OC=DB，
∴△HOC≌△OBD(SAS)，
∴OD=HC，
∴AC+OD=AC+HC，
∴要使AC+OD最小，则AC+CH最小，
∴当A、C、H三点共线时，AC+CH最小，即AC+OD有最小值为AH的长，
由(2)知，H(−125,95)，
∴AH= (−125−5)2+(95)2= 58，
即AC+OD有最小值为 58．
【解析】本题是三角形综合题，主要考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
(1)利用勾股定理的逆定理证明；
(2)当∠POB=90°，分别过点B，P作BE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，首先利用等积法求出BE的长，再利用AAS证明△OPF≌△BOE，得OF=BE=125，PF=OE=95，即可得出点P的坐标；当∠PBO=90°，同理可求；
(3)过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，利用SAS证明△HOC≌△OBD，得OD=HC，则当A、C、H三点共线时，AC+CH最小，即AC+OD有最小值为AH的长．