2022-2023学年陕西省渭南市富平县八年级（下）月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省渭南市富平县八年级（下）月考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列用数轴表示不等式组的解集，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图，在等腰中，，是边上的高，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  若，则下列判断不一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，直线与坐标轴的两个交点分别为和，则不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图所示，在中，，，于，是的平分线，且交于，如果，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列命题的逆命题为真命题的是(    )

A. 对顶角相等 B. 若，则
C. 全等三角形的面积相等 D. 两直线平行，同位角相等

8.  如图，在中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：
；
；
；
是等腰三角形．
其中正确的有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  “的倍与的和不小于”用不等式表示为______ ．

10.  如图，在平面内将绕着直角顶点逆时针旋转，得到，若，，则______．

11.  如图，在中，，的平分线交于点，，交于点，于点，若，，则的长为______ ．

12.  函数和的图象交于点，则关于的不等式的解集为______ ．

13.  如图，所在直线是的垂直平分线，垂足是点，与的平分线相交于点，若，则 ______ 度

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
解不等式：，并写出该不等式的最小整数解．

15.  本小题分
解不等式组：

16.  本小题分
解不等式组：．

17.  本小题分
如图，已知，请用尺规作图法，在边上求作一点，使保留作图痕迹，不写作法

18.  本小题分
如图，在中，是的平分线，交于点，交于点求证：．

19.  本小题分
某商店老板销售一种商品，该商品进价为元，标价为元活动期间要降价销售，他要以不低于进价的利润才能出售，求商店老板最多可以降价多少元？

20.  本小题分
如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点的对应点恰好落在边上，求的长．

21.  本小题分
如图，在正方形网格中构建平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是一个单位长度，的三个顶点分别是，，．
把平移后得到，点移动到点的位置，点，的对应点分别是，，请在网格中画出平移后得到的，则点坐标为______ ，______ ；
把绕点按逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别是，，请在网格中画出旋转后的则点坐标为______ ，______

22.  本小题分
如图，在中，是的垂直平分线，于点，且为的中点．
求证：；
若，求的度数．

23.  本小题分
已知、两地相距，甲、乙两人沿同一条道路从地到地，分别表示甲、乙两人离开地的距离与时间之间的关系．
甲的速度为______ ，乙的速度为______ ；
何时甲离地的距离大于乙离地的距离？

24.  本小题分
如图，中，，，的角平分线交于点点为上一点，且，，交于点．
求的度数；
若于点，，求的长．

25.  本小题分
为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，西安市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动在此次活动中，共有师生人，学校计划租辆车前往，此次劳动实践活动的租金总费用不超过元现有甲、乙两种车型可供选择，它们的载客量和租金如下表所示：

请问有哪几种租车方案？
学校租车总费用最少是多少元？

26.  本小题分
若四边形满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．
如图，四边形为对角互补四边形，且满足，，求的度数小云同学是这么做的：将绕点逆时针旋转，使得点与点重合，点的对应点为点请你写出的度数为______ ；
如图，四边形为对角互补四边形，且满足，，试说明：；
如图，在和中，，，点在线段上，且与互补请你判断与的数量关系并证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原来的图形重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不等式组的解集为：或，故本选项不合题意；
B、不等式组的解集为：，或，故本选项不合题意；
C、不等式组的解集为：，故本选项符合题意；
D、不等式组的解集为：，故本选项不合题意；
故选：．
依次分析各个选项不等式组的解集即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
又，
，
．
故选：．
根据等腰三角形的性质，求出，由垂直的定义，即得的度数．
本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质，掌握等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，
，
故A不符合题意；
B、，
，
故B不符合题意；
C、，
，
故C不符合题意；
D、，，
，
故D符合题意；
故选：．
根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图象可以看出，轴上方的函数图象所对应自变量的取值为，
则不等式的解集是．
故选：．
看在轴上方的函数图象所对应的自变量的取值即可．
本题考查一次函数与一元一次不等式解集的关系；理解函数值小于的解集是轴下方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
于，是的角平分线，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
故选：．
由三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，得到，，即可求出的长度．
本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
 

7.【答案】 

【解析】解：、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意；
B、若，则的逆命题是若，则，是假命题，不符合题意；
C、全等三角形的面积相等的逆命题是面积相等的两个三角形全等，是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；
故选：．
根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的判定定理、算术平方根的概念、对顶角的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，故正确；
，，
，
，
，
，故正确；
≌，
，
，故正确；
平分，，
，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
故正确．
综上所述：正确的有，共个，
故选：．
由“”可证≌，可得，故正确．由等腰三角形的性质可得，故正确，由全等三角形的性质可得，则可得，故正确；由角的数量关系可求，可得，即是等腰直角三角形，故正确
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得：．
故答案为：．
根据“的倍与的和不小于”，即可列出关于的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：绕着直角顶点逆时针旋转，得到，
，，，
，
点在的延长线上，
．
故答案为：．
先根据旋转的性质得到，，，则可判断点在的延长线上，然后计算即可．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
 

11.【答案】 

【解析】解：平分，，，
，，
，
，
，
为等腰三角形，
，
在中，由勾股定理得，
．
故答案为：．
根据角平分线的性质得到，，由平行线的性质得，则，为等腰三角形，因此，再根据勾股定理得，最后由即可求解．
本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是学会利用数形结合的思想，熟练运用所学知识答题．
 

12.【答案】 

【解析】解：把代入得，解得，
即点坐标为，
当时，，
所以关于的不等式的解集为．
故答案为：．
先利用自变量函数解析式确定点坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线都在直线的下方，于是可得到关于的不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，交延长线于点，于，
是的平分线，
，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
≌．
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先过点作于，于，易证得≌，即可得，又由，即可求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题注意掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想与转化思想的应用．
 

14.【答案】解：，
去分母，得：，
移项及合并同类项，得：，
系数化为，得：，
该不等式的最小整数解是． 

【解析】根据解一元一次不等式的方法，可以求得该不等式的解集，然后写出最小整数解即可．
本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
 

15.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组的解集为． 

【解析】根据不等式组的解集的表示方法：大小小大中间找，可得答案．
本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式组的解集的表示方法是解题关键．
 

16.【答案】解：由得：；
由得：，
不等式组的解集为． 

【解析】分别解两个不等式，再取公共解集即可．
本题考查求一元一次不等式组的解集，解题的关键是掌握取公共解集的方法．
 

17.【答案】解：如图，点为所作．
 

【解析】作的垂直平分线交于点，则根据线段垂直平分线的性质可判断点满足条件．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

18.【答案】证明：是的平分线，
，
，
，
，
． 

【解析】根据是的平分线，可得，再由，可得，从而得到，即可求证．
本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：由题意得，进价为元，
设让价元，
则有，，
解得：．
答：商店老板让价的最大限度是元． 

【解析】先求出进价，然后设让价元，根据商店老板的利润不低于进价，列不等式求解．
本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的不等关系，列不等式求解．
 

20.【答案】解：由旋转得：，
，
是等边三角形，
，
的长为． 

【解析】根据旋转的性质可得：，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，即可解答．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

21.【答案】       

【解析】解：如图所示，即为所求，，
故答案为：；；
如图所示，即为所求，，
故答案为：；．

根据平移变换的性质，结合点的坐标找出对应点即可求解；
根据旋转变换的性质找出对应点即可求解．
本题考查了平移变换的性质与旋转变换的性质，熟练掌握平移变换的性质与旋转变换的性质是解题的关键．
 

22.【答案】证明：是的垂直平分线，
，
，为的中点，
是的垂直平分线，
，
；
解：，，
，
，
，
． 

【解析】根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换即可证明；
根据等腰三角形的性质求出，根据三角形的外角性质求出，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：根据图形信息，可知甲小时行驶，故甲的速度是．
乙小时行驶，故乙的速度是．
故答案为：，．
设的解析式为：，
把和代入解析式得，
，
解得，
的解析式为：，
设的解析式为：，
把代入解析式得，
，
，
的解析式为：，
甲离地的距离大于乙离地的距离，
，
，
．
答：时甲离地的距离大于乙离地的距离．
可知可知甲小时行驶，乙小时行驶，即可得出答案．
写出甲乙的解析式，再根据甲离地的距离大于乙离地的距离解答即可．
本题考查关于一次函数实际应用的题目，解题的关键是掌握离开地的距离与时间之间的数量关系．
 

24.【答案】解：，，
，
是的角平分线，
，
，，
，
；
，，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
．
，
． 

【解析】根据直角三角形的两锐角互余可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据等边对等角以及三角形的内角和定理可得的度数，进而根据三角形的外角性质可得的度数；
根据含度角的直角三角形的性质，可得，，根据等腰直角三角形的性质可得，进而即可得出，即可得出答案．
本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义，等边对等角以及三角形的内角和定理、三角形的外角性质，含度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

25.【答案】解：设租用辆甲型客车，则租用辆乙型客车，
根据题意得：，
解得：，
又为自然数，
可以为，，，
共有种租车方案，
方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；
方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；
方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；
选用租车方案所需租车总费用为元；
选用租车方案所需租车总费用为元；
选用租车方案所需租车总费用为元．
，
学校租车总费用最少是元． 

【解析】设租用辆甲型客车，则租用辆乙型客车，根据租用的辆客车的总载客量不少于人且租金总费用不超过元，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为自然数，即可得出各租车方案；
求出各租车方案所需总费用，比较后即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转，使得点与点重合，点的对应点为点．
≌，
，，
，
即是等腰直角三角形，
；
证明：如图，延长至，使得，连，

，，
，
，
≌，
，，
，
为等边三角形，
；
解：，理由如下：
如图，延长至，使得，连，，延长至，

，
又，
≌，
，
，
又，，
≌，
，
，，
，
，
．
根据旋转的性质可得≌，得出，，即，从而求出；
延长至，使得，连，证明≌，得出，，证明为等边三角形，则可得出答案；
延长至，使得，连，，延长至，证明≌，得出，则，证明≌，由全等三角形的性质得出，得出，则可得出答案．
本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形外角的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．