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2022-2023学年广东省深圳中学初中部八年级（上）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年广东省深圳中学初中部八年级（上）期末数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列选项中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
2．以下六个数：，，3.14，，，0.1010010001，无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2＝（a+c）（a﹣c）B．∠A＝∠B+∠C
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a＝6，b＝8，c＝10
4．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如下表所示
则这四人中发挥最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0
B．直角都相等
C．两直线平行，同位角相等
D．若a＝6，则|a|＝|6|
6．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7．如图所示，一次函数y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，且m≠0）的图象相交于点M（1，2），下列判断不正确的是（ ）
A．关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1
B．关于x，y的方程组的解是
C．当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大
D．关于x的不等式（m﹣k）x＞b的解集是x＜1
8．如图，面积为3的等腰△ABC，AB＝AC，点B、点C在x轴上，且B（1，0）、C（3，0），规定把△ABC“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过3次变换后，△ABC顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣2，0）B．（2，1）C．（﹣2，1）D．（2，0）
9．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图线段OA和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．则下列说法正确的个数是（ ）
①两车同时到达乙地
②轿车行驶过程中进行了提速
③货车出发3.9小时后，轿车追上货车
④两车在前80千米的速度相等
A．1B．2C．3D．4
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，CD平分∠ACB．边AB的垂直平分线DE分别交CD，AB于点D，E，以下说法正确的个数是（ ）
①∠BAC＝60°；②CD＝2BE；③DE＝AC；④CD＝BC+AB．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本题共5小题，每小题0分，共15分）
11．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 ．
12．要使有意义，则x的取值范围是 ．
13．如图所示，已知∠AOB＝40°，现按照以下步骤作图：①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以DE长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC；④连接DC、EC．
则∠OEC的度数为 ．
14．在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（m，3）之间的距离是3，则m的值是 ．
15．如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），连接DE，延长AE交CE'于点F，则四边形BE'FE为正方形，若AB＝15，CF＝3，则DE的长为 ．
三、解答题（本题共7题，共55分）
16．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）解方程．
17．6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图：
根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）把一班竞赛成绩统计图补充完整；
（2）写出下表中a、b、c的值：
（3）请从以下给出的三个方面中任选一个对这次竞赛成绩的结果进行分析：
①从平均数和中位数方面比较一班和二班的成绩；
②从平均数和众数方面比较一班和二班的成绩；
③从B级以上（包括B级）的人数方面来比较一班和二班的成绩．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣2），点P是x轴上的一个动点．
（1）A1，A2分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点，直接写出点A1，A2的坐标，并在图中描出点A1，A2．
（2）求使△APO为等腰三角形的点P的坐标．
19．综合与实践：
七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线．
（1）知识初探
如图1，长方形纸条ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．将长方形纸条沿直线EF折叠，点A落在A′处，点D落在D′处，A′E交CD于点G．
①若∠AEF＝40°，求∠A′GC的度数．
②若∠AEF＝α，则∠A′GC＝ （用含α的式子表示）．
（2）类比再探
如图2，在图1的基础上将∠CGE对折，点C落在直线GE上的C′处．点B落在B′处，得到折痕GH，则折痕EF与GH有怎样的位置关系？并说明理由．
20．玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．
（1）设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程组为 ．
（2）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
（3）如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由．
21．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵a＝．
∴a﹣2＝﹣．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：＝ ；
（2）计算：+…+；
（3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值．
22．已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．
（1）如图1所示，点C、D分别在边OA、OB上，求证：OH＝AD且OH⊥AD；
（2）将△COD绕点O旋转到图2所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，证明你的结论．
（3）如图3所示，当AB＝8，CD＝2时，求OH长的取值范围．
2022-2023学年广东省深圳中学初中部八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题0分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个正确答案）
1．下列选项中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
B、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，本选项符合题意；
D、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2．以下六个数：，，3.14，，，0.1010010001，无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
【解答】解：在，，3.14，，，0.1010010001中，3.14，，，0.1010010001是有理数，，，是无理数，共2个，
故选：B．
【点评】本题考查的是无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
3．△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2＝（a+c）（a﹣c）B．∠A＝∠B+∠C
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a＝6，b＝8，c＝10
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵b2＝（a+c）（a﹣c），
∴b2＝a2﹣c2，
∴c2+b2＝a2，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C，
∴∠A＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，
∴∠C＝5×15°＝75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵62+82＝102，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
4．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如下表所示
则这四人中发挥最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【分析】根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布越稳定进行比较即可．
【解答】解：∵0.019＜0.022＜0.030＜0.121，
∴乙的方差最小，
∴这四人中乙发挥最稳定，
故选：B．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0
B．直角都相等
C．两直线平行，同位角相等
D．若a＝6，则|a|＝|6|
【答案】C
【分析】先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可．
【解答】解；A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0：如果a+b＞0，则a＞0，b＞0，是假命题；
B．直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；
C．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；
D．若a＝6，则|a|＝|6|的逆命题是若|a|＝|6|，则a＝6，是假命题．
故选：C．
【点评】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】C
【分析】根据三角形内角和，可以得到∠1和∠2的和，再根据三角形内角和，可以得到∠D+∠E和∠1+∠2的关系，然后即可求得∠D+∠E的度数．
【解答】解：连接BC，如图所示，
∵∠A＝60°，∠ABE＝40°，∠ACD＝30°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°﹣30°＝50°，
∵∠D+∠E＝∠1+∠2，
∴∠D+∠E＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．如图所示，一次函数y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，且m≠0）的图象相交于点M（1，2），下列判断不正确的是（ ）
A．关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1
B．关于x，y的方程组的解是
C．当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大
D．关于x的不等式（m﹣k）x＞b的解集是x＜1
【答案】D
【分析】根据题意，结合图象对各选项进行判断即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的图象相交于点M（1，2），
∴关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1，选项A判断正确，不符合题意；
关于x，y的方程组的解是，选项B判断正确，不符合题意；
关于x的不等式（m﹣k）x＞b，化为不等式：mx＞kx+b，
当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大，选项C判断正确，不符合题意；
关于x的不等式mx＞kx+b的解集是x＞1，选项D判断错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
8．如图，面积为3的等腰△ABC，AB＝AC，点B、点C在x轴上，且B（1，0）、C（3，0），规定把△ABC“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过3次变换后，△ABC顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣2，0）B．（2，1）C．（﹣2，1）D．（2，0）
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的面积和B（1，0）、C（3，0），可得A（2，3），然后先求出前3次变换A的坐标，即可解决问题．
【解答】解：∵面积为3的等腰△ABC，AB＝AC，B（1，0）、C（3，0），
∴点A到x轴的距离为3，横坐标为2，
∴A（2，3），
∴第1次变换A的坐标为（﹣2，2）；
第2次变换A的坐标为（2，1）；
第3次变换A的坐标为（﹣2，0）；
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，坐标与轴对称，坐标与平移，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
9．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图线段OA和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．则下列说法正确的个数是（ ）
①两车同时到达乙地
②轿车行驶过程中进行了提速
③货车出发3.9小时后，轿车追上货车
④两车在前80千米的速度相等
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意和图可得，
轿车先到达乙地，故①错误；
轿车行驶了（2.5﹣1.2）＝1.3小时时进行了提速，故②正确；
货车的速度是：300÷5＝60千米/时，轿车在BC段对应的速度是：80÷（2.5﹣1.2）＝千米/时，故④错误；
设货车对应的函数解析式为y＝kx，
5k＝300，得k＝60，
即货车对应的函数解析式为y＝60x，
设CD段轿车对应的函数解析式为y＝ax+b，
，
解得，
即CD段轿车对应的函数解析式为y＝110x﹣195，
令60x＝110x﹣195，得x＝3.9，
即货车出发3.9小时后，轿车追上货车，故③正确，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，CD平分∠ACB．边AB的垂直平分线DE分别交CD，AB于点D，E，以下说法正确的个数是（ ）
①∠BAC＝60°；②CD＝2BE；③DE＝AC；④CD＝BC+AB．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识对各选项的说法分别进行论证，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接BD、AD，过点D作DM⊥BC于M，DN⊥CA的延长线于N，
①、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°．故①说法正确；
②∵DM⊥BC，DN⊥CA，
∴∠DNC＝∠DMC＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCN＝∠DCM＝45°，
∴∠DCN＝∠CDN＝45°，
∴CN＝DN，
则△CDN是等腰直角三角形．
同理可证：△CDM也是等腰直角三角形，
∴CD＝．CD＝，
∴DM＝DN＝CM＝CN，∠MDN＝90°，
∵DE垂直平分AB，
∴BD＝AD，AB＝2BE，
∴Rt△BDM≌Rt△ADN（HL），
∴∠BDM＝∠ADN，
∴∠BDM+∠ADM＝∠ADN+∠ADM＝∠MDN，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝，
即2BE＝AD，
在Rt△AND中，AD是斜边，DN是直角边，
∴AD＞DN，则＞，
∴2BE＞CD．故②说法错误．
③、∵BD＝AD，∠ADB＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴DE＝AB，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴AC＝AB．∴DE＝AC．故③说法正确．
④、∵△BDM≌△ADN，
∴BM＝AN，
∴CN＝AC+AN＝AC+BM＝CM，
∴BC＝BM+CM＝AC+2BM，
∵CD＝CN，
∴CD＝2CN＝2AC+2BM＝AC+2BM+AC，
∵AC＝AB，
∴CD＝AB+BC．故④说法正确．
故选：C．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度较大，准确作出辅助线并灵活运用所学知识是解题的关键．
二、填空题（本题共5小题，每小题0分，共15分）
11．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 5或 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．
【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：
第三边的长为：＝；
②长为3、4的边都是直角边时：
第三边的长为：＝5；
综上，第三边的长为：5或．
故答案为：5或．
【点评】此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．
12．要使有意义，则x的取值范围是 x≤3 ．
【答案】x≤3．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可求解．
【解答】解：∵有意义，
∴3﹣x≥0，
解得：x≤3．
故答案为：x≤3．
【点评】本题考查了二次根式意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
13．如图所示，已知∠AOB＝40°，现按照以下步骤作图：①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以DE长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC；④连接DC、EC．
则∠OEC的度数为 130° ．
【答案】130°．
【分析】利用基本作图得到OD＝OE，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠OED＝70°，再判断△DEC为等边三角形得到∠CED＝60°，然后计算∠OED+∠CED即可．
【解答】解：由作法得OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE＝（180°﹣40°）＝70°，
∵DE＝DC＝EC，
∴△DEC为等边三角形，
∴∠CED＝60°，
∴∠OEC＝70°+60°＝130°．
故答案为130°．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
14．在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（m，3）之间的距离是3，则m的值是 4或﹣2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据M、N两点的纵坐标相等可以判断MN平行于x轴，且MN之间距离是3，可以得出N点的坐标，进而求出m的值．
【解答】解：∵点M（1，3）与点N（m，3）
∴MN∥x轴
∵MN＝3
∴1+3＝4，1﹣3＝﹣2
∴N（4，3）或（﹣2，3）
∴m的值为4或﹣2
故答案为：4或﹣2
【点评】题目考查了平面直角坐标系中利用两点之间的距离求点的坐标，题目相对较为简单，但是本题有两种情况，不要遗漏m的解．
15．如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），连接DE，延长AE交CE'于点F，则四边形BE'FE为正方形，若AB＝15，CF＝3，则DE的长为 3 ．
【答案】3．
【分析】过点D作DG⊥AE于点G，证明△ADG≌△BAE（AAS），得出AG＝BE，进而勾股定理可得AE2+BE2＝AB2，得出BE＝9，进而勾股定理即可求解．
【解答】解：过点D作DG⊥AE于点G，
则∠DGA＝∠AEB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠BAE+∠DAG＝90°，
∵∠ADG+∠DAG＝90°，
∴∠ADG＝∠BAE，
∴△ADG≌△BAE（AAS），
∴AG＝BE；
∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE＝FE'，
∴AG＝FE'，
由旋转得，AE＝CE'，
∴AE＝CE'＝FE'+CF＝FE'+3＝BE+3，
∵AE2+BE2＝AB2，且AB＝15，
∴（BE+3）2+BE2＝152，
解得，BE＝9或BE＝﹣12（不符合题意，舍去），
∴AE＝9+3＝12，
∵△ADG≌△BAE，
∴DG＝AE＝12，AG＝BE＝9，
∴GE＝AE﹣AG＝12﹣9＝3，
∵∠DGE＝90°，
∴，
故答案为：．
【点评】此题考查了旋转的特征、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线．
三、解答题（本题共7题，共55分）
16．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）解方程．
【答案】（1）；
（2）﹣6；
（3）．
【分析】（1）先化简各式，再进行计算；
（2）先化简各式，再进行计算；
（3）利用加减消元法，解方程组即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝1+（﹣4）﹣3
＝1﹣4﹣3
＝﹣6．
（3），
①×4+②得：
11x＝22，
解得x＝2；
把x＝2代入①，
得：2×2﹣y＝5，
解得：y＝﹣1；
∴方程组的解为：．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，实数的混合运算，解二元一次方程组．熟练掌握相关运算法则，加减消元法解二元一次方程组，是解题的关键．
17．6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图：
根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）把一班竞赛成绩统计图补充完整；
（2）写出下表中a、b、c的值：
（3）请从以下给出的三个方面中任选一个对这次竞赛成绩的结果进行分析：
①从平均数和中位数方面比较一班和二班的成绩；
②从平均数和众数方面比较一班和二班的成绩；
③从B级以上（包括B级）的人数方面来比较一班和二班的成绩．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）计算出C级的人数即可补全统计图；
（2）分别利用平均数、众数及中位数的计算方法即可求得a、b、c的值；
（3）①两般的平均数相等，一班的中位数大；
②两般的平均数相等，二班的众数大；
③一班B级以上（包括B级）的人数为18人，二班B级以上（包括B级）的人数为12人；
【解答】解：（1）一班中C级的有25﹣6﹣12﹣5＝2人．
故统计图为：
（2）a＝（6×100+12×90+2×80+70×5）÷25＝87.6；
b＝90
c＝100；
（3）①从平均数和中位数的角度，一班和二班平均数相等，一班的中位数大于二班的中位数，故一班成绩好于二班．
②从平均数和众数的角度，一班和二班平均数相等，一班的众数小于二班的众数，故二班成绩好于一班．
③从B级以上（包括B级）的人数的角度，一班有18人，二班有12人，故一班成绩好于二班．
【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图反映了各小组的频数，并且各小组的频数之和等于总数．也考查了扇形统计图、中位数、众数以及概率的概念．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣2），点P是x轴上的一个动点．
（1）A1，A2分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点，直接写出点A1，A2的坐标，并在图中描出点A1，A2．
（2）求使△APO为等腰三角形的点P的坐标．
【答案】（1）A1（﹣2，2），A2（﹣2，﹣2）；
（2）（﹣2，0）或（2，0）或（4，0）或（2，0）．
【分析】（1）利用关于原点对称和y轴对称的点的坐标特征写出点A1，A2的坐标，然后描点；
（2）先计算出OA的长，再分类讨论：当OP＝OA或AP＝AO或PO＝PA时，利用直角坐标系分别写出对应的P点坐标．
【解答】解：（1）A1（﹣2，2），A2（﹣2，﹣2），如图，
（2）设P点坐标为（t，0），
OA＝＝2，
当OP＝OA时，P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）；
当AP＝AO时，P点坐标为（4，0），
当PO＝PA时，P点坐标为（2，0），
综上所述，P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）或（4，0）或（2，0）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．也考查了等腰三角形的性质．
19．综合与实践：
七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线．
（1）知识初探
如图1，长方形纸条ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．将长方形纸条沿直线EF折叠，点A落在A′处，点D落在D′处，A′E交CD于点G．
①若∠AEF＝40°，求∠A′GC的度数．
②若∠AEF＝α，则∠A′GC＝ 180°﹣2α （用含α的式子表示）．
（2）类比再探
如图2，在图1的基础上将∠CGE对折，点C落在直线GE上的C′处．点B落在B′处，得到折痕GH，则折痕EF与GH有怎样的位置关系？并说明理由．
【答案】（1）①100°；
②180°﹣2α；
（2）EF∥GH，理由过程请看解答．
【分析】（1）①由题意得∠A′EF＝∠AEF＝40°，则∠AEG＝∠A′EF+∠AEF＝80°，由平行线的性质得∠CGE＝∠AEG＝80°，由平角的定义即可得出结果；
②由题意得∠A′EF＝∠AEF＝α，则∠AEG＝∠A′EF+∠AEF＝2α，由平行线的性质得∠CGE＝∠AEG＝2α，由平角的定义即可得出结果；
（2）由题意得∠AEF＝∠A′EF＝∠AEG，∠CGH＝∠C′GH＝∠CGE，由平行线的性质得∠CGE＝∠AEG，推出∠C′GH＝∠A′EF，即可得出EF∥GH．
【解答】解：（1）①由题意得：∠A′EF＝∠AEF＝40°，
∴∠AEG＝∠A′EF+∠AEF＝40°+40°＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠CGE＝∠AEG＝80°，
∴∠A′GC＝180°﹣∠CGE＝180°﹣80°＝100°；
②由题意得：∠A′EF＝∠AEF＝α，
∴∠AEG＝∠A′EF+∠AEF＝α+α＝2α，
∵AB∥CD，
∴∠CGE＝∠AEG＝2α，
∴∠A′GC＝180°﹣∠CGE＝180°﹣2α，
故答案为：180°﹣2α；
（2）EF∥GH，理由如下：
由题意得：∠AEF＝∠A′EF＝∠AEG，∠CGH＝∠C′GH＝∠CGE，
∵AB∥CD，
∴∠CGE＝∠AEG，
∴∠C′GH＝∠A′EF，
∴EF∥GH．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了长方形的性质、折叠的性质、平行线的判定与性质、平角的定义等知识；熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键．
20．玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．
（1）设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程组为 ．
（2）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
（3）如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由．
【答案】（1）；
（2）时间上考虑选择甲公司；
（3）从节约开支上考虑选择乙公司．
【分析】（1）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间列出方程即可求解；
（2）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间即可；
（3）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间即可．
【解答】解：（1）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，
根据题意得，，
故答案为：．
（2）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，
根据题意得，，
解得：，
∵，
∴甲公司的效率高，所以从时间上考虑选择甲公司．
（3）解：设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元，
根据题意得：，
解得：，
∴公司共需万元，乙公司共需万元，
∵4万元＜6万元，
∴从节约开支上考虑选择乙公司．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
21．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵a＝．
∴a﹣2＝﹣．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：＝ ﹣1 ；
（2）计算：+…+；
（3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据小明的解答过程即可进行计算；
（2）结合（1）进行分母有理化，再合并即可得结果；
（3）根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．
【解答】解：（1）＝＝﹣1，
故答案为：；
（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣
＝﹣1
＝；
（3）∵a＝+2，
∴a﹣2＝．
∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．
∴a2﹣4a＝1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（1）+1＝3．
答：2a2﹣8a+1的值为3．
【点评】本题考查了分母有理化的应用，能求出a的值和正确变形是解此题的关键．
22．已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．
（1）如图1所示，点C、D分别在边OA、OB上，求证：OH＝AD且OH⊥AD；
（2）将△COD绕点O旋转到图2所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，证明你的结论．
（3）如图3所示，当AB＝8，CD＝2时，求OH长的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）只要证明△AOD≌△BOC（SAS），即可解决问题；
（2）如图2中，结论：OH＝AD，OH⊥AD．延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，证明△BEH≌△CHO（SAS），可得OE＝2OH，∠EBC＝∠BCO，证明△BEO≌△ODA（SAS）即可解决问题；
（3）延长OH到M，使得HM＝OH，连接BM．证明△BMH≌△COH（SAS），得出BM＝OC，利用三角形的三边关系即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴OC＝OD，OA＝OB，
∵在△AOD与△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC，BC＝AD，
∵点H为线段BC的中点，
∴OH＝HB，OH＝BC，
∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD，
又∵∠OAD+∠ADO＝90°，
∴∠ADO+∠BOH＝90°，
∴OH⊥AD，
∵AD＝BC，OH＝BC，
∴OH＝AD．
（2）解：结论：OH＝AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，
∵点H是BC中点，
∴BH＝CH，
∴△BEH≌△CHO（SAS），
∴OE＝2OH，∠EBC＝∠BCO，
∴∠OBE＝∠EBC+∠OBC＝∠BCO+∠OBC＝180°﹣∠BOC，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOC＝∠OBE，
∵OB＝OA，OC＝OD
∴△BEO≌△ODA（SAS），
∴OE＝AD，∠EOB＝∠DAO，
∴OH＝OE＝AD，
∵∠AOB＝90°，
∴∠DAO+∠AOH＝∠EOB+∠AOH＝90°，
∴OH⊥AD．
（3）延长OH到M，使得HM＝OH，连接BM．
∵BH＝CH，OH＝HM，∠BHM＝∠OHC，
∴△BMH≌△COH（SAS），
∴BM＝OC，
∵AB＝8，CD＝2，
∴OB＝4，OC＝BM＝，
在△OBM中，
∴4﹣≤OM≤4+，
∴3≤OM≤5，
∵OM＝2OH，
∴≤OH≤．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
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菁优网APP 菁优网公众号 菁优网小程序选手
甲
乙
丙
丁
方差
0.030
0.019
0.121
0.022
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
一班
a
b
90
二班
87.6
80
c
选手
甲
乙
丙
丁
方差
0.030
0.019
0.121
0.022
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
一班
a
b
90
二班
87.6
80
c
1．下列选项中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
2．以下六个数：，，3.14，，，0.1010010001，无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2＝（a+c）（a﹣c）B．∠A＝∠B+∠C
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a＝6，b＝8，c＝10
4．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如下表所示
则这四人中发挥最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0
B．直角都相等
C．两直线平行，同位角相等
D．若a＝6，则|a|＝|6|
6．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7．如图所示，一次函数y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，且m≠0）的图象相交于点M（1，2），下列判断不正确的是（ ）
A．关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1
B．关于x，y的方程组的解是
C．当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大
D．关于x的不等式（m﹣k）x＞b的解集是x＜1
8．如图，面积为3的等腰△ABC，AB＝AC，点B、点C在x轴上，且B（1，0）、C（3，0），规定把△ABC“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过3次变换后，△ABC顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣2，0）B．（2，1）C．（﹣2，1）D．（2，0）
9．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图线段OA和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．则下列说法正确的个数是（ ）
①两车同时到达乙地
②轿车行驶过程中进行了提速
③货车出发3.9小时后，轿车追上货车
④两车在前80千米的速度相等
A．1B．2C．3D．4
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，CD平分∠ACB．边AB的垂直平分线DE分别交CD，AB于点D，E，以下说法正确的个数是（ ）
①∠BAC＝60°；②CD＝2BE；③DE＝AC；④CD＝BC+AB．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本题共5小题，每小题0分，共15分）
11．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 ．
12．要使有意义，则x的取值范围是 ．
13．如图所示，已知∠AOB＝40°，现按照以下步骤作图：①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以DE长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC；④连接DC、EC．
则∠OEC的度数为 ．
14．在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（m，3）之间的距离是3，则m的值是 ．
15．如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），连接DE，延长AE交CE'于点F，则四边形BE'FE为正方形，若AB＝15，CF＝3，则DE的长为 ．
三、解答题（本题共7题，共55分）
16．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）解方程．
17．6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图：
根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）把一班竞赛成绩统计图补充完整；
（2）写出下表中a、b、c的值：
（3）请从以下给出的三个方面中任选一个对这次竞赛成绩的结果进行分析：
①从平均数和中位数方面比较一班和二班的成绩；
②从平均数和众数方面比较一班和二班的成绩；
③从B级以上（包括B级）的人数方面来比较一班和二班的成绩．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣2），点P是x轴上的一个动点．
（1）A1，A2分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点，直接写出点A1，A2的坐标，并在图中描出点A1，A2．
（2）求使△APO为等腰三角形的点P的坐标．
19．综合与实践：
七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线．
（1）知识初探
如图1，长方形纸条ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．将长方形纸条沿直线EF折叠，点A落在A′处，点D落在D′处，A′E交CD于点G．
①若∠AEF＝40°，求∠A′GC的度数．
②若∠AEF＝α，则∠A′GC＝ （用含α的式子表示）．
（2）类比再探
如图2，在图1的基础上将∠CGE对折，点C落在直线GE上的C′处．点B落在B′处，得到折痕GH，则折痕EF与GH有怎样的位置关系？并说明理由．
20．玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．
（1）设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程组为 ．
（2）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
（3）如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由．
21．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵a＝．
∴a﹣2＝﹣．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：＝ ；
（2）计算：+…+；
（3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值．
22．已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．
（1）如图1所示，点C、D分别在边OA、OB上，求证：OH＝AD且OH⊥AD；
（2）将△COD绕点O旋转到图2所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，证明你的结论．
（3）如图3所示，当AB＝8，CD＝2时，求OH长的取值范围．
2022-2023学年广东省深圳中学初中部八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题0分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个正确答案）
1．下列选项中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
B、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，本选项符合题意；
D、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2．以下六个数：，，3.14，，，0.1010010001，无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
【解答】解：在，，3.14，，，0.1010010001中，3.14，，，0.1010010001是有理数，，，是无理数，共2个，
故选：B．
【点评】本题考查的是无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
3．△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2＝（a+c）（a﹣c）B．∠A＝∠B+∠C
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a＝6，b＝8，c＝10
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵b2＝（a+c）（a﹣c），
∴b2＝a2﹣c2，
∴c2+b2＝a2，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C，
∴∠A＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，
∴∠C＝5×15°＝75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵62+82＝102，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
4．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如下表所示
则这四人中发挥最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【分析】根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布越稳定进行比较即可．
【解答】解：∵0.019＜0.022＜0.030＜0.121，
∴乙的方差最小，
∴这四人中乙发挥最稳定，
故选：B．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0
B．直角都相等
C．两直线平行，同位角相等
D．若a＝6，则|a|＝|6|
【答案】C
【分析】先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可．
【解答】解；A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0：如果a+b＞0，则a＞0，b＞0，是假命题；
B．直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；
C．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；
D．若a＝6，则|a|＝|6|的逆命题是若|a|＝|6|，则a＝6，是假命题．
故选：C．
【点评】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】C
【分析】根据三角形内角和，可以得到∠1和∠2的和，再根据三角形内角和，可以得到∠D+∠E和∠1+∠2的关系，然后即可求得∠D+∠E的度数．
【解答】解：连接BC，如图所示，
∵∠A＝60°，∠ABE＝40°，∠ACD＝30°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°﹣30°＝50°，
∵∠D+∠E＝∠1+∠2，
∴∠D+∠E＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．如图所示，一次函数y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，且m≠0）的图象相交于点M（1，2），下列判断不正确的是（ ）
A．关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1
B．关于x，y的方程组的解是
C．当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大
D．关于x的不等式（m﹣k）x＞b的解集是x＜1
【答案】D
【分析】根据题意，结合图象对各选项进行判断即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的图象相交于点M（1，2），
∴关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1，选项A判断正确，不符合题意；
关于x，y的方程组的解是，选项B判断正确，不符合题意；
关于x的不等式（m﹣k）x＞b，化为不等式：mx＞kx+b，
当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大，选项C判断正确，不符合题意；
关于x的不等式mx＞kx+b的解集是x＞1，选项D判断错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
8．如图，面积为3的等腰△ABC，AB＝AC，点B、点C在x轴上，且B（1，0）、C（3，0），规定把△ABC“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过3次变换后，△ABC顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣2，0）B．（2，1）C．（﹣2，1）D．（2，0）
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的面积和B（1，0）、C（3，0），可得A（2，3），然后先求出前3次变换A的坐标，即可解决问题．
【解答】解：∵面积为3的等腰△ABC，AB＝AC，B（1，0）、C（3，0），
∴点A到x轴的距离为3，横坐标为2，
∴A（2，3），
∴第1次变换A的坐标为（﹣2，2）；
第2次变换A的坐标为（2，1）；
第3次变换A的坐标为（﹣2，0）；
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，坐标与轴对称，坐标与平移，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
9．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图线段OA和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．则下列说法正确的个数是（ ）
①两车同时到达乙地
②轿车行驶过程中进行了提速
③货车出发3.9小时后，轿车追上货车
④两车在前80千米的速度相等
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意和图可得，
轿车先到达乙地，故①错误；
轿车行驶了（2.5﹣1.2）＝1.3小时时进行了提速，故②正确；
货车的速度是：300÷5＝60千米/时，轿车在BC段对应的速度是：80÷（2.5﹣1.2）＝千米/时，故④错误；
设货车对应的函数解析式为y＝kx，
5k＝300，得k＝60，
即货车对应的函数解析式为y＝60x，
设CD段轿车对应的函数解析式为y＝ax+b，
，
解得，
即CD段轿车对应的函数解析式为y＝110x﹣195，
令60x＝110x﹣195，得x＝3.9，
即货车出发3.9小时后，轿车追上货车，故③正确，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，CD平分∠ACB．边AB的垂直平分线DE分别交CD，AB于点D，E，以下说法正确的个数是（ ）
①∠BAC＝60°；②CD＝2BE；③DE＝AC；④CD＝BC+AB．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识对各选项的说法分别进行论证，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接BD、AD，过点D作DM⊥BC于M，DN⊥CA的延长线于N，
①、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°．故①说法正确；
②∵DM⊥BC，DN⊥CA，
∴∠DNC＝∠DMC＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCN＝∠DCM＝45°，
∴∠DCN＝∠CDN＝45°，
∴CN＝DN，
则△CDN是等腰直角三角形．
同理可证：△CDM也是等腰直角三角形，
∴CD＝．CD＝，
∴DM＝DN＝CM＝CN，∠MDN＝90°，
∵DE垂直平分AB，
∴BD＝AD，AB＝2BE，
∴Rt△BDM≌Rt△ADN（HL），
∴∠BDM＝∠ADN，
∴∠BDM+∠ADM＝∠ADN+∠ADM＝∠MDN，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝，
即2BE＝AD，
在Rt△AND中，AD是斜边，DN是直角边，
∴AD＞DN，则＞，
∴2BE＞CD．故②说法错误．
③、∵BD＝AD，∠ADB＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴DE＝AB，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴AC＝AB．∴DE＝AC．故③说法正确．
④、∵△BDM≌△ADN，
∴BM＝AN，
∴CN＝AC+AN＝AC+BM＝CM，
∴BC＝BM+CM＝AC+2BM，
∵CD＝CN，
∴CD＝2CN＝2AC+2BM＝AC+2BM+AC，
∵AC＝AB，
∴CD＝AB+BC．故④说法正确．
故选：C．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度较大，准确作出辅助线并灵活运用所学知识是解题的关键．
二、填空题（本题共5小题，每小题0分，共15分）
11．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 5或 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．
【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：
第三边的长为：＝；
②长为3、4的边都是直角边时：
第三边的长为：＝5；
综上，第三边的长为：5或．
故答案为：5或．
【点评】此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．
12．要使有意义，则x的取值范围是 x≤3 ．
【答案】x≤3．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可求解．
【解答】解：∵有意义，
∴3﹣x≥0，
解得：x≤3．
故答案为：x≤3．
【点评】本题考查了二次根式意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
13．如图所示，已知∠AOB＝40°，现按照以下步骤作图：①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以DE长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC；④连接DC、EC．
则∠OEC的度数为 130° ．
【答案】130°．
【分析】利用基本作图得到OD＝OE，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠OED＝70°，再判断△DEC为等边三角形得到∠CED＝60°，然后计算∠OED+∠CED即可．
【解答】解：由作法得OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE＝（180°﹣40°）＝70°，
∵DE＝DC＝EC，
∴△DEC为等边三角形，
∴∠CED＝60°，
∴∠OEC＝70°+60°＝130°．
故答案为130°．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
14．在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（m，3）之间的距离是3，则m的值是 4或﹣2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据M、N两点的纵坐标相等可以判断MN平行于x轴，且MN之间距离是3，可以得出N点的坐标，进而求出m的值．
【解答】解：∵点M（1，3）与点N（m，3）
∴MN∥x轴
∵MN＝3
∴1+3＝4，1﹣3＝﹣2
∴N（4，3）或（﹣2，3）
∴m的值为4或﹣2
故答案为：4或﹣2
【点评】题目考查了平面直角坐标系中利用两点之间的距离求点的坐标，题目相对较为简单，但是本题有两种情况，不要遗漏m的解．
15．如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），连接DE，延长AE交CE'于点F，则四边形BE'FE为正方形，若AB＝15，CF＝3，则DE的长为 3 ．
【答案】3．
【分析】过点D作DG⊥AE于点G，证明△ADG≌△BAE（AAS），得出AG＝BE，进而勾股定理可得AE2+BE2＝AB2，得出BE＝9，进而勾股定理即可求解．
【解答】解：过点D作DG⊥AE于点G，
则∠DGA＝∠AEB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠BAE+∠DAG＝90°，
∵∠ADG+∠DAG＝90°，
∴∠ADG＝∠BAE，
∴△ADG≌△BAE（AAS），
∴AG＝BE；
∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE＝FE'，
∴AG＝FE'，
由旋转得，AE＝CE'，
∴AE＝CE'＝FE'+CF＝FE'+3＝BE+3，
∵AE2+BE2＝AB2，且AB＝15，
∴（BE+3）2+BE2＝152，
解得，BE＝9或BE＝﹣12（不符合题意，舍去），
∴AE＝9+3＝12，
∵△ADG≌△BAE，
∴DG＝AE＝12，AG＝BE＝9，
∴GE＝AE﹣AG＝12﹣9＝3，
∵∠DGE＝90°，
∴，
故答案为：．
【点评】此题考查了旋转的特征、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线．
三、解答题（本题共7题，共55分）
16．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）解方程．
【答案】（1）；
（2）﹣6；
（3）．
【分析】（1）先化简各式，再进行计算；
（2）先化简各式，再进行计算；
（3）利用加减消元法，解方程组即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝1+（﹣4）﹣3
＝1﹣4﹣3
＝﹣6．
（3），
①×4+②得：
11x＝22，
解得x＝2；
把x＝2代入①，
得：2×2﹣y＝5，
解得：y＝﹣1；
∴方程组的解为：．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，实数的混合运算，解二元一次方程组．熟练掌握相关运算法则，加减消元法解二元一次方程组，是解题的关键．
17．6月5日是世界环境日，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图：
根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）把一班竞赛成绩统计图补充完整；
（2）写出下表中a、b、c的值：
（3）请从以下给出的三个方面中任选一个对这次竞赛成绩的结果进行分析：
①从平均数和中位数方面比较一班和二班的成绩；
②从平均数和众数方面比较一班和二班的成绩；
③从B级以上（包括B级）的人数方面来比较一班和二班的成绩．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）计算出C级的人数即可补全统计图；
（2）分别利用平均数、众数及中位数的计算方法即可求得a、b、c的值；
（3）①两般的平均数相等，一班的中位数大；
②两般的平均数相等，二班的众数大；
③一班B级以上（包括B级）的人数为18人，二班B级以上（包括B级）的人数为12人；
【解答】解：（1）一班中C级的有25﹣6﹣12﹣5＝2人．
故统计图为：
（2）a＝（6×100+12×90+2×80+70×5）÷25＝87.6；
b＝90
c＝100；
（3）①从平均数和中位数的角度，一班和二班平均数相等，一班的中位数大于二班的中位数，故一班成绩好于二班．
②从平均数和众数的角度，一班和二班平均数相等，一班的众数小于二班的众数，故二班成绩好于一班．
③从B级以上（包括B级）的人数的角度，一班有18人，二班有12人，故一班成绩好于二班．
【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图反映了各小组的频数，并且各小组的频数之和等于总数．也考查了扇形统计图、中位数、众数以及概率的概念．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣2），点P是x轴上的一个动点．
（1）A1，A2分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点，直接写出点A1，A2的坐标，并在图中描出点A1，A2．
（2）求使△APO为等腰三角形的点P的坐标．
【答案】（1）A1（﹣2，2），A2（﹣2，﹣2）；
（2）（﹣2，0）或（2，0）或（4，0）或（2，0）．
【分析】（1）利用关于原点对称和y轴对称的点的坐标特征写出点A1，A2的坐标，然后描点；
（2）先计算出OA的长，再分类讨论：当OP＝OA或AP＝AO或PO＝PA时，利用直角坐标系分别写出对应的P点坐标．
【解答】解：（1）A1（﹣2，2），A2（﹣2，﹣2），如图，
（2）设P点坐标为（t，0），
OA＝＝2，
当OP＝OA时，P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）；
当AP＝AO时，P点坐标为（4，0），
当PO＝PA时，P点坐标为（2，0），
综上所述，P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）或（4，0）或（2，0）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．也考查了等腰三角形的性质．
19．综合与实践：
七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线．
（1）知识初探
如图1，长方形纸条ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．将长方形纸条沿直线EF折叠，点A落在A′处，点D落在D′处，A′E交CD于点G．
①若∠AEF＝40°，求∠A′GC的度数．
②若∠AEF＝α，则∠A′GC＝ 180°﹣2α （用含α的式子表示）．
（2）类比再探
如图2，在图1的基础上将∠CGE对折，点C落在直线GE上的C′处．点B落在B′处，得到折痕GH，则折痕EF与GH有怎样的位置关系？并说明理由．
【答案】（1）①100°；
②180°﹣2α；
（2）EF∥GH，理由过程请看解答．
【分析】（1）①由题意得∠A′EF＝∠AEF＝40°，则∠AEG＝∠A′EF+∠AEF＝80°，由平行线的性质得∠CGE＝∠AEG＝80°，由平角的定义即可得出结果；
②由题意得∠A′EF＝∠AEF＝α，则∠AEG＝∠A′EF+∠AEF＝2α，由平行线的性质得∠CGE＝∠AEG＝2α，由平角的定义即可得出结果；
（2）由题意得∠AEF＝∠A′EF＝∠AEG，∠CGH＝∠C′GH＝∠CGE，由平行线的性质得∠CGE＝∠AEG，推出∠C′GH＝∠A′EF，即可得出EF∥GH．
【解答】解：（1）①由题意得：∠A′EF＝∠AEF＝40°，
∴∠AEG＝∠A′EF+∠AEF＝40°+40°＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠CGE＝∠AEG＝80°，
∴∠A′GC＝180°﹣∠CGE＝180°﹣80°＝100°；
②由题意得：∠A′EF＝∠AEF＝α，
∴∠AEG＝∠A′EF+∠AEF＝α+α＝2α，
∵AB∥CD，
∴∠CGE＝∠AEG＝2α，
∴∠A′GC＝180°﹣∠CGE＝180°﹣2α，
故答案为：180°﹣2α；
（2）EF∥GH，理由如下：
由题意得：∠AEF＝∠A′EF＝∠AEG，∠CGH＝∠C′GH＝∠CGE，
∵AB∥CD，
∴∠CGE＝∠AEG，
∴∠C′GH＝∠A′EF，
∴EF∥GH．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了长方形的性质、折叠的性质、平行线的判定与性质、平角的定义等知识；熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键．
20．玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．
（1）设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程组为 ．
（2）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
（3）如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由．
【答案】（1）；
（2）时间上考虑选择甲公司；
（3）从节约开支上考虑选择乙公司．
【分析】（1）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间列出方程即可求解；
（2）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间即可；
（3）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间即可．
【解答】解：（1）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，
根据题意得，，
故答案为：．
（2）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，
根据题意得，，
解得：，
∵，
∴甲公司的效率高，所以从时间上考虑选择甲公司．
（3）解：设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元，
根据题意得：，
解得：，
∴公司共需万元，乙公司共需万元，
∵4万元＜6万元，
∴从节约开支上考虑选择乙公司．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
21．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵a＝．
∴a﹣2＝﹣．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：＝ ﹣1 ；
（2）计算：+…+；
（3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据小明的解答过程即可进行计算；
（2）结合（1）进行分母有理化，再合并即可得结果；
（3）根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．
【解答】解：（1）＝＝﹣1，
故答案为：；
（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣
＝﹣1
＝；
（3）∵a＝+2，
∴a﹣2＝．
∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．
∴a2﹣4a＝1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（1）+1＝3．
答：2a2﹣8a+1的值为3．
【点评】本题考查了分母有理化的应用，能求出a的值和正确变形是解此题的关键．
22．已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．
（1）如图1所示，点C、D分别在边OA、OB上，求证：OH＝AD且OH⊥AD；
（2）将△COD绕点O旋转到图2所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，证明你的结论．
（3）如图3所示，当AB＝8，CD＝2时，求OH长的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）只要证明△AOD≌△BOC（SAS），即可解决问题；
（2）如图2中，结论：OH＝AD，OH⊥AD．延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，证明△BEH≌△CHO（SAS），可得OE＝2OH，∠EBC＝∠BCO，证明△BEO≌△ODA（SAS）即可解决问题；
（3）延长OH到M，使得HM＝OH，连接BM．证明△BMH≌△COH（SAS），得出BM＝OC，利用三角形的三边关系即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴OC＝OD，OA＝OB，
∵在△AOD与△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC，BC＝AD，
∵点H为线段BC的中点，
∴OH＝HB，OH＝BC，
∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD，
又∵∠OAD+∠ADO＝90°，
∴∠ADO+∠BOH＝90°，
∴OH⊥AD，
∵AD＝BC，OH＝BC，
∴OH＝AD．
（2）解：结论：OH＝AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，
∵点H是BC中点，
∴BH＝CH，
∴△BEH≌△CHO（SAS），
∴OE＝2OH，∠EBC＝∠BCO，
∴∠OBE＝∠EBC+∠OBC＝∠BCO+∠OBC＝180°﹣∠BOC，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOC＝∠OBE，
∵OB＝OA，OC＝OD
∴△BEO≌△ODA（SAS），
∴OE＝AD，∠EOB＝∠DAO，
∴OH＝OE＝AD，
∵∠AOB＝90°，
∴∠DAO+∠AOH＝∠EOB+∠AOH＝90°，
∴OH⊥AD．
（3）延长OH到M，使得HM＝OH，连接BM．
∵BH＝CH，OH＝HM，∠BHM＝∠OHC，
∴△BMH≌△COH（SAS），
∴BM＝OC，
∵AB＝8，CD＝2，
∴OB＝4，OC＝BM＝，
在△OBM中，
∴4﹣≤OM≤4+，
∴3≤OM≤5，
∵OM＝2OH，
∴≤OH≤．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
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甲
乙
丙
丁
方差
0.030
0.019
0.121
0.022
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
一班
a
b
90
二班
87.6
80
c
选手
甲
乙
丙
丁
方差
0.030
0.019
0.121
0.022
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
一班
a
b
90
二班
87.6
80
c
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