统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练13导数与函数的单调性文

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练13导数与函数的单调性文，共6页。


[基础强化]
一、选择题
1．函数f(x)＝3＋x ln x的单调递减区间是( )
A.( eq \f(1,e)，e) B．(0， eq \f(1,e))
C.(－∞， eq \f(1,e)) D．( eq \f(1,e)，＋∞)
2．已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，则下面判断正确的是( )
A.在区间(－2，1)上f(x)是增函数
B.在(1，3)上f(x)是减函数
C.在(4，5)上f(x)是增函数
D.当x＝4时，f(x)取极大值
3．若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则使得函数f(x－1)单调递减的一个充分不必要条件是x∈( )
A.[0，1] B．[3，5]
C.[2，3] D．[2，4]
4．[2023·安徽省高三联考]设a＝π－3，b＝sin 6，c＝sin 3，则a，b，c的大小关系是( )
A.b＞a＞c B．c＞a＞b
C.a＞c＞b D．a＞b＞c
5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A.[－ eq \r(3)， eq \r(3)]
B.(－ eq \r(3)， eq \r(3))
C.(－∞，－ eq \r(3))∪( eq \r(3)，＋∞)
D.(－∞，－ eq \r(3))
6．已知函数f(x)＝x2－a ln x在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，1) B．(－∞，1]
C.(－∞，2) D．(－∞，2]
7．[2023·全国乙卷(文)]函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是( )
A.(－∞，－2) B．(－∞，－3)
C.(－4，－1) D．(－3，0)
8．已知函数y＝f(x)满足f′(x)＝x2－3x－4，则y＝f(x＋3)的单调减区间为( )
A.(－4，1) B．(－1，4)
C.(－∞，－ eq \f(3,2)) D．(－∞， eq \f(3,2))
9．若函数f(x)＝x＋a ln x不是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A.[0，＋∞) B．(－∞，0]
C.(－∞，0) D．(0，＋∞)
二、填空题
10．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为(－1，3)，则b＋c＝________．
11．已知定义在[－π，π]上的函数f(x)＝x sin x＋cs x，则f(x)的单调递增区间是________．
12．[2023·安徽省蚌埠市第三次质检]若x1·2x1＝x2·lg2x2＝2 022，则x1x2的值为________．
[能力提升]
13．[2023·江西省九校联考]已知函数y＝f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，且当x∈(－∞，0)，f(x)＋xf′(x)＜0成立，若a＝21.5f(21.5)，b＝(ln 3)f(ln 3)，c＝(lg eq \s\d9(\f(1,2)) eq \f(1,4))f(lg eq \s\d9(\f(1,2)) eq \f(1,4))，则( )
A.a＞b＞c B．b＞a＞c
C.c＞a＞b D．b＞c＞a
14．[2023·东北三省三校联考]已知实数a，b，c满足a＜2，a ln a－2ln 2＝a－2，b＜ eq \r(2)，b ln b－ eq \r(2)ln eq \r(2)＝b－ eq \r(2)，c＞ eq \f(1,2)，c ln c－ eq \f(1,2)ln eq \f(1,2)＝c－ eq \f(1,2)，则( )
A.c＜b＜a B．b＜c＜a
C.a＜c＜b D．a＜b＜c
15．[2023·安徽省滁州市高三第二次质检]已知函数f(x)＝ eq \f(ln x,x2)，关于x的不等式1－ eq \f(a,f（x）)＞0的解集中有且只有一个整数，则实数a的范围是( )
A.[ eq \f(ln 3,3)，ln 2) B．[ eq \f(ln 3,9)， eq \f(ln 2,4))
C.[ eq \f(2ln 3,9)，ln 2) D．[ eq \f(ln 6,9)， eq \f(ln 2,2))
16．[2023·江西省赣州市高三期末]已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，都有不等式f(x)－xf′(x)＞0成立，若a＝4 eq \s\up6(\f(1,5))f(4－ eq \f(1,5))，b＝ eq \r(2)f( eq \f(\r(2),2))，c＝lg eq \s\d9(\f(1,3))9f(lg eq \s\d9(\f(1,3)) eq \r(3))，则a，b，c的大小关系是( )
A.a＜b＜c B．a＜c＜b
C.b＞a＞c D．a＞b＞c
专练13 导数与函数的单调性
1．B 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，由f′(x)<0，得02．C 由函数y＝f(x)与y＝f′(x)的关系可知，当x∈(－2，1)时，f(x)先减后增，故A不正确；当x∈(1，3)时，f(x)先增后减，故B不正确；当x∈(4，5)时，f′(x)>0，∴f(x)在(4，5)上单调递增，故C正确；由函数的图像可知函数在x＝4处取得极小值，故D不正确．
3．C 因为f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，所以f(x)在区间[1，3]上单调递减，f(x)的图像向右平移一个单位长度得到f(x－1)的图像，所以f(x－1)在区间[2，4]上单调递减．用集合的观点考虑“充分不必要条件”，在选项中，包含在区间[2，4]内的选项为C.
4．C 令f(x)＝x－sin x，x∈(0， eq \f(π,2))，
则f′(x)＝1－cs x＞0，
所以函数f(x)＝x－sin x在(0， eq \f(π,2))上单调递增，
所以x－sin x＞0，即x＞sin x在x∈(0， eq \f(π,2))上恒成立，
又π－3∈(0， eq \f(π,2))，
所以π－3＞sin (π－3)＝sin 3＞0，
又6∈(π，2π)，所以sin 6＜0，
所以π－3＞sin 3＞sin 6，
即a＞c＞b.
5．A 函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1的导数为f′(x)＝－3x2＋2ax－1.∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，∴在(－∞，＋∞)上f′(x)≤0恒成立，即－3x2＋2ax－1≤0恒成立，∴Δ＝4a2－12≤0，解得－ eq \r(3)≤a≤ eq \r(3)，∴实数a的取值范围是[－ eq \r(3)， eq \r(3)].
6．D 由f(x)＝x2－a ln x，得f′(x)＝2x－ eq \f(a,x)，
∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴2x－ eq \f(a,x)≥0，即a≤2x2在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤2.
7．B 由题意知f′(x)＝3x2＋a，要使函数f(x)存在3个零点，则f′(x)＝0要有2个不同的根，则a<0.令3x2＋a＝0，解得x＝± eq \r(\f(－a,3)).令f′(x)>0，则x<－ eq \r(\f(－a,3))或x> eq \r(\f(－a,3))，令f′(x)<0，则－ eq \r(\f(－a,3))0，,f（\r(\f(－a,3))）<0，))即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(－2a,3)·\r(\f(－a,3))＋2>0,\f(2a,3)·\r(\f(－a,3))＋2<0))，解得 eq \r(\f(－a,3))>1，即a<－3.故选B.
8．A 由f′(x)＝x2－3x－4<0，得－1∴f(x)的单调减区间为(－1，4)，
∴y＝f(x＋3)的单调减区间为(－4，1).
9．C ∵f′(x)＝1＋ eq \f(a,x)，由题意得1＋ eq \f(a,x)＝0在(0，＋∞)上有解，∴a＝－x<0，∴a的取值范围是(－∞，0).
10．答案：－12
解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意得3x2＋2bx＋c<0的解集为(－1，3).∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1＋3＝－\f(2b,3)，,－1×3＝\f(c,3)，))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－3，,c＝－9，))
∴b＋c＝－12.
11．答案：(－π，－ eq \f(π,2))，(0， eq \f(π,2))
解析：∵f′(x)＝sin x＋x cs x－sin x＝x cs x，
由f′(x)>0得－π∴f(x)的单调增区间为(－π，－ eq \f(π,2))，(0， eq \f(π,2)).
12．答案：2 022
解析：因为x1·2x1＝x2·lg2x2＝2 022，所以2x1lg22x1＝x2·lg2x2＝2 022，则2x1＞1，x1＞0，x2＞1，设f(x)＝xlg2x，(x＞1)，则f′(x)＝lg2x＋ eq \f(1,x ln 2)＞0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以2x1＝x2，所以x1x2＝x1·2x1＝2 022.
13．D 函数y＝f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，可知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝0对称，即y＝f(x)为偶函数，构造g(x)＝xf(x)，当x∈(－∞，0)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)＜0，故y＝g(x)在(－∞，0)上单调递减，且易知g(x)为奇函数，故y＝g(x)在(0，＋∞)上单调递减，由21.5＞2＝lg eq \s\d9(\f(1,2)) eq \f(1,4)＞ln 3＞0，所以g(21.5)＜g(lg eq \s\d9(\f(1,2)) eq \f(1,4))＜g(ln 3).
14．D 由题意得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a ln a－a＝2ln 2－2,b ln b－b＝\r(2)ln \r(2)－\r(2),c ln c－c＝\f(1,2)ln \f(1,2)－\f(1,2)))，
令f(x)＝x ln x－x，则f′(x)＝ln x，
∴当x∈(0，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，
f′(x)＞0；
∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
∴f(x)min＝f(1)＝－1；
又f(e)＝0，当x∈(0，1)时，f(x)＜0；
∴方程f(x)＝t(－1＜t＜0)有两个不等解x1，x2，
∴0＜x1＜1，1＜x2＜e；
∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（a）＝f（2）,f（b）＝f（\r(2)）,f（c）＝f（\f(1,2)）))，又0＜ eq \f(1,2)＜1＜ eq \r(2)＜2＜e，
∴0＜a＜1，0＜b＜1，1＜c＜e；
又f(2)＞f( eq \r(2))，∴f(a)＞f(b)，∴a＜b；
综上所述：a＜b＜c.
15．B 因为f(1)＝ eq \f(ln 1,1)＝0，所以x＝1不是不等式1－ eq \f(a,f（x）)＞0的一个解，当x＞1时，f(x)＝ eq \f(ln x,x2)＞0，
则1－ eq \f(a,f（x）)＞0⇔f(x)－a＞0⇔a＜ eq \f(ln x,x2).
不等式1－ eq \f(a,f（x）)＞0有且只有一个整数解等价于a＜ eq \f(ln x,x2)只有一个整数解，
即f(x)的图像在直线y＝a的上方只有一个整数解 ，
f′(x)＝ eq \f(1－2ln x,x3)，
令f′(x)＝0，则x＝ eq \r(e).
当x∈(0， eq \r(e))时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
当x∈( eq \r(e)，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
作出f(x)的图像，
由图像可知a的取值范围为f(3)≤a＜f(2)，
即 eq \f(ln 3,9)≤a＜ eq \f(ln 2,4).
16．A ∵当x∈(0，＋∞)时不等式f(x)－xf′(x)＞0成立，
∴( eq \f(f（x）,x))′＝ eq \f(f′（x）x－f（x）,x2)＜0，
∴g(x)＝ eq \f(f（x）,x)在(0，＋∞)上是减函数，
则a＝4 eq \s\up6(\f(1,5))f(4－ eq \f(1,5))＝ eq \f(f（4－\f(1,5)）,4－\f(1,5))＝g(4－ eq \f(1,5))，
b＝ eq \r(2)f( eq \f(\r(2),2))＝ eq \f(f（\f(\r(2),2)）,\f(\r(2),2))＝g( eq \f(\r(2),2))，
c＝lg eq \s\d9(\f(1,3))9f(lg eq \s\d9(\f(1,3)) eq \r(3))＝－2f(－ eq \f(1,2))＝ eq \f(f（－\f(1,2)）,－\f(1,2))＝g(－ eq \f(1,2))，
又∵函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，
∴g(x)＝ eq \f(f（x）,x)是定义在R上的偶函数，
则g(－ eq \f(1,2))＝g( eq \f(1,2))，
∵4－ eq \f(1,5)＝ eq \f(1,\r(5,4))＝ eq \f(1,\r(10,16)) ＞ eq \f(1,\r(10,25))＝ eq \f(\r(2),2)＞ eq \f(1,2)，
∵g(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴g(4－ eq \f(1,5))＜g( eq \f(\r(2),2))＜g( eq \f(1,2))，
则a＜b＜c.