2025届高考数学一轮复习专练54 椭圆的定义及标准方程（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习专练54 椭圆的定义及标准方程（Word版附解析），共9页。
【基础落实练】
1.(5分)(2024·许昌模拟)已知F1,F2为椭圆x29+y216=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|F2A|+|F2B|=10,则|AB|=( )
A.8 B.6 C.4 D.2
【解析】选B.由x29+y216=1,即y216+x29=1,可得a=4,
根据椭圆的定义|F1A|+|F2A|+|F1B|+|F2B|=4a=16,所以|AB|=|F1A|+|F1B|=6.
2.(5分)与椭圆x225+y29=1有相同焦点,且过点(3,15)的椭圆方程为( )
A.y236+x220=1 B.x236+y220=1
C.y220+x218=1 D.x220+y218=1
【解析】选B.由题意可设椭圆的方程为x225+λ+y29+λ=1(λ>-9).又所求椭圆过点(3,15),所以将(3,15)代入椭圆方程,得925+λ+159+λ=1,解得λ=11(λ=-21舍去).故所求的椭圆方程为x236+y220=1.
3.(5分)已知(0,-4)是椭圆3kx2+ky2=1的一个焦点,则实数k=( )
A.6 B.16 C.24 D.124
【解析】选D.椭圆3kx2+ky2=1化为:x213k+y21k=1,显然k>0,有1k>13k,而椭圆的一个焦点为(0,-4),因此1k-13k=42,所以k=124.
【加练备选】
已知曲线C:x2k-5+y23-k=-1,则“4≤k5-k>0,即4b>0),
因为椭圆过点A(3,0),所以9b2=1,解得b=3,
又2a=3×2b,所以a=9,所以方程为x29+y281=1.
综上所述,椭圆方程为x29+y2=1或x29+y281=1;
(2)由已知,有a=2ca-c=3,解得a=23c=3,
所以b2=a2-c2=9,
若焦点在y轴上,则x29+y212=1,
若焦点在x轴上,则x212+y29=1,
所以所求椭圆方程为x212+y29=1或x29+y212=1;
(3)设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
则12m+n=13m+4n=1,解得m=115n=15,
则所求椭圆方程为x215+y25=1.
15.(10分)(2024·南充模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(0,2),(6,2).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l:y=x-2交椭圆C于A,B两点,O是坐标原点,求△AOB的面积S.
【解析】(1)因为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(0,2),所以b=2,
把点(6,2)的坐标代入方程x2a2+y24=1,
得6a2+24=1,解得a=23.所以椭圆C的方程为x212+y24=1.
(2)联立y=x-2,x212+y24=1,消去y,得x2-3x=0.
解得x=0,y=-2或x=3,y=1,不妨设A(0,-2),B(3,1),则S=12|OA|×3=12×2×3=3.
【素养创新练】
16.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知△HMN的周长是18,M,N是x轴上关于原点对称的两点,若|MN|=6,动点G满足GM+GN+GH=0.则动点G的轨迹方程为x24+y23=1(x≠±2).
【解析】由GM+GN+GH=0,知点G是△HMN的重心,取点F1(-1,0),F2(1,0),
不妨设M(-3,0),N(3,0),
则GF1∥HM,GF2∥HN,
且|GF1|+|GF2|=13(|HM|+|HN|)=13(18-6)=4>|F1F2|=2,所以点G是以F1,F2为焦点的椭圆(除去长轴端点),设椭圆C的方程是x2a2+y2b2=1(a>b>0),
则2a=4,2c=2,于是b2=a2-c2=3,
即x24+y23=1,
从而,点G的轨迹方程为:x24+y23=1(x≠±2).