2025年高考数学一轮复习-9.5.1-椭圆的定义及标准方程【导学案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-9.5.1-椭圆的定义及标准方程【导学案】，共18页。学案主要包含了课程标准，必备知识 精归纳，常用结论，基础小题 固根基，方法提炼，对点训练，加练备选，一题多变等内容，欢迎下载使用。
1.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.
2.通过椭圆与方程的学习,进一步体会数形结合的思想.
3.了解椭圆的简单应用.
第1课时 椭圆的定义、标准方程及其几何性质
【必备知识 精归纳】
1.椭圆的定义
满足下列两个条件:
(1)在同一个平面内动点P和两个定点F1,F2;
(2)|PF1|+|PF2|为定值,且|PF1|+|PF2|>|F1F2|,动点P的轨迹为椭圆.
点睛(1)当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,动点P的轨迹为线段F1F2.
(2)当|PF1|+|PF2|b>0)上的点,F1,F2为焦点,若∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积为b2tanθ2.
5.设M(x0,y0)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的任意一点,椭圆的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则
|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(其中e是离心率).
|MF1|max=a+c,|MF1|min=a-c.
【基础小题 固根基】
1.(教材变式)点P为椭圆4x2+y2=16上一点,F1,F2为该椭圆的两个焦点,若PF1=3,则PF2=( )
A.13B.1C.7D.5
【解析】选D.椭圆方程为x24+y216=1,
由椭圆定义可知,PF1+PF2=2a=8,
又|PF1|=3,故PF2=5.
2.(教材变式)椭圆x225+y29=1的长半轴长a=( )
A.11B.7C.5D.2
【解析】选C.由椭圆标准方程知,长半轴长a=5.
3.(结论1)椭圆C:x225+y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆C于A,B两点,则△F1AB的周长为( )
A.12B.16C.20D.24
【解析】选C.△F1AB的周长为|F1A|+|F1B|+|AB|=|F1A|+|F2A|+|F1B|+|F2B|=2a+2a=4a.
因为在椭圆x225+y216=1中,a2=25,即a=5,
所以△F1AB的周长为4a=20.
4.(教材提升)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,PF1+PF2=10,且离心率为55,则椭圆C的标准方程为( )
A.x225+y210=1B.x225+y220=1
C.x230+y220=1D.x245+y230=1
【解析】选B.根据椭圆定义可得
PF1+PF2=2a=10,所以a=5,
由离心率e=ca=55,所以c=5,
所以b2=a2-c2=25-5=20,
所以椭圆C的标准方程为x225+y220=1.
5.(结论3)已知椭圆C:x24+y2=λ(λ>0),则该椭圆的离心率e=( )
A.33B.12C.32D.52
【解析】选C.e=1-b2a2=1-λ4λ=34=32.
6.(忽略隐含条件)若方程x25-k+y2k-3=1表示椭圆,则k的取值范围是 .
【解析】由已知得5-k>0,k-3>0,5-k≠k-3.
解得30)的两个焦点,椭圆C上的一点P满足·=0,且sin∠PF2F1=2sin∠PF1F2,则a的值为( )
A.3B.2C.1D.12
【解析】选A.由·=0,得PF1⊥PF2,
由正弦定理得PF1sin∠PF2F1=PF2sin∠PF1F2.
又sin∠PF2F1=2sin∠PF1F2,则PF1=2PF2,
所以椭圆C的离心率
e=ca=2c2a=F1F2PF1+PF2=5PF23PF2=53.
又c=5,所以a=3.
2.(2023·滨州模拟) 短轴长为25,离心率e=23的椭圆的两焦点为F1,F2,过F1作直线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为 .
【解析】因为短轴长为25,离心率e=23,
所以b=5,e=ca=23,
又a2=b2+c2,解得a=3,
所以△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=12.
答案:12
【加练备选】
(多选题)已知椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F,E,直线x=m(-10,n>0,m≠n),用待定系数法求出m,n的值即可.
(3)椭圆系方程:①与x2a2+y2b2=1共焦点的椭圆系为x2a2-k+y2b2-k=1(k0).
【对点训练】
1.已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A,B两点.若△AF2B是边长为4的等边三角形,则椭圆C的方程为( )
A.x24+y23=1B.x29+y26=1
C.x216+y24=1D.x216+y29=1
【解析】选B.如图所示,因为△ABF2是边长为4的等边三角形,
所以|AF2|=4,|AF1|=12|AB|=2,
所以2a=|AF1|+|AF2|=6,所以a=3.
又因为|F1F2|=2c=|AF2|2-|AF1|2=23,
所以c=3,则b2=a2-c2=6,
故椭圆C的方程为x29+y26=1.
2.(多选题)点F1,F2为椭圆C的两个焦点,若椭圆C上存在点P,使得∠F1PF2=90°,则椭圆C的方程可以是( )
A.x225+y29=1B.x225+y216=1
C.x218+y29=1D.x216+y29=1
【解析】选AC.设椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0,
设椭圆上顶点为B,椭圆C上存在点P,
使得∠F1PF2=90°,则需∠F1BF2≥90°,
所以BF12+BF22≤F1F22,
即a2+a2≤4c2,因为c2=a2-b2,
所以2a2≤4a2-4b2,
则a2≥2b2,所以选项AC满足.
3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),其关于直线y=bx的对称点Q在椭圆上,则离心率e= ,S△F O Q= .
【解析】设点Q(x,y),则由点Q与椭圆的右焦点
F(1,0)关于直线y=bx对称得yx-1=-1b,y2=b·x+12,
解得x=1-b21+b2,y=2b1+b2,代入椭圆C的方程得
(1-b2)2a2(1+b2)2+4b2b2(1+b2)2=1,
结合a2=b2+1,解得a=2,b=1,
则椭圆的离心率e=ca=22,
S△F O Q=12|OF|·|2b1+b2|=12×1×21+12=12.
答案:22 12
4.已知A-1,0,B是圆C:x-12+y2=8上一动点,线段AB的垂直平分线交BC于P,则动点P的轨迹方程为 .
【解析】如图所示,圆C:x-12+y2=8的圆心坐标为C(1,0),半径r=CB=22,
因为P是线段AB的垂直平分线上的点,
所以PA=PB,
则AP+PC=CB=22>2,
根据椭圆的定义可知,
点P的轨迹为以A,C为焦点的椭圆,
其中a=2,c=1,则有b=a2-c2=1,
故点P的轨迹方程为x22+y2=1.
答案:x22+y2=1
【加练备选】
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为43,则椭圆C的方程为( )
A.x23+y22=1B.x23+y2=1
C.x212+y28=1D.x212+y24=1
【解析】选A.若△AF1B的周长为43,
由椭圆的定义可知,4a=43,所以a=3.
因为e=ca=33,所以c=1,
所以b2=2,所以椭圆C的方程为x23+y22=1.
题型三 椭圆的几何性质
角度1 椭圆的离心率
[典例4](1)2022年10月7日21时10分,中国太原卫星发射中心在黄海海域使用长征十一号海射运载火箭,采用“一箭双星”方式,成功将微厘空间北斗低轨导航增强系统S5/S6试验卫星发射升空,卫星顺利进入预定轨道,发射任务获得圆满成功,其中的“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道,长轴长为22天文单位,其左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,点P在椭圆上且满足|OP|=|OF1|=|OF2|=c,直线PF2与椭圆交于另一个点Q,若cs∠F1QF2=45,则地球同步转移轨道的离心率为( )
A.12B.22C.35D.45
【解析】选B.因为|OP|=|OF1|=|OF2|=c,
所以PF1⊥PF2,
因为cs∠F1QF2=45,设|PQ|=4m,|F1Q|=5m,
则|PF1|=3m,又|PQ|+|F1Q|+|PF1|=4a,
即12m=42,即3m=2,
则|PF1|=2,|PF2|=22-2=2,
则|F1F2|=2,即c=1,即e=ca=22.
(2)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是( )
A.[22,1]B.[12,1]
C.(0,22]D.(0,12]
【解析】选C.B点坐标为(0,b),
设P(x0,y0),因为x02a2+y02b2=1,a2=b2+c2,
所以|PB|2=x02+(y0-b)2=a2(1-y02b2)+(y0-b)2=-c2b2(y0+b3c2)2+b4c2+a2+b2,
因为-b≤y0≤b,所以当-b3c2≤-b,
即b2≥c2时,|PB|max2=4b2,
即|PB|max=2b,
符合题意,由b2≥c2可得a2≥2c2,
即0-b,即b2b>0)上一动点,F1,F2分别为该椭圆的左、右焦点,B为短轴一端点,如果|PB|长度的最大值为2b,则使△PF1F2为直角三角形的点P共有( )
A.8个B.4个或6个
C.6个或8个D.4个或8个
【解析】选B.当F1为直角顶点时,根据椭圆的对称性,可得满足的点P有2个;
当F2为直角顶点时,根据椭圆的对称性,可得满足的点P有2个;
因为B为短轴一端点,令B(0,b),|PB|长度的最大值为2b,
椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),所以说明椭圆与圆x2+(y-b)2=4b2有且仅有下顶点这唯一交点,
设P(x0,y0),所以|PB|≤2b ,即|PB|2≤4b2,
所以x02+(y0-b)2≤4b2 ,
因为x02a2+y02b2=1,
所以x02=a2（1-y02b2）代入x02+(y0-b)2≤4b2中得,（1-a2b2）y02-2by0+a2-3b2≤0,
因为-b≤y0≤b,所以y0+b≥0,
所以(y0+b)(1-a2b2)y0+a2-3b2b≤0,
所以（b2-a2b2）y0+a2-3b2b≤0,
因为b2-a2b20)的左、右焦点分别为F1,F2,长轴长为4,点P(2,1)在椭圆内部,则椭圆C的离心率的取值范围是 .
【解析】由题意可知,a=2,
所以椭圆的标准方程为x24+y2b2=1,
因为点P(2,1)在椭圆内部,所以24+1b22,又b2