椭圆的性质-2025届高三数学一轮复习专练

这是一份椭圆的性质-2025届高三数学一轮复习专练，文件包含椭圆的性质解析-2025届高三数学一轮复习docx、椭圆的性质-2025届高三数学一轮复习docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。

1.椭圆的简单几何性质
1．一个椭圆的半焦距为，离心率，那么它的短轴长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，∴，∴．
2．椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为,若成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】∵，∴．
∴，∴，∴．
3．已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则椭圆的方程是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意，，∴，∴，．
4．已知，分别是椭圆：的左, 右焦点, 点在椭圆上, , 则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴．
∵点在椭圆上,
∴，∴，，．
考点一 与椭圆离心率相关的问题
【例1】直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设椭圆方程为，
设直线的方程为， 即．
∴，，即．
【方法技巧】求椭圆离心率的方法
（1）直接求出的值，利用离心率公式直接求解．
（2）列出含有，，的齐次方程(或不等式)，借助于消
去，转化为含有的方程(或不等式)求解．
【变式如图，在平面直角坐标系中，是椭圆 的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是______ ．
【答案】
【解析】由题意得，
∴，
∴，∴．
考点二 与椭圆相关的最值问题
【例2】(1)求到椭圆上的动点距离的最大值和最小值；
(2) 已知是椭圆的左焦点，是此椭圆上的动点，是一定点，求的最大值和最小值．
【解析】(1)设椭圆上的动点，
则，
∵点是椭圆上的点，∴.
∴的最大值为，最小值为．
【解析】（2）由题意知，．
设椭圆右焦点为，则．
∵，
∴.
当三点共线时，取到最大值，
或者最小值.
∴的最大值为，最小值为.
【方法技巧】椭圆中距离的最值的解法
（1）把距离问题转化为二次函数求最值的问题；
（2）利用椭圆的定义结合平面几何知识求解．
【变式】为椭圆上任意一点，为圆:的任意一条直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则．
，
∵，∴，故选C．
考点三 直线与椭圆的综合问题
【例3】已知椭圆：的右焦点为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线，交椭圆于、两点，点在椭圆上，坐标原点恰为的重心，求直线的方程．
【解析】（1）由题意可得，左焦点，．
∴，
∴，即，
∴椭圆的方程为．
（2）显然直线与轴不垂直，设：，．
由，得，
∴，，
∴的中点，
∵原点恰为的重心，∴．
∵点在椭圆上，∴,
∴，解得或（舍），即．
∴直线l的方程为．
【温馨提醒】的重心坐标为．
1．若点为椭圆上一点，则的最大值为（D ）
A． B． C． D．
【解析】∵点为椭圆上一点，
∴可设，
∴．
∴的最大值为．
2．已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到两焦点距离之和为，则（ D ）
A． B． C． D．
【解析】依题意，∴．
∵，∴，∴．
3．已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（A ）
A． B． C． D．
【解析】∵，∴．
∴．
∵，即．
∵，∴
4．已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为椭圆的左，右顶点．为椭圆上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为（ A ）
A． B． C． D．
【解析】设直线的方程为，
分别令与，
得，，
∵∥，∴，
∴，解得．
5．已知圆经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则椭圆的离心率 ．
【解析】∵圆与轴的交点坐标为，
∴，．
6．已知、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的任意一点, 则的取值范围是 ．
【解析】当时，,
∵，，
∴．
7．设椭圆的方程为点为坐标原点，点，点在线段上，满足，直线的斜率为．
（1）求的离心率；
（2）设点，为线段的中点，证明：．
【解析】（1）∵，，∴．
∵直线的斜率为，∴，∴．
∴，∴，∴．
（2）由题意可知点的坐标为．
∴，，
∴，
∴．
8．已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为和，且，点在该椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切圆的方程．
【解析】（1）∵，∴．∵点在上，∴．
由，解得，．∴椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，
由，得，
∴，，
，
，
∴．
∴直线的方程为，
∴圆的半径，
∴圆的方程为．
焦点位置
焦点在上
焦点在上
图 形
标准方程
范围
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
轴
长轴；短轴
焦距
离心率