专题11 双曲线方程及其简单几何性质中档题突破——高考数学一轮复习重难点（解析版）

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专题11 双曲线方程及其简单几何性质中档题突破
题型一 双曲线的标准方程
1．与双曲线共焦点，且离心率为的椭圆的标准方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设椭圆的半焦距为．
由椭圆与双曲线有公共焦点，
得椭圆的焦点坐标为，，
，再由，可得，，
则椭圆的标准方程为，
故选：．
2．与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，得，，
，得，
即椭圆的半焦距为．
设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，
所求双曲线的焦点在轴上，则，
双曲线方程化为：，
设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，
则，，
，解得：．
所求双曲线的方程为．
故选：．
3．双曲线与椭圆有相同的焦距，一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为　　
A． B．或
C．或 D．
【解答】解：椭圆中，，
焦距，
双曲线与椭圆有相同的焦距，一条渐近线方程为，
设双曲线方程为，
化为标准方程，得：，
当时，，解得，
双曲线方程为；
当时，，解得，
双曲线方程为．
双曲线方程为或．
故选：．
4．设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为　　．
【解答】解：双曲线经过点，且与具有相同渐近线，
设双曲线的方程为，，
把点代入，得：，解得，
双曲线的方程为：．
故答案为：．
5．已知、为双曲线的左，右焦点，点在的右支上，△为等腰三角形，且，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为△为等腰三角形，且，
所以，
所以，
过点作，垂足为，
所以，
由双曲线的定义可得，
所以，
所以，
故选：．

6．已知抛物线，若双曲线以抛物线焦点为右焦点，且一条渐近线方程是，则该双曲线的标准方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：抛物线的焦点为，
因为双曲线以抛物线焦点为右焦点，
所以①，②，
双曲线的渐近线为，
所以③，
由①②③，解得，，
所以双曲线的方程为．
故选：．
7．根据下列已知条件求曲线方程．
（Ⅰ）求与双曲线共渐近线且过，点的双曲线方程；
（Ⅱ）求与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆方程．
【解答】解：（Ⅰ）设与双曲线共渐近线的双曲线方程为：
点，在双曲线上，

所求双曲线方程为：，即．
（Ⅱ）若焦点在轴上，设所求椭圆方程为，将点代入，得，
故所求方程为．
若焦点在轴上，设方程为代入点，得，
．

题型二 双曲线的性质
8．我们把方程分别为：和的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同　　
A．离心率 B．渐近线 C．焦点 D．顶点
【解答】解：共轭双曲线和的，设，，
可得它们的焦点为，，
渐近线方程均为，
离心率分别为和，
它们的顶点分别为，，
故选：．
9．对于双曲线和，给出下列四个结论：
（1）离心率相等；（2）渐近线相同；（3）没有公共点；（4）焦距相等，其中正确的结论是　　
A．（1）（2）（4） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（2）（4）
【解答】解：由题意，双曲线，，
（1）离心率分别为，；（2）渐近线相同，为；（3）没有公共点；（4）焦距相等，为10，
故选：．
10．已知双曲线的焦点为，，过左焦点交双曲线左支于、两点，若，则等于 　　．
【解答】解：如图，

由双曲线定义可得：，，
，
又已知，
，得．
故答案为：．
11．已知，为双曲线的左、右焦点，斜率为的直线过分别交双曲线左、右支于、点，，则双曲线的渐近线方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，由双曲线定义得：，，
所以，
作，△中，，可得，
△中，勾股定理得：①，
△中，勾股定理得：，
可得②，
由①②可得，整理可得，即可得．
所以渐近线的斜率为，故渐近线方程为．

故选：．
12．直线是双曲线等的一条渐近线，且双曲线的一个顶点到渐近线的距离为，则该双曲线的虚轴长为　　
A．4 B．8 C． D．
【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线为，
又直线是双曲线的一条渐近线，
所以，①
因为双曲线的一个顶点到渐近线的距离为，
所以点到渐近线的距离为，
所以，②
由①②得，，
所以双曲线的虚轴长，
故选：．
13．双曲线的右焦点到直线的距离的最大值为　　
A． B．2 C． D．3
【解答】解：双曲线的右焦点为，
直线过定点，
所以双曲线的右焦点到直线的距离的最大值为线段 的长，
即最大值为，
故选：．
14．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点、分别为渐近线和双曲线左支上的动点，则取得最小值为　　．
【解答】解：依题意，，，
不妨取其中一条渐近线为，由双曲线的定义知，，
，则，
当、、三点共线时且垂直于渐近线时，取得最小值．
此时，到渐近线的距离为，最小值为：．
故答案为：．
15．已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，，当的周长最小时，的面积为　　
A． B．9 C． D．4
【解答】解：如图，设的右焦点为，由题意可得，，
因为，所以，．
的周长为，
即当，，三点共线时，的周长最小，此时直线的方程为，
联立方程组，解得或，即此时的纵坐标为，
故的面积为．
故选：．

16．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结论正确的是　　
A．与共轭的双曲线是
B．互为共轭的双曲线渐近线不相同
C．互为共轭的双曲线的离心率为，，则
D．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上
【解答】解：对：根据所给定义可得与共轭的双曲线是，故错误；
对：由双曲线方程与，可得其渐近线方程均为，故错误；
对：由双曲线方程程与，可得，，
则，即，
因为，均大于1，
所以，则，当且仅当时取“”，故正确；
对的焦点坐标为，，的焦点坐标为，
这四个焦点在以原点为圆心，以为半径的圆上，故正确．
故选：．

题型三 轨迹问题
17．平面内有两个定点和，动点满足条件，则动点的轨迹方程是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支，
得，，
，
，
故动点的轨迹方程是．
故选：．
18．若动点满足，则点的轨迹方程为　　．
【解答】解：设，
由于动点的轨迹方程为，则，故点到定点与到定点的距离差为6，
则动点的轨迹是以为焦距，以6为实轴长的双曲线的右支，
由于，，则，
故的轨迹的标准方程为：．
故答案为：．
19．已知动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为　　．
【解答】解：由圆，可得圆心，半径；由圆可得圆心，半径．
设动圆的半径为，由题意可得，．
．
由双曲线的定义可得：动圆的圆心在以定点，为焦点的双曲线的右支上．
，．．
动圆圆心的轨迹方程为．
故答案为．
20．设是以，为焦点的双曲线上的动点，则△的重心的轨迹方程是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：是△的重心，，
设，，则，
代入双曲线方程可得：．
故选：．
21．（1）已知双曲线中心在原点，该双曲线过点，且渐近线方程为，求该双曲线的方程．
（2）已知圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程．
【解答】解：（1）由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，
把点代入，可得，即．
该双曲线的方程为；
（2）圆的圆心为，半径为2；
圆的圆心为，半径为10．
设动圆圆心为，半径为，
则，，
于是，
动圆圆心的轨迹是以，为焦点，长轴长为12的椭圆．
，，．
的轨迹方程为：．
22．（1）求与双曲线有共同的渐近线，且经过点，的双曲线的方程．
（2）已知，，若的周长为10，求顶点的轨迹方程．
【解答】解：（1）根据题意，要求双曲线与双曲线有共同的渐近线，则设要求双曲线的方程为，
又由要求双曲线经过点，，
则有，解可得，
则要求双曲线的方程为，
（2）根据题意，已知，，
若的周长为10，则，
分析可得：顶点的轨迹为以、为焦点的椭圆，其中，，（排除长轴的端点）
则，
则顶点的轨迹方程为，．
23．双曲线，、为其左右焦点，是以为圆心且过原点的圆．
（1）求的轨迹方程；
（2）动点在上运动，满足，求的轨迹方程．
【解答】解：（1）由已知得，，故，所以、，
因为是以为圆心且过原点的圆，故圆心为，半径为4，
所以的轨迹方程为；
（2）设动点，，，
则，，
由，得，，，
即，解得，
因为点在上，所以，
代入得，
化简得．

题型四 双曲线的离心率
24．已知，为双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线离心率的值为　　
A． B． C．2 D．3
【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为，
点到渐近线的距离，
，
在中，
运用余弦定理，可得，
，
，
，
．
故选：．
25．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为　　
A． B．3 C． D．
【解答】解：如图，不妨取渐近线为，

焦点到渐近线的距离为，则，
，
则．
故选：．
26．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作以为圆心、为半径的圆的切线切点为．延长交的左支于点，若为线段的中点，且，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，得，，
，
，
所以，
解得，
故选：．
27．已知双曲线与直线相交于，两点，直线上存在一点满足，坐标原点为，直线的斜率为2，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．3
【解答】解：设，，，，
、在双曲线上，
①，②，
①②得：，
即，
点，也在直线上，，
又为，的中点，，，
又，，则，
双曲线的离心率，
故选：．
28．双曲线，的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点，轴，，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．2
【解答】解：因为点在双曲线上，且轴，
所以点的横坐标为，代入双曲线的方程可得，
则，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以（舍去），或，
故选：．
29．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，且．若，则双曲线的离心率为　　
A． B．2 C． D．4
【解答】解：设，因为，则，
由双曲线的定义可得，，
因为，
所以，，，，
因为，所以，
由余弦定理可得，
即，解得．
故选：．

30．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线右支交于点，过作的角平分线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，，是双曲线的左右焦点，延长交于点．
是的角平分线，．
点在双曲线上，，．
是的中点，是的中点，是△的中位线，
，则．
在△中，由余弦定理可知，
，
当的横坐标趋近于时，直线的斜率趋近，
故，
得，．
故选：．

31．、分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若是等边三角形，则该双曲线的离心率为　　

A． B． C． D．
【解答】解：因为为等边三角形，不妨设，
为双曲线上一点，，
为双曲线上一点，则，，，
由，则，
在△中应用余弦定理得：，
得，则，解得．
故选：．