2023-2024学年福建省厦门市同安区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年福建省厦门市同安区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列体育运动图案中，属于轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.计算：2024−1=( )
A. −2024B. 2024C. −12024D. 12024
3.下列式子中，是二次根式的是( )
A. πB. 13C. −2D. 3
4.点M(5,2)关于x轴对称的点的坐标为( )
A. (−5,2)B. (−5,−2)C. (5,−2)D. (2,−5)
5.下列计算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. a2⋅a3=a5C. a6÷a2=a3D. (a2)3=a5
6.若x，y的值均扩大为原来的5倍，则下列分式的值保持不变的是( )
A. x+yxyB. x+yx−yC. x+yy+1D. x−1y
7.如图，△ABC≌△A′B′C，且点B′在AB边上，点A′恰好在BC的延长线上，下列结论错误的是( )
A. CB=CB′B. ∠ACB=2∠B
C. ∠B′CA=∠B′ACD. B′C平分∠BB′A′
8.如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，交BC于点D，AC=6，BC=8，AB=10，则CD的长为( )
A. 2.4
B. 3
C. 3.6
D. 4
9.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H为BC的中点.若BC=5，△ABC的面积是30，则PB+PH的最小值为( )
A. 5
B. 6
C. 12
D. 24
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=4，AC=9，点D在Rt△ABC的边AC上，CD=m，以BD为直角边在AC同侧作等腰直角三角形BDE，使BD=DE=n，连接AE，若S四边形AEBC=132n，则下列关系式正确的是( )
A. m+n=13
B. mn=36
C. n−m=5
D. 4n=9m
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若式子4x−1x−3有意义，则实数x的取值范围是______.
12.正十边形的外角和为______.
13.华为Mate60Pr于2023年8月29日开售，该款手机搭载的是华为自主研发的麒麟9000s芯片，该款芯片达到了7纳米工艺水平，1纳米=0.000000001米，7纳米用科学记数法表示为：______米.
14.用一条长为20cm的细绳围成一个边长为8cm的等腰三角形，则腰长为______cm.
15.边长分别为3a和2a的两个正方形按如图的样式摆放，记图中阴影部分的面积为S1，没有阴影部分的面积为S2，则S1S2=______.
16.如图，海岸上有A，B两个观测点.点B在点A的正东方，海岛C在观测点A正北方.海岛C，D在观测点A，B所在海岸的同一侧.如果从观测点A看海岛D的视角∠BAD与从观测点B看海岛C的视角∠CBA相等，海岛C，D分别到观测点A，B的距离相等，问海岛D在观测点B的正北方吗？请说明理由：______.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1)4a2b⋅(−2ab)+(2a)2；
(2)(2x+5)(x−3).
18.(本小题8分)
如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90∘，∠B=∠E，点B，F，C，E在同一条直线上，且BF=CE.求证：AC=DF.
19.(本小题8分)
先化简，再求值：(2x+1x+2−1)÷x2−2x+1x2−4，其中x=3.
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠A=60∘，AC=12，AD=4，点D在边AB上，且CD=CB，过点C作CE⊥AB于点E，求BE的长度.
21.(本小题8分)
甲、乙两人分别从距目的地8km和12km的两地同时出发，甲、乙的速度比是4：5，结果甲比乙提前25h到达目的地，求甲、乙的速度.
22.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠ACB>90∘，且AC=BC.
(1)在边BC的延长线上求作点D，使∠CAD=2∠B(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，若∠B=36∘，求证：AB=AD.
23.(本小题10分)
已知M，N为关于x的多项式，若M−N=x2−4，并且M，N满足下表各组所含的规律，则称M是N关于x2−4的“等因式”.
(1)探究上表各组中M与N的共同特征(写出探究过程)；
(2)若N=(3x−1)(x+2)，请求出N关于x2−4的“等因式”M；
(3)已知M=2x2+mx，N=(x−n)2，若M是N关于x2−4的“等因式”，求m，n的值.
24.(本小题12分)
综合实践：
在生活中经常看到一些拼合图案如图所示，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙.从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)的问题.
(1)如果限用一种正多边形来覆盖平面的一部分，正六边形是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由；
(2)同时用正方形和正八边形是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由.
25.(本小题13分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，点B(−3,0)，C(3,0)，点A是y轴正半轴上一动点.
(1)求证：y轴是线段BC的垂直平分线；
(2)以AC为边作等边△ACD，点D在第一象限，作射线BD交y轴于点E，设∠BAO=x；
①若0∘②探究线段AE，OE与DE的数量关系，并证明.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B.
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：2024−1=12024，
故选：D.
根据负整数指数幂的意义进行计算，即可解答．
本题考查了负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：π，13不符合二次根式的形式，不是二次根式；
−2中被开方数小于0，不是二次根式；
3是二次根式．
故选：D.
根据二次根式的定义解答即可．
本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：点M(5,2)关于x轴对称的点的坐标为：(5,−2).
故选：C.
直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a2⋅a3=a5，故B符合题意；
C、a6÷a2=a4，故C不符合题意；
D、(a2)3=a6，故D不符合题意；
故选：B.
利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6.【答案】B
【解析】解：A、5x+5y25xy=15⋅x+yxy，不符合题意；
B、5x+5y5x−5y=x+yx−y，符合题意；
C、5x+5y5y+1≠x+yy+1，不符合题意；
D、5x−15y≠x−1y，不符合题意．
故选：B.
根据分式的性质逐项验证排除即可．
本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘(或除)一个不为零的数或因式，分式的值不变．
7.【答案】C
【解析】解：∵△ABC≌△A′B′C，
∴BC=B′C，∠ACB=∠A′CB′，∠B=∠A′B′C，
A.∵△ABC≌△A′B′C，
∴BC=B′C，故本选项不符合题意；
B.∵BC=B′C，
∴∠B=∠CB′B，
∴∠A′CB′=∠B+∠BB′C=2∠B，
∵∠ACB=∠A′CB′，
∴∠ACB=2∠B，故本选项不符合题意；
C.不能推出∠B′CA=∠B′AC，故本选项符合题意；
D.∵∠B=∠BB′C，∠B=∠A′B′C，
∴∠A′B′C=∠BB′C，
即B′C平分∠BB′A′，故本选项不符合题意；
故选：C.
根据全等三角形的性质得出BC=B′C，∠ACB=∠A′CB′，∠B=∠A′B′C，再逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的性质定理，能熟记全等三角形的性质(全等三角形的对应角相等，对应边相等)是解此题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：过D作DM⊥AB于M，
∵∠C=90∘，AD平分∠BAC，DM⊥AB，
∴CD=DM，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴12AC⋅BC=12AB⋅DM+12AC⋅CD，
∵AC=6，BC=8，AB=10，DM=CD，
∴12×6×8=12×10×CD+12×6×CD，
解得：CD=3，
故选：B.
过D作DM⊥AB于M，根据角平分线的性质得出DM=CD，根据三角形的面积得出12AC⋅BC=12AB⋅DM+12AC⋅CD，再代入求出答案即可．
本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：连接AP，AH，如图所示：
∵AB=AC，点H为BC中点，
∴AH⊥BC，
∴△ABC的面积是30，
∴12BC⋅AH=30，
∵BC=5，
∴AH=12，
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线MN的对称点为点A，
∴AP=BP，
∴PB+PH=PA+PH≥AH，
∴AH的长为PB+PH的最小值，
∴PB+PH的最小值为12.
故选：C.
连接AP，AH，先求出BH的长．由于△ABC是等腰三角形，点H是BC边的中点，故AH⊥BC，再根据勾股定理求出AH的长，由MN是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线MN的对称点为点A，可推出AH的长为PB+PH的最小值，由此即可得出结论．
本题考查轴对称-最短路线问题，勾股定理，等腰三角形的性质，能将两线段的和的最小值用一条线段的长表示是解答本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：过点E作EF⊥AC于F，如图：
∴∠EFD=∠BCD=∠EDB=90∘，
∴∠FED+∠FDE=∠FDE+∠CDB=90∘，
∴∠FED=∠CDB.
∵DE=BD，
∴△FDE≌△CBD(AAS).
∴EF=CD=m，DF=BC=4，
∵S四边形AEBC=S△ADE+S△BDE+S△BDC=132n，BD=DE=n，
∴12×m×(9−m)+12n2+12×4×m=132n，
整理得：n2−m2+13m−13n=0.
∴(n−m)(n+m−13)=0，
∵n>m，
∴n+m−13=0，即n+m=13；
故选：A.
过点E作EF⊥AC于F，证明△FDE≌△CBD(AAS)，由全等三角形的性质得出EF=CD=m，DF=BC=4，根据S四边形AEBC=S△ADE+S△BDE+S△BDC=132n即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形面积，证明△FDE≌△CBD是解题的关键．
11.【答案】x≠3
【解析】解：由题意得：x−3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：x≠3.
根据分式有意义的条件可得x−3≠0，再解即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
12.【答案】360∘
【解析】解：因为任意多边形的外角和都等于360∘，
所以正十边形的外角和等于360∘.
故答案为：360∘
根据多边的外角和定理进行解答．
本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．
13.【答案】7×10−9
【解析】解：7纳米=0.000000007米=7×10−9米．
故答案为：7×10−9.
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14.【答案】6或8
【解析】解：当8cm长为底边长时，则腰长为(20−8)÷2=6(cm)，
∵6+6>8，
∴能构成三角形，符合题意；
当8cm为腰长时，则底边长为20−8×2=4(cm)，
∵4+8>8，
∴能构成三角形，符合题意；
∴腰长为6cm或8cm，
故答案为：6或8.
分8cm长为腰与底边长分别求解即可．
本题考查了三角形三边关系，三角形的周长，等腰三角形的性质，注意分类讨论是解题的关键．
15.【答案】1115
【解析】解：根据图形可知：
没有阴影部分的面积为S2=12⋅3a⋅(3a+2a)=152a2，
阴影部分的面积为S1=3a⋅3a+2a⋅2a−S2=13a2−152a2=112a2，
∴S1S2=112a2152a2=1115.
故答案为：1115.
结合图形，发现：阴影部分的面积=正方形的面积-没有阴影部分的面积，没有阴影部分的面积=直角三角形的面积，代入求值即可．
此题考查了正方形的性质和整式的混合运算的应用，关键是列出求阴影部分面积的式子．
16.【答案】海岛D在观测点B的正北方，理由见解答
【解析】解：海岛D在观测点B的正北方，理由如下：
∵海岛C，D分别到观测点A，B的距离相等，
∴AC=BD，
∵从观测点A看海岛D的视角∠BAD与从观测点B看海岛C的视角∠CBA相等，
∴∠BAD=∠CBA，
又∵公共边AB=BA，
∴△CBA≌△DAB(SAS).
∴∠DBA=∠CAB=90∘，
∴海岛D在观测点B的正北方．
从观测点A看海岛D的视角∠BAD与从观测点B看海岛C的视角∠CBA相等，可以得出∠BAD=∠CBA，而已知AC=BD，公共边AB=BA，容易得出△CBA≌△DAB，所以∠DBA=∠CAB=90∘，据此可得答案．
本题考查方位角，理解方位角、角平分线的定义以及图形中角的和差关系是正确解答的前提．
17.【答案】解：(1)原式=4a2b⋅(−2ab)+4a2
=−8a3b2+4a2；
(2)原式=2x2−6x+5x−15
=2x2−x−15.
【解析】(1)按照混合运算法则和积的乘方法则，先算乘方，再根据单项式乘单项式法则计算乘法即可；
(2)根据多项式乘多项式法则，进行计算即可．
本题主要考查了整式的乘法，解题关键是熟练掌握单项式乘单项式和多项式乘多项式法则．
18.【答案】证明：∵BF=CE，
∴BF+CF=CE+CF，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
∠A=D∠B=∠EBC=EF，
∴△ABC≌△DEF(AAS)，
∴AC=DF.
【解析】先证BC=EF，再证△ABC≌△DEF(AAS)，然后由全等三角形的性质即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
19.【答案】解：(2x+1x+2−1)÷x2−2x+1x2−4
=2x+1−(x+2)x+2÷(x−1)2(x+2)(x−2)
=x−1x+2⋅(x+2)(x−2)(x−1)2
=x−2x−1，
当x=3时，原式=3−23−1=12.
【解析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
20.【答案】解：∵CE⊥AB于点E，
∴在Rt△ACE中，AC=12，∠A=60∘，
∴∠ACE=90∘−∠A=30∘，
∴AE=12AC=6，
∵AD=4，
∴DE=AE−AD=2，
∵CD=CB，CE⊥AB于点E，
∴BE=DE=2.
故得BE的长为2.
【解析】先在Rt△ACE中，根据∠A=60∘，得∠ACE=30∘，进而根据直角三角形的性质得AE=12AC=6，由此得DE=AE−AD=2，然后根据CD=CB，CE⊥AB，得BE=DE，据此可得BE的长．
此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，理解在直角三角形中，30∘的角所对的直角边等于斜边的一半；等腰三角形底边上的高，底边上的中线、顶角的平分线重合是解决问题的关键．
21.【答案】解：设甲的速度为4xkm/h，则乙的速度为5xkm/h，
根据题意得：125x−84x=25，
解得：x=1，
经检验，x=1是所列方程的解，且符合题意，
∴4x=4×1=4，5x=5×1=5.
答：甲的速度为4km/h，乙的速度为5km/h.
【解析】设甲的速度为4xkm/h，则乙的速度为5xkm/h，利用时间=路程÷速度，结合甲比乙提前25h到达目的地，列出分式方程，解方程，即可解决问题．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】(1)解：图形如图所示：
(2)证明：∵CA=CB，
∴∠B=∠CAB=36∘，
∴∠ACD=∠B+∠CAB=72∘，
∵∠CAD=2∠B=72∘.
∴∠ADC=180∘−72∘−72∘=36∘，
∴∠B=∠ADC，
∴AB=AD.
【解析】(1)根据要求作出图形；
(2)欲证明AB=AD，只要证明∠B=∠ADC=36∘.
本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
23.【答案】解：(1)①由第一组与第二组可知，M、N含有相同的项；
②由第三组与第四组可知，M、N有相同的公因式(x−2)或(x+2)；当含有公因式(x−2)时，M、N的其余因式之差为(x+2)；当含有公因式(x+2)时，M、N的其余因式之差为(x−2)；
(2)N=(3x−1)(x+2)，含有因式(x+2)，则M也含有因式(x+2)，
(x−2)+(3x−1)=4x−3，
∴M=(x+2)(4x−3)；
(3)∵M=2x2+mx，N=(x−n)2=x2−2nx+n2，M−N=x2−4，
∴m=−2n，n2=4，
∴m=−4n=2或m=4n=−2.
【解析】(1)观察第一组与第二组，第三组与第四组，可得M与N的共同特征；
(2)根据M与N的特征，求出N关于x2−4的“等因式”M；
(3)由M是N关于x2−4的“等因式”的特点，求值即可．
本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，理解题意所给的信息并综合探究应用是解本题的关键，综合性较强．
24.【答案】解：(1)如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360∘即可，
360∘÷120∘=3，
即正六边形能镶嵌成一个平面图形；
(2)设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，
那么m，n应是方程90∘m+135∘n=360∘的正整数解．
即2m+3n=8的正整数解，
有m=1，n=2，
∴同时用正方形和正八边形能镶嵌成一个平面图形．
【解析】(1)内角的整数倍能等于360∘即可；
(2)利用两种正多边形镶嵌内角之间关系进而求出即可；
本题考查了平面镶嵌，解题的关键是根据围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角来解答．
25.【答案】(1)证明：∵点B(−3,0)，C(3,0)，
∴OB=OC=3，
∵y轴⊥BC，
∴y轴是线段BC的垂直平分线；
(2)解：①根据题意作图，
∵y轴是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∵OA⊥BC，
∴∠BAO=∠CAO=x，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60∘，
∴∠BAD=∠BAO+∠CAO+∠CAD=2x+60∘，AB=AC=AD，
∵0∘∴60∘<∠BAD<180∘，
∵AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形，
∴∠ADB=180∘−∠BAD2=60∘−x；
证明：②DE=AE+2OE，理由如下：
延长EO，在EO延长线上截取OF=OE，连接BF，CE，
∵OE=OF，BC⊥EF，
∴BC时EF的垂直平分线，
∴BE=BF，
由①得AB=AC，∠BAO=∠CAO=x，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=CD，∠ADC=60∘，
∴AB=AC=CD，
∵∠ADB=∠ABD=60∘−x，
∴∠CDE=∠ADC−∠ADB=x，∠EBO=90∘−∠BAO−∠ABE=30∘，
∴∠BEO=90∘−∠EBO=60∘，∠BAF=∠CDE=x，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠BFE=60∘，
∵y轴是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE，∠BEO=∠CEO=60∘，
∴∠CED=180∘−∠BEO−∠CEO=60∘，
∴∠CED=∠BFA，
∵∠BAF=∠CDE=x，AB=DC，
∴△ABF≌△DCE(AAS)，
∴DE=AF，
∴DE=AF=AE+2OE.

【解析】(1)由点B和点C的坐标，证明OB=OC，从而得到y轴是线段BC的垂直平分线；
(2)①根据题意作图，由y轴是线段BC的垂直平分线，得到∠BAO=∠CAO=x，证明△ACD是等边三角形和△ABD是等腰三角形，即可求解；
②延长EO，在EO延长线上截取OF=OE，连接BF，CE，证明△ABF≌△DCE，即可求解．
本题考查了垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，本题的关键是熟练运用图形的性质与判定，构造全等三角形从而解题．组别
M
N
M−N
第一组
x2+2x
2x+4
x2−4
第二组
x2−2x
−2x+4
x2−4
第三组
(2x+1)(x−2)
(x−1)(x−2)
x2−4
第四组
2(x+1)(x+2)
(x+4)(x+2)
x2−4