2023-2024学年安徽省合肥市中国科大附中高新中学八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年安徽省合肥市中国科大附中高新中学八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列式子中，最简二次根式的是( )
A. 12B. 5C. 12D. 4
2.下列方程是一元二次方程的是( )
A. x2=1B. x2+y=1C. x2=x(x−1)D. x2+1x=1
3.下列各组数中，组成勾股数的是( )
A. 0.6，0.8，1B. 3， 4， 7C. 8，15，17D. 4，5，6
4.如图，将两条宽度相同的纸条重叠在一起，使∠BAD=60∘，则∠BCD等于( )
A. 30∘
B. 45∘
C. 60∘
D. 120∘
5.冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15.关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是( )
A. 众数是11B. 平均数是12C. 方差是187D. 中位数是13
6.已知b<1，那么化简b− (b−1)2的结果是( )
A. −1B. 1C. 2b+1D. 2b−1
7.某蔬菜种植基地2020年蔬菜产量为40吨，预计2022年蔬菜产量比2021年增加20吨．若蔬菜产量的年平均增长率为x，则下面所列的方程正确的是( )
A. 40(1+x)x=20B. 40(1+x2)=60
C. 40(1+x)2=60D. 40(1+x)2−40x=20
8.将矩形纸片ABCD按如图方式折叠，若△DFG刚好是等边三角形，则矩形的两边AD，AB的比为( )
A. 2：1
B. 3:1
C. 2: 3
D. 2:1
9.如图，在矩形ABCD中，E，F分别在CD边和AD边上，BE⊥CF于点G，且G为CF的中点.若AB=8，BC=10，则BG的长为( )
A. 8
B. 6 2
C. 4 5
D. 4 6
10.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：
①若a+b+c=0，则方程必有一根为x=1；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0有两个负实数根；
③若方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2−bx+a=0(c≠0)的实数根为−1x1和−1x2；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac=(2ax0+b)2.
其中正确的个数有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.若 x+1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______.
12.已知一个多边形的每一个内角都等于162∘，则这个多边形的边数为______.
13.对于实数m，n，先定义一种新运算“⊗”如下：m⊗n={m2+m+n,当m>n时n2+m+n,当m⩽n时，若x⊗(−1)=5，则实数x的值为______.
14.如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，AE⊥BC，AB=5，AD=8.
(1)DE的长为______.
(2)点P为平行四边形ABCD边上的一个动点，设点P到直线DE的距离为d.当d= 5时，满足条件的点P有______个.
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
15.解方程：x2−6x+1=0.
四、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算： 18− 6÷ 2+ 12.
17.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+(n+2)x+n=0.
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若x=−3是该方程的一个解，求方程的另一个根.
18.(本小题8分)
如图，网格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
(1)请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；
(2)点C到边AB的距离；
(3)借助网格，利用无刻度直尺画出BC边上的中线AD.
19.(本小题10分)
观察下列等式：
第1个等式： 1+112+122=1+(1−12)；
第2个等式： 1+122+132=1+(12−13)；
第3个等式： 1+132+142=1+(13−14)，
……
按照以上规律，解决下列问题.
(1)写出第4个等式：______.
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示).
(3)请用(2)中发现的规律计算： 1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+⋯+ 1+120242+120252.
20.(本小题10分)
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE//AC，且DE=12AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F.
(1)求证：OE=CD；
(2)若菱形ABCD的边长为8，∠ABC=60∘，求AE的长．
21.(本小题12分)
为“提升青少年科学素养，夯实科技强国之基”，某初中分别在七、八、九年级中随机抽取5%的学生加科学竞赛.同时对全体学生“是否愿意利用课余时间参加科学讲座”这一问题进行调查.
【收集数据】
本次竞赛满分10分，已收集到三个年级参加竞赛同学的成绩数据与三个年级全体学生的问卷调查数据.
【整理数据】
a.图1为七、八年级学生科学竞赛成绩折线统计图；
b.九年级学生科学竞赛成绩数据为：8，8，5，10，9，7，9，8.
【分析数据】
图表为七、八、九年级所抽取学生参加科学竞赛成绩的平均数、众数、中位数；
【解决问题】
(1)m=______，n=______.
(2)设七、八年级学生科学竞赛成绩的方差分别是s12，s22，比较大小s12______s22；
(3)在“是否愿意利用课余时间参加科学讲座？”这一问题的调查中，已知七、八、九三个年级选择“非常愿意”的学生所占百分比分别为32%，48%和75%，求出该校全体学生中选择“非常愿意”的学生所占百分比.
22.(本小题12分)
《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地.八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为22米)，现用长为34米的篱笆(篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分)，围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践.设垂直于墙的篱笆边AB长为x米.
(1)求当x为何值时，围成的菜地面积为81平方米；
(2)要想围成菜地面积为120平方米，可能吗？请计算说明理由；
(3)围成菜地的最大面积为______平方米.
23.(本小题14分)
如图，在正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，过点E作EP⊥BD交CD于点P，连接AE，EC，BP.
(1)求证：AE=CE；
(2)若∠PBC=15∘，DP=2，求正方形ABCD的边长；
(3)当AE= 6时，求BP的长.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 12=12 2，能化简，不符合最简二次根式的定义，故本选项不符合题意；
B、 5不能化简，符合最简二次根式的定义，故本选项符合题意；
C、 12=2 3，能化简，不符合最简二次根式的定义，故本选项不符合题意；
D、 4=2，能化简，不符合最简二次根式的定义，故本选项不符合题意；
故选：B.
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式：满足①被开方数中不含分母，②被开方数中不含开得尽方的因数(或因式)的二次根式叫最简二次根式．
2.【答案】A
【解析】解：A.x2=1只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，符合定义，故该选项符合题意；
B.x2+y=1含有2个未知数，不符合定义，故该选项不符合题意；
C.x2=x(x−1)整理为−x=0，只有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程，不符合定义，故该选项不符合题意；
D.x2+1x=1属于分式方程，不符合定义，故该选项不符合题意；
故选：A.
根据一元二次方程的概念逐项判断即可．
本题主要考查一元二次方程的概念，一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．
3.【答案】C
【解析】解：由题意知，A、B中不是正整数，不能组成勾股数，故不符合要求；
C中82+152=289=172，能组成勾股数，故符合要求；
D中42+52=41≠36=62，不能组成勾股数，故不符合要求；
故选：C.
根据勾股数的定义判断作答即可．
本题考查了勾股数．熟练掌握满足a2+b2=c2的三个正整数是勾股数是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：由题意可知，AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=60∘，
故选：C.
由题意可知AB//CD，AD//BC，则四边形ABCD是平行四边形，再由平行四边形性质即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，证明四边形ABCD为平行四边形是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法，掌握计算方法是得出正确答案的前提．根据平均数、众数、中位数、方差的计算方法分别计算这组数据的平均数、众数、中位数、方差，最后做出选择．
【解答】
解：数据11，10，11，13，11，13，15中，11出现的次数最多是3次，因此众数是11，于是A选项不符合题意；
将这7个数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数是11，因此中位数是11，于是D符合题意；
x−=(11+10+11+13+11+13+15)÷7=12，即平均数是12，于是选项B不符合题意；
s2=17[(10−12)2+(11−12)2×3+(13−12)2×2+(15−12)2]=187，因此方差为187，于是选项C不符合题意；
故选D.
6.【答案】D
【解析】解：∵b<1，
∴b−1<0，
∴ (b−1)2=1−b，
∴b− (b−1)2=b−(1−b)=b−1+b=2b−1，
故选：D.
由b<1可得出b−1<0，进而可得出 (b−1)2=1−b，然后代入b− (b−1)2计算即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为40(1+x)x=20，
故选：A.
利用增长后的产量=增长前的产量×(1+增长率)，设平均每次增长的百分率为x，根据“2020年蔬菜产量为40吨，预计2022年蔬菜产量比2021年增加20吨”，即可得出方程．
此题考查了一元二次方程的应用(增长率问题).解题的关键在于理清题目的含义，找到2021年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
8.【答案】B
【解析】解：设AD，BC边长为a，AB，CD边长为b，
∵△DFG为等边三角形，
∴∠FDG=∠DGF=∠DGC=60∘，
∴∠CDG=30∘，
∵tan∠DGC=CDGC= 3，
∴GC= 33CD= 33b.
∵cs∠DGC=GCGD=12，
∴GD=2GC=2 33b，
由翻折可得BG=GD=2 33b，
∴BC=BG+GC=2 33b+ 33b= 3b，
即a= 3b，
∴ADAB= 3bb= 3.
故选：B.
设AD，BC边长为a，AB，CD边长为b，通过解直角三角形用含b代数式表示a求解．
本题考查矩形翻折问题，解题关键是熟练掌握矩形的性质及解直角三角形的方法．
9.【答案】C
【解析】解：如图，连接BF，
∵BG=BG，∠BGC=90∘=∠BGF，CG=FG，
∴△BGC≌△BGF(SAS)，
∴BF=BC=10，
∵矩形ABCD，
∴CD=AB=8，AD=BC=10，∠BAD=∠CDA=90∘，
由勾股定理得，AF= BF2−AB2=6，
∴DF=4，
由勾股定理得，CF= CD2+DF2=4 5，
∴CG=12CF=2 5，
由勾股定理得，BG= BC2−CG2=4 5，
故选：C.
根据矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理计算即可．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解，故①正确；
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
∴Δ=b2−4ac=02−4ac>0，
∴−4ac>0
∴ac<0，即a和c异号，
则方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2−4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，
∴x1⋅x2=ca<0
∴方程ax2+bx+c=0的两个根异号，故②错误；
③∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，
∴Δ=b2−4ac≥0，
令x1=−b+ b2−4ac2a，x2=−b− b2−4ac2a，
∴方程cx2+bx+a=0(c≠0)有两个实数根，令两根分别为x′1，x′2
∴x′1=−b+ b2−4ac2c=1−b− b2−4ac2a=1x2，
x′2=−b− b2−4ac2c=1−b+ b2−4ac2a=1x1，
∴方程cx2+bx+a=0(c≠0)，必有实根1x1，1x2，故③错误；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
则由求根公式可得：x0=−b± b2−4ac2a，
∴2ax0+b=± b2−4ac，
∴b2−4ac=(2ax0+b)2，故④正确．
故正确的有①④．
故选：C.
根据一元二次方程根的判别式及根的定义以及求根公式逐个判断排除．
本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，等式的性质，根的判别式，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键．
11.【答案】x≥−1
【解析】解：根据题意得：x+1≥0，
∴x≥−1，
故答案为：x≥−1.
根据二次根式有意义的条件，列出不等式，解不等式即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0是解题的关键．
12.【答案】20
【解析】解：设这个多边形的边数为x，
(x−2)×180∘=162∘×x，
解得：x=20.
故答案为：20.
设这个多边形的边数为x，根据已知条件列出关于x的方程式即可作答．
本题主要考查多边形内角和外角，找到等量关系是解题的关键．
13.【答案】2
【解析】【分析】
根据新定义，当x>−1时，x2+x−1=5，即x2+x−6=0，当x≤−1时，(−1)2+x−1=5，然后分别解一元二次方程和一元一次方程可得到满足条件的x的值．
本题考查了新定义，解一元二次方程，解一元一次方程，掌握新定义的运算方法是解题的关键.
【解答】
解：当x>−1时，x2+x−1=5，即x2+x−6=0，
解得x1=2，x2=−3(舍去)，
当x≤−1时，(−1)2+x−1=5，解x=5(舍去)，
所以x的值为2.
故答案为：2.
14.【答案】4 5 3
【解析】解：(1)∵平行四边形ABCD，
∴CD=AB=5，BC=AD=8，AD//BC，
∴∠ADE=∠CED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CED=∠CDE，
∴CE=CD=5，
∴BE=3，
由勾股定理得，AE= AB2−BE2=4，
∴DE= AD2+AE2=4 5，
故答案为：4 5；
(2)如图，作AM⊥DE于M，CN⊥DE于N，作BF平分∠ABC交AE于F，作FG⊥AB于G，EH⊥BF于H，
∴GF=EF，
∴S△ABE=S△ABF+S△BEF，即12×5×GF+12×3×EF=12×3×4，
解得，GF=EF=32，
由勾股定理得，BF= BE2+EF2=3 52，
∴S△BEF=12BF×EH=12BE×EF，即12×3 52×EH=12×3×32，
解得，EH=3 55；
∴S△ADE=12DE×AM=12AD×AE，即12×4 5×AM=12×8×4，
解得，AM=8 55；
S△CDE=12DE×CN=12CE×AE，即12×4 5×CN=12×5×4，
解得，CN= 5；
∵3 55< 5，
∴边AB上有一点P，使点P到直线DE的距离为 5；
∵8 55> 5，
∴边AD上有一点P，使点P到直线DE的距离为 5；
∵CN= 5，
∴点P与点C重合时，点P到直线DE的距离为 5；
综上所述，满足条件的点P有3个，
故答案为：3.
(1)由平行四边形ABCD，可得∠ADE=∠CED，由DE平分∠ADC，可得∠ADE=∠CDE，则∠CED=∠CDE，CE=CD=5，BE=3，由勾股定理得，AE= AB2−BE2，DE= AD2+AE2，计算求解即可；
(2)如图，作AM⊥DE于M，CN⊥DE于N，则S△ADE=12DE×AM=12AD×AE，即12×4 5×AM=12×8×4，可求AM=8 55；S△CDE=12DE×CN=12CE×AE，即12×4 5×CN=12×5×4，可求CN= 5；由8 55> 5，可知边AB、AD上各有一点P，使点P到直线DE的距离为 5；由CN= 5，可知点P与点C重合时，点P到直线DE的距离为 5；然后作答即可．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，点到直线的距离，角平分线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，角平分线的性质，勾股定理，点到直线的距离是解题的关键．
15.【答案】解：∵x2−6x=−1，
∴x2−6x+9=−1+9，即(x−3)2=8，
则x−3=±2 2，
∴x=3±2 2.
【解析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16.【答案】解： 18− 6÷ 2+ 12
=3 2− 3+ 22
=7 22− 3.
【解析】首先计算二次根式的除法，化简二次根式，然后计算加减即可求解．
此题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
17.【答案】解：(1)∵x2+(n+2)x+n=0，
∴Δ=(n+2)2−4×1×n=n2+4>0，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
(2)设方程的另一个根为x1，
∵x2+(n+2)x+n=0，
∴x1−3=−(n+2)，−3x1=n，
解得，x1=−12，
∴方程的另一个根为−12.
【解析】(1)由Δ=(n+2)2−4×1×n=n2+4>0，可知该方程总有两个不相等的实数根；
(2)设方程的另一个根为x1，则x1−3=−(n+2)，−3x1=n，计算求解即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
18.【答案】解：(1)不是直角三角形，理由：
由题可得BC= 32+12= 10，
AC= 22+12= 5，
AB= 22+32= 13，
∵AB2≠AC2+BC2，
∴三角形ABC不是直角三角形；
(2)设点C到边AB的距离为h，
由(1)可得AB= 22+32= 13，
∵△ABC的面积为：12AB⋅h=3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3，
∴12× 13h=72，
解得：h=7 1313，
∴点C到边AB的距离为7 1313；
(3)根据BC的特点找到矩形BFCE，连接EF，
则BC与EF交于一点D，
即D为BC的中点，连接AD，如图所示：
，
则AD为BC边上的中线．
【解析】(1)先根据勾股定理求出各个边长，然后再根据勾股定理的逆定理判断即可；
(2)根据三角形的面积可求得结果；
(3)根据矩形对角线互相平分找到BC的中点，即可找到中线；
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，掌握勾股定理的逆定理以及面积法是解题的关键．
19.【答案】 1+142+152=1+(14−15)
【解析】解：(1)由题意可得，第4个等式 1+142+152=1+(14−15)，
故答案为： 1+142+152=1+(14−15)；
(2)由题意知，第n个等式为 1+1n2+1(n+1)2=1+(1n−1n+1)；
(3) 1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+⋯+ 1+120242+120252
=1+(1−12)+1+(12−13)+1+(13−14)⋯+1+(12024−12025)
=2024+(1−12+12−13+13−14+⋯+12024−12025)
=2024+1−12025
=202420242025，
∴ 1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+⋯+ 1+120242+120252=202420242025.
(1)由题意可得，第4个等式 1+142+152=1+(14−15)；
(2)由题意知，第n个等式为 1+1n2+1(n+1)2=1+(1n−1n+1)；
(3)根据 1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+⋯+ 1+120242+120252=2024+(1−12+12−13+13−14+⋯+12024−12025)，计算求解即可．
本题考查了二次根式的规律探究，分式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
20.【答案】解：(1)在菱形ABCD中，OC=12AC，AC⊥BD.
又∵DE=12AC，
∴DE=OC.
∵DE//AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵∠COD=90∘，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE=CD.
(2)在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60∘，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=8，AO=4.
∴在矩形OCED中，CE=OD= AD2−AO2=4 3.
又∵矩形DOCE中，∠OCE=90∘，
∴在Rt△ACE中，AE= AC2+CE2= 82+(4 3)2=4 7.
【解析】(1)先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90∘，证明OCED是矩形，可得OE=CD；
(2)根据菱形的性质以及勾股定理，得出AC与CE的长，再根据勾股定理得出AE的长度即可．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．
21.【答案】87>
【解析】解：(1)∵8出现了3次，出现的次数最多，
∴众数是8，即m=8；
把8年级的学生科学竞赛成绩从小到大排列为：4，5，6，6，7，7，8，8，9，10，
中位数是n=7+72=7；
故答案为：8，7；
(2)从折线统计图可以看出，七年级科学竞赛成绩的波动幅度较大，故方差较大；
八年级科学竞赛成绩波动幅度较小，故方差较小，所以s12>s22，
故答案为：>；
(3)∵10÷5%=200(人)，
∴七八年级各200人，
∵8+5%=160(人)，
∴九年级160人，
∴200×32%+200×48%+160×75%200+200+160=50%，
∴该初中所有学生中选择“非常原意”的学生所占百分比为50%.
(1)分别根据中位数、众数和算术平均数的定义解答即可；
(2)根据数据的波动情况判断即可；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查折线统计图、中位数、众数、平均数、方差以及用样本估计总体，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．
22.【答案】108
【解析】解：(1)∵篱笆的总长为34米，菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，且垂直于墙的篱笆边AB为x米，
∴长BC为34+2−3x=(36−3x)米．
根据题意得：x(36−3x)=81，
整理得：x2−12x+27=0，
解得：x1=3，x2=9，
当x=3时，36−3x=36−3×3=27>22，不符合题意，舍去；
当x=9时，36−3x=36−3×9=9<22，符合题意；
故当围成的菜地面积为81平方米时，x为9米．
(2)不能围成面积为120平方米的菜地，理由如下：
依题意得：x(36−3x)=120，
整理得：x2−12x+40=0，
∵Δ=(−12)2−4×1×40=−16<0，
∴该方程无实数根，
即不能围成面积为120平方米的菜地．
(3)S=x(36−3x)=−3x2+36x=−3(x−6)2+108，
则当x=6时，S=108，
故围成菜地的最大面积为108平方米．
(1)根据各边之间的关系，可知BC为(36−3x)米，根据围成的菜地面积为81平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；
(2)根据菜地面积若为120平方米，即可得出关于x的一元二次方程，利用根的判别式即可判断；
(3)利用二次函数的性质求其最大值即可．
本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的性质．在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
23.【答案】(1)证明：∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45∘，
∵AB=BC，∠ABE=∠CBE，BE=BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE=CE；
(2)解：∵正方形ABCD，
∴BC=CD，∠BCD=90∘，∠DBC=∠CDB=45∘，
∵∠PBC=15∘，EP⊥BD，
∴∠EBP=30∘，∠EPD=45∘=∠EDP，
∴BP=2EP，DE=EP，
由勾股定理得，DP= DE2+EP2= 2EP=2，
解得，EP= 2，
∴BP=2 2，
设正方形ABCD的边长为x，则BC=x，CP=x−2，
由勾股定理得，BP2=BC2+CP2，即(2 2)2=x2+(x−2)2，
解得，x=1+ 3或x=1− 3(舍去)，
∴正方形ABCD的边长为1+ 3；
(3)解：如图，作EF⊥AD于F，设EF=x，AD=y，
∵正方形ABCD，
∴BC=CD=AD=y，∠BCD=90∘，∠ADB=∠CDB=45∘，
∴∠DEF=45∘=∠ADB，
∴DF=EF=x，
∴AF=y−x，
由勾股定理得，AF2+EF2=AE2，即(y−x)2+x2=( 6)2，整理得，y2−2xy+2x2=6；
同理可得，DE= 2x，DP=2x，
∴CP=y−2x，
由勾股定理得，BP2=BC2+CP2，即BP2=y2+(y−2x)2=2(y2−2xy+2x2)=12，
解得，BP=2 3或BP=−2 3(舍去)，
∴BP的长为2 3.
【解析】(1)证明△ABE≌△CBE(SAS)，进而可得AE=CE；
(2)由题意可得，∠EBP=30∘，∠EPD=45∘=∠EDP，则BP=2EP，DE=EP，由勾股定理得，DP= DE2+EP2= 2EP=2，可求EP= 2，则BP=2 2，设正方形ABCD的边长为x，则BC=x，CP=x−2，由勾股定理得，BP2=BC2+CP2，即(2 2)2=x2+(x−2)2，计算求出满足要求的解即可；
(3)如图，作EF⊥AD于F，设EF=x，AD=y，则BC=CD=AD=y，∠BCD=90∘，∠ADB=∠CDB=45∘，由∠DEF=45∘=∠ADB，可得DF=EF=x，则AF=y−x，由勾股定理得，AF2+EF2=AE2，即(y−x)2+x2=( 6)2，整理得，y2−2xy+2x2=6；同理可得，DE= 2x，DP=2x，则CP=y−2x，由勾股定理得，BP2=BC2+CP2，即BP2=y2+(y−2x)2=2(y2−2xy+2x2)=12，计算求出满足要求的解即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含30∘的直角三角形等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含30∘的直角三角形是解题的关键．平均数
众数
中位数
七年级
6
8
7
八年级
7
6、7、8
n
九年级
8
m
8