2022-2023学年安徽省合肥市中国科大附中高新校区八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省合肥市中国科大附中高新校区八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年安徽省合肥市中国科大附中高新校区八年级（下）月考数学试卷（3月份
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列式子中，是最简二次根式的是(    )
A. 13 B. 32 C. 27 D. − 14
2. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的为(    )
A. x2+2x=−1 B. x2−4=2y
C. −2x2+3=0 D. (a−1)x2−2x=0
3. 若代数式 x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是(    )
A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1
4. 已知a是方程2x2−3x−5=0的一个解，则−4a2+6a的值为(    )
A. 10 B. −10 C. 2 D. −40
5. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得(    )
A. 100(1+x)2=81 B. 100 (1−x2)=81
C. 100(1−2x)=81 D. 100(1−x)2=81
6. 已知：y= x−4+ 4−x+5，则x+y的值是(    )
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
7. 若关于x的一元二次方程(m−1)x2+2x−2=0没有实数根，则实数m的取值范围是(    )
A. m<12 B. m>12 C. m>12且m≠1 D. m≠1
8. 把(m−1) 11−m中根号前的(m−1)移到根号内得(    )
A. m−1 B. 1−m C. − m−1 D. − 1−m
9. 已知实数a满足2022−a+ a−2023=a，那么a−20222的值是(    )
A. 2023 B. 2022 C. 2021 D. 2020
10. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，其中真命题有(    )
①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0两根为−1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 如果最简二次根式 2x−1与 5是同类二次根式，那么x的值为______．
12. 若6+ 13的整数部分为x，小数部分为y，则xy的值是______ ．
13. 已知实数s、t满足2s2−3s−1=0，2t2−3t−1=0，且s≠t，则1s+1t的值是______ ．
14. 已知y= (x−4)2−x+5，当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应y值的总和是______．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
计算：
(1)( 27+6 13−2 12)× 13；
(2)( 3+3)( 3−2)．
16. (本小题8.0分)
解方程：
(1)x2−8x+6=0
(2)(x−1)2−3(x−1)=0
17. (本小题8.0分)
对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“※“”如下：x※y= x+yx−y，如：3※2= 3+23−2= 5.请求当a=6时，a※[a※(−2)]的值．
18. (本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程x2−(m+2)x+2m=0.证明：无论m为何值时，这个方程总有实数根．
19. (本小题10.0分)
我校为了进行学雷锋爱心义卖活动，决定在操场划分一块面积为480平方米的矩形场地.若矩形场地的一边靠墙(墙长31米)，另外三边由总长为60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为1米的入口和出口(如图).请根据方案计算出矩形场地的边长各是多少米？

20. (本小题10.0分)
观察下列各式，发现规律：
1+13=2 13； 2+14=3 14； 3+15=4 15；…
(1)填空： 4+16= ______ ， 5+17= ______ ；
(2)计算(写出计算过程)： 2021+12023；
(3)请用含自然数n(n≥1)的代数式把你所发现的规律表示出来．
21. (本小题10.0分)
某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元．
(1)若销售单价为每件45元，求每天的销售利润；
(2)要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？
22. (本小题14.0分)
已知等腰三角形的三边长分别为a、b、2且a、b是关于x的一元二次方程x2−6x+m−1=0的两根，求m的值．
23. (本小题14.0分)
阅读材料：
黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：(2+ 3)(2− 3)=1，( 5+ 2)( 5− 2)=3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：1 3=1× 3 3× 3= 33，2+ 32− 3=(2+ 3)(2+ 3)(2+ 3)(2− 3)=7+4 3.像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
(1) 100+ 99的有理化因式可以是______，1 6+ 5分母有理化得______．
(2)计算：
①当a= 3+ 2，b= 3− 2时，则a3b2+a2b3=______；
②2 2+1+2 3+ 2+22+ 3+2 5+2+…+2 n+ n−1=______(n≥1且n为整数)．
(3)根据你的推断，比较 15− 14和 14− 13的大小．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：A、 13= 33不是最简二次根式，故选项不符合题意；
B、32不是二次根式，故选项不符合题意；
C、 27=3 3不是最简二次根式，故选项不符合题意
D、− 14是最简二次根式，故选项符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的定义即可解答．
本题主要考查最简二次根式，正确理解最简二次根式的定义是解题的关键．

2.【答案】C 
【解析】解：A．x2+2x=−1是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
B.x2−4=2y是二元二次方程，不符合题意；
C.−2x2+3=0是一元二次方程，符合题意；
D.当a=1时，(a−1)x2−2x=0化为一元一次方程−2x=0，不符合题意．
故选：C．
根据一元二方程的定义进行判断即可．
此题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．

3.【答案】D 
【解析】解：∵式子 x−1在实数范围内有意义，
∴x−1≥0，解得x≥1．
故选：D．
根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．

4.【答案】B 
【解析】解：把x=a代入方程得：2a2−3a−5=0，
则2a2−3a=5，
则−4a2+6a=−2(2a2−3a)=−10．
故选：B．
把x=a代入方程求得2a2−3a=5，然后根据−4a2+6a=−2(2a2−3a)即可求解．
本题考查了方程的解的定义，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．

5.【答案】D 
【解析】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：100(1−x)2=81．
故选：D．
设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格(1−降价的百分率)，则第一次降价后的价格是100(1−x)，第二次后的价格是100(1−x)2，据此即可列方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

6.【答案】A 
【解析】解：由题意得，x−4≥04−x≥0，
∴x=4，
∴y= 4−4+ 4−4+5=5，
∴x+y=4+5=9．
故选：A．
先根据二次根式的性质(被开方数的非负性)求出x的值，再根据x的值求出y的值，最后将x、y的值代入求解即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．

7.【答案】A 
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(m−1)x2+2x−2=0没有实数根，
∴Δ=22−4(m−1)×(−2)<0，且m−1≠0，
解得m<12．
故选：A．
由方程无实数根得出Δ=22−4(m−1)×(−2)<0，且m−1≠0，解之可得答案．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：
①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ<0时，方程无实数根．

8.【答案】D 
【解析】解：由题意可知：11−m≥0，
∴1−m>0，
∴原式=− (m−1)21−m
=− 1−m，
故选：D．
根据二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．

9.【答案】A 
【解析】解：∵a−2023≥0，
∴a≥2023，
∴2022−a≤−1，
∴a−2022+ a−2023=a，
∴ a−2023=2022，
∴a−2023=20222，
∴a−20222=2023，
故选：A．
根据二次根式有意义的条件可得出a≥2023，然后根据绝对值的性质对原等式进行化简即可求出答案．
本题考查绝对值的性质以及二次根式有意义的条件，解题的关键是正确求出a的范围，本题属于基础题型．

10.【答案】C 
【解析】解：①若a+b+c=0，方程ax2+bx+c=0有一根为1，又a≠0，则b2−4ac≥0，正确；
②由两根关系可知，−1×2=ca，整理得：2a+c=0，正确；
③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则−4ac>0，可知b2−4ac>0，故方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，正确．
正确命题有三个，故选C．
①a+b+c=0，即系数和为0，说明原方程有一根是1，a≠0，说明原方程为一元二次方程，一元二次方程有根，就有两个，△≥0；
②已知方程两根的值，可利用两根关系的式子变形，得出结论；
③判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2−4ac的值的符号就可以了．
本题考查一元二次方程根的判别式与方程系数的关系，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．

11.【答案】3 
【解析】解：∵最简二次根式 2x−1与 5是同类二次根式，
∴2x−1=5，
∴x=3．
故答案为：3．
根据同类项的定义得出2x−1=5，然后求解即可得出答案．
本题考查同类二次根式的概念，化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．

12.【答案】9 13−27 
【解析】解：∵9<13<16，
∴3< 13<4，
∴9<6+ 13<10，
∴x=9,y=6+ 13−9= 13−3，
∴xy=9( 13−3)=9 13−27．
故答案为：9 13−27．
先估算出9<6+ 13<10，进而求出x、y的值，再代值计算即可．
本题主要考查了无理数的估算，二次根式的混合计算，正确估算出9<6+ 13<10是解题的关键．

13.【答案】−3 
【解析】解：∵实数s、t满足2s2−3s−1=0，2t2−3t−1=0，且s≠t，
∴实数s、t是关于x的方程2x2−3x−1=0的两个不相等的实数根，
∴s+t=32,st=−12，
∴1s+1t=s+tst=32−12=−3．
故答案为：−3．
由题意可知实数s、t是关于x的方程2x2−3x−1=0的两个不相等的实数根，则s+t=32,st=−12，再由1s+1t=s+tst进行求解即可．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，正确得到s+t=32,st=−12是解题的关键．

14.【答案】2032 
【解析】
【分析】
本题考查了算术平方根，数式规律问题，注意分x<4与x≥4两种情况求解．
直接把已知数据代入进而得出变化规律即可得出答案．
【解答】
解：当x<4时，
原式=4−x−x+5=−2x+9，
当x=1时，原式=7；
当x=2时，原式=5；
当x=3时，原式=3；
当x≥4时，原式=x−4−x+5=1，
∴当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应y值的总和是：
7+5+3+1+1+…+1
=15+1×2017
=2032．
故答案为：2032．  
15.【答案】解：(1)( 27+6 13−2 12)× 13
= 27× 13+6 13× 13−2 12× 13
= 9+6×13−2 4
=3+2−4
=1；
(2)( 3+3)( 3−2)
=3+3 3−2 3−6
= 3−3． 
【解析】(1)先根据乘法的分配律计算，再根据二次根式的乘法计算，再计算加减，即可求解；
(2)先计算乘法，再合并，即可求解．
本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．

16.【答案】解：(1)x2−8x+6=0，
x2−8x+16=10，
(x−4)2=10，
x−4=± 10，
解得x1=4− 10，x2=4+ 10；

(2)(x−1)2−3(x−1)=0，
(x−1)(x−1−3)=0，
(x−1)(x−4)=0，
解得x1=1，x2=4． 
【解析】(1)用配方法解方程即可求解；
(2)先提取公因式然后解方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

17.【答案】解：∵a=6，
∴a※(−2)=6※(−2)= 6+(−2)6−(−2)= 6−26+2= 48=28=14，
∴a※[a※(−2)]
=6※[6※(−2)]
=6※14= 6+146−14= 254234=52234=1023． 
【解析】根据所给的新定义得到a※(−2)=6※(−2)=14，再计算出6※14的结果即可得到答案．
本题主要考查了新定义下的实数运算，化简二次根式，正确理解题意是解题的关键．

18.【答案】证明：∵Δ=(m+2)2−4×2m
=m2+4m+4−8m
=m2−4m+4
=(m−2)2≥0，
∴不论m为何值时，方程总有实数根． 
【解析】计算根的判别式的值得到Δ=(m−2)2，利用非负数的意义得到Δ≥0，然后根据判别式的意义得到结论．
本题主要考查根的判别式．

19.【答案】解：设矩形场地的长为x米，则宽为12(60−x+1×2)=(31−12x)米，
由题意得：(31−12x)x=480，
∴31x−12x2=480，
∴x2−62x+960=0，
∴(x−30)(x−32)=0，
解得：x=30或x=32(舍去)，
∴31−12x=16，
∴矩形场地的长为30米，宽为16米． 
【解析】设矩形场地的长为x米，则宽为12(60−x+1×2)=(31−12x)米，根据题意列出相应的一元二次方程即可求解．
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．

20.【答案】5 16  6 17 
【解析】解：(1) 4+16= 256= 25×16=5 16， 5+17= 367= 36×17=6 17．
故答案为：5 16，6 17．
(2) 1+13=2 13； 2+14=3 14； 3+15=4 15； 4+16=5 16； 5+17=6 17
… 2021+12023=2022 12023．
(3)结合(1)和(2)的结论，得： n+1n+2=(n+1) 1n+2．
(1)先通分，再根据积的算术平方根性质计算即可；
(2)结合题意和(1)的结论，以此类推计算即可；
(3)结合(1)和(2)的结论，归纳规律表示代数式即可．
本题主要考查了二次根式的运算、数字规律的性质等知识点，根据二次根式计算、归纳规律是解答本题的关键．

21.【答案】解：(1)(45−30)×[80−(45−40)×2]=1050(元)．
答：每天的销售利润为1050元．
(2)设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80−2(x−40)]件，
依题意，得：(x−30)[80−2(x−40)]=1200，
整理，得：x2−110x+3000=0，
解得：x1=50，x2=60(不合题意，舍去)．
答：每件工艺品售价应为50元． 
【解析】(1)根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可求出结论；
(2)设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80−2(x−40)]件，根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

22.【答案】解：当2为腰长时，假设此时a=2，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2−6x+m−1=0的两根，
∴a+b=6，
∴b=4，
∴此时等腰三角形的三边长为2、2、4，不能构成三角形，不符合题意；
当2为底边长时，则a=b，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2−6x+m−1=0的两根，
∴a+b=6，ab=m−1，
∴2a=6，
∴a=3，
∴此时等腰三角形的三边长为2、3、3，能构成三角形，符合题意，ab=m−1，
∴9=m−1，
∴m=10，
综上所述，m的值为10． 
【解析】分当2为腰长时，当2为底边长时，利用根与系数的关系得到a+b=6，ab=m−1，进而求出a、b的值，再根据三角形三边的关系进行求解即可．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．

23.【答案】 100− 99  6− 5  2 3  2 n−2 
【解析】解：(1) 100+ 99的有理化因式可以是 100− 99，
1 6+ 5= 6− 5( 6+ 5)( 6− 5)= 6− 5，
故答案为： 100− 99， 6− 5；
(2)①∵a= 3+ 2，b= 3− 2，
∴a+b=( 3+ 2)+( 3− 2)=2 3，ab=( 3+ 2)( 3− 2)=1，
∴a3b2+a2b3=a2b2(a+b)=1×2 3=2 3，
故答案为：2 3；
②原式=2( 2−1)( 2+1)( 2−1)+2( 3− 2)( 3+ 2)( 3− 2)+…+2( n− n−1)( n+ n−1)( n− n−1)
=2 2−2+2 3−2 2+…+2 n−2 n−1
=2 n−2，
故答案为：2 n−2；
(3)1 15− 14= 15+ 14( 15+ 14)( 15− 14)= 15+ 14，1 14− 13= 14+ 13，
∵ 15+ 14> 14+ 13，
∴ 15− 14< 14− 13．
(1)根据分母有理化解答即可；
(2)①根据二次根式的加法法则、乘法法则分别求出a+b，ab，把原式提公因式，代入计算即可；
②根据分母有理化计算；
(3)利用分母有理化分别求出两个数的倒数，比较大小即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握分母有理化、二次根式的乘法法则是解题的关键．