初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习反比例函数的综合突破

这是一份初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习反比例函数的综合突破，共30页。试卷主要包含了考向分析，思维导图，最新考纲，考点强化等内容，欢迎下载使用。
反比例函数是中考命题热点之一，主要考查反比例函数的图象、性质及解析式的确定，考查形式以选择题、填空题为主，也经常与一次函数、二次函数及几何图形等知识综合考查．
二、思维导图
三、最新考纲
1．理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式．
2．会画反比例函数图象，根据图象和解析式讨论其基本性质．
3．能用反比例函数解决某些实际问题.
四、考点强化
【考点总结】一、反比例函数的概念
一般地，形如y＝或y＝kx－1(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．
1．反比例函数y＝eq \f(k,x)中的eq \f(k,x)是一个分式，所以自变量x≠0，函数与x轴、y轴无交点．
2．反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k.
【考点总结】二、反比例函数的图象与性质
1．图象：反比例函数的图象是双曲线．
2．性质：
(1)当k＞0时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
当k＜0时，双曲线的两支分别在二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交．
(2)双曲线是轴对称图形，直线y＝x或y＝－x是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．
【考点总结】三、反比例函数的应用
1．利用待定系数法确定反比例函数解析式
根据两变量之间的反比例关系，设出形如y＝eq \f(k,x)的函数关系式，再由已知条件求出k的值，从而确定函数解析式．
2．反比例函数的实际应用
解决反比例函数应用问题时，首先要找出存在反比例关系的两个变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决．
【方法指导】
1.反比例函数知识梳理：
反比例函数k的几何意义
1.反比例函数的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为。如图二，所围成三角形的面积为
2.如图，四条双曲线、、、对应的函数解析式分别为：、、、，那么、、、的大小顺序为
3.利用k的几何意义进行面积转化：
（1）如图，直线与反比例函数（）交于、两点，与、轴的交点分别为、，那么，此方法是绝大部分学生选用的方法，但是，从效率来讲，就比较低；
（2）如图，过点、作轴的垂线，垂足分别为、，则根据的几何意义可得，，而，所以，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错。
4.k的几何意义与反比例函数对称性
（1）如图一，直线与反比例函数（）交于、两点，与、轴的交点分别为、，那么，此两种方法是绝大部分学生选用的方法。常规方法，费时、费力、而且还易计算出错；
（2）如图二，我们知道反比例函数的图象是双曲线，关于原点成中心对称，那么延长交双曲线于点，连接、则，，因此可以将的面积转化为梯形的面积.
【题型剖析】
【类型1】反比例函数的图象
【例1】一次函数y＝ax﹣a与反比例函数y=ax（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先根据一次函数的性质判断出a取值，再根据反比例函数的性质判断出a的取值，二者一致的即为正确答案．
【解析】A、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＞0，﹣a＞0，由函数y=ax（a≠0）的图象可知a＞0，矛盾，错误；
B、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＜0，由函数y=ax（a≠0）的图象可知a＞0，相矛盾，故错误；
C、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＞0，由函数y=ax（a≠0）的图象可知a＜0，故错误；
D、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＜0，﹣a＞0，由函数y=ax（a≠0）的图象可知a＜0，故正确；
故选：D．
【变式1.1】若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y=bx在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据ab＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两方面分类讨论得出答案．
【解析】∵ab＜0，
∴分两种情况：
（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y＝ax的图象过原点、第一、三象限，反比例函数y=bx图象在第二、四象限，无选项符合．
（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数y＝ax的图象过原点、第二、四象限，反比例函数y=bx图象在第一、三象限，故B选项正确；
故选：B．
【变式1.2】若函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y＝ax+b和y=cx在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先根据二次函数的图象开口向上可知a＞0，对称轴在y轴的右侧可知b＜0，再由函数图象交y轴的正坐标可知c＞0，利用排除法即可得出正确答案．
【解析】∵由函数图象交于y轴的正半轴可知c＞0，
∴反比例函数y=cx的图象必在一、三象限，故C、D错误；
∵据二次函数的图象开口向上可知a＞0，对称轴在y轴的右侧，b＜0，
∴函数y＝ax+b的图象经过一三四象限，故A错误，B正确．
故选：B．
【类型2】反比例函数的性质
【例2】已知函数y=-x+1(x＜2)-2x(x≥2)，当函数值为3时，自变量x的值为（ ）
A．﹣2B．-23C．﹣2或-23D．﹣2或-32
【分析】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论．
【解析】若x＜2，当y＝3时，﹣x+1＝3，
解得：x＝﹣2；
若x≥2，当y＝3时，-2x=3，
解得：x=-23，不合题意舍去；
∴x＝﹣2，
故选：A．
【变式2.1】已知正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合k1•k2＞0的是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．③④
【分析】根据各个小题中的函数图象，可以得到k1和k2的正负情况，从而可以判断k1•k2的正负情况，从而可以解答本题．
【解析】①中k1＞0，k2＞0，故k1•k2＞0，故①符合题意；
②中k1＜0，k2＞0，故k1•k2＜0，故②不符合题意；
③中k1＞0，k2＜0，故k1•k2＜0，故③不符合题意；
④中k1＜0，k2＜0，故k1•k2＞0，故④符合题意；
故选：B．
【变式2.2】如果反比例函数y=a-2x（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（ ）
A．a＜0B．a＞0C．a＜2D．a＞2
【分析】反比例函数y=kx图象在一、三象限，可得k＞0．
【解析】∵反比例函数y=a-2x（a是常数）的图象在第一、三象限，
∴a﹣2＞0，
∴a＞2．
故选：D．
【类型3】反比例函数的面积问题
【例3】如图，点B在反比例函数y=6x（x＞0）的图象上，点C在反比例函数y=-2x（x＞0）的图象上，且BC∥y轴，AC⊥BC，垂足为点C，交y轴于点A．则△ABC的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】过B点作BH⊥y轴于H点，BC交x轴于D，如图，利用反比例函数系数k的几何意义得到S矩形OACD＝2，S矩形ODBH＝6，则S矩形ACBH＝8，然后根据矩形的性质得到△ABC的面积．
【解析】过B点作BH⊥y轴于H点，BC交x轴于D，如图，
∵BC∥y轴，AC⊥BC，
∴四边形ACDO和四边形ODBH都是矩形，
∴S矩形OACD＝|﹣2|＝2，
S矩形ODBH＝|6|＝6，
∴S矩形ACBH＝2+6＝8，
∴△ABC的面积=12S矩形ACBH＝4．
故选：B．
【变式3.1】如图，在平面直角坐标系中，直线y=-32x+3与x轴、y轴分别交于点A和点B，C是线段AB上一点．过点C作CD⊥x轴，垂足为D，CE⊥y轴，垂足为E，S△BEC：S△CDA＝4：1，若双曲线y=kx（x＞0）经过点C，则k的值为（ ）
A．43B．34C．25D．52
【分析】根据直线y=-32x+3可求出与x轴、y轴交点A和点B的坐标，即求出OA、OB的长，再根据相似三角形可得对应边的比为1：2，设未知数，表示出长方形ODCE的面积，即求出k的值．
【解析】∵直线y=-32x+3与x轴、y轴分别交于点A和点B，
∴A（2，0），B（0，3），即：OA＝2，OB＝3；
∵S△BEC：S△CDA＝4：1，又△BEC∽△CDA，
∴ECDA=BECD=21，
设EC＝a＝OD，CD＝b＝OE，则AD=12a，BE＝2b，
有，OA＝2＝a+12a，解得，a=43，
OB＝3＝3b，解得，b＝1，
∴k＝ab=43，
故选：A．
【变式3.2】如图，平行于y轴的直线分别交y=k1x与y=k2x的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则△ABC的面积为（ ）
A．k1﹣k2B．12（k1﹣k2）C．k2﹣k1D．12（k2﹣k1）
【分析】AB的长是两个函数当自变量为x时，因变量的差的绝对值，再根据三角形的面积公式进行计算即可．
【解析】由题意可知，AB=k1x-k2x，AB边上的高为x，
∴S△ABC=12×（k1x-k2x）•x=12（k1﹣k2），
故选：B．
【类型4】反比例函数上点的特征
【例4】已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y=-3x的图象上，若y1＜y2＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．x1＜x2＜0B．x2＜x1＜0C．0＜x1＜x2D．0＜x2＜x1
【分析】反比例函数的系数为﹣3＜0，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
【解析】∵﹣3＜0，
∴图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，
又∵y1＜y2＜0，
∴图象在第四象限，
∴0＜x1＜x2，
故选：C．
【变式4.1】若A（2，4）与B（﹣2，a）都是反比例函数y=kx（k≠0）图象上的点，则a的值是（ ）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
【分析】反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k，据此可得a的值．
【解析】∵A（2，4）与B（﹣2，a）都是反比例函数y=kx（k≠0）图象上的点，
∴k＝2×4＝﹣2a，
∴a＝﹣4，
故选：B．
【变式4.2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=43x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣12B．﹣42C．42D．﹣21
【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可．
【解析】∵当x＝0时，y＝0+4＝4，
∴A（0，4），
∴OA＝4；
∵当y＝0时，0=43x+4，
∴x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
∴OB＝3；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵∠CBE+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO．
在△AOB和△BEC中，
∠CBE=∠BAO∠BEC=∠AOBBC=AB，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE＝AO＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝3+4＝7，
∴C点坐标为（﹣7，3），
∵点A在反比例函数y=kx(x＜0)的图象上，
∴k＝﹣7×3＝﹣21．
故选：D．
【类型5】反比例函数与一次函数交点问题
【例5】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y=4x（x＞0）的图象交于点A，将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则b的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】解析式联立，解方程求得A的横坐标，根据定义求得C的横坐标，把横坐标代入反比例函数的解析式求得C的坐标，代入y＝x+b即可求得b的值．
【解析】∵直线y＝x与反比例函数y=4x（x＞0）的图象交于点A，
∴解x=4x求得x＝±2，
∴A的横坐标为2，
∵OA＝2BC，
∴C的横坐标为1，
把x＝1代入y=4x得，y＝4，
∴C（1，4），
∵将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，得到直线y＝x+b，
∴把C的坐标代入得4＝1+b，求得b＝3，
故选：C．
【变式5.1】如图，函数y1＝x+1与函数y2=2x的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1D．﹣2＜x＜0或x＞1
【分析】观察函数y1＝x+1与函数y2=2x的图象，即可得出当y1＞y2时，相应的自变量x的取值范围．
【解析】由一次函数和反比例函数的图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象之上时，所对应的x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞1，
故选：D．
【类型6】反比例函数的实际问题
【例6】为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．
（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？
（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．
【分析】（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin，则3x+2y=192x+y=11，即可求解；
（2）点A（5，10），则反比例函数表达式为y=50x，当x＝55时，y=5055＜1，即可求解．
【解析】（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin，
则3x+2y=192x+y=11，解得x=3y=5，
故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；
（2）一间教室的药物喷洒时间为5min，则11个房间需要55min，
当x＝5时，y＝2x＝10，故点A（5，10），
设反比例函数表达式为：y=kx，将点A的坐标代入上式并解得：k＝50，
故反比例函数表达式为y=50x，
当x＝55时，y=5055＜1，
故一班学生能安全进入教室．
【变式6.1】南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设．玉林良睦隧道是全线控制性工程，首期打通共有土石方总量为600千立方米，设计划平均每天挖掘土石方x千立方米，总需用时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
【分析】（1）利用xy＝600，进而得出y与x的函数关系，根据完成首期工程限定时间不超过600天，求出x的取值范围；
（2）利用实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，得出分式方程，进而求出即可．（也可以设原计划每天挖掘土石方m千立方米，列分式方程，计算量比较小）．
【解析】（1）根据题意可得：y=600x，
∵y≤600，
∴x≥1；
（2）设实际挖掘了m天才能完成首期工程，根据题意可得：
600m-600m+100=0.2，
解得：m＝﹣600（舍）或500，
检验得：m＝500是原方程的根，
答：实际挖掘了500天才能完成首期工程．
【类型7】反比例函数与一次函数综合问题
【例7】如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于A、C两点，与x轴交于B、D两点，连接AC，点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，直尺的宽度BD＝2，OB＝2．设直线AC的解析式为y＝kx+b．
（1）请结合图象，直接写出：
①点A的坐标是 （2，3） ；
②不等式kx+b＞mx的解集是 2＜x＜4 ；
（2）求直线AC的解析式．
【分析】（1）①根据点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，OB＝2．即可求得A的坐标；②根据题意C的横坐标为4，根据图象即可求得不等式kx+b＞mx的解集；
（2）根据待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AC的解析式．
【解析】（1）①∵直尺平行于y轴，A、B对应直尺的刻度为5、2，且OB＝2，
∴A（2，3）
②∵直尺的宽度BD＝2，OB＝2．
∴C的横坐标为4，
∴不等式kx+b＞mx的解集是2＜x＜4，
故答案为（2，3）； 2＜x＜4；
（2）∵A在反比例函数y=mx图象上，
∴m＝2×3＝6，
∴反比例解析式为y=6x，
∵C点在反比例函数y=6x图象上，
∴yc=32，
∴C（4，32），
将A、C代入y＝kx+6有3=2k+b32=4k+b解得k=-34b=92，
∴直线AC解析式：y=-34x+92．
【变式7.1】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象相交于A（1，5），B（m，1）两点，与x轴，y轴分别交于点C，D，连接OA，OB．
（1）求反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）和一次函数y＝ax+b（a≠0）的表达式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
（2）△AOB的面积＝△BOD的面积﹣△AOD的面积．
【解析】（1）将点A（1，5）代入y=kx（k≠0，x＞0）得：5=k1，
解得k＝5，
故反比例函数的表达式为：y=5x，
将点B（m，1）代入y=5x得：m＝5，
故点B（5，1），
将点A（1，5），B（5，1）代入y＝ax+b得a+b=55a+b=1，
解得a=-1b=6，
故一次函数表达式为：y＝﹣x+6；
（2）由一次函数y＝﹣x+6可知，D（0，6），
则△AOB的面积＝△BOD的面积﹣△AOD的面积=12×6×5-12×6×1=12．
【变式7.2】如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2=4x的图象交于A、B两点．点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1．
（1）求a，b的值．
（2）在反比例y2=4x第三象限的图象上找一点P，使点P到直线AB的距离最短，求点P的坐标．
【分析】（1）首先确定A，B两点坐标，再利用待定系数法求解即可．
（2）过点P作直线PM∥AB，当直线PM与反比例函数只有一个交点时，点P到直线AB的距离最短，构建方程组把问题转化为一元二次方程，利用判别式＝0，构建方程求解即可．
【解析】（1）∵一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2=4x的图象交于A、B两点．点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，
∴A（2，2），B（4，1），
则有2a+b=24a+b=1，
解得a=-12b=3．
（2）过点P作直线PM∥AB，
当直线PM与反比例函数只有一个交点时，点P到直线AB的距离最短，
设直线PM的解析式为y=-12x+n，
由y=4xy=-12x+n，消去y得到，x2﹣2nx+8＝0，
由题意得，△＝0，
∴4n2﹣32＝0，
∴n＝﹣22或22（舍弃），
解得x=-22y=-2，
∴P（﹣22，-2）．
【类型8】反比例函数与几何综合问题
【例8】如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，23），反比例函数y=kx（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD=12．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．
【分析】（1）求出D（32，23），再用待定系数法即可求解；
（2）证明EBAB=BDBC，即可求解；
（3）①当点F在点C的下方时，求出FH＝1，CH=3，求出点F（1，3），则点G（3，3），即可求解；②当点F在点C的上方时，同理可解．
【解析】（1）∵B（2，23），则BC＝2，
而BD=12，
∴CD＝2-12=32，故点D（32，23），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：23=k32，解得k＝33，
故反比例函数表达式为y=33x，
当x＝2时，y=332，故点E（2，332）；
（2）由（1）知，D（32，23），点E（2，332），点B（2，23），
则BD=12，BE=32，
故BDBC=122=14，EBAB=3223=14=BDBC，
∴DE∥AC；
（3）①当点F在点C的下方时，如下图，
过点F作FH⊥y轴于点H，
∵四边形BCFG为菱形，则BC＝CF＝FG＝BG＝2，
在Rt△OAC中，OA＝BC＝2，OC＝AB＝23，
则tan∠OCA=AOCO=223=33，故∠OCA＝30°，
则FH=12FC＝1，CH＝CF•cs∠OCA＝2×32=3，
故点F（1，3），则点G（3，3），
当x＝3时，y=33x=3，故点G在反比例函数图象上；
②当点F在点C的上方时，
同理可得，点G（1，33），
同理可得，点G在反比例函数图象上；
综上，点G的坐标为（3，3）或（1，33），这两个点都在反比例函数图象上．
【变式8.1】如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y=-8x的图象交于点A（n，2）和点B．
（1）n＝ ﹣4 ，k＝ -12 ；
（2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标；
（3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式求得n，再把求得的A点坐标代入正比例函数解析式求得k；
（2）可设点C（0，b），只要求出b的值就行，求值一般的方法是相似和勾股定理，此题用相似，只需证明△ACD∽△CBE即可；
（3）在x轴上找到点P1，P2，使AP1⊥P1B，AP2⊥BP2，则点P在P1的左边，在P2的右边就符合要求了．
【解析】（1）把A（n，2）代入反比例函数y=-8x中，得n＝﹣4，
∴A（﹣4，2），
把A（﹣4，2）代入正比例函数y＝kx（k≠0）中，得k=-12，
故答案为：﹣4；-12；
（2）过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，
∵A（﹣4，2），
∴根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣2），
设C（0，b），则CD＝b﹣2，AD＝4，BE＝4，CE＝b+2，
∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠CBE＝90°，
∴∠ACO＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴△ACD∽△CBE，
∴CDBE=ADCE，即b-24=4b+2，
解得，b＝25，或b＝﹣25（舍），
∴C（0，25）；
另一解法：∵A（﹣4，2），
∴根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣2），
∴AB=64+16=45，
∵∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴OC=12AB=25，
∴C(0，25）；
（3）如图2，过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，在x轴上原点的两旁取两点P1，P2，使得OP1＝OP2＝OA＝OB，
∴OP1=OP2=OA=42+22=25，
∴P1（﹣25，0），P2（25，0），
∵OP1＝OP2＝OA＝OB，
∴四边形AP1BP2为矩形，
∴AP1⊥P1B，AP2⊥BP2，
∵点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，
∴P点必在P1的左边或P2的右边，
∴m＜﹣25或m＞25．
另一解法：在x轴上原点的两旁取两点P1，P2，使得∠AP1B＝∠AP2B＝90°，
则OP1=OP2=12AB=25，
∴P1(-25，0)，P2(25，0)，
∵点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，
∴P点必在P1的左边或P2的右边，
∴m＜﹣25或m＞25．
【变式8.2】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数y=kx（k＜0）的图象在第二象限交于A（﹣3，m），B（n，2）两点．
（1）当m＝1时，求一次函数的解析式；
（2）若点E在x轴上，满足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，求反比例函数的解析式．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式中求出k，进而得出点B坐标，最后用待定系数法求出直线AB的解析式；
（2）先判断出BF＝AE，进而得出△AEG≌Rt△BFG（AAS），得出AG＝BG，EG＝FG，即BE＝BG+EG＝AG+FG＝AF，再求出m=-23n，进而得出BF＝2+23n，MN＝n+3，即BE＝AF＝n+3，再判断出△AME∽△ENB，得出MEBN=AEBE=23，得出ME=23BN=43，最后用勾股定理求出m，即可得出结论．
【解析】（1）当m＝1时，点A（﹣3，1），
∵点A在反比例函数y=kx的图象上，
∴k＝﹣3×1＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为y=-3x；
∵点B（n，2）在反比例函数y=-3x图象上，
∴2n＝﹣3，
∴n=-32，
设直线AB的解析式为y＝ax+b，则-3a+b=1-32a+b=2，
∴a=23b=3，
∴直线AB的解析式为y=23x+3；
（2）如图，过点A作AM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，过点A作AF⊥BN于F，交BE于G，
则四边形AMNF是矩形，
∴FN＝AM，AF＝MN，
∵A（﹣3，m），B（n，2），
∴BF＝2﹣m，
∵AE＝2﹣m，
∴BF＝AE，
在△AEG和△BFG中，∠AGE=∠BGF(对顶角相等)∠AEG=∠BFG=90°AE=BF，
∴△AEG≌△BFG（AAS），
∴AG＝BG，EG＝FG，
∴BE＝BG+EG＝AG+FG＝AF，
∵点A（﹣3，m），B（n，2）在反比例函数y=kx的图象上，
∴k＝﹣3m＝2n，
∴m=-23n，
∴BF＝BN﹣FN＝BN﹣AM＝2﹣m＝2+23n，MN＝n﹣（﹣3）＝n+3，
∴BE＝AF＝n+3，
∵∠AEM+∠MAE＝90°，∠AEM+∠BEN＝90°，
∴∠MAE＝∠NEB，
∵∠AME＝∠ENB＝90°，
∴△AME∽△ENB，
∴MEBN=AEBE=2-mn+3=2+23nn+3=23，
∴ME=23BN=43，
在Rt△AME中，AM＝m，AE＝2﹣m，根据勾股定理得，AM2+ME2＝AE2，
∴m2+（43）2＝（2﹣m）2，
∴m=59，
∴k＝﹣3m=-53，
∴反比例函数的解析式为y=-53x．
【变式8.3】如图，直线AB与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为（6，1），△AOB的面积为8．
（1）填空：反比例函数的关系式为 y=6x ；
（2）求直线AB的函数关系式；
（3）动点P在y轴上运动，当线段PA与PB之差最大时，求点P的坐标．
【分析】（1）将点A坐标（6，1）代入反比例函数解析式y=kx，求出k的值即可；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥y轴于D，延长CA，DB交于点E，则四边形ODEC是矩形，设B（m，n），根据△AOB的面积为8，得3n-12m＝8，得方程3n2﹣8n﹣3＝0，解出可得B的坐标，利用待定系数法可得AB的解析式；
（3）如图，根据“三角形两边之差小于第三边可知：当点P为直线AB与y轴的交点时，PA﹣PB有最大值是AB，可解答．
【解析】（1）将点A坐标（6，1）代入反比例函数解析式y=kx，
得k＝1×6＝6，
则y=6x，
故答案为：y=6x；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥y轴于D，延长CA，DB交于点E，则四边形ODEC是矩形，
设B（m，n），
∴mn＝6，
∴BE＝DE﹣BD＝6﹣m，AE＝CE﹣AC＝n﹣1，
∴S△ABE=12AE⋅BE=12(n-1)(6-m)，
∵A、B两点均在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴S△BOD＝S△AOC=12×6×1=3，
∴S△AOB＝S矩形ODEC﹣S△AOC﹣S△BOD﹣S△ABE＝6n﹣3﹣3-12(n-1)(6-m)=3n-12m，
∵△AOB的面积为8，
∴3n-12m＝8，
∴m＝6n﹣16，
∵mn＝6，
∴3n2﹣8n﹣3＝0，
解得：n＝3或-13（舍），
∴m＝2，
∴B（2，3），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
则6k+b=12k+b=3，解得：k=-12b=4，
∴直线AB的解析式为：y=-12x+4；
（3）如图，根据“三角形两边之差小于第三边可知：
当点P为直线AB与y轴的交点时，PA﹣PB有最大值是AB，
把x＝0代入y=-12x+4中，得：y＝4，
∴P（0，4）．
函数
反比例函数
解析式
图象形状
双曲线
K>0
位置
第一、三象限
增减性
y随x的增大而减小
K0
图象经过第一、三象限
（x、y同号）
每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.
k