2024年高考真题和模拟题数学分类汇编（全国通用）专题09 导数及其应用（原卷版）

这是一份2024年高考真题和模拟题数学分类汇编（全国通用）专题09 导数及其应用（原卷版），共7页。试卷主要包含了已知函数，已知在处切线为l等内容，欢迎下载使用。
（全国甲卷数学（文））曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（全国甲卷数学（理））设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（新课标全国Ⅰ卷）（多选）设函数，则（ ）
A．是的极小值点B．当时，
C．当时，D．当时，
4．（新课标全国Ⅱ卷）（多选）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
5．（新课标全国Ⅰ卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
6．（全国甲卷数学（文））曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
7．（新课标全国Ⅰ卷）已知函数
(1)若，且，求的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当，求的取值范围．
8．（新课标全国Ⅱ卷）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
9．（全国甲卷数学（文））已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若时，证明：当时，恒成立．
10．（全国甲卷数学（理））已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
11．（新高考北京卷）已知在处切线为l．
(1)若，求单调区间；
(2)证明：切线l不经过；
(3)已知，，，，其中，切线l与y轴交于点B时．当，符合条件的A的个数为？
（参考数据：，，）
12．（新高考天津卷）设函数．
(1)求图象上点处的切线方程；
(2)若在时恒成立，求的取值范围；
(3)若，证明．
13．（新高考上海卷）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．
(1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；
(2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；
(3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．
一、单选题
1．（2024·湖南长沙·三模）斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ）
A．0或2B．或2C．或0D．0或1
2．（2024·海南海口·二模）已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．B．C．2D．
3．（2024·浙江金华·三模）若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·河北保定·三模）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·广西来宾·模拟预测）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线，其在点处的曲率，其中是的导函数，是的导函数．则抛物线上的各点处的曲率最大值为（ ）
A．B．pC．D．
6．（2024·浙江·模拟预测）函数的极小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·江西南昌·三模）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·湖南长沙·二模）已知 ，，直线 与曲线 相切，则 的最小值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
9．（2024·河北秦皇岛·三模）已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·江西萍乡·二模）已知，则这三个数的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2024·广东广州·模拟预测）已知直线恒在曲线的上方，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
12．（2024·河北衡水·三模）已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．函数在区间上单调递减
C．过点能作两条不同直线与相切D．函数有5个零点
13．（2024·湖北·二模）已知，则下列不等式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
14．（2024·重庆·三模）已知，则（ ）
A．B．在上单调递增
C．，使D．，使
15．（2024·广东广州·二模）已知函数，则（ ）
A．的定义域为B．的图像在处的切线斜率为
C．D．有两个零点，且
16．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是上的增函数B．函数有且仅有一个零点
C．函数的最小值为D．存在唯一个极值点
17．（2024·河北·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称．B．的图象关于点对称．
C．D．
三、填空题
18．（2024·江西·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知曲线的一条切线与轴、轴分别交于，两点，则的面积的最大值为 ．
19．（2024·四川遂宁·三模）曲线在点处切线的斜率为3，则实数 ．
20．（2024·重庆·模拟预测）已知，若实数m，n满足，则的最小值为
21．（2024·贵州贵阳·三模）已知函数，若函数的最小值恰好为0，则实数的最小值是 .
22．（2024·山东临沂·二模）若直线与曲线相切，则的取值范围为 .
23．（2024·河北·三模）已知对任意恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
24．（2024·北京·三模）已知．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数存在两个不同的极值点，求证：．
25．（2024·江西·模拟预测）已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)若，求的最大值．
26．（2024·江西赣州·二模）给出以下三个材料：
①若函数的导数为，的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做的三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做的四阶导数…，一般地，n－1阶导数的导数叫做的n阶导数，即，；
②若，定义；③若函数在包含的某个开区间上具有n阶的导数，那么对于有，我们将称为函数在点处的n阶泰勒展开式.例如，在点处的n阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)若，在点处的3阶泰勒展开式分别为，，求出，；
(2)比较（1）中与的大小；
(3)证明：.
27．（2024·山东威海·二模）已知函数．
(1)求的极值；
(2)证明：．
28．（2024·江西·二模）已知函数
(1)当时，求函数的极值；
(2)设函数有两个极值点，且，若恒成立，求最小值．
29．（2024·安徽·三模）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若，求函数在上的最值.
30．（2024·四川眉山·三模）已知函数.
(1)若过点可作曲线两条切线，求的取值范围；
(2)若有两个不同极值点.
①求的取值范围；
②当时，证明：.