2024年高考真题和模拟题数学分类汇编（全国通用）专题05 数列（原卷版）

这是一份2024年高考真题和模拟题数学分类汇编（全国通用）专题05 数列（原卷版），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（全国甲卷数学（文））等差数列的前项和为，若，（ ）
A．B．C．1D．
2．（全国甲卷数学（理））等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．（新高考北京卷）记水的质量为，并且d越大，水质量越好．若S不变，且，，则与的关系为（ ）
A．
B．
C．若，则；若，则；
D．若，则；若，则；
二、填空题
4．（新课标全国Ⅱ卷）记为等差数列的前n项和，若，，则 .
5．（新高考上海卷）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是 ．
三、解答题
6．（新课标全国Ⅰ卷）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
(1)写出所有的，，使数列是可分数列；
(2)当时，证明：数列是可分数列；
(3)从中一次任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．
7．（新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.
(1)若，求；
(2)证明：数列是公比为的等比数列；
(3)设为的面积，证明：对任意的正整数，.
8．（全国甲卷数学（文））已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的通项公式.
9．（全国甲卷数学（理））记为数列的前项和，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为．
10．（新高考北京卷）设集合．对于给定有穷数列，及序列，，定义变换：将数列的第项加1，得到数列；将数列的第列加，得到数列…；重复上述操作，得到数列，记为．
(1)给定数列和序列，写出；
(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；
(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，证明：“存在序列，使得为常数列”的充要条件为“”．
11．（新高考天津卷）已知数列是公比大于0的等比数列．其前项和为．若．
(1)求数列前项和；
(2)设，，其中是大于1的正整数．
（ⅰ）当时，求证：；
（ⅱ）求．
12．（新高考上海卷）若．
(1)过，求的解集；
(2)存在使得成等差数列，求的取值范围．
一、单选题
1．（2024·重庆·三模）已知数列的前项和为（ ）
A．276B．272C．268D．266
2．（2024·河北张家口·三模）已知数列的前n项和为，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·山东日照·三模）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．36C．D．18
4．（2024·湖北武汉·二模）已知等差数列的前项和为，若，则 （ ）
A．288B．144C．96D．25
5．（2024·江西赣州·二模）在等差数列中，，是方程的两根，则的前6项和为（ ）
A．48B．24C．12D．8
6．（2024·湖南永州·三模）已知非零数列满足，则（ ）
A．8B．16C．32D．64
7．（2024·浙江绍兴·二模）汉诺塔（Twer f Hani），是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子， A柱子从下到上按金字塔状叠放着个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为，例如：，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为等差数列
C．为等比数列D．
8．（2024·云南曲靖·二模）已知是等比数列的前项和，若，则数列的公比是（ ）
A．或1B．或1C．D．
9．（2024·四川·模拟预测）已知数列为等差数列，且，则（ ）
A．33B．44C．66D．88
10．（2024·北京东城·二模）设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（ ）
A．若为等差数列，则为内和数列
B．若为等比数列，则为内和数列
C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列
D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列
11．（2024·广东茂名·一模）已知为正项数列的前项的乘积，且，则（ ）
A．16B．32C．64D．128
12．（2024·湖南常德·一模）已知等比数列中，，，则公比为（ ）
A．B．2C．D．4
二、多选题
13．（2024·湖南长沙·三模）设无穷数列的前项和为，且，若存在，使成立，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．对任意给定的实数，总存在，当时，
14．（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列的通项公式为，前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．数列有最大项
B．使的项共有项
C．满足的值共有个
D．使取得最小值的值为4
15．（2024·山东临沂·二模）已知是等差数列，是其前n项和，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若和都为递增数列，则
16．（2024·山东泰安·二模）已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．为递减数列D．的前5项和为
17．（2024·江西·三模）已知数列满足，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等差数列
C．数列的前项和为D．能被3整除
18．（2024·湖北·二模）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
三、填空题
19．（2024·山东济南·三模）数列满足，若，，则数列的前20项的和为 ．
20．（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则 .
21．（2024·上海·三模）数列满足（为正整数），且与的等差中项是5，则首项
22．（2024·河南·三模）数列满足，，其中为函数的极值点，则 .
23．（2024·上海·三模）已知两个等差数列2，6，10，…，202和2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为 ．
24．（2024·湖南长沙·三模）已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为 .
四、解答题
25．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前20项和.
26．（2024·湖南长沙·三模）若各项均为正数的数列满足（为常数），则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
27．（2024·山东潍坊·三模）已知正项等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前项和.
28．（2024·上海·三模）已知等比数列的公比，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，且是严格增数列，求实数的取值范围．
29．（2024·山东泰安·模拟预测）在足球比赛中，有时需通过点球决定胜负．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外人中的 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知．
① 试证明：为等比数列；
② 设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
30．（2024·湖南邵阳·三模）高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中是复数的模，称为复数的辐角，若，则称为复数的辐角主值，记为.复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果，那么，这个结论叫做棣莫弗定理.请运用上述知识和结论解答下面的问题：
(1)求复数，的模和辐角主值（用表示）；
(2)设，，若存在满足，那么这样的有多少个？
(3)求和：
31．（2024·湖南长沙·二模）集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合和，定义和集，用符号表示和集内的元素个数.
(1)已知集合，，，若，求的值；
(2)记集合，，，为中所有元素之和，，求证：；
(3)若与都是由个整数构成的集合，且，证明：若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列.
32．（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列是斐波那契数列，其数值为：.这一数列以如下递推的方法定义：.数列对于确定的正整数，若存在正整数使得成立，则称数列为“阶可分拆数列”.
(1)已知数列满足.判断是否对，总存在确定的正整数，使得数列为“阶可分拆数列”，并说明理由.
(2)设数列的前项和为，
（i）若数列为“阶可分拆数列”，求出符合条件的实数的值；
（ii）在（i）问的前提下，若数列满足，，其前项和为.证明：当且时，成立.