初中数学苏科版八年级上册3.1 勾股定理精品当堂检测题

这是一份初中数学苏科版八年级上册3.1 勾股定理精品当堂检测题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm.把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，则AF的长为( )
A. 254cm
B. 152cm
C. 7cm
D. 132cm
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，BE平分∠ABC，CD⊥AB于点D，BE与CD相交于点F，则CF的长是 ( )
A. 1B. 43C. 53D. 2
3.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等的直角三角形的边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是( )
A. S△EDA=S△CEB
B. S△EDA+S△CEB=S△CDE
C. S四边形CDAE=S四边形CDEB
D. S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，周长为60，斜边长与一条直角边长之比为13:5，则Rt△ABC的斜边长为 ( )
A. 5B. 10C. 13D. 26
5.如图，AB=AC=4，P是BC上异于点B，C的一点，则AP2+BP·PC的值是 ( )
A. 20B. 25C. 24D. 16
6.如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1与l2，l2与l3之间的距离分别为1和3，则AC2的值是 ( )
A. 10B. 20C. 50D. 25
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以△ABC的边AB，BC，AC为新的直角边或斜边向外作等腰直角三角形ABF、等腰直角三角形BEC和等腰直角三角形ADC，记△ABF，△BEC，△ADC的面积分别是S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是 ( )
A. S1S2+S3D. 12S1=S2+S3
8.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是( )
A. B. C. D.
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则线段B′F的长为 ( )
A. 65B. 85C. 43D. 3
10.已知直角三角形的面积为15，两条直角边的和为11，则其斜边长的平方为( )
A. 61B. 62C. 63D. 64
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.已知直角三角形的面积为6cm2，两直角边的差为1cm，则它的斜边长为 cm．
12.若一个直角三角形三边的长a，b，c都是整数，且满足a13.已知直角三角形的三边长a、b、c满足c>a>b，分别以a、b、c为边长作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大的正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，重叠部分的面积为S2，则S1 S2(填“>”“<”或“=”)．
14.如图所示，在△ABC中，∠C=90∘，点D为BC边上一点，将△ACD沿AD翻折得到△AC ′D，若点C′在AB边上，AC=6，BC=8，则AD的长为 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm.若点P从点A出发，以4 cm/s的速度沿A→C→B→A运动．设运动时间为ts(t>0)．
(1)若点P在AC上，且满足△BCP的周长为14 cm，求此时t的值；
(2)若点P在∠BAC的平分线上，求此时t的值；
(3)在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
16.(本小题8分)
如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于点F，已知DE=AB，∠CAD=45°．
(1)求证：DF⊥AB．
(2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，求证：a2+b2=c2．
17.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=15，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线BE，交AC于点D，求AD的长．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠CBE=45°，BE分别交AC，AD于点E，F，连接CF．
(1)判断△BCF的形状，并说明理由．
(2)若AF=BC，求证：BF2+EF2=AE2．
19.(本小题8分)
如图1，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上，连接BD．
(1)求证：△AEC≌△BDC．
(2)求证：AE2+AD2=2AC2．
(3)如图2，过点C作CO⊥AB于点O并延长交DE于点F，请写出线段AE，AF，DF之间的数量关系，并给出证明．
20.(本小题8分)
如图，将长方形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB=3，BC=5，求AE的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了翻折变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键．由折叠的性质可得AE=AB=8cm，CE=BC=AD=6cm，∠E=∠B=90°，由“AAS”可证△CEF≌△ADF，可得CF=AF，由勾股定理可求AF的长．
【解答】
解：∵把长方形纸片沿直线AC折叠，
∴AE=AB=8cm，CE=BC=AD=6cm，∠E=∠B=90°，
在△CEF和△ADF中，
∠CFE=∠AFD∠E=∠D=90°CE=AD,
∴△CEF≌△ADF(AAS)
∴CF=AF，
∵AF2=DF2+AD2，
∴AF2=(8−AF)2+36，
∴AF=254cm，
故选：A．
2.【答案】B
【解析】 提示：过点E作EG⊥AB于点G.因为CD⊥AB于点D，所以EG//CD，所以∠GEB=∠EFC.因为∠ACB=90°，所以EC⊥BC.又因为BE平分∠ABC，EG⊥AB，所以EG=EC.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，所以AB=5.易证Rt△EBC≌Rt△EBG，所以∠CEB=∠GEB，BG=BC=4.所以∠CEB=∠EFC，AG=AB−BG=5−4=1，所以CF=EC.设CF=EG=EC=x，则AE=3−x.在Rt△AEG中，由勾股定理，得(3−x)2=x2+12，解得x=43.所以CF的长是43．
3.【答案】D
【解析】略
4.【答案】D
【解析】略
5.【答案】D
【解析】提示：过点A作AD⊥BC于点D，则AP2=AD2+DP2，AB2=AD2+BD2.因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=CD.因为PC=CD+DP，BD=CD，所以PC=BD+DP.因为BP=BD−DP，所以BP·PC=BD2−DP2.所以AP2+BP·PC=AD2+BD2=AB2.因为AB=4，所以AP2+BP·PC=16．
6.【答案】C
【解析】提示：过点A作AD⊥l3于点D，过点C作CE⊥l3于点E.易证△ABD≌△BCE，所以BE=AD=3.在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC2=32+(3+1)2=25.在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2=AB2+BC2=50．
7.【答案】D
【解析】略
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断．
【解答】
解：在A选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
∴12ab+12ab+12c2=12(a+b)(a+b)，
整理可得a2+b2=c2，故 A选项可以证明勾股定理，
在B选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴4×12ab+c2=(a+b)2，
整理得a2+b2=c2，故 B选项可以证明勾股定理，
在C选项中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，
∴c2+2×12ab=a2+b2+2×12ab，
整理得a2+b2=c2，故 C选项可以证明勾股定理，
在D选项中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2，
以上公式为完全平方公式，故D选项不能说明勾股定理，
故选D．
9.【答案】B
【解析】提示：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，根据勾股定理，得AB=10.根据折叠可得CE⊥AB，B′F=BF，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF.则有∠ECF=45°，所以△ECF是等腰直角三角形．用等积法可求得CE=EF=245，根据勾股定理，得AE=185，所以B′F=BF=AB−AE−EF=85．
10.【答案】A
【解析】略
11.【答案】5
【解析】设两直角边长分别为xcm和ycm，则12xy=6，x−y=1，∴xy=12，∴(x−y)2=1，∴x2+y2−2xy=1．∴x2+y2=1+2xy=25．∴斜边长= x2+y2=5cm．
12.【答案】210
【解析】提示：根据勾股定理，得a2+b2=c2，则(c−a)(c+a)=b2，即49(c−a)=b2.因为a，b，c都是整数，所以可设b=7m(m取1，2，3…).当m=3时，a=20，b=21，c=29；当m=5时，a=12，b=35，c=37.故直角三角形的面积为210．
13.【答案】=
【解析】∵直角三角形的三边长a、b、c满足c>a>b，∴该直角三角形的斜边长为c，∴c2=a2+b2，即c2−a2−b2=0.根据题意，得S1=c2−a2−b2+b(a+b−c)=ab+b2−bc，S2=b(a+b−c)=ab+b2−bc，∴S1=S2．
14.【答案】3 5
【解析】由勾股定理求出AB=10，由折叠的性质得出CD=DC′，∠C=∠AC′D=90∘，AC′=AC=6，得出BC′=AB−AC′=4，∠BC′D=90∘，设BD=x，则CD=DC′=8−x，在RtΔBDC′中，由勾股定理得出方程，可求BD长，由勾股定理可求AD的长．
【解答】解：由折叠可知：DC=DC′，∠DC′A=∠C=90∘，AC′=AC=6，
在RtΔABC中，由勾股定理得：AB= AC2+BC2=10，
∴BC′=AB−AC′=4，
设BD=x，则CD=DC′=8−x，
在RtΔBDC′中，由勾股定理得：x2=42+(8−x)2，
∴x=5，
∴BD=5，CD=3，
∴AD= AC2+CD2= 62+32=3 5，
故答案为：3 5．
15.【答案】【小题1】
解：在△ABC中，因为∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，所以AC=8 cm.连接PB.因为△BCP的周长为14 cm，所以PB+PC=8 cm.根据题意，得PC=(8−4t)cm，则PB=4tcm.在Rt△BCP中，PC2+BC2=PB2，即(8−4t)2+62=(4t)2，解得t=2516.所以此时t的值为2516．
【小题2】
过点P作PE⊥AB于点E.因为点P在∠BAC的平分线上，所以PC=PE.根据题意，易证△APC≌△APE，所以AC=AE=8 cm，所以BE=2 cm.根据题意，得PC=PE=(4t−8)cm，PB=6−(4t−8)=(14−4t)cm.在Rt△BPE中，根据勾股定理，得PE2+BE2=PB2，即(4t−8)2+22=(14−4t)2，解得t=83.所以此时t的值为83．
【小题3】
当t为12或5或5310或194时，△BCP为等腰三角形．

【解析】1. 略
2. 略
3.
提示：当点P在AC上时，当且仅当PC=BC时，△BCP为等腰三角形，即8−4t=6，解得t=12.当点P在BC上时，不符合题意．当点P在AB上时，①若PB=BC，则4t−14=6，解得t=5；②若PC=BC，作CD⊥AB于点D，根据等面积法，得CD=245cm，在Rt△BCD中，根据勾股定理，得BD=185cm，所以PB=365cm，则4t−14=365，解得t=5310；③若PC=PB，则易得PC=PA=12AB，即4t−14=12×10，解得t=194．
16.【答案】【小题1】
∵AC⊥BD，∠CAD=45°，∴AC=DC，∠ACB=∠DCE=90°.在Rt△ABC与Rt△DEC中，{C=DC,AB=DE,∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)，∴∠BAC=∠EDC.∵∠EDC+∠CED=90°，∠CED=∠AEF，∴∠AEF+∠BAC=90°，∴∠AFE=90°，∴DF⊥AB．
【小题2】
由Rt△ABC≌Rt△DEC，得BC=EC=a，AB=DE=c，AC=CD=b.∴S△BCE+S△ACD=S△ABD−S△ABE，
∴12a2+12b2=12⋅c⋅DF−12⋅c⋅EF=12⋅c⋅(DF−EF)=12⋅c⋅DE=12c2，
∴a2+b2=c2．

【解析】1. 略
2. 略
17.【答案】∵在Rt△ABC中，∠A=90°，∴AB2+AC2=BC2.∵AB=8，AC=15，∴易得BC=17.如图，过点D作DH⊥BC于点H，则∠BHD=∠A=90°.根据尺规作图痕迹，得BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠HBD.又∵BD=BD，∴△ABD≌△HBD(AAS)，∴HB=AB=8，AD=HD，∴CH=BC−HB=9.∵在Rt△DHC中，CH2+DH2=CD2，∴92+AD2=(15−AD)2，∴AD=245

【解析】略
18.【答案】【小题1】
解：△BCF为等腰直角三角形．理由如下：因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=CD，所以AD垂直平分BC，所以BF=CF，所以∠BCF=∠CBF=45°，所以∠CFB=180°−∠BCF−∠CBF=90°，所以△BCF为等腰直角三角形．
【小题2】
在线段BF上取一点H，使BH=EF，连接CH.由(1)可知，∠AFE=∠DFB=∠DBF=45°.在△CHB和△AEF中，BH=FE,∠CBH=∠AFE,BC=AF,所以△CHB≌△AEF(SAS)，所以AE=CH，∠AEF=∠CHB.因为∠AEF+∠CEF=180°，∠CHB+∠CHE=180°，所以∠CEF=∠CHE，所以CE=CH，因为∠CFB=90°，即CF⊥EH，所以EF=FH.在Rt△CFH中，由勾股定理，得CF2+FH2=CH2，所以BF2+EF2=AE2．

【解析】1. 略
2. 略
19.【答案】【小题1】
证明：因为∠ECD=∠ACB=90°，即∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，所以∠ACE=∠BCD.在△AEC和△BDC中，CA=CB,∠ACE=∠BCD,CE=CD,所以△AEC≌△BDC．
【小题2】
证明：因为△AEC≌△BDC，所以AE=BD，∠CDB=∠E=45°.又因为∠CDE=45°，所以∠ADB=∠CDE+∠CDB=90°.在Rt△ADB中，根据勾股定理，得AD2+BD2=AB2.在Rt△ACB中，根据勾股定理，得CA2+CB2=AB2.又因为CA=CB，BD=AE，所以AE2+AD2=2AC2．
【小题3】
解：AE2+DF2=AF2.证明如下： 连接BF.由(2)，得AE=DB，∠FDB=90°.因为CF⊥AB，CA=CB，所以AO=BO.所以CF是AB的垂直平分线，所以AF=BF.在Rt△BDF中，根据勾股定理，得DB2+DF2=BF2，所以AE2+DF2=AF2．

【解析】1. 略
2. 略
3. 略
20.【答案】∵四边形ABCD是长方形，∴∠A=∠D=90°，CD=AB=3，AD=BC=5.∵CE是折痕，∴FC=BC=5，EF=BE.∵在Rt△CDF中，DF2+CD2=FC2，∴DF2=FC2−CD2=52−32=16，∴DF=4，∴AF=AD−DF=1.设AE=x，则BE=EF=3−x.∵在Rt△AEF中，EF2=AE2+AF2，∴(3−x)2=x2+12，解得x=43，∴AE=43
【解析】略