2021-2022学年甘肃省庆阳市八年级上学期期中数学试题及答案

这是一份2021-2022学年甘肃省庆阳市八年级上学期期中数学试题及答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）如图银行LOGO图标中，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）如图，在△ABC中，CD为边AB的中线，若AB＝8，则AD＝（ ）
A．2B．3C．4D．6
3．（3分）下列长度的三条线段不能构成三角形的是（ ）
A．6，3，4B．6，8，10C．5，6，7D．6，3，3
4．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（ ）
A．HLB．SASC．ASAD．SSS
5．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．（3分）如图，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∠2＝56°，则∠1＝（ ）
A．24°B．34°C．44°D．56°
7．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
8．（3分）△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则此三角形为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，AC＝4cm，那么AE+DE＝（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
10．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE⊥BC，CE＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．12B．24C．36D．48
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.
11．（3分）四边形的一条对角线将四边形分成 个三角形．
12．（3分）彩虹桥（庆阳雨洪集蓄保塬生态项目），位于庆阳市南区入口处，以世纪大道为中轴线，北起石油路，向南600米，占地1046亩，如图是彩虹桥中的双向飞虹斜拉桥，那么你能推断出斜拉桥中运用的数学原理是 ．（填“三角形的稳定性”或“四边形的不稳定性”）
13．（3分）点（2022，﹣2021）关于x轴对称的点的坐标为 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝55°，∠C＝65°，BD是△ABC的角平分线，则∠BDC＝ ．
15．（3分）如图，已知CE⊥CD，AD⊥AC，∠CBE＝90°，DC＝EC，若AC＝8，AD＝6，则AB的长为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝35°．若△ABC≌△ADE，∠DAC＝25°，则∠EAC＝ ．
17．（3分）如图，已知∠AOB的平分线是OC，点E是射线OC上的一点，点F在射线OB上运动，若∠AOB＝60°，OE＝16，则EF的最小值是 ．
18．（3分）如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第2021个图中共有三角形 个．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共26分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（4分）如图，∠ACD是△ABC的一个外角，求∠A的度数．
20．（4分）若a，b，c表示三角形的三边，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|．
21．（6分）如图，在△ABC中，点E，F分别在边CB及其延长线上，且BC＝EF，DF∥AC，且DF＝AC，连接DE，求证：AB∥DE．
22．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝126°，∠B＝42°，边AB的垂直平分线与边AB交于点E，与边BC交于点D．求证：△ACD为等腰三角形．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，2）、B（﹣4，0）、C（﹣3，﹣2）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′；
（2）写出点A′、B′、C′的坐标．
四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
24．（7分）如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：∠A＝∠AGD＝∠D．
25．（7分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC．
求证：（1）△BDO≌△CEO；
（2）∠1＝∠2．
26．（8分）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的5倍，这样的三角形我们称之为“五倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，36°，24°的三角形是“五倍角三角形”．
（1）在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝30°，△ABC是“五倍角三角形”吗？为什么？
（2）若△ABC是“五倍角三角形”，且∠C＝40°，求△ABC中最小内角的度数．
27．（8分）如图，在等边△ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上Y点，DE⊥AC交BC于点F，且CD＝BE．
（1）求证：DF＝EF．
（2）若AC＝18，求BF的长．
28．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为边BC上的一点，PCBC，且∠PAB＝15°，AH⊥BC，点C关于PA所在直线的对称点为D，连接BD．
（1）求∠BPD的度数；
（2）求证：BD∥AH．
（3）求证：∠BAP＝∠CAH．
2021-2022学年甘肃省庆阳市八年级（上）期中数学试卷（解析版）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确选项.
1．（3分）如图银行LOGO图标中，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
2．（3分）如图，在△ABC中，CD为边AB的中线，若AB＝8，则AD＝（ ）
A．2B．3C．4D．6
【分析】根据三角形中线的定义分析即可．
【解答】解：因为CD为边AB的中线，
所以D为AB的中点，
所以ADAB＝4．
故选：C．
3．（3分）下列长度的三条线段不能构成三角形的是（ ）
A．6，3，4B．6，8，10C．5，6，7D．6，3，3
【分析】直接利用三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案．
【解答】解：A．∵3+4＝7＞6，∴能构成三角形，不符合题意；
B．∵6+8＞10，∴能构成三角形，不符合题意；
C．∵5+6＝11＞7，∴能构成三角形，不符合题意；
D．∵3+3＝6，∴不能构成三角形，符合题意．
故选：D．
4．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（ ）
A．HLB．SASC．ASAD．SSS
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：BC＝CD，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD（对顶角相等），
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：C．
5．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据内角和定理180°•（n﹣2）＝720°即可求得．
【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，
∴（n﹣2）×180°＝720°，
解得n＝6，
∴这个多边形的边数是6．
故选：C．
6．（3分）如图，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∠2＝56°，则∠1＝（ ）
A．24°B．34°C．44°D．56°
【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABC与Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠ACB＝∠2＝56°，
∴∠1＝90°﹣∠ACB＝90°﹣56°＝34°，
故选：B．
7．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】根据全等三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴∠α＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
故选：C．
8．（3分）△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则此三角形为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【分析】根据，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，再根据内角和为180°可知：3x+4x+5x＝180°，解出x即可求得∠A、∠B、∠C的度数，进而得到结果．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+4x+5x＝180°，
解得x＝15°．
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
故三角形为锐角三角形．
故选：A．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，AC＝4cm，那么AE+DE＝（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【分析】先根据角平分线的性质得到ED＝EC，然后利用等量代换得到AE+DE＝AC．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，EC⊥BC，
∴ED＝EC，
∴AE+DE＝AE+EC＝AC＝4cm．
故选：D．
10．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE⊥BC，CE＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．12B．24C．36D．48
【分析】根据等边三角形的性质可得AB＝AC＝BC，∠C＝60°，再利用垂直定义可得∠DEC＝90°，从而可得∠EDC＝30°，进而在Rt△DEC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得CD＝6，然后利用线段中点的定义可得AC＝12，从而求出△ABC的周长，即可解答．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠C＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝90°﹣∠C＝30°，
∴CD＝2CE＝6，
∵点D是AC的中点，
∴AC＝2CD＝12，
∴AB＝AC＝BC＝12，
∴△ABC的周长为36，
故选：C．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.
11．（3分）四边形的一条对角线将四边形分成 2 个三角形．
【分析】n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，把n边形分成（n﹣2）个三角形，据此作答．
【解答】解：四边形的一条对角线将四边形分成2个三角形．
故答案为：2．
12．（3分）彩虹桥（庆阳雨洪集蓄保塬生态项目），位于庆阳市南区入口处，以世纪大道为中轴线，北起石油路，向南600米，占地1046亩，如图是彩虹桥中的双向飞虹斜拉桥，那么你能推断出斜拉桥中运用的数学原理是 三角形的稳定性 ．（填“三角形的稳定性”或“四边形的不稳定性”）
【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定．
【解答】解：虹桥（庆阳雨洪集蓄保塬生态项目），位于庆阳市南区入口处，以世纪大道为中轴线，北起石油路，向南600米，占地1046亩，如图是彩虹桥中的双向飞虹斜拉桥，那么你能推断出斜拉桥中运用的数学原理是是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
13．（3分）点（2022，﹣2021）关于x轴对称的点的坐标为 （2022，2021） ．
【分析】关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【解答】解：点（2022，﹣2021）关于x轴对称点为（2022，2021），
故答案为：（2022，2021）．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝55°，∠C＝65°，BD是△ABC的角平分线，则∠BDC＝ 85° ．
【分析】根据三角形内角和定理得出∠ABC，进而利用角平分线和三角形外角性质解答即可．
【解答】解：∵∠A＝55°，∠C＝65°，
∴∠ABC＝180°﹣55°﹣65°＝60°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD∠ABC＝30°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝55°+30°＝85°，
故答案为：85°．
15．（3分）如图，已知CE⊥CD，AD⊥AC，∠CBE＝90°，DC＝EC，若AC＝8，AD＝6，则AB的长为 2 ．
【分析】由直角三角形的性质证出∠DCA＝∠E，证明△ADC≌△BCE（AAS），由全等三角形的性质得出AD＝BC＝6，则可得出结论．
【解答】解：∵AD⊥AC，CE⊥CD，
∴∠A＝∠DCE＝90°，
∴∠DCA+∠BCE＝90°，
∵∠CBE＝90°，
∴∠BCE+∠E＝90°，
∴∠DCA＝∠E，
又∵∠A＝∠CBE，DC＝EC，
∴△ADC≌△BCE（AAS），
∴AD＝BC＝6，
∴AB＝AC﹣BC＝AC﹣AD＝8﹣6＝2．
故答案为：2．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝35°．若△ABC≌△ADE，∠DAC＝25°，则∠EAC＝ 45° ．
【分析】根据全等三角形的性质求出∠ADE和∠E，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠ADE＝∠B＝75°，∠E＝∠C＝35°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠E＝70°，
∴∠EAC＝∠EAD﹣∠DAC＝45°，
故答案为：45°．
17．（3分）如图，已知∠AOB的平分线是OC，点E是射线OC上的一点，点F在射线OB上运动，若∠AOB＝60°，OE＝16，则EF的最小值是 8 ．
【分析】过E点作EH⊥OB于H，如图，根据角平分线的定义得到∠BOC＝30°，则根据含30度角的直角三角形三边的关系得到EHOE＝8，然后根据垂线段最短解决问题．
【解答】解：过E点作EH⊥OB于H，如图，
∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC∠AOB60°＝30°，
在Rt△OEH中，∵∠EOH＝30°，
∴EHOE＝8，
∵点F在射线OB上运动，
∴EF的最小值为EH的长，
即EF的最小值为8．
故答案为：8．
18．（3分）如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第2021个图中共有三角形 8081 个．
【分析】根据图形中三角形的个数总结规律，根据规律即可得结论．
【解答】解：第1个图中有1个，即4×1﹣3＝1（个）三角形，
第2个图中共有5个，即4×2﹣3＝5（个）三角形，
第3个图中共有9个，即4×3﹣3＝9（个）三角形，
...，
所以第n个图中共有（4n﹣3）个三角形，
则第2021个图中共有4×2021﹣3＝8081（个）．
故答案为：8081．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共26分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（4分）如图，∠ACD是△ABC的一个外角，求∠A的度数．
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答即可．
【解答】解：由三角形外角性质可得：3x+2x＝120°，
解得：x＝24°，
∴∠A＝3×24°＝72°．
20．（4分）若a，b，c表示三角形的三边，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|．
【分析】根据三角形的三边关系得出：a+c＞b，b+c＞a，再去绝对值符号，合并同类项即可．
【解答】解：∵a、b、c为三角形三边的长，
∴a+c＞b，b+c＞a．
∴原式＝|a﹣（b+c）|+|b﹣（c+a）|
＝b+c﹣a+a+c﹣b
＝2c．
21．（6分）如图，在△ABC中，点E，F分别在边CB及其延长线上，且BC＝EF，DF∥AC，且DF＝AC，连接DE，求证：AB∥DE．
【分析】通过证明△ABC≌△DEF（SAS）得到∠A＝∠D，进而可以解决问题．
【解答】证明：如图，∵CE＝BF，
∴CE+BE＝BF+BE，即BC＝EF．
∵DF∥AC，
∴∠C＝∠F．
在△ABC与△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
∴∠ABC＝∠DEF，
∴AB∥DE，
22．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝126°，∠B＝42°，边AB的垂直平分线与边AB交于点E，与边BC交于点D．求证：△ACD为等腰三角形．
【分析】由∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝126°﹣42°＝84°＝∠ADC，利用“等角对等边”即可得证．
【解答】证明：∵DE垂直平分AB，
∴DB＝DA，
∴∠B＝∠DAB，
∵∠B＝42°，
∴∠B＝∠DAB＝42°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝84°；
∵∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝126°﹣42°＝84°＝∠ADC，
∴CA＝CD，
∴△ACD为等腰三角形．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，2）、B（﹣4，0）、C（﹣3，﹣2）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′；
（2）写出点A′、B′、C′的坐标．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）由图可直接得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．
（2）由图可得，点A'（1，2），B'（4，0），C'（3，﹣2）．
四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
24．（7分）如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：∠A＝∠AGD＝∠D．
【分析】证明BC＝EF，然后根据SSS即可证明△ABC≌△DEF，然后根据全等三角形的对应角相等及平行线的性质即可证得．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
∴∠A＝∠D，∠B＝∠DEF．
∴AB∥DE，
∴∠A＝∠AGD，
∴∠A＝∠AGD＝∠D．
25．（7分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC．
求证：（1）△BDO≌△CEO；
（2）∠1＝∠2．
【分析】（1）由条件可证明△BOD≌△COE（AAS）；
（2）证明Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），可得AD＝AE．
【解答】证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO＝∠CEO．
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（AAS）；
（2）∵△BOD≌△COE，
∴DO＝EO，
在Rt△AOD和Rt△AOE中，
，
∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），
∴∠1＝∠2．
26．（8分）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的5倍，这样的三角形我们称之为“五倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，36°，24°的三角形是“五倍角三角形”．
（1）在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝30°，△ABC是“五倍角三角形”吗？为什么？
（2）若△ABC是“五倍角三角形”，且∠C＝40°，求△ABC中最小内角的度数．
【分析】（1）由三角形内角和可求第3个内角为125°，由“五倍角三角形”定义可求解；
（2）分两种情况讨论，由“五倍角三角形”定义可求解．
【解答】解：（1）△ABC是“五倍角三角形”，理由如下：
∵∠A＝25°，∠B＝30°，
∴∠C＝180°﹣25°﹣30°＝125°＝25°×5，
∴△ABC是“五倍角三角形”；
（2）∵∠C＝40°，
∴∠A+∠B＝140°，
设最小的角为x，
①当40°＝5x时，x＝8°，
②当x+5x＝140°时，x＝（33）°，
答：△ABC中最小内角为8°或（33）°．
27．（8分）如图，在等边△ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上Y点，DE⊥AC交BC于点F，且CD＝BE．
（1）求证：DF＝EF．
（2）若AC＝18，求BF的长．
【分析】（1）先作DM∥AB，交CF于M，可得△CDM为等边三角形，再判定△DMF≌△EBF，最后根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，得出结论；
（2）根据ED⊥AC，∠A＝60°＝∠ABC，可得∠E＝∠BFE＝∠DFM＝∠FDM＝30°，由此得出CM＝MF＝BFBC，最后根据AB＝18即可求得BF的长．
【解答】（1）证明：如图，作DM∥AB，交BC于M，
则∠MDF＝∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°＝∠CDM＝∠CMD，
∴△CDM是等边三角形，
∴CD＝DM，
∵CD＝BE，
∴DM＝BE，
在△DMF和△EBF中，
，
∴△DMF≌△EBF（ASA），
∴DF＝EF；
（2）解：∵ED⊥AC，∠A＝60°＝∠ABC，
∴∠E＝∠BFE＝∠DFM＝∠FDM＝30°，
∴BE＝BF，DM＝FM，
∵△DMF≌△EBF，
∴MF＝BF，
∴CM＝MF＝BF，
又∵AC＝BC＝18，
∴BF＝CM＝MF＝6．
28．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为边BC上的一点，PCBC，且∠PAB＝15°，AH⊥BC，点C关于PA所在直线的对称点为D，连接BD．
（1）求∠BPD的度数；
（2）求证：BD∥AH．
（3）求证：∠BAP＝∠CAH．
【分析】（1）根据点C关于直线PA的对称点为D，即可得到△ADP≌△ACP，进而得出∠APC＝∠APD＝60°，即可得到∠BPD＝180°﹣120°＝60°；
（2）先取PD中点E，连接BE，则△BEP为等边三角形，△BDE为等腰三角形，进而得到∠DBP＝90°，即BD⊥BC．再根据△APC的PC边上的高为AH，可得AH⊥BC，进而得出BD∥AH；
（3）过点A作BD、DP的垂线，垂足分别为G、F．根据∠GBA＝∠CBA＝45°，可得点A在∠GBC的平分线上，进而得到点A在∠GDP的平分线上．再根据∠GDP＝150°，即可得到∠C＝∠ADP＝75°，进而得到Rt△ACH中，∠CAH＝15°，即可得出∠BAP＝∠CAH．
【解答】（1）解：∵∠PAB＝15°，∠ABC＝45°，
∴∠APC＝15°+45°＝60°，
∵点C关于直线PA的对称点为D，
∴PD＝PC，AD＝AC，
∴△ADP≌△ACP，
∴∠APC＝∠APD＝60°，
∴∠BPD＝180°﹣120°＝60°；
（2）证明：∵PCBC，
∴BPPCPD，
如图，取PD中点E，连接BE，则△BEP为等边三角形，△BDE为等腰三角形，
∴∠BEP＝60°，
∴∠BDE∠BEP＝30°，
∴∠DBP＝90°，即BD⊥BC．
又∵△APC的PC边上的高为AH，
∴AH⊥BC，
∴BD∥AH；
（3）证明：如图，过点A作BD、DP的垂线，垂足分别为G、F．
∵∠APC＝∠APD，即点A在∠DPC的平分线上，
∴AH＝AF．
∵∠CBD＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠GBA＝∠CBA＝45°，
即点A在∠GBC的平分线上，
∴AG＝AH，
∴AG＝AF，
∴点A在∠GDP的平分线上．
又∵∠BDP＝30°，
∴∠GDP＝150°，
∴∠ADP150°＝75°，
∴∠C＝∠ADP＝75°，
∴Rt△ACH中，∠CAH＝15°，
∴∠BAP＝∠CAH．