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    2021-2022学年甘肃省庆阳市八年级上学期期中数学试题及答案

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    2021-2022学年甘肃省庆阳市八年级上学期期中数学试题及答案

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    这是一份2021-2022学年甘肃省庆阳市八年级上学期期中数学试题及答案,共20页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1.(3分)如图银行LOGO图标中,其中是轴对称图形的是( )
    A.B.
    C.D.
    2.(3分)如图,在△ABC中,CD为边AB的中线,若AB=8,则AD=( )
    A.2B.3C.4D.6
    3.(3分)下列长度的三条线段不能构成三角形的是( )
    A.6,3,4B.6,8,10C.5,6,7D.6,3,3
    4.(3分)如图,要测量池塘两岸相对的两点A,B之间的距离,可以在池塘外取AB的垂线BF上两点C,D,使BC=CD,再画出BF的垂线DE,使点E与A,C在同一条直线上,这时,可得△ABC≌△EDC,这时测得DE的长就是AB的长.判定△ABC≌△EDC最直接的依据是( )
    A.HLB.SASC.ASAD.SSS
    5.(3分)一个多边形的内角和是720°,这个多边形的边数是( )
    A.4B.5C.6D.7
    6.(3分)如图,∠B=∠D=90°,AB=AD,∠2=56°,则∠1=( )
    A.24°B.34°C.44°D.56°
    7.(3分)已知图中的两个三角形全等,则∠α等于( )
    A.50°B.60°C.70°D.80°
    8.(3分)△ABC中,∠A:∠B:∠C=3:4:5,则此三角形为( )
    A.锐角三角形B.直角三角形
    C.钝角三角形D.等腰直角三角形
    9.(3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,AC=4cm,那么AE+DE=( )
    A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm
    10.(3分)如图,△ABC是等边三角形,点D是AC的中点,DE⊥BC,CE=3,则△ABC的周长为( )
    A.12B.24C.36D.48
    二、填空题:本大题共8小题,每小题3分,共24分.
    11.(3分)四边形的一条对角线将四边形分成 个三角形.
    12.(3分)彩虹桥(庆阳雨洪集蓄保塬生态项目),位于庆阳市南区入口处,以世纪大道为中轴线,北起石油路,向南600米,占地1046亩,如图是彩虹桥中的双向飞虹斜拉桥,那么你能推断出斜拉桥中运用的数学原理是 .(填“三角形的稳定性”或“四边形的不稳定性”)
    13.(3分)点(2022,﹣2021)关于x轴对称的点的坐标为 .
    14.(3分)如图,在△ABC中,∠A=55°,∠C=65°,BD是△ABC的角平分线,则∠BDC= .
    15.(3分)如图,已知CE⊥CD,AD⊥AC,∠CBE=90°,DC=EC,若AC=8,AD=6,则AB的长为 .
    16.(3分)如图,在△ABC中,∠B=75°,∠C=35°.若△ABC≌△ADE,∠DAC=25°,则∠EAC= .
    17.(3分)如图,已知∠AOB的平分线是OC,点E是射线OC上的一点,点F在射线OB上运动,若∠AOB=60°,OE=16,则EF的最小值是 .
    18.(3分)如图所示,第1个图中有1个三角形,第2个图中共有5个三角形,第3个图中共有9个三角形,依此类推,则第2021个图中共有三角形 个.
    三、解答题(一):本大题共5小题,共26分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    19.(4分)如图,∠ACD是△ABC的一个外角,求∠A的度数.
    20.(4分)若a,b,c表示三角形的三边,化简:|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|.
    21.(6分)如图,在△ABC中,点E,F分别在边CB及其延长线上,且BC=EF,DF∥AC,且DF=AC,连接DE,求证:AB∥DE.
    22.(6分)如图,在△ABC中,∠BAC=126°,∠B=42°,边AB的垂直平分线与边AB交于点E,与边BC交于点D.求证:△ACD为等腰三角形.
    23.(6分)如图,在平面直角坐标系中,A(﹣1,2)、B(﹣4,0)、C(﹣3,﹣2).
    (1)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′;
    (2)写出点A′、B′、C′的坐标.
    四、解答题(二):本大题共5小题,共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    24.(7分)如图,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:∠A=∠AGD=∠D.
    25.(7分)如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为点D,E,BE,CD相交于点O,OB=OC.
    求证:(1)△BDO≌△CEO;
    (2)∠1=∠2.
    26.(8分)在一个三角形中,如果一个内角是另一个内角的5倍,这样的三角形我们称之为“五倍角三角形”.例如,三个内角分别为120°,36°,24°的三角形是“五倍角三角形”.
    (1)在△ABC中,∠A=25°,∠B=30°,△ABC是“五倍角三角形”吗?为什么?
    (2)若△ABC是“五倍角三角形”,且∠C=40°,求△ABC中最小内角的度数.
    27.(8分)如图,在等边△ABC中,D为AC上一点,E为AB延长线上Y点,DE⊥AC交BC于点F,且CD=BE.
    (1)求证:DF=EF.
    (2)若AC=18,求BF的长.
    28.(10分)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,点P为边BC上的一点,PCBC,且∠PAB=15°,AH⊥BC,点C关于PA所在直线的对称点为D,连接BD.
    (1)求∠BPD的度数;
    (2)求证:BD∥AH.
    (3)求证:∠BAP=∠CAH.
    2021-2022学年甘肃省庆阳市八年级(上)期中数学试卷(解析版)
    一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.每小题只有一个正确选项.
    1.(3分)如图银行LOGO图标中,其中是轴对称图形的是( )
    A.B.
    C.D.
    【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.
    【解答】解:B,C,D选项中的图形都不能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是轴对称图形;
    A选项中的图形能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形;
    故选:A.
    2.(3分)如图,在△ABC中,CD为边AB的中线,若AB=8,则AD=( )
    A.2B.3C.4D.6
    【分析】根据三角形中线的定义分析即可.
    【解答】解:因为CD为边AB的中线,
    所以D为AB的中点,
    所以ADAB=4.
    故选:C.
    3.(3分)下列长度的三条线段不能构成三角形的是( )
    A.6,3,4B.6,8,10C.5,6,7D.6,3,3
    【分析】直接利用三角形三边关系定理:三角形两边之和大于第三边,进而判断得出答案.
    【解答】解:A.∵3+4=7>6,∴能构成三角形,不符合题意;
    B.∵6+8>10,∴能构成三角形,不符合题意;
    C.∵5+6=11>7,∴能构成三角形,不符合题意;
    D.∵3+3=6,∴不能构成三角形,符合题意.
    故选:D.
    4.(3分)如图,要测量池塘两岸相对的两点A,B之间的距离,可以在池塘外取AB的垂线BF上两点C,D,使BC=CD,再画出BF的垂线DE,使点E与A,C在同一条直线上,这时,可得△ABC≌△EDC,这时测得DE的长就是AB的长.判定△ABC≌△EDC最直接的依据是( )
    A.HLB.SASC.ASAD.SSS
    【分析】根据全等三角形的判定进行判断,注意看题目中提供了哪些证明全等的要素,要根据已知选择判断方法.
    【解答】解:因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是:BC=CD,∠ABC=∠EDC=90°,∠ACB=∠ECD(对顶角相等),
    所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法.
    故选:C.
    5.(3分)一个多边形的内角和是720°,这个多边形的边数是( )
    A.4B.5C.6D.7
    【分析】根据内角和定理180°•(n﹣2)=720°即可求得.
    【解答】解:∵多边形的内角和公式为(n﹣2)•180°,
    ∴(n﹣2)×180°=720°,
    解得n=6,
    ∴这个多边形的边数是6.
    故选:C.
    6.(3分)如图,∠B=∠D=90°,AB=AD,∠2=56°,则∠1=( )
    A.24°B.34°C.44°D.56°
    【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论.
    【解答】解:∵∠B=∠D=90°,
    在Rt△ABC与Rt△ADC中,

    ∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL),
    ∴∠ACB=∠2=56°,
    ∴∠1=90°﹣∠ACB=90°﹣56°=34°,
    故选:B.
    7.(3分)已知图中的两个三角形全等,则∠α等于( )
    A.50°B.60°C.70°D.80°
    【分析】根据全等三角形的性质即可求出答案.
    【解答】解:∵两个三角形全等,
    ∴∠α=180°﹣50°﹣60°=70°,
    故选:C.
    8.(3分)△ABC中,∠A:∠B:∠C=3:4:5,则此三角形为( )
    A.锐角三角形B.直角三角形
    C.钝角三角形D.等腰直角三角形
    【分析】根据,∠A:∠B:∠C=3:4:5,设∠A=3x,∠B=4x,∠C=5x,再根据内角和为180°可知:3x+4x+5x=180°,解出x即可求得∠A、∠B、∠C的度数,进而得到结果.
    【解答】解:∵∠A:∠B:∠C=3:4:5,
    ∴设∠A=3x,∠B=4x,∠C=5x,
    ∵∠A+∠B+∠C=180°,
    ∴3x+4x+5x=180°,
    解得x=15°.
    ∴∠A=45°,∠B=60°,∠C=75°,
    故三角形为锐角三角形.
    故选:A.
    9.(3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,AC=4cm,那么AE+DE=( )
    A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm
    【分析】先根据角平分线的性质得到ED=EC,然后利用等量代换得到AE+DE=AC.
    【解答】解:∵BE平分∠ABC,DE⊥AB,EC⊥BC,
    ∴ED=EC,
    ∴AE+DE=AE+EC=AC=4cm.
    故选:D.
    10.(3分)如图,△ABC是等边三角形,点D是AC的中点,DE⊥BC,CE=3,则△ABC的周长为( )
    A.12B.24C.36D.48
    【分析】根据等边三角形的性质可得AB=AC=BC,∠C=60°,再利用垂直定义可得∠DEC=90°,从而可得∠EDC=30°,进而在Rt△DEC中,利用含30度角的直角三角形的性质可得CD=6,然后利用线段中点的定义可得AC=12,从而求出△ABC的周长,即可解答.
    【解答】解:∵△ABC是等边三角形,
    ∴AB=AC=BC,∠C=60°,
    ∵DE⊥BC,
    ∴∠DEC=90°,
    ∴∠EDC=90°﹣∠C=30°,
    ∴CD=2CE=6,
    ∵点D是AC的中点,
    ∴AC=2CD=12,
    ∴AB=AC=BC=12,
    ∴△ABC的周长为36,
    故选:C.
    二、填空题:本大题共8小题,每小题3分,共24分.
    11.(3分)四边形的一条对角线将四边形分成 2 个三角形.
    【分析】n边形从一个顶点出发可引出(n﹣3)条对角线,把n边形分成(n﹣2)个三角形,据此作答.
    【解答】解:四边形的一条对角线将四边形分成2个三角形.
    故答案为:2.
    12.(3分)彩虹桥(庆阳雨洪集蓄保塬生态项目),位于庆阳市南区入口处,以世纪大道为中轴线,北起石油路,向南600米,占地1046亩,如图是彩虹桥中的双向飞虹斜拉桥,那么你能推断出斜拉桥中运用的数学原理是 三角形的稳定性 .(填“三角形的稳定性”或“四边形的不稳定性”)
    【分析】根据三角形的三边一旦确定,则形状大小完全确定,即三角形的稳定.
    【解答】解:虹桥(庆阳雨洪集蓄保塬生态项目),位于庆阳市南区入口处,以世纪大道为中轴线,北起石油路,向南600米,占地1046亩,如图是彩虹桥中的双向飞虹斜拉桥,那么你能推断出斜拉桥中运用的数学原理是是三角形的稳定性.
    故答案为:三角形的稳定性.
    13.(3分)点(2022,﹣2021)关于x轴对称的点的坐标为 (2022,2021) .
    【分析】关于x轴的对称点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标互为相反数.
    【解答】解:点(2022,﹣2021)关于x轴对称点为(2022,2021),
    故答案为:(2022,2021).
    14.(3分)如图,在△ABC中,∠A=55°,∠C=65°,BD是△ABC的角平分线,则∠BDC= 85° .
    【分析】根据三角形内角和定理得出∠ABC,进而利用角平分线和三角形外角性质解答即可.
    【解答】解:∵∠A=55°,∠C=65°,
    ∴∠ABC=180°﹣55°﹣65°=60°,
    ∵BD是△ABC的角平分线,
    ∴∠ABD∠ABC=30°,
    ∴∠BDC=∠A+∠ABD=55°+30°=85°,
    故答案为:85°.
    15.(3分)如图,已知CE⊥CD,AD⊥AC,∠CBE=90°,DC=EC,若AC=8,AD=6,则AB的长为 2 .
    【分析】由直角三角形的性质证出∠DCA=∠E,证明△ADC≌△BCE(AAS),由全等三角形的性质得出AD=BC=6,则可得出结论.
    【解答】解:∵AD⊥AC,CE⊥CD,
    ∴∠A=∠DCE=90°,
    ∴∠DCA+∠BCE=90°,
    ∵∠CBE=90°,
    ∴∠BCE+∠E=90°,
    ∴∠DCA=∠E,
    又∵∠A=∠CBE,DC=EC,
    ∴△ADC≌△BCE(AAS),
    ∴AD=BC=6,
    ∴AB=AC﹣BC=AC﹣AD=8﹣6=2.
    故答案为:2.
    16.(3分)如图,在△ABC中,∠B=75°,∠C=35°.若△ABC≌△ADE,∠DAC=25°,则∠EAC= 45° .
    【分析】根据全等三角形的性质求出∠ADE和∠E,根据三角形内角和定理计算即可.
    【解答】解:∵△ABC≌△ADE,
    ∴∠ADE=∠B=75°,∠E=∠C=35°,
    ∴∠DAE=180°﹣∠ADE﹣∠E=70°,
    ∴∠EAC=∠EAD﹣∠DAC=45°,
    故答案为:45°.
    17.(3分)如图,已知∠AOB的平分线是OC,点E是射线OC上的一点,点F在射线OB上运动,若∠AOB=60°,OE=16,则EF的最小值是 8 .
    【分析】过E点作EH⊥OB于H,如图,根据角平分线的定义得到∠BOC=30°,则根据含30度角的直角三角形三边的关系得到EHOE=8,然后根据垂线段最短解决问题.
    【解答】解:过E点作EH⊥OB于H,如图,
    ∵OC平分∠AOB,
    ∴∠BOC∠AOB60°=30°,
    在Rt△OEH中,∵∠EOH=30°,
    ∴EHOE=8,
    ∵点F在射线OB上运动,
    ∴EF的最小值为EH的长,
    即EF的最小值为8.
    故答案为:8.
    18.(3分)如图所示,第1个图中有1个三角形,第2个图中共有5个三角形,第3个图中共有9个三角形,依此类推,则第2021个图中共有三角形 8081 个.
    【分析】根据图形中三角形的个数总结规律,根据规律即可得结论.
    【解答】解:第1个图中有1个,即4×1﹣3=1(个)三角形,
    第2个图中共有5个,即4×2﹣3=5(个)三角形,
    第3个图中共有9个,即4×3﹣3=9(个)三角形,
    ...,
    所以第n个图中共有(4n﹣3)个三角形,
    则第2021个图中共有4×2021﹣3=8081(个).
    故答案为:8081.
    三、解答题(一):本大题共5小题,共26分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    19.(4分)如图,∠ACD是△ABC的一个外角,求∠A的度数.
    【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答即可.
    【解答】解:由三角形外角性质可得:3x+2x=120°,
    解得:x=24°,
    ∴∠A=3×24°=72°.
    20.(4分)若a,b,c表示三角形的三边,化简:|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|.
    【分析】根据三角形的三边关系得出:a+c>b,b+c>a,再去绝对值符号,合并同类项即可.
    【解答】解:∵a、b、c为三角形三边的长,
    ∴a+c>b,b+c>a.
    ∴原式=|a﹣(b+c)|+|b﹣(c+a)|
    =b+c﹣a+a+c﹣b
    =2c.
    21.(6分)如图,在△ABC中,点E,F分别在边CB及其延长线上,且BC=EF,DF∥AC,且DF=AC,连接DE,求证:AB∥DE.
    【分析】通过证明△ABC≌△DEF(SAS)得到∠A=∠D,进而可以解决问题.
    【解答】证明:如图,∵CE=BF,
    ∴CE+BE=BF+BE,即BC=EF.
    ∵DF∥AC,
    ∴∠C=∠F.
    在△ABC与△DEF中

    ∴△ABC≌△DEF(SAS).
    ∴∠ABC=∠DEF,
    ∴AB∥DE,
    22.(6分)如图,在△ABC中,∠BAC=126°,∠B=42°,边AB的垂直平分线与边AB交于点E,与边BC交于点D.求证:△ACD为等腰三角形.
    【分析】由∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=126°﹣42°=84°=∠ADC,利用“等角对等边”即可得证.
    【解答】证明:∵DE垂直平分AB,
    ∴DB=DA,
    ∴∠B=∠DAB,
    ∵∠B=42°,
    ∴∠B=∠DAB=42°,
    ∴∠ADC=∠B+∠DAB=84°;
    ∵∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=126°﹣42°=84°=∠ADC,
    ∴CA=CD,
    ∴△ACD为等腰三角形.
    23.(6分)如图,在平面直角坐标系中,A(﹣1,2)、B(﹣4,0)、C(﹣3,﹣2).
    (1)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′;
    (2)写出点A′、B′、C′的坐标.
    【分析】(1)根据轴对称的性质作图即可.
    (2)由图可直接得出答案.
    【解答】解:(1)如图,△A'B'C'即为所求.
    (2)由图可得,点A'(1,2),B'(4,0),C'(3,﹣2).
    四、解答题(二):本大题共5小题,共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    24.(7分)如图,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:∠A=∠AGD=∠D.
    【分析】证明BC=EF,然后根据SSS即可证明△ABC≌△DEF,然后根据全等三角形的对应角相等及平行线的性质即可证得.
    【解答】证明:∵BE=CF,
    ∴BC=EF,
    在△ABC和△DEF中,

    ∴△ABC≌△DEF(SSS).
    ∴∠A=∠D,∠B=∠DEF.
    ∴AB∥DE,
    ∴∠A=∠AGD,
    ∴∠A=∠AGD=∠D.
    25.(7分)如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为点D,E,BE,CD相交于点O,OB=OC.
    求证:(1)△BDO≌△CEO;
    (2)∠1=∠2.
    【分析】(1)由条件可证明△BOD≌△COE(AAS);
    (2)证明Rt△AOD≌Rt△AOE(HL),可得AD=AE.
    【解答】证明:(1)∵CD⊥AB,BE⊥AC,
    ∴∠BDO=∠CEO.
    在△BOD和△COE中,

    ∴△BOD≌△COE(AAS);
    (2)∵△BOD≌△COE,
    ∴DO=EO,
    在Rt△AOD和Rt△AOE中,

    ∴Rt△AOD≌Rt△AOE(HL),
    ∴∠1=∠2.
    26.(8分)在一个三角形中,如果一个内角是另一个内角的5倍,这样的三角形我们称之为“五倍角三角形”.例如,三个内角分别为120°,36°,24°的三角形是“五倍角三角形”.
    (1)在△ABC中,∠A=25°,∠B=30°,△ABC是“五倍角三角形”吗?为什么?
    (2)若△ABC是“五倍角三角形”,且∠C=40°,求△ABC中最小内角的度数.
    【分析】(1)由三角形内角和可求第3个内角为125°,由“五倍角三角形”定义可求解;
    (2)分两种情况讨论,由“五倍角三角形”定义可求解.
    【解答】解:(1)△ABC是“五倍角三角形”,理由如下:
    ∵∠A=25°,∠B=30°,
    ∴∠C=180°﹣25°﹣30°=125°=25°×5,
    ∴△ABC是“五倍角三角形”;
    (2)∵∠C=40°,
    ∴∠A+∠B=140°,
    设最小的角为x,
    ①当40°=5x时,x=8°,
    ②当x+5x=140°时,x=(33)°,
    答:△ABC中最小内角为8°或(33)°.
    27.(8分)如图,在等边△ABC中,D为AC上一点,E为AB延长线上Y点,DE⊥AC交BC于点F,且CD=BE.
    (1)求证:DF=EF.
    (2)若AC=18,求BF的长.
    【分析】(1)先作DM∥AB,交CF于M,可得△CDM为等边三角形,再判定△DMF≌△EBF,最后根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质,得出结论;
    (2)根据ED⊥AC,∠A=60°=∠ABC,可得∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°,由此得出CM=MF=BFBC,最后根据AB=18即可求得BF的长.
    【解答】(1)证明:如图,作DM∥AB,交BC于M,
    则∠MDF=∠E,
    ∵△ABC是等边三角形,
    ∴∠C=60°=∠CDM=∠CMD,
    ∴△CDM是等边三角形,
    ∴CD=DM,
    ∵CD=BE,
    ∴DM=BE,
    在△DMF和△EBF中,

    ∴△DMF≌△EBF(ASA),
    ∴DF=EF;
    (2)解:∵ED⊥AC,∠A=60°=∠ABC,
    ∴∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°,
    ∴BE=BF,DM=FM,
    ∵△DMF≌△EBF,
    ∴MF=BF,
    ∴CM=MF=BF,
    又∵AC=BC=18,
    ∴BF=CM=MF=6.
    28.(10分)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,点P为边BC上的一点,PCBC,且∠PAB=15°,AH⊥BC,点C关于PA所在直线的对称点为D,连接BD.
    (1)求∠BPD的度数;
    (2)求证:BD∥AH.
    (3)求证:∠BAP=∠CAH.
    【分析】(1)根据点C关于直线PA的对称点为D,即可得到△ADP≌△ACP,进而得出∠APC=∠APD=60°,即可得到∠BPD=180°﹣120°=60°;
    (2)先取PD中点E,连接BE,则△BEP为等边三角形,△BDE为等腰三角形,进而得到∠DBP=90°,即BD⊥BC.再根据△APC的PC边上的高为AH,可得AH⊥BC,进而得出BD∥AH;
    (3)过点A作BD、DP的垂线,垂足分别为G、F.根据∠GBA=∠CBA=45°,可得点A在∠GBC的平分线上,进而得到点A在∠GDP的平分线上.再根据∠GDP=150°,即可得到∠C=∠ADP=75°,进而得到Rt△ACH中,∠CAH=15°,即可得出∠BAP=∠CAH.
    【解答】(1)解:∵∠PAB=15°,∠ABC=45°,
    ∴∠APC=15°+45°=60°,
    ∵点C关于直线PA的对称点为D,
    ∴PD=PC,AD=AC,
    ∴△ADP≌△ACP,
    ∴∠APC=∠APD=60°,
    ∴∠BPD=180°﹣120°=60°;
    (2)证明:∵PCBC,
    ∴BPPCPD,
    如图,取PD中点E,连接BE,则△BEP为等边三角形,△BDE为等腰三角形,
    ∴∠BEP=60°,
    ∴∠BDE∠BEP=30°,
    ∴∠DBP=90°,即BD⊥BC.
    又∵△APC的PC边上的高为AH,
    ∴AH⊥BC,
    ∴BD∥AH;
    (3)证明:如图,过点A作BD、DP的垂线,垂足分别为G、F.
    ∵∠APC=∠APD,即点A在∠DPC的平分线上,
    ∴AH=AF.
    ∵∠CBD=90°,∠ABC=45°,
    ∴∠GBA=∠CBA=45°,
    即点A在∠GBC的平分线上,
    ∴AG=AH,
    ∴AG=AF,
    ∴点A在∠GDP的平分线上.
    又∵∠BDP=30°,
    ∴∠GDP=150°,
    ∴∠ADP150°=75°,
    ∴∠C=∠ADP=75°,
    ∴Rt△ACH中,∠CAH=15°,
    ∴∠BAP=∠CAH.

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