湘教版八年级上册2.4 线段的垂直平分线精品习题

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这是一份湘教版八年级上册2.4 线段的垂直平分线精品习题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，∠BAC=124°，则∠DAE的度数为( )
A. 68°B. 62°C. 66°D. 56°
2.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为( )
A. 105°B. 100°C. 95°D. 90°
3.已知△ABC(ACA. B.
C. D.
4.如图，在▵ABC中，ACA. B.
C. D.
5.如图，ΔABC中，AB=BC，∠ABC=84°，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线相交于点O，点M、N分别在AB、AC上，点A沿MN折叠后与点O重合，则∠ONC的度数为( )
A. 12°B. 14°C. 16°D. 18°
6.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F，连接CF.若△AFC是等边三角形，则∠B的度数为 ( )
A. 60°B. 45°C. 30°D. 15°
7.在△ABC中，BC=10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交边BC于点D，E，且DE=4，则AD+AE的值为 ( )
A. 6B. 14C. 6或14D. 8或12
8.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点).在这张5×5的方格纸中，找出格点C，使AC=BC，则满足条件的格点C有( )
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
9.如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 ( )
A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°
10.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA=3，AC=4，BC=6，则△AMC周长的最小值为( )
A. 7B. 6C. 9D. 10
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图所示，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，交BC于D、E，若∠DAE=50°，则∠BAC= 度，若△ADE的周长为19cm，则BC= cm．
12.已知C、D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB=50°，∠ADB=86°，则∠CAD的度数是．
13.如图，在△ABC中，AB=5，AC=7.MN为BC边上的垂直平分线，若点D在直线MN上，连接AD，BD，则△ABD周长的最小值为．
14.如图，在△ABC中，AC=4 cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7 cm，则BC的长为 cm．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=40°．
(1)尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；(要求：保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数．
16.(本小题8分)
如图，△ABC中，∠BAC=80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．
(1)求∠PAQ的度数．
(2)若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．
17.(本小题8分)
如图，在锐角三角形ABC中，D为BC边上一点，∠B=∠BAD=∠CAD，在AD上求作一点P，使得∠APC=∠ADB．
(1)通过尺规作图确定点P的位置(保留作图痕迹)；
(2)证明满足此作图的点P即为所求．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC．
(1)尺规作图：作边AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连接BE(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，若AB=6，BC=4，求△BEC的周长．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AC(1)如图①，已知AB边的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC=2∠B；
(2)如图②，以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ.若∠AQC=3∠B，求∠B的度数．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，延长DM，EN相交于点F，连接CM，CN．
(1)若△CMN的周长为15 cm，求AB的长；
(2)若∠F=70°，求∠MCN的度数．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，得到∠DAB=∠B，同理可得，∠EAC=∠C，结合图形计算，得到答案．
【解答】
解：∵∠BAC=124°，
∴∠B+∠C=180°−∠BAC=56°，
∵AB的垂直平分线交BC于D，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B，
∵AC的垂直平分线交BC于E，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C，
∴∠DAE=∠BAC−(∠DAB+∠EAC)=∠BAC−(∠B+∠C)=124°−56°=68°．
故选A．
2.【答案】A
【解析】【分析】
利用线段垂直平分线的性质得出DC=BD，再利用三角形内角和等于180°得出即可．
本题考查的是作图−基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
【解答】
解：由题意可得：MN垂直平分BC，
则DC=BD，
故∠DCB=∠DBC=25°，∴∠BDC=130°，
则∠CDA=50°，
∵CD=AC，
∴∠A=∠CDA=50°，
∴∠ACB=180°−50°−25°=105°．
故选A．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了尺规作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的作法和性质．
利用等线段代换得到PA=PB，利用线段的垂直平分线的性质和基本作图进行判断．
【解答】
解：A、由图可知BA=BP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
B、由图可知PA=PC，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
C、由图可知CA=CP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
D、由图可知BP=AP，故能得出PA+PC=BC，故此选项正确．
故选：D．
4.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线定理的逆定理以及尺规作图——作线段的垂直平分线．由AD+BD=BC和CD+BD=BC可得，点D在线段AC的垂直平分线上，因此这道题就转化成了作线段AC的垂直平分线，与BC的交点即为点D．
【详解】∵AD+BD=BC，而DC+BD=BC，
∴DA=DC，
∴点D在线段AC的垂直平分线上，
即点D为线段AC的垂直平分线与BC的交点．
观察四个选项，D选项符合题意，
故选：D．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形中的折叠问题，解题得关键是掌握折叠的性质及线段的垂直平分线的性质与判定．
连接OA、OC，根据∠ABC=84°，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点O，得∠OBC=∠OCB=42∘，由AB=BC，∠ABC=84∘，可得∠BAC=∠ACB=48∘，即得∠ACO=∠ACB−∠OCB=6∘，又AB=BC，OB平分∠ABC，知OB垂直平分AC，AO=CO，即得∠OAC=∠ACO=6∘，根据点A沿MN折叠后与点O重合，有AN=NO，即得∠OAN=∠AON=6∘，故∠ONC=∠OAN+∠AON=12°．
【解答】
解：连接OA、OC，如图：
∵∠ABC=84∘，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点O，
∴∠OBC=∠OCB=42∘，
∵AB=BC，∠ABC=84∘，
∴∠BAC=∠ACB=48∘，
∴∠ACO=∠ACB−∠OCB=6∘，
∵AB=BC，OB平分∠ABC，
∴OB垂直平分AC，
∴AO=CO，
∴∠OAC=∠ACO=6∘，
∵点A沿MN折盈后与点O重合，
∴AN=NO，
∴∠OAN=∠AON=6∘，
∴∠ONC=∠OAN+∠AON=6°+6°=12°．
6.【答案】C
【解析】略
7.【答案】C
【解析】提示：因为AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，所以AD=BD，AE=CE.分两种情况讨论：当BD与CE无重合时，如图1，因为BC=10，DE=4，所以AD+AE=BD+CE=BC−DE=10−4=6；当BD与CE有重合时，如图2，因为BC=10，DE=4，所以AD+AE=BD+CE=BC+DE=10+4=14．
8.【答案】A
【解析】[分析]
本题考查了网格的特点和线段的垂直平分线，注意不要漏点，根据线段垂直平分线的性质，点C在AB的垂直平分线上，最后根据方格纸确定点C的个数．
[详解]
解：如图，满足AC=BC，故点C在AB的垂直平分线上，有5个，
故选A．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是轴对称−最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键，据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，进而得出∠AEF+∠AFE=2(∠AA′E+∠A″)，即可得出答案．
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C=50°，
∴∠DAB=130°，
∴∠HAA′=50°，
∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，
∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF=50°，
∴∠EAF=130°−50°=80°，
故选：D．
10.【答案】D
【解析】略
11.【答案】115
19

【解析】【分析】
此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
根据线段的垂直平分线的性质可知AD=BD，AE=EC，进而得∠B=∠BAD、∠C=∠CAE，即可解答．
【解答】
解：①∵DM、EN分别垂直平分AB和AC，
∴AD=BD，AE=EC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠EAC(等边对等角)，
∵∠BAC=∠DAE+∠BAD+∠CAE，
∴∠BAC=∠DAE+∠B+∠C；
又∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∠DAE=50°，
∴∠BAC=115°；
②∵△ADE的周长为19cm，
∴AD+AE+DE=19cm，
由①知，AD=BD，AE=EC，
∴BD+DE+EC=19cm，即BC=19cm．
故答案为：115；19．
12.【答案】18°或112°
【解析】∵C、D两点在线段AB的垂直平分线上，∴CA=CB，DA=DB.∵CD⊥AB，设CD与AB交于点O，∴∠ACO=12∠ACB=12×50∘=25∘，∠ADO=12∠ADB=12×86∘=43∘.分两种情况讨论：当点C与点D在线段AB两侧时，∠CAD=180°−∠ACD−∠ADC=180°−25°−43°=112°；当点C与点Dˈ在线段AB同侧时，∠CADˈ=∠ADˈO−∠ACDˈ=43°−25°=18°.故答案为18°或112°．
13.【答案】12
【解析】略
14.【答案】3
【解析】【分析】考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
根据线段的垂直平分线的性质得到NB=NA，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】
解：根据线段的垂直平分线的性质得NB=NA，
所以△BCN的周长=BC+CN+BN=BC+CN+NA=BC+AC=7cm，
又AC=4cm，所以BC=3cm．
故答案为3．
15.【答案】解：(1)如图，直线DF，射线AE即为所求．
(2)因为DF垂直平分线段AB，
所以DB=DA，
所以∠DAB=∠B=30°，
因为∠C=40°，
所以∠BAC=180°−30°−40°=110°，
所以∠CAD=110°−30°=80°，
因为AE平分∠DAC，
所以∠DAE=12∠DAC=40°．
【解析】(1)利用尺规作出线段AB的垂直平分线DF，交CB于D，交AB于F，连接AD；作∠CAD的角平分线交BC于E，直线DF，射线AE即为所求．
(2)首先证明DA=DB，推出∠DAB=∠B=30°，利用三角形内角和定理求出∠BAC，∠DAC即可解决问题．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
16.【答案】解：(1)设∠PAQ=x，∠CAP=y，∠BAQ=z，
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP=PB，AQ=CQ，
∴∠B=∠BAP=x+z，∠C=∠CAQ=x+y，
∵∠BAC=80°，
∴∠B+∠C=100°，
即x+y+z=80°，x+z+x+y=100°，
∴x=20°，
∴∠PAQ=20°；
(2)∵△APQ的周长为12，
∴AQ+PQ+AP=12，
∵AQ=CQ，AP=PB，
∴CQ+PQ+PB=12，
即CQ+BQ+2PQ=12，
BC+2PQ=12，
∵BC=8，
∴PQ=2．
【解析】(1)设∠PAQ=x，∠CAP=y，∠BAQ=z，根据线段垂直平分线的性质得：AP=PB，AQ=CQ，由等腰三角形的性质得：∠B=∠BAP=x+z，∠C=∠CAQ=x+y，再由三角形内角和定理相加可得结论；
(2)根据△APQ周长为12，列等式为AQ+PQ+AP=12，由等量代换得BC+2PQ=12，可得PQ的长．
本题主要考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长和内角和定理等知识，关键在于根据题意推出AP=PB，AQ=CQ，正确的进行等量代换．
17.【答案】(1)解，如图所示，作线段AC的垂直平分线，与AD的交点即为点P
(2)解：由作图可知AP=CP．
∴∠PAC=∠PCA．
∵∠B=∠BAD=∠CAD，
∴∠B=∠BAD=∠CAD=∠PCA．
∵∠APC+∠CAD+∠PCA=180∘，∠ADB+∠B+∠BAD=180∘，
∴∠APC=∠ADB．
∴点P即为所求．

【解析】【分析】本题主要考查作图−基本作图，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的尺规作图．
(1)作线段AC的垂直平分线，与AD的交点即为点P．
(2)根据等腰三角形性质，求出∠B=∠BAD=∠CAD=∠PCA，然后得出∠APC=∠ADB即可．
18.【答案】【小题1】
解：如图；
【小题2】
∵DE垂直平分AB，∴BE=AE，∴△BEC的周长=BC+BE+CE =BC+AE+CE =BC+AC =BC+AB =4+6 =10．

【解析】1. 略
2. 略
19.【答案】【小题1】证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
∴PA=PB．
∴∠B=∠BAP．
∵∠APC==180°−[180°−(∠B+∠BAP)]=∠B+∠BAP，
∴∠APC=2∠B．
【小题2】解：根据题意可知BA=BQ，
∴∠BAQ=∠BQA．
∵∠AQC=3∠B，且∠AQC=∠B+∠BAQ，
∴∠BAQ=2∠B．
∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°，
∴5∠B=180°．
∴∠B=36°．

【解析】1. 本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等．
根据线段垂直平分线的性质可知PA=PB ，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠BAP ，根据三角形内角和定理邻补角即可证得APC=2∠B ．
2. 本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．
根据题意可知BA=BQ ，根据等腰三角形的性质可得∠BAQ=∠BQA ，再根据三角形的内角和公式即可解答．
20.【答案】【小题1】
∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN.∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB.∵△CMN的周长为15 cm，∴AB=15 cm
【小题2】
∵∠F=70°，∴∠MNF+∠NMF=180°−70°=110°.∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，∴∠AMD+∠BNE=∠NMF+∠MNF=110°.∵∠A+∠B=90°−∠AMD+90°−∠BNE=180°−110°=70°.∵AM=CM，BN=CN，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN.∴∠MCN=180°−2(∠A+∠B)=180°−2×70°=40°

【解析】1. 略
2. 略