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高考数学一轮复习 第八章 第2节两直线的位置关系
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这是一份高考数学一轮复习 第八章 第2节两直线的位置关系，共18页。试卷主要包含了距离公式，已知坐标原点关于直线l1等内容，欢迎下载使用。
知 识 梳 理
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.
2.两直线相交
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一对应.
相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组无解；
重合⇔方程组有无数个解.
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
[微点提醒]
1.两直线平行的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).
2.两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
3.在运用两平行直线间的距离公式d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))时，一定要注意将两方程中x，y的系数分别化为相同的形式.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( )
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( )
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )
解析 (1)两直线l1，l2有可能重合.
(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(必修2P114A10改编)两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为( )
A.eq \f(23,5) B.eq \f(23,10) C.7 D.eq \f(7,2)
解析 由题意知a＝6，直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以两平行直线之间的距离为eq \f(|11＋24|,\r(36＋64))＝eq \f(7,2).
答案 D
3.(必修2P89练习2改编)已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
解析 由题意知 eq \f(m－4,－2－m)＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.
答案 1
4.(2019·淄博调研)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝( )
A.2 B.－3 C.2或－3 D.－2或－3
解析 直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有eq \f(2,m)＝eq \f(m＋1,3)≠eq \f(4,－2)，故m＝2或－3.
答案 C
5.(2019·北京十八中月考)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为( )
A.1 B.2 C.eq \r(2) D.2eq \r(2)
解析 圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y＝x＋3得x－y＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝eq \f(|－1－0＋3|,\r(12＋（－1）2))＝eq \r(2).
答案 C
6.(2019·宁波期中)经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是( )
A.6x－4y－3＝0 B.3x－2y－3＝0
C.2x＋3y－2＝0 D.2x＋3y－1＝0
解析 因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，直线3x－2y＋5＝0的斜率为eq \f(3,2)，所以所求直线l的方程为y＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，化为一般式，得6x－4y－3＝0.
答案 A
考点一 两直线的平行与垂直
【例1】 (1)(2019·河北五校联考)直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3)，\f(4,3)))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(2,3))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))
解析 (1)由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件.
(2)由题意得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点.当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0分别平行时，m＝eq \f(2,3)或－eq \f(4,3)；当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝－eq \f(2,3).所以实数m的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3))).
答案 (1)C (2)D
规律方法 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
【训练1】 (一题多解)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)当l1∥l2时，求a的值；
(2)当l1⊥l2时，求a的值.
解 (1)法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，
两直线方程可化为l1：y＝－eq \f(a,2)x－3，l2：y＝eq \f(1,1－a)x－(a＋1)，由l1∥l2可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)＝\f(1,1－a)，,－3≠－（a＋1），))解得a＝－1.
综上可知，a＝－1.
法二 由l1∥l2知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a（a－1）－1×2＝0，,a（a2－1）－1×6≠0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－a－2＝0，,a（a2－1）≠6))⇒a＝－1.
(2)法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不符合；
当a≠1时，l1：y＝－eq \f(a,2)x－3，l2：y＝eq \f(1,1－a)x－(a＋1)，
由l1⊥l2，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))·eq \f(1,1－a)＝－1⇒a＝eq \f(2,3).
法二 ∵l1⊥l2，∴A1A2＋B1B2＝0，
即a＋2(a－1)＝0，得a＝eq \f(2,3).
考点二 两直线的交点与距离问题
【例2】 (1)(一题多解)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为________.
(2)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________.
(3)(2019·厦门模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq \f(2\r(13),13)，则c的值是________.
解析 (1)法一 先解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))
得l1，l2的交点坐标为(－1，2)，
再由l3的斜率eq \f(3,5)求出l的斜率为－eq \f(5,3)，
于是由直线的点斜式方程求出l：
y－2＝－eq \f(5,3)(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.
法二 由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1，l2的交点(－1，2)，
故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，
故l的方程为5x＋3y－1＝0.
法三 由于l过l1，l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，
将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.
其斜率－eq \f(3＋5λ,2＋2λ)＝－eq \f(5,3)，解得λ＝eq \f(1,5)，
代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.
(2)由题意得，点P到直线的距离为eq \f(|4×4－3×a－1|,5)＝eq \f(|15－3a|,5).
又eq \f(|15－3a|,5)≤3，即|15－3a|≤15，解之得0≤a≤10，
所以a的取值范围是[0，10].
(3)依题意知，eq \f(6,3)＝eq \f(a,－2)≠eq \f(c,－1)，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋eq \f(c,2)＝0，又两平行线之间的距离为eq \f(2\r(13),13)，所以eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)＋1)),\r(32＋（－2）2))＝eq \f(2\r(13),13)，解得c＝2或－6.
答案 (1)5x＋3y－1＝0 (2)[0，10] (3)2或－6
规律方法 1.求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
2.利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等.
【训练2】 (1)(2019·上海黄浦区监测)已知曲线y＝ax(a>0且a≠1)恒过点A(m，n)，则点A到直线x＋y－3＝0的距离为________.
(2)(一题多解)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________.
解析 (1)由题意，可知曲线y＝ax(a>0且a≠1)恒过点(0，1)，所以A(0，1)，点A(0，1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝eq \f(|0＋1－3|,\r(2))＝eq \r(2).
(2)法一 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意知eq \f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq \f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，
即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－eq \f(1,3).
∴直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意.
法二 当AB∥l时，有k＝kAB＝－eq \f(1,3)，直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当l过AB中点时，AB的中点为(－1，4).
∴直线l的方程为x＝－1.
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
答案 (1)eq \r(2) (2)x＋3y－5＝0或x＝－1
考点三 对称问题 多维探究
角度1 对称问题的求解
【例3－1】 (2019·潍坊期中)若点(a，b)关于直线y＝2x的对称点在x轴上，则a，b满足的条件为( )
A.4a＋3b＝0 B.3a＋4b＝0
C.2a＋3b＝0 D.3a＋2b＝0
解析 设点(a，b)关于直线y＝2x的对称点为(t，0)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b－0,a－t)×2＝－1，,\f(b＋0,2)＝2×\f(a＋t,2)，))解得4a＋3b＝0.
答案 A
角度2 对称问题的应用
【例3－2】 (一题多解)光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程.
解 法一 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋5＝0，,3x－2y＋7＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2.))
∴反射点M的坐标为(－1，2).
又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5，0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，
由PP′⊥l可知，kPP′＝－eq \f(2,3)＝eq \f(y0,x0＋5).
而PP′的中点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0－5,2)，\f(y0,2)))，又Q点在l上，
∴3·eq \f(x0－5,2)－2·eq \f(y0,2)＋7＝0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y0,x0＋5)＝－\f(2,3)，,\f(3,2)（x0－5）－y0＋7＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝－\f(17,13)，,y0＝－\f(32,13).))
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.
法二 设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，则eq \f(y0－y,x0－x)＝－eq \f(2,3)，
又PP′的中点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋x0,2)，\f(y＋y0,2)))在l上，∴3×eq \f(x＋x0,2)－2×eq \f(y＋y0,2)＋7＝0，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y0－y,x0－x)＝－\f(2,3)，,3×\f(x＋x0,2)－（y＋y0）＋7＝0.))
可得P点的横、纵坐标分别为
x0＝eq \f(－5x＋12y－42,13)，y0＝eq \f(12x＋5y＋28,13)，
代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，
∴所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.
规律方法 1.解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，且直线l与直线MN垂直.
2.如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.
3.若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：(1)若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；(2)若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上.
【训练3】 已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为________.
解析 A不在这两条角平分线上，因此l1，l2是另两个角的角平分线所在直线.点A关于直线l1的对称点A1，点A关于直线l2的对称点A2均在边BC所在直线l上.
设A1(x1，y1)，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y1＋1,x1－4)×1＝－1，,\f(x1＋4,2)－\f(y1－1,2)－1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝0，,y1＝3，))所以A1(0，3).
同理设A2(x2，y2)，易求得A2(－2，－1).
所以BC边所在直线方程为2x－y＋3＝0.
答案 2x－y＋3＝0
[思维升华]
1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.
2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法解决问题.
[易错防范]
1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑.
2.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.
数学抽象——活用直线系方程
1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.
2.直线系方程的常见类型
(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；
(2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；
(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；
(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2).
类型1 相交直线系方程
【例1】 (一题多解)已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.
解 法一 解l1与l2组成的方程组得到交点P(0，2)，因为k3＝eq \f(3,4)，所以直线l的斜率k＝－eq \f(4,3)，方程为y－2＝－eq \f(4,3)x，即4x＋3y－6＝0.
法二 设所求l的直线为4x＋3y＋c＝0，由法一可知：P(0，2)，将其代入方程，得c＝－6，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
法三 设所求直线l的方程为：x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
类型2 平行直线系方程
【例2】 求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程.
解 设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠5)，由题意知，2×1＋3×(－4)＋c＝0，所以c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.
【例3】 已知直线l1与直线l2：x－3y＋6＝0平行，l1能和x轴、y轴围成面积为8的三角形，请求出直线l1的方程.
解 设直线l1的方程为：x－3y＋c＝0(c≠6)，则令y＝0，得x＝－c；令x＝0，得y＝eq \f(c,3)，依照题意有：eq \f(1,2)×|－c|×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(c,3)))＝8，c＝±4eq \r(3).
所以l1的方程是：x－3y±4eq \r(3)＝0.
【例4】 (一题多解)已知直线方程3x－4y＋7＝0，求与之平行而且在x轴、y轴上的截距和是1的直线l的方程.
解 法一 设直线l：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，则a＋b＝1和－eq \f(b,a)＝eq \f(3,4)组成的方程组的解为a＝4，b＝－3.
故l的方程为：eq \f(x,4)－eq \f(y,3)＝1，即3x－4y－12＝0.
法二 根据平行直线系方程的内容可设直线l为：3x－4y＋c＝0(c≠7)，则直线l在两坐标轴上截距分别对应的是－eq \f(c,3)，eq \f(c,4)，由－eq \f(c,3)＋eq \f(c,4)＝1，知c＝－12.故直线l的方程为：3x－4y－12＝0.
类型3 垂直直线系方程
【例5】 求经过A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.
解 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2，1)，
所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，
即所求直线方程为x－2y＝0.
类型4 直线系方程的应用
【例6】 已知三角形三边所在的直线方程分别为：2x－y＋4＝0，x＋y－7＝0，2x－7y－14＝0，求边2x－7y－14＝0上的高所在的直线方程.
解 设所求高所在的直线方程为2x－y＋4＋λ(x＋y－7)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－1)y＋(4－7λ)＝0，
可得(2＋λ)×2＋(λ－1)×(－7)＝0，解得λ＝eq \f(11,5)，
所以所求高所在的直线方程为7x＋2y－19＝0.
【例7】 求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3，1)，B(5，7)等距离的直线方程.
解 设所求直线方程为2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，
即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0，
由点A(－3，1)，B(5，7)到所求直线等距离，可得
eq \f(|（2＋7λ）×（－3）＋（7－21λ）×1－4－λ|,\r(（2＋7λ）2＋（7－21λ）2))
＝eq \f(|（2＋7λ）×5＋（7－21λ）×7－4－λ|,\r(（2＋7λ）2＋（7－21λ）2))，
整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝eq \f(29,35)或λ＝eq \f(1,3)，
所以所求的直线方程为21x－28y－13＝0或x＝1.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.不能确定
解析 直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－eq \f(1,2)，则k1≠k2，且k1k2≠－1.
答案 C
2.已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝( )
A.2 B.－2 C.eq \f(1,2) D.－eq \f(1,2)
解析 因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即eq \f(a,2)＝－1，解得a＝－2.
答案 B
3.(一题多解)过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )
A.19x－9y＝0 B.9x＋19y＝0
C.19x－3y＝0 D.3x＋19y＝0
解析 法一 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3y＋4＝0，,2x＋y＋5＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(19,7)，,y＝\f(3,7)，))
则所求直线方程为：y＝eq \f(\f(3,7),－\f(19,7))x＝－eq \f(3,19)x，即3x＋19y＝0.
法二 设直线方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，
即(1＋2λ)x－(3－λ)y＋4＋5λ＝0，又直线过点(0，0)，
所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，
解得λ＝－eq \f(4,5)，故所求直线方程为3x＋19y＝0.
答案 D
4.从点(2，3)射出的光线沿与向量a＝(8，4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为( )
A.x＋2y－4＝0 B.2x＋y－1＝0
C.x＋6y－16＝0 D.6x＋y－8＝0
解析 由直线与向量a＝(8，4)平行知，过点(2，3)的直线的斜率k＝eq \f(1,2)，所以直线的方程为y－3＝eq \f(1,2)(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y轴的对称点为(－2，3)，所以反射光线过点(－2，3)与(0，2)，由两点式知A正确.
答案 A
5.(2019·运城二模)在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2＝( )
A.eq \f(\r(10),2) B.eq \r(10) C.5 D.10
解析 由题意知P(0，1)，Q(－3，0)，∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，
∴MP⊥MQ，∴|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝9＋1＝10，
答案 D
6.(2019·青岛模拟)若直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为eq \r(10)，则m＝( )
A.7 B.eq \f(17,2) C.14 D.17
解析 直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为eq \r(10)，所以eq \f(|2m＋3|,\r(4＋36))＝eq \r(10)，求得m＝eq \f(17,2).
答案 B
7.(2018·新余调研)已知坐标原点关于直线l1：x－y＋1＝0的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为( )
A.2x＋3y＋5＝0 B.3x－2y＋5＝0
C.3x＋2y＋5＝0 D.2x－3y＋5＝0
解析 设A(x0，y0)，依题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x0,2)－\f(y0,2)＋1＝0，,\f(y0,x0)＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝－1，,y0＝1，))即A(－1，1).设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又－eq \f(1,kAB)＝eq \f(3,2)，∴直线l2的方程为y－1＝eq \f(3,2)(x＋1)，即3x－2y＋5＝0 .
答案 B
8.一只虫子从点(0，0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是( )
A.eq \r(2) B.2 C.3 D.4
解析 点(0，0)关于直线l：x－y＋1＝0的对称点为(－1，1)，则最短路程为eq \r(（－1－1）2＋（1－1）2)＝2.
答案 B
二、填空题
9.如果直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7平行，则a＝________.
解析 ∵直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7平行，即直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y－(a－7)＝0平行，∴eq \f(a,3)＝eq \f(2,a－1)≠eq \f(3a,－（a－7）)，解得a＝3.
答案 3
10.已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.
解析 设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b－4,a－（－3）)＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为eq \f(y－0,6－0)＝eq \f(x－1,2－1)，即6x－y－6＝0.
答案 6x－y－6＝0
11.(一题多解)(2019·南昌模拟)已知点A(1，0)，B(3，0)，若直线y＝kx＋1上存在一点P，满足PA⊥PB，则k的取值范围是________.
解析 法一 设P(x0，kx0＋1)，依题意可得kPA·kPB＝－1，即eq \f(kx0＋1,x0－1)×eq \f(kx0＋1,x0－3)＝－1，即(k2＋1)xeq \\al(2,0)＋(2k－4)x0＋4＝0，则Δ＝(2k－4)2－16(k2＋1)≥0，化简得3k2＋4k≤0，解得－eq \f(4,3)≤k≤0，故k的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，0)).
法二 若直线y＝kx＋1上存在点P，满足PA⊥PB，则直线y＝kx＋1与以AB为直径的圆(x－2)2＋y2＝1有公共点，故eq \f(|2k＋1|,\r(1＋k2))≤1，即3k2＋4k≤0，故－eq \f(4,3)≤k≤0，k的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，0)).
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，0))
三、解答题
12.已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2).
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4eq \r(2).
(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.
∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y－6＝0，,x－y－4＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－2，))
故直线经过的定点为M(2，－2).
(2)证明 过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，
此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，
∴M与Q不可能重合，即|PM|＝4eq \r(2)，
∴|PQ|<4eq \r(2)，故所证成立.
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13.(2019·丹东二模)已知直线l1：2x－y＋3＝0，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，若点M同时满足下列条件：
(1)点M是第一象限的点；
(2)点M到l1的距离是到l2的距离的eq \f(1,2)；
(3)点M到l1的距离与到l3的距离之比是eq \r(2)∶eq \r(5).
则点M的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，2)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(37,18)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，2)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，\f(37,18)))
解析 设点M(x0，y0)，若点M满足(2)，则eq \f(|2x0－y0＋3|,\r(5))＝eq \f(1,2)×eq \f(|4x0－2y0－1|,\r(16＋4))，故2x0－y0＋eq \f(13,2)＝0或2x0－y0＋eq \f(11,6)＝0，若点M(x0，y0)满足(3)，由点到直线的距离公式，得eq \f(|2x0－y0＋3|,\r(5))＝eq \f(\r(2),\r(5))×eq \f(|x0＋y0－1|,\r(2))，即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，故x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0，由于点M(x0，y0)在第一象限，故3x0＋2＝0不符合题意，联立方程得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x0－y0＋\f(13,2)＝0，,x0－2y0＋4＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝－3，,y0＝\f(1,2)))不符合题意；联立方程得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x0－y0＋\f(11,6)＝0，,x0－2y0＋4＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝\f(1,9)，,y0＝\f(37,18)，))即点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，\f(37,18))).
答案 D
14.(2019·天津河东区模拟)已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)且Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，则eq \f(1,2a)＋eq \f(2,c)的最小值为( )
A.eq \f(9,2) B.eq \f(9,4) C.1 D.9
解析 因为动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0，设点Q(4，0)到直线l的距离为d，当d＝|PQ|时取最大值，所以eq \r(（4－1）2＋（－m）2)＝3，解得m＝0.所以a＋c＝2，则eq \f(1,2a)＋eq \f(2,c)＝eq \f(1,2)(a＋c)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)＋\f(2,c)))＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋\f(c,2a)＋\f(2a,c)))≥eq \f(1,2)(eq \f(5,2)＋2eq \r(\f(c,2a)·\f(2a,c)))＝eq \f(9,4)，当且仅当c＝2a＝eq \f(4,3)时取等号.
答案 B
15.若△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为________.
解析 由AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2，又A(5，1)，
AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，
联立直线AC与直线CM方程得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y－11＝0，,2x－y－5＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝3，))所以顶点C的坐标为C(4，3).
设B(x0，y0)，AB的中点M为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0＋5,2)，\f(y0＋1,2)))，
由M在直线2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0，
B在直线x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x0－y0－1＝0，,x0－2y0－5＝0.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝－1，,y0＝－3，))
所以顶点B的坐标为(－1，－3).
于是直线BC的方程为6x－5y－9＝0.
答案 6x－5y－9＝0
16.在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2，3)对称，则直线l的方程是________________.
解析 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b，将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝eq \f(3,4)，∴直线l的方程为y＝eq \f(3,4)x＋b，直线l1为y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(11,4)＋b，取直线l上的一点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，b＋\f(3m,4)))，则点P关于点(2，3)的对称点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－m，6－b－\f(3m,4)))，
∴6－b－eq \f(3m,4)＝eq \f(3,4)(4－m)＋b＋eq \f(11,4)，解得b＝eq \f(1,8).
∴直线l的方程是y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(1,8)，即6x－8y＋1＝0.
答案 6x－8y＋1＝0
新高考创新预测
17.(思维创新)已知常数x1、x2、y1、y2满足：xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝1，xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)＝1，x1x2＋y1y2＝eq \f(1,2)，则eq \f(|x1＋y1－1|,\r(2))＋eq \f(|x2＋y2－1|,\r(2))的最大值为________.
解析 由xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝1，xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)＝1可知A(x1，y1)，B(x2，y2)两点都在单位圆O：x2＋y2＝1上，
又x1x2＋y1y2＝eq \f(1,2)，∴eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为60°，
eq \f(|x1＋y1－1|,\r(2))＋eq \f(|x2＋y2－1|,\r(2))为A，B两点到直线x＋y－1＝0的距离之和，由数形结合及基本不等式知识易求得其最大值为eq \r(2)＋eq \r(3).
答案 eq \r(2)＋eq \r(3)
知 识 梳 理
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.
2.两直线相交
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一对应.
相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组无解；
重合⇔方程组有无数个解.
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
[微点提醒]
1.两直线平行的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).
2.两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
3.在运用两平行直线间的距离公式d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))时，一定要注意将两方程中x，y的系数分别化为相同的形式.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( )
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( )
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )
解析 (1)两直线l1，l2有可能重合.
(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(必修2P114A10改编)两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为( )
A.eq \f(23,5) B.eq \f(23,10) C.7 D.eq \f(7,2)
解析 由题意知a＝6，直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以两平行直线之间的距离为eq \f(|11＋24|,\r(36＋64))＝eq \f(7,2).
答案 D
3.(必修2P89练习2改编)已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
解析 由题意知 eq \f(m－4,－2－m)＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.
答案 1
4.(2019·淄博调研)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝( )
A.2 B.－3 C.2或－3 D.－2或－3
解析 直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有eq \f(2,m)＝eq \f(m＋1,3)≠eq \f(4,－2)，故m＝2或－3.
答案 C
5.(2019·北京十八中月考)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为( )
A.1 B.2 C.eq \r(2) D.2eq \r(2)
解析 圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y＝x＋3得x－y＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝eq \f(|－1－0＋3|,\r(12＋（－1）2))＝eq \r(2).
答案 C
6.(2019·宁波期中)经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是( )
A.6x－4y－3＝0 B.3x－2y－3＝0
C.2x＋3y－2＝0 D.2x＋3y－1＝0
解析 因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，直线3x－2y＋5＝0的斜率为eq \f(3,2)，所以所求直线l的方程为y＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，化为一般式，得6x－4y－3＝0.
答案 A
考点一 两直线的平行与垂直
【例1】 (1)(2019·河北五校联考)直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3)，\f(4,3)))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(2,3))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))
解析 (1)由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件.
(2)由题意得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点.当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0分别平行时，m＝eq \f(2,3)或－eq \f(4,3)；当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝－eq \f(2,3).所以实数m的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3))).
答案 (1)C (2)D
规律方法 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
【训练1】 (一题多解)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)当l1∥l2时，求a的值；
(2)当l1⊥l2时，求a的值.
解 (1)法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，
两直线方程可化为l1：y＝－eq \f(a,2)x－3，l2：y＝eq \f(1,1－a)x－(a＋1)，由l1∥l2可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)＝\f(1,1－a)，,－3≠－（a＋1），))解得a＝－1.
综上可知，a＝－1.
法二 由l1∥l2知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a（a－1）－1×2＝0，,a（a2－1）－1×6≠0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－a－2＝0，,a（a2－1）≠6))⇒a＝－1.
(2)法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不符合；
当a≠1时，l1：y＝－eq \f(a,2)x－3，l2：y＝eq \f(1,1－a)x－(a＋1)，
由l1⊥l2，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))·eq \f(1,1－a)＝－1⇒a＝eq \f(2,3).
法二 ∵l1⊥l2，∴A1A2＋B1B2＝0，
即a＋2(a－1)＝0，得a＝eq \f(2,3).
考点二 两直线的交点与距离问题
【例2】 (1)(一题多解)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为________.
(2)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________.
(3)(2019·厦门模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq \f(2\r(13),13)，则c的值是________.
解析 (1)法一 先解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))
得l1，l2的交点坐标为(－1，2)，
再由l3的斜率eq \f(3,5)求出l的斜率为－eq \f(5,3)，
于是由直线的点斜式方程求出l：
y－2＝－eq \f(5,3)(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.
法二 由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1，l2的交点(－1，2)，
故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，
故l的方程为5x＋3y－1＝0.
法三 由于l过l1，l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，
将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.
其斜率－eq \f(3＋5λ,2＋2λ)＝－eq \f(5,3)，解得λ＝eq \f(1,5)，
代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.
(2)由题意得，点P到直线的距离为eq \f(|4×4－3×a－1|,5)＝eq \f(|15－3a|,5).
又eq \f(|15－3a|,5)≤3，即|15－3a|≤15，解之得0≤a≤10，
所以a的取值范围是[0，10].
(3)依题意知，eq \f(6,3)＝eq \f(a,－2)≠eq \f(c,－1)，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋eq \f(c,2)＝0，又两平行线之间的距离为eq \f(2\r(13),13)，所以eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)＋1)),\r(32＋（－2）2))＝eq \f(2\r(13),13)，解得c＝2或－6.
答案 (1)5x＋3y－1＝0 (2)[0，10] (3)2或－6
规律方法 1.求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
2.利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等.
【训练2】 (1)(2019·上海黄浦区监测)已知曲线y＝ax(a>0且a≠1)恒过点A(m，n)，则点A到直线x＋y－3＝0的距离为________.
(2)(一题多解)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________.
解析 (1)由题意，可知曲线y＝ax(a>0且a≠1)恒过点(0，1)，所以A(0，1)，点A(0，1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝eq \f(|0＋1－3|,\r(2))＝eq \r(2).
(2)法一 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意知eq \f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq \f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，
即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－eq \f(1,3).
∴直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意.
法二 当AB∥l时，有k＝kAB＝－eq \f(1,3)，直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当l过AB中点时，AB的中点为(－1，4).
∴直线l的方程为x＝－1.
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
答案 (1)eq \r(2) (2)x＋3y－5＝0或x＝－1
考点三 对称问题 多维探究
角度1 对称问题的求解
【例3－1】 (2019·潍坊期中)若点(a，b)关于直线y＝2x的对称点在x轴上，则a，b满足的条件为( )
A.4a＋3b＝0 B.3a＋4b＝0
C.2a＋3b＝0 D.3a＋2b＝0
解析 设点(a，b)关于直线y＝2x的对称点为(t，0)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b－0,a－t)×2＝－1，,\f(b＋0,2)＝2×\f(a＋t,2)，))解得4a＋3b＝0.
答案 A
角度2 对称问题的应用
【例3－2】 (一题多解)光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程.
解 法一 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋5＝0，,3x－2y＋7＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2.))
∴反射点M的坐标为(－1，2).
又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5，0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，
由PP′⊥l可知，kPP′＝－eq \f(2,3)＝eq \f(y0,x0＋5).
而PP′的中点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0－5,2)，\f(y0,2)))，又Q点在l上，
∴3·eq \f(x0－5,2)－2·eq \f(y0,2)＋7＝0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y0,x0＋5)＝－\f(2,3)，,\f(3,2)（x0－5）－y0＋7＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝－\f(17,13)，,y0＝－\f(32,13).))
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.
法二 设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，则eq \f(y0－y,x0－x)＝－eq \f(2,3)，
又PP′的中点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋x0,2)，\f(y＋y0,2)))在l上，∴3×eq \f(x＋x0,2)－2×eq \f(y＋y0,2)＋7＝0，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y0－y,x0－x)＝－\f(2,3)，,3×\f(x＋x0,2)－（y＋y0）＋7＝0.))
可得P点的横、纵坐标分别为
x0＝eq \f(－5x＋12y－42,13)，y0＝eq \f(12x＋5y＋28,13)，
代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，
∴所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.
规律方法 1.解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，且直线l与直线MN垂直.
2.如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.
3.若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：(1)若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；(2)若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上.
【训练3】 已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为________.
解析 A不在这两条角平分线上，因此l1，l2是另两个角的角平分线所在直线.点A关于直线l1的对称点A1，点A关于直线l2的对称点A2均在边BC所在直线l上.
设A1(x1，y1)，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y1＋1,x1－4)×1＝－1，,\f(x1＋4,2)－\f(y1－1,2)－1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝0，,y1＝3，))所以A1(0，3).
同理设A2(x2，y2)，易求得A2(－2，－1).
所以BC边所在直线方程为2x－y＋3＝0.
答案 2x－y＋3＝0
[思维升华]
1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.
2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法解决问题.
[易错防范]
1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑.
2.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.
数学抽象——活用直线系方程
1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.
2.直线系方程的常见类型
(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；
(2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；
(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；
(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2).
类型1 相交直线系方程
【例1】 (一题多解)已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.
解 法一 解l1与l2组成的方程组得到交点P(0，2)，因为k3＝eq \f(3,4)，所以直线l的斜率k＝－eq \f(4,3)，方程为y－2＝－eq \f(4,3)x，即4x＋3y－6＝0.
法二 设所求l的直线为4x＋3y＋c＝0，由法一可知：P(0，2)，将其代入方程，得c＝－6，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
法三 设所求直线l的方程为：x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
类型2 平行直线系方程
【例2】 求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程.
解 设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠5)，由题意知，2×1＋3×(－4)＋c＝0，所以c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.
【例3】 已知直线l1与直线l2：x－3y＋6＝0平行，l1能和x轴、y轴围成面积为8的三角形，请求出直线l1的方程.
解 设直线l1的方程为：x－3y＋c＝0(c≠6)，则令y＝0，得x＝－c；令x＝0，得y＝eq \f(c,3)，依照题意有：eq \f(1,2)×|－c|×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(c,3)))＝8，c＝±4eq \r(3).
所以l1的方程是：x－3y±4eq \r(3)＝0.
【例4】 (一题多解)已知直线方程3x－4y＋7＝0，求与之平行而且在x轴、y轴上的截距和是1的直线l的方程.
解 法一 设直线l：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，则a＋b＝1和－eq \f(b,a)＝eq \f(3,4)组成的方程组的解为a＝4，b＝－3.
故l的方程为：eq \f(x,4)－eq \f(y,3)＝1，即3x－4y－12＝0.
法二 根据平行直线系方程的内容可设直线l为：3x－4y＋c＝0(c≠7)，则直线l在两坐标轴上截距分别对应的是－eq \f(c,3)，eq \f(c,4)，由－eq \f(c,3)＋eq \f(c,4)＝1，知c＝－12.故直线l的方程为：3x－4y－12＝0.
类型3 垂直直线系方程
【例5】 求经过A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.
解 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2，1)，
所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，
即所求直线方程为x－2y＝0.
类型4 直线系方程的应用
【例6】 已知三角形三边所在的直线方程分别为：2x－y＋4＝0，x＋y－7＝0，2x－7y－14＝0，求边2x－7y－14＝0上的高所在的直线方程.
解 设所求高所在的直线方程为2x－y＋4＋λ(x＋y－7)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－1)y＋(4－7λ)＝0，
可得(2＋λ)×2＋(λ－1)×(－7)＝0，解得λ＝eq \f(11,5)，
所以所求高所在的直线方程为7x＋2y－19＝0.
【例7】 求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3，1)，B(5，7)等距离的直线方程.
解 设所求直线方程为2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，
即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0，
由点A(－3，1)，B(5，7)到所求直线等距离，可得
eq \f(|（2＋7λ）×（－3）＋（7－21λ）×1－4－λ|,\r(（2＋7λ）2＋（7－21λ）2))
＝eq \f(|（2＋7λ）×5＋（7－21λ）×7－4－λ|,\r(（2＋7λ）2＋（7－21λ）2))，
整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝eq \f(29,35)或λ＝eq \f(1,3)，
所以所求的直线方程为21x－28y－13＝0或x＝1.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.不能确定
解析 直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－eq \f(1,2)，则k1≠k2，且k1k2≠－1.
答案 C
2.已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝( )
A.2 B.－2 C.eq \f(1,2) D.－eq \f(1,2)
解析 因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即eq \f(a,2)＝－1，解得a＝－2.
答案 B
3.(一题多解)过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )
A.19x－9y＝0 B.9x＋19y＝0
C.19x－3y＝0 D.3x＋19y＝0
解析 法一 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3y＋4＝0，,2x＋y＋5＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(19,7)，,y＝\f(3,7)，))
则所求直线方程为：y＝eq \f(\f(3,7),－\f(19,7))x＝－eq \f(3,19)x，即3x＋19y＝0.
法二 设直线方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，
即(1＋2λ)x－(3－λ)y＋4＋5λ＝0，又直线过点(0，0)，
所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，
解得λ＝－eq \f(4,5)，故所求直线方程为3x＋19y＝0.
答案 D
4.从点(2，3)射出的光线沿与向量a＝(8，4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为( )
A.x＋2y－4＝0 B.2x＋y－1＝0
C.x＋6y－16＝0 D.6x＋y－8＝0
解析 由直线与向量a＝(8，4)平行知，过点(2，3)的直线的斜率k＝eq \f(1,2)，所以直线的方程为y－3＝eq \f(1,2)(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y轴的对称点为(－2，3)，所以反射光线过点(－2，3)与(0，2)，由两点式知A正确.
答案 A
5.(2019·运城二模)在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2＝( )
A.eq \f(\r(10),2) B.eq \r(10) C.5 D.10
解析 由题意知P(0，1)，Q(－3，0)，∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，
∴MP⊥MQ，∴|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝9＋1＝10，
答案 D
6.(2019·青岛模拟)若直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为eq \r(10)，则m＝( )
A.7 B.eq \f(17,2) C.14 D.17
解析 直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为eq \r(10)，所以eq \f(|2m＋3|,\r(4＋36))＝eq \r(10)，求得m＝eq \f(17,2).
答案 B
7.(2018·新余调研)已知坐标原点关于直线l1：x－y＋1＝0的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为( )
A.2x＋3y＋5＝0 B.3x－2y＋5＝0
C.3x＋2y＋5＝0 D.2x－3y＋5＝0
解析 设A(x0，y0)，依题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x0,2)－\f(y0,2)＋1＝0，,\f(y0,x0)＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝－1，,y0＝1，))即A(－1，1).设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又－eq \f(1,kAB)＝eq \f(3,2)，∴直线l2的方程为y－1＝eq \f(3,2)(x＋1)，即3x－2y＋5＝0 .
答案 B
8.一只虫子从点(0，0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是( )
A.eq \r(2) B.2 C.3 D.4
解析 点(0，0)关于直线l：x－y＋1＝0的对称点为(－1，1)，则最短路程为eq \r(（－1－1）2＋（1－1）2)＝2.
答案 B
二、填空题
9.如果直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7平行，则a＝________.
解析 ∵直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7平行，即直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y－(a－7)＝0平行，∴eq \f(a,3)＝eq \f(2,a－1)≠eq \f(3a,－（a－7）)，解得a＝3.
答案 3
10.已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.
解析 设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b－4,a－（－3）)＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为eq \f(y－0,6－0)＝eq \f(x－1,2－1)，即6x－y－6＝0.
答案 6x－y－6＝0
11.(一题多解)(2019·南昌模拟)已知点A(1，0)，B(3，0)，若直线y＝kx＋1上存在一点P，满足PA⊥PB，则k的取值范围是________.
解析 法一 设P(x0，kx0＋1)，依题意可得kPA·kPB＝－1，即eq \f(kx0＋1,x0－1)×eq \f(kx0＋1,x0－3)＝－1，即(k2＋1)xeq \\al(2,0)＋(2k－4)x0＋4＝0，则Δ＝(2k－4)2－16(k2＋1)≥0，化简得3k2＋4k≤0，解得－eq \f(4,3)≤k≤0，故k的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，0)).
法二 若直线y＝kx＋1上存在点P，满足PA⊥PB，则直线y＝kx＋1与以AB为直径的圆(x－2)2＋y2＝1有公共点，故eq \f(|2k＋1|,\r(1＋k2))≤1，即3k2＋4k≤0，故－eq \f(4,3)≤k≤0，k的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，0)).
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，0))
三、解答题
12.已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2).
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4eq \r(2).
(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.
∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y－6＝0，,x－y－4＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－2，))
故直线经过的定点为M(2，－2).
(2)证明 过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，
此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，
∴M与Q不可能重合，即|PM|＝4eq \r(2)，
∴|PQ|<4eq \r(2)，故所证成立.
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13.(2019·丹东二模)已知直线l1：2x－y＋3＝0，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，若点M同时满足下列条件：
(1)点M是第一象限的点；
(2)点M到l1的距离是到l2的距离的eq \f(1,2)；
(3)点M到l1的距离与到l3的距离之比是eq \r(2)∶eq \r(5).
则点M的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，2)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(37,18)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，2)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，\f(37,18)))
解析 设点M(x0，y0)，若点M满足(2)，则eq \f(|2x0－y0＋3|,\r(5))＝eq \f(1,2)×eq \f(|4x0－2y0－1|,\r(16＋4))，故2x0－y0＋eq \f(13,2)＝0或2x0－y0＋eq \f(11,6)＝0，若点M(x0，y0)满足(3)，由点到直线的距离公式，得eq \f(|2x0－y0＋3|,\r(5))＝eq \f(\r(2),\r(5))×eq \f(|x0＋y0－1|,\r(2))，即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，故x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0，由于点M(x0，y0)在第一象限，故3x0＋2＝0不符合题意，联立方程得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x0－y0＋\f(13,2)＝0，,x0－2y0＋4＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝－3，,y0＝\f(1,2)))不符合题意；联立方程得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x0－y0＋\f(11,6)＝0，,x0－2y0＋4＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝\f(1,9)，,y0＝\f(37,18)，))即点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，\f(37,18))).
答案 D
14.(2019·天津河东区模拟)已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)且Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，则eq \f(1,2a)＋eq \f(2,c)的最小值为( )
A.eq \f(9,2) B.eq \f(9,4) C.1 D.9
解析 因为动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0，设点Q(4，0)到直线l的距离为d，当d＝|PQ|时取最大值，所以eq \r(（4－1）2＋（－m）2)＝3，解得m＝0.所以a＋c＝2，则eq \f(1,2a)＋eq \f(2,c)＝eq \f(1,2)(a＋c)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)＋\f(2,c)))＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋\f(c,2a)＋\f(2a,c)))≥eq \f(1,2)(eq \f(5,2)＋2eq \r(\f(c,2a)·\f(2a,c)))＝eq \f(9,4)，当且仅当c＝2a＝eq \f(4,3)时取等号.
答案 B
15.若△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为________.
解析 由AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2，又A(5，1)，
AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，
联立直线AC与直线CM方程得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y－11＝0，,2x－y－5＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝3，))所以顶点C的坐标为C(4，3).
设B(x0，y0)，AB的中点M为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0＋5,2)，\f(y0＋1,2)))，
由M在直线2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0，
B在直线x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x0－y0－1＝0，,x0－2y0－5＝0.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝－1，,y0＝－3，))
所以顶点B的坐标为(－1，－3).
于是直线BC的方程为6x－5y－9＝0.
答案 6x－5y－9＝0
16.在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2，3)对称，则直线l的方程是________________.
解析 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b，将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝eq \f(3,4)，∴直线l的方程为y＝eq \f(3,4)x＋b，直线l1为y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(11,4)＋b，取直线l上的一点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，b＋\f(3m,4)))，则点P关于点(2，3)的对称点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－m，6－b－\f(3m,4)))，
∴6－b－eq \f(3m,4)＝eq \f(3,4)(4－m)＋b＋eq \f(11,4)，解得b＝eq \f(1,8).
∴直线l的方程是y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(1,8)，即6x－8y＋1＝0.
答案 6x－8y＋1＝0
新高考创新预测
17.(思维创新)已知常数x1、x2、y1、y2满足：xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝1，xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)＝1，x1x2＋y1y2＝eq \f(1,2)，则eq \f(|x1＋y1－1|,\r(2))＋eq \f(|x2＋y2－1|,\r(2))的最大值为________.
解析 由xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝1，xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)＝1可知A(x1，y1)，B(x2，y2)两点都在单位圆O：x2＋y2＝1上，
又x1x2＋y1y2＝eq \f(1,2)，∴eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为60°，
eq \f(|x1＋y1－1|,\r(2))＋eq \f(|x2＋y2－1|,\r(2))为A，B两点到直线x＋y－1＝0的距离之和，由数形结合及基本不等式知识易求得其最大值为eq \r(2)＋eq \r(3).
答案 eq \r(2)＋eq \r(3)
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